第二讲 矩阵与线性方程组
第二章 2.3、2.4逆矩阵和线性方程组的矩阵解法(唐忠明版)
11
第二章 矩阵
§2.4 线性方程组的矩阵解法
a11 a12 … a1n
x1
b1
设A =
a21 a22 … a2n …………
,
x=
x2 …
, b=
b2 …
,
am1 am2 … amn
xn
bm
未知量
常数项
a11x1+a12x2+…+a1nxn = b1
x1 3x2 12x3 6x4 14
x1 3x2 6x3 4x4 6
x1
3x2
2 x3
4 x4
6
x1 3x2 5x3 2x4 3
24
第二章 矩阵
例4. 设线性方程组:
§2.4 线性方程组的矩阵解法
(x11(1)
(3) 当 = 3时, 方程组有无穷多解. 此时
1 1 1+
1 1 2 3
0
3
0 0 (3+ ) (1)(3+)
= 0 3 00
3 0
6 0
( 13)
1 1 2 3
1 0 1 1
0 1 1 2 (1) 0 1 1 2
00 0 0
00 0 0
例1. 设方阵 A,B,C 满足 ABC = E, 则必有（ ）
(A) ACB = E
(B) CBA = E
(C) BAC = E
(D) CAB = E
5
第二章 矩阵
§2.2 可逆矩阵
例2. 设方阵A满足A2 A 2E = O,
高中数学知识点总结线性方程组与矩阵运算
高中数学知识点总结线性方程组与矩阵运算高中数学知识点总结：线性方程组与矩阵运算在高中数学学习中，线性方程组与矩阵运算是一个重要的章节。
本文将对这两个知识点进行详细总结，以帮助同学们更好地理解和掌握相关概念与方法。
一、线性方程组1. 定义与基本形式线性方程组是由若干个线性方程组成的方程组。
一般形式为：a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = b其中，a₁、a₂、...、aₙ称为系数，x₁、x₂、...、xₙ称为未知数，b为常数。
2. 解的存在与唯一性对于线性方程组来说，存在三种解的情况：（1）无解：若线性方程组的系数矩阵的秩r小于增广矩阵的秩s，则线性方程组无解。
（2）有唯一解：若线性方程组的系数矩阵的秩r等于增广矩阵的秩s，并且r=未知数的个数n，则线性方程组有唯一解。
（3）有无穷多解：若线性方程组的系数矩阵的秩r等于增广矩阵的秩s，但r<n，则线性方程组有无穷多解。
3. 解的求解方法（1）代入法：将一个方程的解代入到其他方程中，逐步求解出未知数。
（2）消元法：通过行变换等操作，将线性方程组转化为简化行阶梯形矩阵，从而求解出未知数。
二、矩阵运算1. 矩阵的定义与基本性质矩阵是一个按照行和列排列起来的数的矩形阵列。
常用的表示方法为：A=(aij)ₙₓₙ其中，A表示矩阵，aij表示矩阵中第i行、第j列的元素，ₙ表示矩阵的行数，ₙ表示矩阵的列数。
矩阵的基本性质包括加法、数乘、乘法等。
其中，加法满足交换律和结合律，数乘和乘法满足分配律。
2. 矩阵的基本运算（1）矩阵的加法与减法：两个矩阵进行加法或减法时，需要行列相同，将对应位置的元素进行相加或相减。
（2）矩阵的数乘：一个矩阵与一个数相乘时，将矩阵中的每个元素与该数相乘。
（3）矩阵的乘法：两个矩阵Aₙₓₙ和Bₙₓₙ相乘的结果为一个矩阵Cₙₓₙ。
Cₙₓₙ的第i行第j列的元素cij等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。
3. 矩阵的转置与逆矩阵（1）矩阵的转置：将矩阵的行与列进行互换得到的新矩阵称为原矩阵的转置矩阵。
线性方程组与矩阵
线性方程组与矩阵线性方程组和矩阵是线性代数中重要的概念和工具，在数学和工程领域都有广泛的应用。
本文将介绍线性方程组和矩阵的基本定义、解法和应用。
一、线性方程组线性方程组是由一组线性方程构成的方程组，其中每个方程都是由未知数的线性项和常数项构成。
一般地，一个包含n个未知数的线性方程组可以表示为：a11*x1 + a12*x2 + a13*x3 + ... + a1n*xn = b1a21*x1 + a22*x2 + a23*x3 + ... + a2n*xn = b2a31*x1 + a32*x2 + a33*x3 + ... + a3n*xn = b3...an1*x1 + an2*x2 + an3*x3 + ... + ann*xn = bn其中，a11, a12, ..., ann是系数矩阵的元素，x1, x2, ..., xn是未知数，b1, b2, ..., bn是常数项。
这个方程组可以用矩阵和向量的形式更简洁地表示为Ax=b，其中A是系数矩阵，x和b分别是未知数和常数项的向量。
二、矩阵矩阵是线性代数中的基本工具，是由m行n列的数按一定规律排列的数表。
一个常见的表示形式是使用方括号将元素括起来，并按行或列排列。
例如：A = [a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33]其中, A是一个3行3列的矩阵，a11、a12等是矩阵的元素。
矩阵可以进行加法、乘法和数乘等运算，符合相应的运算规则和性质。
矩阵的乘法特别有用，可以用于表示线性方程组的系数矩阵与未知数向量之间的关系。
三、线性方程组的解法解线性方程组的方法有很多，包括高斯消元法、LU分解法、矩阵逆法等。
其中高斯消元法是最常用的解法，可以将线性方程组化为一个等价的三角形式方程组，从而求得解。
高斯消元法的基本步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式，即将系数矩阵A和常数项向量b合并为一个矩阵[B]。
2. 利用初等行变换将系数矩阵化为上三角矩阵。
线性方程组与矩阵运算
线性方程组与矩阵运算线性方程组与矩阵运算是线性代数中重要的基础概念和计算工具。
线性方程组的解等于矩阵运算结果的应用在各个领域中具有广泛且重要的应用，如经济学、物理学等。
本文将介绍线性方程组与矩阵运算的概念、性质以及计算方法。
一、线性方程组在研究线性方程组之前，我们先来了解线性方程的概念。
一个线性方程可以写成形如a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = b的形式，其中x₁,x₂, ..., xₙ是未知数，a₁, a₂, ..., aₙ是已知系数，b是常数项。
一个线性方程组是由若干个线性方程组成的集合，形如：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中m表示方程的个数，n表示未知数的个数。
解一个线性方程组是指找到一组数x₁, x₂, ..., xₙ使得所有的方程都满足。
二、矩阵运算矩阵运算是在线性方程组求解中的重要工具。
一个矩阵是一个由数按照一定规则排列而成的矩形阵列。
在线性方程组中，系数矩阵A是由方程组的所有系数按顺序排列形成的矩阵，常数项矩阵B是由方程组的所有常数项按顺序排列形成的矩阵，未知数矩阵X是由方程组的所有未知数按顺序排列形成的矩阵。
(此处应有矩阵的排版示例)通过矩阵的运算，我们可以将线性方程组表示为：AX = B其中A是系数矩阵，X是未知数矩阵，B是常数项矩阵。
为了求解线性方程组，我们可以通过矩阵的基本运算，如乘法、加法和求逆来计算。
三、矩阵运算的性质矩阵运算具有一些重要的性质，这些性质在线性方程组的求解中起着重要的作用。
1. 加法的交换律和结合律对于任意的矩阵A、B和C，满足以下等式：A +B = B + A(A + B) + C = A + (B + C)2. 数乘的结合律和分配律对于任意的矩阵A和数k，满足以下等式：k(A + B) = kA + kB(k + l)A = kA + lA3. 矩阵乘法的结合律对于任意的矩阵A、B和C，满足以下等式：(AB)C = A(BC)四、线性方程组的求解方法求解线性方程组可以通过矩阵运算中的逆矩阵来实现。
第2章 线性方程组与矩阵初等变换-郑成勇主编教材配套课件
11
−2
r3
−3r2
0
−10
11
−2
11 3
0
11
r2 r3
−3r1 −11r1
0
−30
33
0
0
0 0 6
最后一个矩阵所对应的线性方程组为
0
x1 + 3x2 x1 −10x2
− 3x3 = 1 +11x3 = −2
.
0x1 + 0x2 + 0x3 = 6
方程组最后一个方程显然矛盾，故方程组无解.
矩阵总可以经过若干次初等变换化为它标准形 F
=
Er O
O
O
mn
，
04 其中 r 为行阶梯形矩阵中非零行的行数.
OPTION
Linear Algebra
2.3 矩阵初等行变换解线性方程组
第2章 线性方程组与矩阵初等变换 14
定义2.1 矩阵的秩 将一个矩阵 A化成行阶梯阵后, 其非零行的行数称为矩阵的
a21
a22
阵
am1 am2
a1n
a2n
amn
x1
未 知
x
=
x2
变
量
xn
b1
常 数 列
b
=
b2
bm
Ax = b
a11 a12
增广矩阵
B =[A
b]
=
a21
a22
am1 am2
a1n b1
a2n
b2
amn bm
A = [a1, a2 , , an ] 其中 ai ( i = 1, 2, , n ) 为矩阵 A 的第i 列，则按分块矩阵乘法运算，
线性方程组与矩阵知识点
线性方程组与矩阵知识点线性方程组和矩阵是线性代数中的重要概念和工具，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
本文将介绍线性方程组和矩阵的基本概念、性质以及解题方法。
一、线性方程组1. 定义线性方程组由多个线性方程组成，形式为：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ和b₁, b₂, ..., bₙ是已知的常数，x₁, x₂, ..., xₙ是未知数。
这个方程组可以用矩阵形式表示为AX = B，其中A是一个m×n的矩阵，X是一个n×1的列向量，B是一个m×1的列向量。
2. 系数矩阵和增广矩阵在线性方程组中，常常用系数矩阵和增广矩阵来表示。
系数矩阵A是由线性方程组中各个方程的系数组成的矩阵，形式为：A = [a₁₁ a₁₂ ... a₁ₙa₂₁ a₂₂ ... a₂ₙ...aₙ₁ aₙ₂ ... aₙₙ]增广矩阵是在系数矩阵的右边增加一列，该列是线性方程组的等号右边，形式为：[A | B] = [a₁₁ a₁₂ ... a₁ₙ | b₁a₂₁ a₂₂ ... a₂ₙ | b₂...aₙ₁ aₙ₂ ... aₙₙ | bₙ]3. 解的存在性与唯一性解的存在性与唯一性是研究线性方程组时需要关注的重要问题。
对于一个线性方程组，它的解有以下几种可能：a) 无解：线性方程组不满足任何条件，无法找到一个符合所有方程的解；b) 唯一解：线性方程组满足一定条件，存在且只存在一个符合所有方程的解；c) 无穷解：线性方程组满足一定条件，存在不止一个符合所有方程的解。
解的存在性与唯一性可以通过高斯消元法、矩阵的秩以及行列式等方法来判断与求解。
二、矩阵1. 定义和基本运算矩阵是按照矩形排列的数的集合，是线性方程组理论的基础，也是线性代数的重要工具。
第2章_矩阵的初等变换与线性方程组
解
3 − 7 r2 + r1 1 4 r3 − 3r1 r1 ↔ r3 A → − 1 − 3 − 17 4 → 3 2 6 9
3 − 7 3 − 7 1 4 1 4 r3 +10r2 0 1 − 14 − 3 → 0 1 − 14 − 3 0 0 − 143 0 0 − 10 − 3 30
= = = =
B
3 − 7 1 4 即为行阶梯形矩阵。 B = 0 1 − 14 − 3 即为行阶梯形矩阵。 0 0 − 143 0
特点： 特点： (1) 可划出一条阶梯线，线的下方全为零； 可划出一条阶梯线，线的下方全为零； (2) 每个台阶只有一行，阶梯数即是非零行 每个台阶只有一行， 的行数， 的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元 素为非零元，即非零行的非零首元。 素为非零元，即非零行的非零首元。
1 0 0 5 称为行最简形矩阵 行最简形矩阵。 → 0 1 0 − 3 = C 称为行最简形矩阵。 0 0 1 0
r2 + 14 r3 r1 − 59 r3
在具备行阶梯形矩阵特点的同时， 在具备行阶梯形矩阵特点的同时，非零行的 特点： 特点： 非零首元为1，且其所在列的其他元素全为 。 非零首元为 ，且其所在列的其他元素全为0。
将方程组的消元过程与增广矩阵的变换过程 消元过程与增广矩阵的 解 将方程组的消元过程与增广矩阵的变换过程 进行对比。 进行对比。
x1 + 2 x 2 + 3 x 3 2 x1 − x2 + 2 x3 x + 3x 2 1 = −7 = −8 =7
1 2 3 − 7 2 − 1 2 − 8 1 3 0 7
线性代数-线性方程组与矩阵PPT课件
k 1
k 1
k 1
s
aik bk1
c1
j
s
aikbk 2
c2
j
s
aikbkp
c
pj
p
s
aikbktctj .
k1
k1
k1
t1 k 1
ps
同理可以验证矩阵 Ams (BspC pn ) 中 (i, j) 元素也是 aikbktctj ，所以矩阵乘法的结合律成立. t1 k 1
aij bij
.
mn
2. 矩阵的数乘
第1章 线性方程组与矩阵 12
定义4 用一个数 k 乘矩阵 A (aij )mn 的所有元素得到的矩阵 kaij mn 称为矩阵的数乘，记为 kA 或者 Ak ，
即
kA Ak kaij mn .
矩阵的数乘运算满足如下的运算规律： 设 k,l 是任意两个数， A, B 是任意两个 m n 矩阵，
21 21 0 2
21 21 01
2 0 21 0 1
4 4
3 0
2
2
.
三、矩阵的乘法
例3
求矩阵
A
1 2
1 2
与
B
2 6
1 3
的乘积
AB
及
BA
.
解
AB
1 2
1 2
2
6
1 3
8 16
4 8
；
BA
2 6
1 1
3
2
1 2
0 0
0 0
.
第1章 线性方程组与矩阵 16
3
A Omn Omn A A .
1. 矩阵的加法
第1章 线性方程组与矩阵 11
方程组与矩阵的关系与应用
方程组与矩阵的关系与应用方程组与矩阵是数学中两个重要的概念，它们之间存在着紧密的关系，并且在各个领域有着广泛的应用。
本文将介绍方程组与矩阵的基本概念，讨论它们之间的关系，并探讨矩阵在方程组求解中的应用。
一、方程组与矩阵的基本概念方程组是由多个方程组成的集合，其中每个方程都包含一个或多个未知数。
方程组的解是使得方程组中的所有方程都成立的未知数的值。
方程组可以用文字表示，也可以用数学符号表示。
矩阵是由元素按照行和列排列成的矩形阵列，其中每个元素可以是数字、代数量或函数。
矩阵的大小由它的行数和列数决定。
矩阵中的元素可以用小写字母表示，例如A、B、C等。
二、方程组与矩阵的关系方程组与矩阵之间存在着紧密的关系。
具体来说，我们可以将一个方程组表示为矩阵的形式。
假设有一个包含n个未知数和m个方程的方程组，我们可以用一个n x m的矩阵表示该方程组。
矩阵的第i行第j列的元素就是方程组中第i个方程中第j个未知数的系数。
通过将方程组转化为矩阵的形式，我们可以利用矩阵的性质和运算来解方程组。
例如，可以使用初等行变换将矩阵转化为简化行阶梯形，从而得到方程组的解。
三、矩阵在方程组求解中的应用矩阵在方程组求解中有着广泛的应用，下面我们将介绍几种常见的应用。
1. 线性方程组的求解：线性方程组是由线性方程组成的方程组。
通过将线性方程组表示为矩阵的形式，我们可以使用矩阵的方法来求解。
具体来说，可以使用高斯消元法或者矩阵的逆来求解线性方程组。
2. 最小二乘拟合：在某些情况下，我们无法准确求解一个方程组，但是我们可以用最小二乘法来拟合方程组的解。
最小二乘法是通过使得方程组的残差平方和最小来求解方程组，这可以通过矩阵的运算来实现。
3. 差分方程的求解：差分方程是描述离散系统演化的方程。
通过将差分方程表示为矩阵的形式，我们可以利用矩阵的特征值和特征向量来求解差分方程。
4. 优化问题的求解：在某些情况下，我们需要找到一个使得某个函数达到最大或最小值的变量值。
矩阵的秩及线性方程组的解.ppt
一些重要的结论:
1. 零 矩 阵 的 秩 等 于0; 2. 若 矩 阵A中 有 某 个s阶 子 式 不 为0,则R( A) s; 3. 若 矩 阵A中 所 有 的t 阶 子 式 为0,则R( A) t;
4. R( A) R( AT ) (因 为AT的 子 式 与A的 子 式 对 应 相 等);
5. 若A为m n矩 阵,则0 R( A) min{m,n }
6. n阶 方 阵A可 逆 的 充 分 必 要 条 件R是( A) n. 当 A 0时, R( A) n, 称A为 满 秩 矩 阵, 也 称 为 非 奇 异 阵,否 则 称 为降 秩 矩 阵(不 可 逆 矩 阵, 或 奇 异 矩 阵).
一
个m
n矩
阵A的k阶
子
式
共
有C
mk C
k n
个.
定 义 2 设 在 矩 阵A中 有 一 个 不 等 于0的r阶 子 式D, 且 所 有 的r 1阶 子 式(如 果 存 在 的 话)全 等 于0,那 么D称 为 矩 阵A的 最 高 阶 非 零 子 式 , 数r称 为 矩 阵A的 秩, 记 作R( A) , 或 记 作r( A).
2 0 0 0
2 2 0 0
1 1 0 0
1 0
1 0
故
R(B) 3 R(A) 2
从矩阵B的行阶梯形矩阵可知，本例中的A与b所对应 的线性方程组Ax=b是无解的，这是因为行阶梯形矩阵 的第三行表示矛盾方程0=1。
三、线性方程组的解
n个 未 知 数m个 方 程 的 非 齐 次 线 性程方组
a11x1 a12x2 a1n xn b1
再 求A的 一 个 最 高 阶 非 零 子.因式R( A) 3, 知 A的
最
(2)矩阵的秩与线性方程组幻灯片课件
设A
2 2 3
4 1 3
2 0 3
6 2 3
436， 求r( A).
解
1 2 1 0 2
~A
0
0 0
0 3 9
0 6 2
2 6
2 3
1 2
1 2 1 0 2
~0 3
0 0
9 0
2 2 1
6 0
3 6
22
1 2 1 0 2
~ 0 3
0 0
9 0
2 2 1
是否有非零解?
例 1 解方程组
x1 2 x1
2x2 3x3 x2 x3
0 0
x1
2x2
2x3
0
1
A:
0 0
0 1 0
0
0 1
x1 0
得
x2 0
x3 0
唯一零解
x1 x2 x3 x4 0
例2
解方程组
2 x1 2 x2
x4 0 .
x1 x2 x3 2 x4 0
A
1 2 1
1 2 1
1 0 1
121
1
~
0 0
1 0 0
0 1 0
1 2
3
2
0
即
x1 x3
x2
1 2 1 2
x4 x4
x1 , x3称为基本未知量， x2 , x4称为自由未知量.
基本未知量个数 : r( A ) r
令x2 k1 , x4 k2 自由未知量个数: n r
x1
表明初等变换不改变矩阵的秩. 推论 设A是m n矩阵，P是m阶可逆阵， Q是n阶可逆阵，则 r( PA ) r( AQ ) r( PAQ ) r( A )
线性方程组与矩阵的概念
称为上述方程 组的系数矩阵
称为上述方程 组的增广矩阵
方程组与其增广矩阵一 一对应
5
例1 解线性方程组
x1 x2 x3 1 x2 x3 2 x1 x2 2 x3 1
代替：
1 1 1 1 0 1 1 2 1 1 2 1
r3 － r1
1行—2行
1 2 -1 1 r1 r3 0 -1 0 2 0 0 1 2
1 2 0 3 0 -1 0 2 0 0 1 2
r1 Байду номын сангаасr2
1 0 0 7 -1 r 2 0 -1 0 2 0 0 1 2
1 0 0 7 0 1 0 - 2 0 0 1 2
若常数项b1 , b2 ,, bn不全为零, 则称此方程组为非
齐次线性方程组; 若常数项 b1 , b2 ,, bn 全为零,
此时称方程组为齐次线性方程组.
2
2.1.2 线性方程组的矩阵表示
a11 a12 = 1, 2, …, m ;j = 1, a21 a22 2, …, n)有次序地排成 m 行 a (横排) n 列(竖排)的数表 m1 am 2
x1 2 x2 3 x3 x4 1, 3 x1 x2 5 x3 3 x4 2, 2 x x 2 x 2 x 3. 1 2 3 4
解 对增广矩阵B进行初等变换，
1 2 3 1 1 r 2r 1 2 B 3 1 5 3 2 r r 2 1 2 2 3 3 1
其中s, t为任意常数 .
最后一个矩阵对应的方程组为
x1 7
x2 -2
第二讲：矩阵初等变换与线性方程组
3．同解方程组
如果两个线性方程组有相同的解集合，则称它们 是同解的．
4. 方程组的同解变换 例 解线性方程组
2x2 x3 1 x1 x2 x3 0
2x1 x2 x3 2
对此线性方程组,可做如下三种消元变换: (1) 互换两个方程的位置; (2) 把某一个方程的两边同乘以一个非零常数c; (3) 将某一个方程加上另一个方程的k倍.
进而 有
m,n Z , m P, n
m 0 m P.
n
n
而任意一个有理数可表成两个整数的商，
Q P.
练习 判断数集 P1, P2 是否为数域？为什么? P1 {2n 1 | n Z },
P2 {n 2 | n Z } Z( 2).
变换ri 2rj不可写成2rj ri； 2ri 3rj无此变换；
1 0 练习：对矩阵 1 1
2 1
1 0 2 r2 +r1
解：
1
1
1
r3 -2r1
2 1 1
2
1
作初等行变换。
1
1 0 2
00
1 1
3-3
r3 -r2
5 +3x4
0
(2)
2x3 4x4 7
x22 x32 13
x1 x2 x3 0
2x - y 3 ex y 3z 5
4
(3)(4)为非线性方程组。
1. 线性方程组与矩阵(P105)
线性方程组的一般形式为
线性方程组与矩阵的关系与应用
线性方程组与矩阵的关系与应用线性方程组和矩阵是数学中非常重要的两个概念，它们之间有着密切的关系，并且在各种领域中都得到了广泛的应用。
本文将探讨线性方程组与矩阵的关系，并介绍一些矩阵在实际问题中的应用。
一、线性方程组的定义和解法线性方程组是由一组线性方程组成的方程集合。
一般形式下，线性方程组可以表示为：\[\begin{cases}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1 \\a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2 \\\ldots \\a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n = b_m \\\ldots \\a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n = b_m \\\end{cases}\]在解线性方程组时，我们可以通过消元法、代入法、矩阵法等多种方法来求解。
其中，矩阵法是一种较为高效和简便的方法，它与矩阵的有机结合使得线性方程组的求解更加便捷。
二、矩阵的定义和性质矩阵是由一组数按一定规则排列成的一个矩形阵列。
通常用大写字母表示矩阵，如A，而矩阵的元素用小写字母表示，如a、b。
矩阵可以表示为：\[A = [a_{ij}]_{m \times n}\]其中，m为矩阵的行数，n为矩阵的列数。
矩阵有许多重要的性质，其中最重要的是矩阵的加法和数乘运算。
对于两个矩阵A和B，它们的加法定义如下：\[A +B = [a_{ij}]_{m \times n} + [b_{ij}]_{m \times n} = [a_{ij} +b_{ij}]_{m \times n}\]数乘运算定义如下：\[kA = k[a_{ij}]_{m \times n} = [ka_{ij}]_{m \times n}\]其中，k为一个常数。
矩阵与线性方程组
矩阵与线性方程组矩阵和线性方程组是线性代数中的两个重要概念，它们之间有着密切的联系和应用。
本文将从矩阵的定义和性质入手，探讨矩阵与线性方程组之间的关系，并介绍一些解线性方程组的方法。
一、矩阵的定义和性质矩阵是一个由m行n列元素组成的矩形数组。
每个元素可以是实数或复数。
一个m行n列的矩阵可以记作A=(a_ij)，其中i表示行号，j表示列号，a_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
矩阵有许多重要的性质。
首先，两个矩阵可以相加，只要它们的行数和列数相同。
具体而言，如果A=(a_ij)和B=(b_ij)是两个m行n列的矩阵，那么它们的和C=(c_ij)定义为C=A+B，其中c_ij=a_ij+b_ij。
其次，矩阵还可以与一个数相乘，这称为数乘。
如果k是一个数，A=(a_ij)是一个m行n列的矩阵，那么kA=(ka_ij)定义为kA。
此外，矩阵还可以相乘，这称为矩阵乘法。
如果A=(a_ij)是一个m行n列的矩阵，B=(b_ij)是一个n行p列的矩阵，那么它们的乘积C=(c_ij)定义为C=AB，其中c_ij=a_i1b_1j+a_i2b_2j+...+a_inb_nj。
二、矩阵与线性方程组的关系线性方程组是一组线性方程的集合。
它可以用矩阵和向量的形式表示。
具体而言，考虑一个线性方程组：a_11x_1+a_12x_2+...+a_1nx_n=b_1a_21x_1+a_22x_2+...+a_2nx_n=b_2...a_m1x_1+a_m2x_2+...+a_mnx_n=b_m其中a_ij和b_i是已知的常数，x_1,x_2,...,x_n是未知数。
我们可以将其表示为矩阵和向量的形式：AX=B其中A是一个m行n列的矩阵，X是一个n维列向量，B是一个m维列向量。
这样，线性方程组的解可以表示为X=A^-1B，其中A^-1是A的逆矩阵。
三、解线性方程组的方法解线性方程组的方法有很多种，下面介绍两种常用的方法。
1. 列主元高斯消元法列主元高斯消元法是一种基于矩阵的行变换的方法。
线性代数第二章矩阵与线性方程组
线性方程组与增广矩阵之间存在一一对应的关系.
8
例：线性方程组
3xx11
2x2 3x3 x4 x2 5x3 3x4
1 2
2 x1 x2 2 x3 2 x4 3
该线性方程组的系数矩阵为
1
A 3
2
2 3 1
1 5 3
1
(ⅱ) ( AB ) = ( A )B = A( B ), (其中为常数) ;
(ⅲ) A( B + C ) = AB + AC, (B+C)A=BA+CA.
(4) 对于单位矩阵E, 容易验证
E m Amn Amn , Amn E n Amn .
或简记为 EA = AE = A.
2 1
42
0
0
0
0
注意 (1) 矩阵的乘法不满足交换律, 即AB≠BA, 如例4. (2) 若 AB = 0, 不能推出 A = 0 或 B = 0 的结论,如例4. (3) 矩阵的乘法满足下列结合律及分配律:
18
(ⅰ) ( AB ) C = A ( BC ) ；
几种特殊的矩阵
(1) 元素是实数的矩阵称为实矩阵 . (2) 元素是复数的矩阵称为复矩阵.
(3) 行数和列数都等于n 的矩阵称为 n 阶矩阵或 n 阶方阵 .
n 阶矩阵 A也记作An .
(4) 只有一行的矩阵 A = (a1 ， a2 ， … ， an) 称为行矩阵,
又称行向量 . (5) 只有一列的矩阵
2
2
增广矩阵为
1 B 3
2 1
3 1 1 5 3 2
2 1 2 2 3
矩阵与线性方程组的基本概念与求解方法
矩阵与线性方程组的基本概念与求解方法矩阵与线性方程组是线性代数中的重要概念，它们在数学、物理、计算机科学等众多领域中都有广泛的应用。
本文将介绍矩阵的基本概念、线性方程组的表示和求解方法，并对其应用进行简要讨论。
一、矩阵的基本概念矩阵是由数个数按照矩形排列而成的矩形数组。
通常用大写字母表示矩阵，例如A、A、A。
一个A×A的矩阵有A行A列。
矩阵中的每个数叫作元素，元素常用小写字母表示，例如A11、A12、A21。
元素 aij 表示矩阵中第A行第A列的元素。
二、线性方程组的表示线性方程组是由多个线性方程联立而成的方程组。
一般形式为：A11A1 + A12A2 + ⋯ + A1AAA = A1A21A1 + A22A2 + ⋯ + A2AAA = A2⋮AA1A1 + AA2A2 + ⋯ + AAAAA = AA其中，A1、A2、⋯、AA是未知数，A1、A2、⋯、AA是已知常数，A11、A12、⋯、AAA是已知系数。
我们可以使用矩阵的形式来表示线性方程组，将未知数和常数分别组成矩阵A和A，并将系数矩阵A表示为：[A11 A12 ⋯A1A ][A21 A22 ⋯A2A ][⋮⋮⋱⋮ ][AA1 AA2 ⋯AAA ]则线性方程组可以表述为AA = A。
三、求解线性方程组的方法1. 列主元消去法列主元消去法是一种利用矩阵的行变换来求解线性方程组的方法。
基本步骤如下：（1）选取系数矩阵的第一行的绝对值最大的元素所在的列，将该列的元素作为主元所在列。
（2）通过行变换，将主元所在列的其他元素变为零。
（3）选取剩余未使用的行中，同样以列主元消去法进行操作，直到得到一个上三角矩阵。
（4）通过回代法求解得到线性方程组的解。
2. 克拉默法则克拉默法则是一种通过行列式的计算来求解线性方程组的方法。
该法则适用于方程个数与未知数个数相等的线性方程组。
基本步骤如下：（1）由系数矩阵的行列式计算出其值。
（2）分别用已知常数替换掉系数矩阵的第A列，并计算出新的系数矩阵的行列式值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
矩阵与线性方程组
从历史上看, 矩阵正式作为数学中
的研究对象出现, 是在行列式的研究发
展起来之后. 英国数学家Arthur Cayley
(1821-1895)被公认为矩阵论的奠基人,
他提到矩阵概念“或是从行列式的概念
而来, 或是作为一个表达方程组的方便
的方法而来的”(莫里斯·克莱因《古今
数学思想》第33章).
矩阵在数学和物理学等其他科学分A. Cayley
支中，都有着广泛而重要的应用.
2.1 矩阵(matrix)与向量的乘积
例：
矩阵与向量的乘积等于矩阵的列向量的线性组合.
上述方程组
也可表示为
这诱导了矩阵乘向量的另一种定义：设则
通过的上述两种定义，我们对线性方程组可有两种新理解.
例：
理解一：求向量的线性组合，使之等于
理解二：求向量使之与系数矩阵行向量
的点积分别为
例：将平面上所有向量绕原点旋转角度则点在此旋
转变换下得像为
这可表示为
注：这节涉及到的矩阵都是行数与列数相同的矩阵，即方阵.
线性方程组解的情形比数量方程要复杂.
若对任意向量有唯一解，则是可逆的(invertible).
例：
任意给定方程组有唯一解
故系数矩阵是可逆矩阵.
对线性方程组若可逆，则可由常数项求得
矩阵称为的逆.
设若可逆，
则的全部线性组合是整个维空间.
此时写成的线性组合只有一种可能：
这时我们称向量线性无关(linearly independent). 相应
只有零解.
否则可以写成的多种线性组合.
如
这种情形下，称矩阵是奇异的(singular)，向量
是线性相关的(linearly dependent).
即存在不全为的数使
例（循环差分矩阵）
给定
若则为任意实数.（无穷多解）
若则方程组无解.
从几何上看，线性相关,
它们的全部线性组合是平面
总结：
若方阵的列向量线性无关，则可逆，只有零解.
若方阵的列向量线性相关，则奇异，有无穷多解.
给定一个线性方程组 ( 个方程, 个未知量)
(1)它可以写称矩阵形式
(2)从行(row)的角度看，每行代表一条直线，方程组的解为两直线的
交点.
方程组的行图(row picture)
(3)从列(column)的角度看，方程组可改写为
解方程组求关于系数矩阵列向量和的
线性组合.
可以看出
所以方程组的解为
方程组的列图(column picture)
(4)系数矩阵是可逆的.
考虑 , 求得（唯一解）.
一般地,设为矩阵,
方程组的每行表示一条直线或一张平面
或一张超平面
解方程组考察这些直线或平面或超平面是否有交点.
求满足
方程组对任意有唯一解可逆
此时（可表示为的列向量的线性组合）.
例
矩阵形式
行图
每行方程确定三维空间 中的一个平面,点 是三个平面的交点.
列图方程组
三个列向量
不共面，其线性组合可产生任意
三维列向量.
可逆：
有唯一解：
例：
系数矩阵的三个列向量与向量点积都为但常
数项故常数项不能表示为的列向
量的线性组合. 所以方程组无解.。