麦克斯韦速度分布律
2.4麦克斯韦速度分布
•因为f（vx ，vy，vz)= • f(vx)dvxdvx· f(vy)dvy· f(vz)dvz •麦克斯韦速度分布有
m f (vi )dv i 2kT
1/ 2
mv i2 exp 2kT dv i
其中Hale Waihona Puke 可分别代表x、y、z。0
x
误差函数erf(x)有表可查
• [例2.2] 试求在标准状态下氮气分子速 度的x分量小于800m· s-1的分子数占全部 分子数的百分比.
• [解] 首先求出273 K时氮气分子（摩尔 质量Mm=0.028 kg）的最概然速率 .
2 RT vp 402m s 1 Mm
vx 800 ux ~2 vp 402
• ●欲求分子速度的x分量在vx 到vx+dvx内而vy、、 vz任意的分子数dN(vx), • 这就是速度空间中垂直于x 轴的无穷大薄平板中 的代表点数，显然可对vy、vz积分后求出：
dN(v x ) Nf (v x )dvx
f (v y )dvy
f (v z )dvz
dN（vy）/N = f(vy)dvy • dN（vz）/N = f(vz)dvz 分别表示y及z方向速度分量的概率分布函 数。 ●根据处于平衡态的气体的分子混沌性 假设，分子速度没有择优取向，故 f（vx）、f（vy）、f（vz）应具有相同形 式。
麦克斯韦速率分布函数的物理意义
麦克斯韦速度分布律：在某一时刻，某一特定分子的速度大小是不可预知的，且运动方向也是随机的。
但在一定的宏观条件下，对大量气体分子而言，它们的速度分布却遵从一定的统计规律。
麦克斯韦在1859年用概率论证明了在平衡态下，理想气体分子的速度分布是有规律的，这个规律称为麦克斯韦速率分布律，并给出了它的分布函数表达式。
定义：在平衡态下，理想气体分子的速度分布是有规律的，这个规律称为麦克斯韦速度分布律。
如果不考虑分子的速度方向，只考虑速度的大小，即速率分布，则可称为麦克斯韦速率分布律。
麦克斯韦速率分布律是一个描述一定温度下微观粒子运动速率的概率分布，在物理学和化学中有应用。
最常见的应用是在统计热力学的领域。
任何（宏观）物理系统的温度都是组成该系统的分子和原子的运动的结果。
这些粒子有一个不同速度的范围，而任何单个粒子的速度都因与其它粒子的碰撞而不断变化。
然而，对于大量粒子来说，如果系统处于或接近处于平衡，处于一个特定的速度范围的粒子所占的比例却几乎不变。
气体中个别分子的速度具有怎样的数值和方向完全是偶然的，但就大量分子的整体来看，在一定的条件下，气体分子的速度分布也遵从一定的统计规律。
这个规律也叫麦克斯韦速率分布律。
历史：1859年，J.C.麦克斯韦首先获得气体分子速度的分布规律，尔后，又为L.玻耳兹曼由碰撞理论严格导出。
因此，它也以詹姆斯.麦克斯韦和路德维希.玻尔兹曼命名。
处于平衡状态下的理想气体分子以不同的速度运动，由于碰撞，每个分子的速度都不断地改变，使分子具有各种速度。
因为分子数目很大，分子速度的大小和方向是无规的，所以无法知道具有确定速度υ的分子数是多少,但可知道速度在υ1与υ2之间的分子数是多少。
麦克斯韦首先得到，在平衡状态下，气体分子间相互作用可以忽略时,分布在任一速率区间υ～υ+dυ内的分子数与总分子数的比率。
(完整版)麦克斯韦速率分布律的推导与验证
麦克斯韦速度分布律的推导与实验验证摘要：本文对麦克斯韦速度分布律的内容及其历史来历做了简略概述，重点是用初等方法 推导了麦克斯韦速度分布律，同时简单地描述了一下它的实验验证。
关键词：速度分布函数，实验验证。
一. 内容1麦克斯韦速度分布律的内容当气体处于平衡态时，气体分子的速度在 v~v dv 间隔内，及分子速度分量在V x ~ V x dV x , V y ~ V y dV y , J dV z 间隔内的分子数dN(v)占总分子数 N的比率为：其中m 为分子的质量，T 为气体温度，k 为波尔兹曼常数，-m(v 2 v ： v ；) - mv 22 2为气体分子平动能。
dN °)表示速度矢量的端点在速度体元d 内的分子数占总 N 分子数的比率，换言之，一个分子取得 v~v dv 间隔内速度的几率。
2、分子速度分布函数3m 2 m& V： v Z)/ 2kT ( )2e y2 kTf (v )的物理意义是：分子速度在 v 附近，单位时间间隔内的分子数占总分 子数的比率。
3、速度分量分布函数3、麦克斯韦速率分布律dN ( v)m(v X v y v Z )/ 2kTdv x dV y dv Z ,dN(v) NdydV y dV z=( Nd*2 kTdN(V y )NdV y(2 kTdN(V z ) ,m ,(1m 7mv X /2kT )2e xf (VX ) f( V y )fz1 x 2mv Z /2kT)e詁mv y /2kT)e热学研究（论文）将以V x ，V y ,V z 为轴的笛氏坐标进行坐标变换，变为球坐标V,,2v sin d d dv4、分子速率分布函数3i m ,2 ( )2e 2 kT物理意义：分子速率在v 附近，单位速率间隔内的几率。
二. 历史1859年4月，麦克斯韦偶然的读到克劳修斯关于平均自由路程的那篇论文， 很受鼓舞，重燃了他原来在土星卫环问题上运用概率理论的信念，认为可以 用所掌握的概率理论对动理论进行更全面的论证。
04麦克斯韦速率分布律
速率分布函数
速率分布函数的物理意义： 附近， 速率分布函数的物理意义：表示在速率 v 附近，单位 速率区间内分子出现的概率， 速率区间内分子出现的概率，或单位速率区间内分子 数占总分子数的百分比。 数占总分子数的百分比。
由于全部分子百分之百地分布在由0到 由于全部分子百分之百地分布在由 到∞的整个速率范 围内， 取v = 0, v → ∞, 则有 : 围内， 1 2 ∞ N dN 归一化条件
dNv m 2 −mv2 2kT 2 π =4 v dv e N π 2 kT
3 2
麦克斯韦速率分布函数
m π f (v) = 4 e π 2 kT
−m 2 v
2kT 2
v
6
讨论： 讨论： 1. f(v)~v曲线 曲线
v = 0时 f (v) = 0 v → ∞时 f (v) → 0
M
∆N1v1 + ∆N 2 v2 + L + ∆N N v N n ∆N ivi 平均速率： 平均速率：v = =∑ i =1 N N N vdN ∞ dN Q = f (v) dv ∴ v = ∫ vf (v)dv v = ∫1 0 N N 11
v = ∫ vf (v)dv = ∫0
利用积分公式 ∫
麦克斯韦速率分布率
1
气体中个别分子的速度具有怎样的数值和方向完 全是偶然的，但就大量分子的整体来看， 全是偶然的，但就大量分子的整体来看，在一定的条 件下，气体分子的速度分布也遵从一定的统计规律。 件下，气体分子的速度分布也遵从一定的统计规律。 这个规律也叫麦克斯韦速率分布律 麦克斯韦速率分布律。 这个规律也叫麦克斯韦速率分布律。
∆N N∆v
4. ∆v → dv 速率间隔很小， 速率间隔很小， 该区间内分子数为dN， 该区间内分子数为 ， 在该速率区间内分子的概率
7-(4-5)麦克斯韦速率分布
f (v)
T 1
T2 > T 1
T2
v
T > T2 , orT < T2 ? 1 1
vp1 = 2RT 1
vp1 vp2
2RT2
µ
vp2 =
µ
vp1 < vp2
T < T2 1
第六章 气体动理学理论 (2) 同温度下的不同种气体
f (v)
O2 , H2 ?
1
2RT
2
v
vp1 vp2
对于一定量的气体，在温度为T的平衡态下 的平衡态下， 对于一定量的气体，在温度为 的平衡态下，气体分子速率 出现在v附近 单位速率区间内的分子数dN 附近、 出现在 附近、单位速率区间内的分子数
说出下列各式的物理意义
第六章 气体动理学理论
(4)∫ f (v)dv= ∫
v1
v2
v2
v1
∆Nv1 →v2 dN dv = Ndv N
对于一定量的气体，在温度为 的平衡态下 的平衡态下， 对于一定量的气体，在温度为T的平衡态下，气体分子速率 占总分子数N的百分比 概率 概率)。 v1～v2区间内的分子数△N占总分子数 的百分比 (概率 。 占总分子数
(5)∫ Nf (v)dv = ∫
v1
v2
dN N = ∆Nv1→v2 N
对于一定量的气体，在温度为T的平衡态下 的平衡态下， 对于一定量的气体，在温度为 的平衡态下，气体分子速率 v1～v2区间内的分子数△N。 。
一、分子速率分布函数
速率分布： 速率分布：各种不同速率范围内的分子数占总分子数的 百分比为多大。 百分比为多大。
伽 耳 顿 板
第六章 气体动理学理论
麦克斯韦速率分布律
粒子速率分布实验曲线如下所示
结论：气体分子速率分布符合麦克斯韦分布率
理想气体状态方程
或
三个速率
麦克斯韦速率分布率
上节基本概念回顾
速率分布函数
温度越高，速率大的分子数越多
讨论：1、同一气体不同温度下速率分布比较
比较 的高低
讨论：2、同一温度下不同种气体速率分布比较
分子质量越小，速率大的分子数越多。
比较 的大小
--- 用于讨论分子碰撞
三种速率的使用场合
地球形成之初，大气中应有大量的氢、氦， 但很多H2分子和He原子的方均根速率超过了地球表面的逃逸速率(11.2km/s)，故现今地球大气中已没有氢和氦了。 N2和O2分子的方均根速率只有逃逸速率的1/25，故地球大气中有大量的氮气 (占大气质量的76%)和氧气(占大气质量的23%)。
气体分子速率的算术平均值。
(2)平均速率：
气体分子速率平方的平均值的平方根。
(3)方均根速率：
三种速率均与 成正比,与 成反比，但三者有一个确定的比例关系;三种速率使用于不同的场合。
三个速率的比较
vp --- 用于讨论速率分布
---用于计算分子的平均平动动能
把速率分成很多相等的间隔
+
o
统计出每个间隔内的分子数N
间隔内分子数与分子总数N之比
某 处单位速率间隔内分子数与总数之比
速率分布函数表达式 的意义
（1）速率分布函数 意义是v处单位速率间隔内的分子数占总 数的比值。
（2）如果分布函数 确定，则处于速率 内的分子数占总 数的比值为
例 伽尔顿板实验中, 设粒子总数为N，i为小槽的序号，Ni为落入第i个小槽的粒子数
2.4 麦克斯韦速度分布律
v x v x dv x 在三维速度空间中， y v y dv y 内这一条件，表示所指的是这 v v v dv z z z
样一些分子，它们的速度矢量的端点都在一定体积元：速度空间， 体积元—微分元 dV dvx dvy dvz 数出这微分元中代表点的数目 dN( v x v y v z )
问题的提出：计算速度分量（速率）为某一定值，介于某一给 定范围内的分子数，即v或vx（vy，vz）的某一 给定范围内的分子 数。 1、相对于vp的速度分量分布的约化形式
具体算vx在0~ vx范围内的分子数 速度分量vx在vx ~ vx+d vx范围内的分子数
速度分量的相对速率
vx 令x v x vp dv x dN v
dN ( v x , v y , v z ) N
f ( v x , v y , v z )dvx dv y dvz
f ( v x , v y , vz )
dN( v x , v y , v z ) Ndvx dvy dvz
（2.31）
dN (v x ) 表示分子处于 N
v x v x dvx
N f ( v x）dvx f（v y）dv y f（v z）dvz
f ( v x , v y , v z )dvx dv y dvz
概率相乘法则：同时或依次发生的，互不相关（或相互 统计独立）事件发生的概率等于各个事件概率之乘积。 §2.4.2 麦克斯韦速度分布（Maxwell velocity distribution）
用速度分量表达： m f ( vk ) e 2kT
m( vx2 v y2 ) 2 kT
dvx dv y
麦克斯韦速率分布定律
(4) 平均速率和方均根速率.
f ( )
解：（1）求 C :
C (0 ) (0 0 ) 0 ( 0 )
0
f ( )d 1 C
6
3 0
（2） N 0 ~ 0 / 4 N
0 / 4
0
5 f ( ) d N 32
0 df ( ) （3）最可几速率 0 p d p 2
6.5 麦克斯韦速率分布定律
气体中个别分子的速度大小和方向完全是偶然的 , 但 平衡态下，气体分子的速度分布遵从一定的统计规律 — — 麦克斯韦速度分布定律. 若不考虑分子速度的方向， 这个规律就成为麦克斯韦速率分布定律.
1859年, 麦克斯韦用概率论导出了气体分子速率分布 定律，后由玻尔兹曼使用经典统计力学理论导出. 1920年史特恩用分子束实验, 获得分子有着确定的速 度分布的信息, 但未能给出定量的结果. 1934年我国留学 生葛正权在伯克利首次获得此定律的精确实验验证. 此 成功经报界报道, 当时闻名欧美, 在很大程度上改变了外 国人眼中“中国留学生只会读书不能动手, 我们不欢迎” 的形象, 对当时欧美中国留学生有极大的影响和鼓舞.
f (v )
av ， (0 v v 0 ) 0 ， (v v 0 )
2
f (v )
v0 v 求： （1）常量 a 和υ0 的关系 0 （2）平均速率 v v0 （3）速率在 0 之间分子的平均速率 v 2
解： （1）由归一化条件
0
2 0
0
f ( )d 1
3 得 a 3 v0
f ( v)
T1 300K T2 1200K
f ( v)
麦克斯韦速度分布律公式
麦克斯韦速度分布律公式麦克斯韦速度分布律麦克斯韦速度分布律是统计物理学中描述理想气体速度分布的重要定律之一。
它描述了在给定温度下，气体分子速度的分布情况。
以下是与麦克斯韦速度分布律相关的公式和解释说明：麦克斯韦速度分布律公式1.麦克斯韦速度分布函数：f(v) = (m / (2 * π * k * T) )^(3/2) * 4 * π * v^2 * exp(-m*v^2 / (2 * k * T))其中，f(v)是速度的概率密度函数，m是分子的质量，k是玻尔兹曼常数，T是气体的温度，v是速度。
2.平均速度：<v> = ∫(v * f(v)) dv计算麦克斯韦速度分布函数与速度的乘积的积分，求得平均速度。
3.均方根速度：vrms = √(3 * k * T / m)均方根速度描述了气体中分子速度的大小，它是所有分子速度平方的平均值的平方根。
麦克斯韦速度分布律解释以下是对麦克斯韦速度分布律公式的解释说明和例子：1.麦克斯韦速度分布函数公式解释：麦克斯韦速度分布函数表示了在给定温度下，速度在不同取值上的概率密度。
函数中的指数项含有一个负号，指数的绝对值大小与速度的平方成正比，即速度越大，对应的指数项越小，概率越小。
这符合物质中分子速度的分布趋势，常见的速度大都集中在某个范围内。
2.平均速度解释：平均速度表示在给定温度下，所有可能速度的加权平均值。
将速度与麦克斯韦速度分布函数相乘后积分，可以得到平均速度。
这意味着在一个气体体系中，速度的概率分布决定了平均速度的大小。
3.均方根速度解释：均方根速度是速度分布的一种描述方式，它描述了速度的大小和分散程度。
均方根速度是气体中所有分子速度平方的平均值的平方根。
根据麦克斯韦速度分布律，均方根速度与温度呈正比，与分子质量的平方根成反比。
总结麦克斯韦速度分布律是描述气体速度分布的重要定律，通过麦克斯韦速度分布函数、平均速度和均方根速度等公式，我们可以计算在给定温度下，气体分子速度的分布情况。
麦克斯韦速率分布律
理气
d(m )F (器 dt壁）
真实气体 d (m ) (F 器 壁 f 内 部 )d t 分 子
pi
β
a
修正为
RT
Pb Pi
由于分子之间存在引力 而造成对器壁压强减少 内压强 P i
基本完成了第二 步的修正
内压强 1) 与碰壁的分子数成正比 2) 与对碰壁分子有吸引力作用的分子数成正比
解： 已知 T27 K,3 p1.0at m 1.01 1350 P,a d3.51 0 1m 0
kT 2d 2 p
1 .4 1 3 .1 1 . 3 4 (3 .5 8 1 1 2 0 3 1 0 2 )0 1 7 .0 3 150 6 .9 1 8 0 m
空气摩尔质量为2910-3kg/mol
讨论
麦克斯韦速率分布中最概然速率 v p 的概念
下面哪种表述正确？
v （A） p 是气体分子中大部分分子所具有的速率. v （B） p 是速率最大的速度值. v （C） p 是麦克斯韦速率分布函数的最大值.
（D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比
率最大.
例 计算在 27C时，氢气和氧气分子的方均
§7-5 麦克斯韦分子速率分布定律
平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的， 这个规律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速 度的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。
麦克斯韦速率分布律: 1、速率分布率的实验测量 2、 分布函数及其意义 3、 麦克斯韦速率分布函数 4、 速率分布函数的应用
1.测定气体分子速率分布的实验
m ( H 2 ) m ( O 2 )
o
2000 v/ms1 vp(H 2)vp(O 2)
vp(H2) vp(O2)
麦克斯韦速度分布定律
麦克斯韦速度分布定律麦克斯韦速度分布定律是描述气体分子速度分布的统计规律之一，由19世纪末的苏格兰物理学家詹姆斯·麦克斯韦提出。
该定律在热力学和统计物理学中有着广泛的应用，能够揭示气体分子运动特征，对于理解气体动力学和热传导等现象具有重要意义。
根据麦克斯韦速度分布定律，理想气体分子的速度服从麦克斯韦-玻尔兹曼速度分布。
其概率密度函数为：f(v) = (m / (2πkT))^(3/2) * 4πv^2 * e^(-mv^2 / (2kT))其中，f(v)表示速度为v的分子的概率密度，m为分子质量，k为玻尔兹曼常数，T为气体温度。
该概率密度函数描述了气体分子速度的分布情况。
根据这一函数，可以得到气体分子不同速度下的概率密度，以及平均速度、平均速度的平方等相关参数。
麦克斯韦速度分布定律具体刻画了速度分布的趋势，从而为研究气体热力学性质提供了重要依据。
根据麦克斯韦速度分布定律可以得到以下几个重要结论：1. 峰值速度：麦克斯韦速度分布定律的概率密度函数在具体速度处取得最大值，即存在一个峰值速度。
这个峰值速度与气体的温度和质量有关，温度越高或质量越小，峰值速度越大。
2. 平均速度：根据麦克斯韦速度分布定律，可以计算出气体分子的平均速度。
平均速度与系统的温度有关，随着温度的升高，平均速度也增加。
3. 速度分散度：麦克斯韦速度分布定律还可以用来计算气体分子速度的分散度。
速度分散度可以通过计算速率最大值附近的速度范围来确定。
由于速度分散度对于描述气体的输运性质至关重要，因此，该定律在研究气体动力学和热学性质时经常被应用。
麦克斯韦速度分布定律是热力学和统计物理学中的重要模型，它将分子速度的概率分布与系统的热力学性质联系在一起。
通过该定律，我们可以更好地理解气体分子的运动规律，研究气体的输运性质和热传导现象。
同时，在工程和科学领域的应用中，麦克斯韦速度分布定律也为材料设计、能源开发和天文物理学等提供了重要指导。
p8_3麦克斯韦速度分布律
麦克斯韦认为：在任何方向，在单位速度间隔v~v + dv 内的分子数dN与总分子数N0的比值的分布规律为
2 d N m1 m v F () v ( )/2 e x p ( ) Nv d 2 π k T 2 k T 0
其中，k是玻尔兹曼常数k = 1.38×10-23J/K，T是热力学温度，m 是分子的质量，v是某方向的速度。F(v)就称为麦克斯韦速度分 布律。(1)氧气分子的分子量为32，氧气分子在300K到600K时 (温度间隔为100K)，速度分布曲线有什么异同？(2)氢气、氦气、 氖气、氮气、氧气和氟气分子的分子量分别为2、4、20、28、 32和38，这些气体分子在300K时的速度分布曲线有什么异同？
温度取300K，不论 分子质量如何，各种 气体分子的速度分布 曲线都是对称的。 当气体温度一定 时，分子的质量 越大则峰值越高， 说明：在相同的 速度间隔内，速 度小的分子数目 越多，速度大的 分子数目越少。
也就是说：在 相同温度下， 质量较大的分 子运动的剧烈 程度较小。
11 /2 2 1 ( ) e x p ( x ) d x 因而得 设 x π m 1 / 2 是归一 1 2 可知： ( ) e x p ( x) d x π 可以证明 化常数。 0 2 πkT 2
m v 2kT
F(v)的单位是速度单位的倒数，即s/m。 质量一定的分子，温度是参数，麦克斯韦速 度分布函数的曲线形状由温度这个参数决定。
{范例8.3} 麦克斯韦速度分布律
麦克斯韦认为：在任何方向，在单位速度间隔v~v + dv 内的分子数dN与总分子数N0的比值的分布规律为
2 d N m1 m v F () v ( )/2 e x p ( ) Nv d 2 π k T 2 k T 0
麦克斯韦速率分布律
dN m 3 / 2 mv 2 / 2 kT 2 f ( v) 4 ( ) e v Ndv 2 π kT
23 ´ 当m 2 10 g , T 273k , V 800m / s
f (800) 10 什么含义
6
在800-800+dv速率区间，单位速 率区间分子数占总分子数之比
f (v ) d v
0 v0 2 av d v 0
0
1 3 av 0 3
3 a 3 v0
（2）设总分子数为N， 则
v
v 0
Nf (v ) d v N
2
v 0
f (v ) d v
v0 v 0
a 4 1 3 4 3 av d v v 0 ( 3 )v 0 v 0 4 v0 4 4
m 1.45 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 1.95
总人数1380 1.50-1.55m的人数130
30 25 20 15 10 5 0 25 26 26 26 27
1.51
1.52
1.53
1.54
1.55
1.56
50 40 30 20 10 0
N v d N v 0 N d Nv 0
i
N v 0
d Nv N
v 0
f (v ) d v
8kT 8RT 对麦氏速率分布经计算得： v πm π
v (v ) f (v ) d v
0
规律：任意v 的函数(v)对 全体分子的平均值都可以用 速率分布函数由上式求得：
麦克斯韦速率分布定律
υ 附近单位速率区
间的分子数
(5) nf ()d N dN dN
VN V
单位体积中速率在υ ~ υ+dυ区间的分子数
(6) 2 f ()d 1
dN N
N1 2 N
速率在υ1 ~ υ2区间的分
子数占总分子数的百分比
(7) 2 Nf ()d 1
1920年史特恩用分子束实验, 获得分子有着确定的速 度分布的信息, 但未能给出定量的结果. 1934年我国留学 生葛正权在伯克利首次获得此定律的精确实验验证. 此 成功经报界报道, 当时闻名欧美, 在很大程度上改变了外 国人眼中“中国留学生只会读书不能动手, 我们不欢迎” 的形象, 对当时欧美中国留学生有极大的影响和鼓舞.
p (O2 ) 500 m/s
例4. 设某气体的速率分布函数为
f (v )
av 2，(0 v v0 )
0 ， (v v 0 )
f (v )
求：（1）常量 a 和υ0 的关系 0 v0
v
（2）平均速率 v
（3）速率在 0 v 0 之间分子的平均速率v
2
解：（1）由归一化条件
(1) f () dN Nd
(2) f ( )d dN
N
υ附近单位速率区间的分子
数占总分子数的百分比
速率在υ ~ υ+dυ区间的分
子数占总分子数的百分比
(3) N f ()d N dN dN
N
速率在υ ~ υ+dυ
区间的分子数
(4) N f () N dN dN Nd d
f ()
T1
T2 T1
T2
p
2kT m
大学物理05-5麦克斯韦速率分布律
抽气
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当铝钢圆柱体以给定角 速度 转动时，只有满足下 列关系式的原子才能顺利通 过细槽出口：
L t v
长为 L=20.40 cm、刻有螺旋形 细槽的铝钢圆柱体。
v L
这里的斜槽是一速率选择器。
而其它速率的原子则将沉积在槽壁上而不能通 过。改变角速度，检测器D则测出通过细槽的不 同速率的原子射线强度，于是可得原子蒸气的速率 分布，见下图。
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O
v
麦克斯韦（James Clerk Maxwell 1831—1879）
•他提出了有旋电场和位移电流概念，建 立了经典电磁理论（麦克斯韦方程组）， 预言了以光速传播的电磁波的存在。
•1873年，他的《电磁学通论》问世，这 是一本划时代巨著，它与牛顿的《自然哲 学的数学原理》并驾齐驱，它是人类探索 电磁规律的一个里程碑。
将速率分成若干相等的区间，如
0 ~ 10 m/s; 10 m/s ~ 20 m/s; 20 m/s ~ 30 m/s;
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设任一速率区间为： v ~ v v 设总的气体分子数为N，在该区间内的分子数为ΔN
N ——分布在速率 v附近单位速率间隔内的分子数 v N ——分布在速率 v 附近单位速率间隔内的分子数 vN 占总分子数的比率。
0
——归一化条件
O dv
v1 v2
v
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三、麦克斯韦速率分布律
早在1859年，麦克斯韦应用统计概念和力学原理 导出在平衡态下气体分子速率分布函数的具体形式
m 32 f (v) 4π( ) e 2πkT
f (v )
mv2 2 kT
麦克斯韦速率分布定律
1920年史特恩用分子束实验, 获得分子有着确定的速 度分布的信息, 但未能给出定量的结果. 1934年我国留学 生葛正权在伯克利首次获得此定律的精确实验验证. 此 成功经报界报道, 当时闻名欧美, 在很大程度上改变了外 国人眼中“中国留学生只会读书不能动手, 我们不欢迎” 的形象, 对当时欧美中国留学生有极大的影响和鼓舞.
氧气分子在 0ºC 时的分子速率分布
(m / s)
100以下
N / N (%)
1.4
100－200
8.1
200－300
16.5
300－400
21.4
400－500
20.6
500－600
15.1
600－700
9.2
700－800
4.8
800－900
2.0
二．气体分子速率分布 N /(Nv)
p (O2 ) 500 m/s
例4. 设某气体的速率分布函数为
f (v )
av 2，(0 v v0 )
0 ， (v v 0 )
f (v )
求：（1）常量 a 和υ0 的关系 0 v0
v
（2）平均速率 v
（3）速率在 0 v 0 之间分子的平均速率v
2
解：（1）由归一化条件
N
0 / 4 0
f ()d
5N 32
（3）最可几速率
df () d p
0p
0
2
（4）
f
( )d
0
0
2
rms
2
[
麦克斯韦速率分布
3/ 2 mv
2
e
2 kT
v , ( , n均匀）
2
2、分子在势场中，n不均匀，考虑空间分布：
dN ndV n0 e
p
kT
dxdydz
——在x，y，z处得体元dV中的分子数
在势场中，分子总是优先占据势能较低的状态。
N / N 0
0
100－200 200－300 300－400 400－500 500－600 600－700 700－800 800－900
1.4 8.1
16.5 21.4 20.6 15.1 9.2 4.8 2.0
N
Nv
ΔN－在v－v＋Δv区间内 的分子数 N－总分子数 Δv －速率区间
分布
2、公式推导：——流体静力学 h+dh h 今取一垂直于地面的气体圆 P+dP＝P’ 柱体。设地面处分子数密度 为 n 高度为h处的分子数密 0 为度 n P
dP gdh
nm
dP nmgdh —（1）
平衡时， P nkT
h+dh h
P+dP＝P’ P
T处处相等，
dP kT dn —（2）
0
m 4 2kT
3/ 2
mv
2
e
2 kT
v dv
3
__
v 4 2kT
3/ 2
mv
2
e
2 kT
k3dv R / N 0 v
mN0
8kT
m
8 RT 1.60 RT
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m
vP v v2，与 T 成正比，与 m 成反比。
v 用于碰撞和输运过程的统计规律，v2 用于
温度和压强的统计规律。
【例8.8】计算温度为 300K 时，空气分子的最 概然速率、平均速率和方均根速率。
解 空气分子的平均质量 m = 47.98×1027 kg
vP
2kT m
21.381023 300 47.98 10 27
1859年，麦克斯韦首先用碰撞概率方法导出。
8.5.2 麦克斯韦速率分布律
1. 速率分布函数
f (v) dN (v) Ndv
物理意义：速 率 出 现 在v附近的单位速率区间 的分子数，占系统分子 总数的百分比。
或，一个分子的速率出现在v附近的单位速 率区间的概率 速率分布的概率密度
归一化条件： f (v)dv 1
0
2. 麦克斯韦速率分布律
分子在速度空间分布 概率密度为 FM (vx ,vy ,vz )， 分子速率处于球壳内的概 率：
dN (v) N
4πv2dv FM(vx ,vy ,vz )
速率分布函数可写成
fM (v)
dN (v) Ndv
4π v2FM
(vx
,vy
,vz
)
平衡态系统中分子的速率分布函数：
415
m s1
v 8kT 469 m s1 πm
v2 3kT 509 m s1 m
相当于子弹从枪口射出的速度！
8
π a5
8.5.1 麦克斯韦速度分布律 1. 速度分布函数
F (vx
,vy
,vz
)
dN (vx ,vy ,vz ) Ndv xdv y dv z
物理意义：速度出
现在P(vx,vy,vz)点附近， 单位速度空间体积内
的分子数占系统分子
总数的百分比。
或，一个分子的速度出现在单位速度空间体
积内的概率分子在速度空间分布的概率密度
速度分布函数：F (v x
,vy
,vz
)
dN (vx ,vy ,vz ) Ndvxdv ydvz
C
k
e kT
常数 C 由归一化条件确定：
k
1
F (vx ,vy ,vz )dvxdvydvz C
e kT dvxdvydvz
C
e dv dv dv
m
(v
2 x
v
2 y
8.5 麦克斯韦分布律 8.5.1 麦克斯韦速度分布律 8.5.2 麦克斯韦速率分布律 8.5.3 平均速率 方均根速率
高斯积分公式（a为正的常量）：
eax2 dx
1
π
0
2a
xeax2 dx
1
0
2a
x2eax2dx 1
0
4
π a3
0
x 3eax2 dx
1 2a 2
x4eax2dx 3
0
归一化条件 ：
F (vx ,vy ,vz )dvxdvydvz 1
分子速度 vx、vy、vz 一定出现在 之间Fra bibliotek证明：
F(vx ,vy ,vz )dvxdvydvz
dN (vx ,vy ,vz ) N 1
N
N
2. 麦克斯韦速度分布律
•已经导出分子按势能的分布：
p
fM
(v)
4π
m 2π kT
3
2
v2e
mv2 2kT
麦克斯韦速率分布律 实验验证
fM
(v)dv
dN (v) N
fM (v)dv 1
0
分子的最概然速率：
vP
2kT m
2RT
8.5.3 平均速率 方均根速率
在温度为T 的平衡态下，fM (v)dv 代表：速率处 于v到v+dv区间的分子数占分子总数的百分比。 在该状态下，物理量W(v)的统计平均值：
v
2 z
)
2kT
x yz
C
e
m v2x 2kT
dv x
3
C
2
e
mv
2 x
2kT
dv
x
3
,
0
mv
2 x
e 2kT dvx
0
1 2
2πkT m
,
C
m 2π kT
3
2
平衡态系统中分子的速度分布函数：
FM
(vx
,
v
y
,
vz
)
m 2π kT
3
2
e
mv2 2kT
m：一个分子的质量
k：玻耳兹曼常量 T：系统的温度 麦克斯韦速度分布律
dN( x, y, z) e kT dxdydz
p p ( x, y, z)：势能，分子空间位置的函数。
•推广到分子按动能的分布：
k
dN (vx ,vy ,vz ) e kT dvxdvydvz
k
1 2
m(v
2 x
v
2 y
vz2 )
动能，分子速度的函数。
k
dN (vx ,vy ,vz ) e kT dvxdvydvz
W W (v) fM (v)dv
分布函 数的用途
0
分子的平均速率：
v
vfM (v)dv
0
4π
m 2π kT
3
2
v
3e
mv2 2kT
dv
0
4π
m 2π kT
3
2
2(m
1 2kT )2
8kT πm
8RT
π
速度平方的平均值 ：
v2
0
v2
fM (v)dv
4π
m 2π kT
3
2 0
v
4e
mv 2 2kT
dv
4π
m 2π kT
3
2
3 8
3kT
(m 2kT )5 m
分子的方均根速率：
v2 3kT 3RT
m
也可由 t
mv2 2
3 kT 2
导出。
•分子的最概然速率：vP
2kT m
2RT
•分子的平均速率： v 8kT 8RT
πm π
•分子的方均根速率： v2 3kT 3RT