函数的存在性问题和零点问题

函数的存在性问题和零点问题

【知识梳理】

1．函数的零点：

使函数y ＝f (x )的值为0的实数x 称为函数y ＝f (x )的零点．

(1)函数的零点⇔方程的根；

(2)零点存在理论：在区间[a ，b ]上连续；f (a )·f (b )<0.

2．常见求解方法

(1)直接解方程，如一元二次方程；

(2)用二分法求方程的近似解；

(3)一元二次方程实根分布规律；

(4)用数形结合法将方程的根转化为函数零点．

画出y ＝f (x )图象可用到以下方法：

①用图象变换法则画复杂函数图象；

②用求导得出较复杂函数的单调性，然后再画图象，如y ＝ln x x ；

③可以将原函数进行分离为两个较为简单的函数如方程e x ln x ＝1，转化为y ＝ln x ，y ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫1e x ； ④如果是带有参数的方程，可以进行参数分离变为m ＝g (x )，再画y ＝g (x )与y ＝m (常数函数)的图象．

【热点探究】

► 探究点一 用零点存在定理判断函数零点

零点存在定理是间接判断方程的根或函数零点的间接方法．只能大致判断零点所在区间以及区间中零点的个数，不能够准确求解零点的值．

【例1】 已知函数f (x )＝1＋x －x 22＋x 33－x 44＋…＋x 20112011，g (x )＝1－x ＋x 22－x 33＋x 44－…－x 20112011

，设F (x )＝f (x ＋3)·g (x －3)，且函数F (x )的零点均在区间[a ，b ](a

► 探究点二 用图象判定方程的根

由于函数的零点⇔方程的根，所以当方程的根不能够直接求出时，可以通过图象来判断对应方程的根的个数．

【例2】 (1)已知函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝x ＋log 2x ，h (x )＝x 3＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小顺序为________．

(2)设定义在R 上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

1|x －3|，x ≠3，1，x ＝3，若关于x 的方程f 2(x )＋af (x )＋b ＝0有5个不同实数解，则实数a 的取值范围是________．

►探究点三不定方程的根的判断

所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制(如要求是有理数、整数或正整数等等)的方程或方程组．常见问题有：(1)求不定方程的解；(2)判定不定方程是否有解；(3)判定不定方程的解的个数．

【例3】设m∈N，若函数f(x)＝2x－m10－x－m＋10存在整数零点，则m的取值集合为________．

►探究点四含参数的方程根的问题

含有参数的方程根的问题，随着参数取值不同，方程根的个数不同，所以需要借助于数形结合和分类讨论的思想来解决．

【例4】已知函数f(x)＝1

2x

2－a ln x(a∈R)．

(1)若函数f(x)在x＝2处的切线方程为y＝x＋b，求a，b的值；

(2)讨论方程f(x)＝0的解的个数，并说明理由．

【例5】已知定义在（0，+∞）上的三个函数f（x）=lnx，g（x）=x2-af（x），h(x)=x-a x

且g（x）在x=1处取得极值．

（1）求函数g（x）在x=2处的切线方程；

（2）求函数h（x）的单调区间；

（3）把h（x）对应的曲线C1向上平移6个单位后得到曲线C2，求C2与g（x）对应曲线C3的交点个数，并说明理由．

【巩固训练】

（全国II 理）已知函数()x x x f -=3。

（1）求曲线()x f y =在点()()t f t M ,处的切线方程；

（2）设0>a ，如果过点()b a ,可作曲线()x f y =的三条切线，证明：()a f b a <<-。

（四川理）已知3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点．

（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；

（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图像有3个交点，求b 的取值范围．

（江西文）设函数329()62

f x x x x a =-+- （1）对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，求m 的最大值；

（2）若方程()0f x =有且仅有一个实根，求a 的取值范围

（天津文）设函数0),(,)1(3

1)(223>∈-++-=m R x x m x x x f 其中 （Ⅰ）当时，1=m 曲线））（，在点（11)(f x f y =处的切线斜率；

（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；

（Ⅲ）已知函数)(x f 有三个互不相同的零点0，21,x x ，且21x x <。若对任意的],[21x x x ∈，)1()(f x f >恒成立，求m 的取值范围。

（湖北文）设函数()c bx x a x x f ++-=232

31，其中0>a 。曲线()y f x =在点()()0,0f P 处的切线方程为1y =。（1）确定,b c 的值；（2）设曲线()y f x =在点1122(,())(,())x f x x f x 及处的切线都过点()2,0。证明：当12x x ≠时，12()()f x f x ''≠；（3）若过点()2,0可作曲线()y f x =的三条不同切线，求a 的取值范围。