空间几何体的表面积和体积 PPT课件

定理︰如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面
积是Ｓ，高是ｈ，那么它的体积是：
推论：Ｖ如果锥圆体＝锥的13Ｓ底面ｈ半径是ｒ，高是ｈ，
那么它的体积是：
Ｖ圆锥＝
1 3
πｒ２ｈ
h
h
S
S
S
四.台体的体积
上下底面积分别是s/,s,高是h，则
V台体=
1 h(s + 3
ss' + s')
x
s/
s/
h
s
s
推论：如果圆台的上,下底面半径是r1.r2,高是
r O
r'O’ l
l
r
O
l
O
rO
S r2 rl r(r l)
S (r'2 r 2 r'l rl )
S 2 r2 2 rl 2 r(r l)
h'
h'
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，
它们的侧面展开图还是平面图形，
计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积 之和
例1：一个正三棱台的上、下底面边长
分别是3cm和6cm，高是3/2cm，求三棱
台的侧面积.
分析：关键是 求出斜高，注
A1 O1 C1 B1 D1 C
意图中的直角 梯形
A
O ED
B
例3：圆台的上、下底面半径分别为2
和4，高为 2 3 ，求其侧面展开图扇环
所对的圆心角
答：1800 分析：抓住相似三角形中的相似比是解 题的关键
(4)台体的体积公式 V台＝h(S＋＋S′)． 注：h为台体的高，S′和S分别为上下 两个底面的面积．
其中V圆台＝ 1∕3πh(r2＋rr′＋r′．2) 注：h为台体的高，r′、r分别为上、 下两底的半径． (5)球的体积
V球＝ 1∕3πR. 3
例 从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得 到一个正三棱锥A－BCD，求它的体积是正方体体积的 几分之几？
正四棱台的侧面展开图
h'
S表面积 S侧 S上底 S下底
参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧 面展开图是什么 ．
2r'
r'O’
2r
l
rO
圆台的侧面展开图是扇环
S (r'2 r 2 r'l rl )
思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图 有什么关系？
1.3 简单几何体的表面积和体积
1、表面积：几何体表面的大小 2、体积：几何体所占空间的大小。
表面积、全面积和侧面积
• 表面积：立体图形的所能触摸到的面积之 和叫做它的表面积。（每个面的面积相加 ）
• 全面积：全面积是立体几何里的概念，相 对于截面积（“截面积”即切面的面积） 来说的，就是表面积总和
扇形
R扇＝l
l扇＝
nl
180
l
r
S圆
锥
侧＝S扇＝
nl 2
360
1 2 l扇l
rl
2r
l
rO
圆锥的侧面展开图是扇形
S r2 rl r(r l)
(3)台体的侧面积
①正棱台：设正n棱台的上底面、下底面周 长分别为c′、c，斜高为h′，则正n棱台的侧面积公
式：S正棱台侧＝ 1∕2(c＋c.′)h′
2
BD
C
所以：SABC
1 2
BC
SD
1 2
a
3a 2
3 a2 4
因此，四面体S-ABC 的表面积．
例4(2010年广东省惠州市高三调研)如图，已 知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长是2，D，E是 CC1，BC的中点，AE＝DE.
(1)求此正三棱柱的侧棱长； (2)正三棱柱ABC－A1B1C1的表面积．
2、对应的面积公式
S
三
棱
锥＝
1 2
ch'
S圆锥侧= πrl
C’=0
r1=0
S正
棱
台＝
1（c＋c' 2
)h'
C’=C
S直 棱 柱＝ch' ch
S圆台侧=π（r1+r2)l r1=r2
S圆柱侧= 2πrl
例1：一个正三棱柱的底面是边长为5的 正三角形，侧棱长为4，则其侧面积为 ______;
答：60
1＋x42＝ 3，
解得 x＝2 2.即正三棱柱的侧棱长为 2 2.
(2)S＝S 侧＋S 底， S 侧＝3×2×2 2＝12 2， S 底＝12× 3×2×2＝2 3， ∴S＝S 侧＋S 底＝12 2＋2 3.
【点评】 求表面积应分别求各部分面的面积，所以 应弄清图形的形状，利用相应的公式求面积，规则的图形 可直接求，不规则的图形往往要再进行转化，常分割成几 部分来求．
D1
D1
C1
A
A A
D
CD
B
答:可分成棱锥A-D1DC,
棱锥A-D1C1C,
棱锥A-BCD.
A C
C
D
C
B
问题:锥体(棱锥、圆锥）的体积 3.1．锥体（棱锥、圆锥）的体积
（底面积S，高h）
V三棱锥
1 3
sh
注意：三棱锥的顶点和底面可以根据需要变换，四 面体的每一个面都可以作为底面，可以用来求点到 面的距离
例2：正四棱锥底面边长为6 ,高是4，中 截面把棱锥截成一个小棱锥和一个棱台， 求棱台的侧面积
答：9 7
例3 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面 体S-ABC，求它的表面积 ．
分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形 组成．
S 解：先求ABC的面积，过点S作 SD BC，
交BC于点D．
A
因为BC=a，SD SB sin 60 3 a
• 侧面积：指立体图形的各个侧面的面积之 和（除去底面）
4/5/2020 12:37:00 PM 云在漫步
棱柱、棱锥、棱台的侧面积
• 侧面积所指的对象分别如下： • 棱柱----直棱柱。 • 棱锥----正棱锥。 • 棱台----正棱台
4/5/2020 12:37:00 PM 云在漫步
2.几何体的表面积
（1）棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积 之和 .
（2）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是 矩 形 、 扇形 、扇环形；它们的表面积等于侧面积 与底面面积之和.
有关概念 1、直棱柱： 侧棱和底面垂直的棱柱叫直棱柱 2、正棱柱： 底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱 3、正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面
扇环
r1
l
r2
S圆台侧＝S扇环＝（r1 r2 )l
S (r'2 r 2 r'l rl )
r' x
r xl
x 2r'
r'O’
2r
l
rx r' x r'l
rO
S侧 r(l x) r' x (rl rx r' x)
(r'l rl)
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？
知识点二．柱、锥、台、球的体积
(1)长方体的体积 V长方体＝abc＝ Sh. (其中a、b、c为长、宽、高，S为底面 积，h为高) (2)柱体(圆柱和棱柱)的体积 V柱体＝Sh. 其中，V圆柱＝πr2h(其中r为底面半径)．
(3)锥体(圆锥和棱锥)的体积
V锥体＝
1 3
Sh.
其中V圆锥＝ 1∕3πr2h ， r为底面半径．
3．几何体的表面积应注意重合部分的处理．
一、体积的概念与公理:
几何体占有空间部分的大小叫做它的体积
公理1、长方体的体积等于它的长、宽、高的积 。
V长方体= abc
推论1 、长方体的体积等于它的底面积s和高h的积
。
V长方体= sh
推论2 、正方体的体积等于它的棱长a 的立方。
V正方体= a3
公理2、夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行 于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截 面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
h
cb
a
h
h
a
bc
S直棱拄侧＝（a b c) h
棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
h
正棱柱的侧面展开图
S表面积 S侧 2S底
思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图 有什么关系？
r
l
长方形
宽＝ l
长 ＝2r
S圆 柱 侧 S长 方 形＝2rl
思考：怎样求斜棱柱的侧面积？ 1）侧面展开图是—— 平行四边形 2）S斜棱柱侧=直截面周长×侧棱长 3） S侧=所有侧面面积之和
几何体的表面积问题小结
1．高考中对几何体的表面积的考查一般在客观题中， 借以考查空间想象能力和运算能力，只要正确把握几何体 的结构，准确应用面积公式，就可以顺利解决．
2．多面体的表面积是各个面的面积之和．圆柱、 圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个 曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆 的面积之和．
r O
l
2 r
O
圆柱的侧面展开图是矩形
S表面积 S侧 2S底
S 2 r2 2 rl 2 r(r l)
(2)锥体的侧面积
①正棱锥：设正棱锥底面正多边形的周长为c，斜 高为h′，则
S正棱锥侧＝ 1∕2ch.（′ 类比三角形的面积）
②圆锥：如果圆锥的底面半径为r，母线长为l，那 么
S圆锥侧＝ πrl.（类比三角形的面积）
S1，S2，S3...Sn
O
则球的表面积：
S S1 S2 S3 ... Sn
Si
O
Vi
设“小锥体”的体积为：Vi 则球的体积为：
中心的棱锥
4、正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底
面之间的部分叫正棱台
斜高的概念
作直三棱柱、正三棱锥、正三棱台各一个，找出 斜高
C1
A1
B1
C
C
A
B
P
A1
C1
B1 D1
A
C O
B
D
O
D
B
A
2、分别作出一个圆柱、圆锥、圆台，并找出旋转轴
A
A
B
A
B
C
DB
CC
D
分别经过旋转轴作一个平面，观察得到的轴截面是 什么形状的图形.
ｈ，那么它的体积是：
1
Ｖ圆台＝ 3
πh
(r12
r1r2
r22 )
五.柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？
ห้องสมุดไป่ตู้
上底扩大
上底缩小
V Sh
S S V 1 (S
3
SS S)h
S 0
V 1 Sh 3
S为底面面积， S分别为上、下底面 h为锥体高 面积，h 为台体高
S为底面面积， h为柱体高
【思路点拨】 (1)证明△AED为直 角三角形，然后求侧棱长；(2)分别求出 侧面积与底面积．
【解】 (1)设正三棱柱 ABC－A1B1C1 的侧棱长
为 x.
∵△ABC 是正三角形，
∴AE⊥BC.
又底面 ABC⊥侧面 BB1C1C，且交线为 BC，
∴AE⊥侧面 BB1C1C， 在 Rt△AED 中，由 AE＝DE，得
②圆台：如果圆台的上、下底面半径分别为
r′、r，母线长为l，则S圆台侧＝ πl(r′＋． r)
注：表面积＝侧面积＋底面积．
把正三棱台侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？ 侧面积怎么求？（类比梯形的面积）
h'
h'
S正
棱
台
侧＝
1（c 2
c'
)h'
棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
侧面展开
h'
一个半径和高都等于R的圆柱，挖去一个 以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥 后，所得的几何体的体积与一个半径为R的 半球的体积相等。
R
R O
R
R O
1 2
V球
=
πR2 R - 1 πR2 R 3
= 2 πR3 3
V球
=
4 3
πR3
R
R O
R
R O
知识点三、球的表面积和体积
（
第一步：分割
球面被分割成n个网格， 表面积分别为：
P
Q
祖暅原理
二：柱体的体积
定理1： 柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它
的底面积 s 和高 h 的积。
V柱体= sh
推论 ： 底面半径为r，高为h圆柱的体积是
V圆柱= r2h
三:锥体体积
例2 如图：三棱柱AD1C1-BDC,底面积为S,高为h.
： 问：（1）从A点出发棱柱能分割成几个三棱锥？
D1
C1
矩形
等腰三角形
等腰梯形
知识点一：柱、锥、台、球的表面积与侧面积 (1)柱体的侧面积
①直棱柱：设棱柱的高为h，底面多边形的周长为c， 则
S直棱柱侧＝ ch .（类比矩形的面积）
②圆柱：如果圆柱的底面半径为r，母线长为l，那么
S圆柱侧＝ 2πrl .（类比矩形的面积）
把直三棱柱侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？ 侧面积怎么求？
小结：1、抓住侧面展开图的形状，用好 相应的计算公式，注意逆向用公式；
2、圆台问题恢复成圆锥图形在圆 锥中解决圆台问题，注意相似比.
例：圆台的上、下底半径分别是10cm和 20cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是 1800，那么圆台的侧面积是多少？（结果 中保留π）
小结：1、弄清楚柱、锥、台的侧面展 开图的形状是关键；
几何体的体积小结
1．求空间几何体的体积除利用公式法外，还 常用分割法、补体法、转化法等，它们是解决一 些不规则几何体体积计算问题的常用方法．
2．计算柱体、锥体、台体的体积关键是根据 条件找出相应的底面面积和高，要充分利用多面体 的截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面 问题．
探究 球的体积：
把正三棱锥侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？ 侧面积怎么求？
h' h'
S正
棱
锥
侧＝
1 2
ch'
棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
正三棱锥的侧面展开图
h/ h/
侧面展开
h' h'
正五棱锥的侧面展开图
S表面积 S侧 S底
思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线
展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图 有什么关系？