第4章 位错的弹性性质

1）刃型位错的应变能
① 形成图示的位错的功，可以
C A
R
理解为XZ剖面ABCD两边晶体在 切应力σθr作用下产生相对 位移u=b所做的功。 刃型位错在XZ剖面的应力:
σθr
② 在XZ剖面上θ=0，cosθ=1
D B
③当剖面从r到(r+dr)处，
产生位移db(r)所做功： ④当剖面从r0处扩展到 R处，db从0变到b所功:
T b f b r 2r
2
b rc 2
2）外加应力场作用在位错线上的力
① 位错在外切应力场中的受力
外力作用在晶体上后，使位错线向着与之垂直 的方向移动，好象有个力，垂直作用在位错线 上，称之为外加应力场作用在位错线上的力。
它是虚设的、驱使位错滑移的力，它必然与 位错线运动方向一致，即处处与位错线垂直， 指向未滑移区。
六个应力分量与六个应变分量之间，均遵循胡克定 律:σij=cijε。式中cij为弹性模量，是量度材料抵抗 弹性变形能力的物理量。
一般情况下，任意一点存在36个常数cij值。晶体的对称 性越强，独立的弹性常数数目越少。在弹性连续介质中， 只有2个独立的cij值，工程上分别用E、G标记:
E为正应变弹性模量，也叫杨氏模量： ii
② 应力场的特点
只有切应力分量（σθz、σz θ），而无正应力。
螺型位错的应力场，是对称于位错线的。所产生 的切应力大小只与r的大小有关，即只与离位错 线的距离成反比，而与θ无关。
柱坐标表达 式
b z z z 2r r r zr rz 0 rr zz 0
线张力小于直线位错的线张力。
③ 位错的线张力不仅驱使位错线变直，而且也是 晶体中位错呈三维网状分布的原因。因为位错网 络相交于同一结点的各位错，其线张力处于平衡 状态，从而保证了位错在晶体中的相对稳定性。
③ 弯曲位错的向心恢复力
由于位错有线张力，所以弯曲位错会由线张力产生一个指向 曲率中心的向心恢复力F，f为每单位长度位错的向心恢复力
① 直线位错的线张力
单位长度位错的能量为:
当ro→b0(10-8cm)，R(相当于亚晶粒长度)≈10-4cm 时，直线位错的线张力为:
② 弯曲位错的线张力
r>λ区域：
r <λ区域： 未弯曲前: 线张力T:
若设（一般情况下）λ=100r0，
物理意义 ① 曲线线张力与波长有关 ② 由于远程应力场可互相抵消，所以弯曲位错的
yz zy
x
yx xy xx xz
zx
y
zz
应力的正负号
Z
zz zy zx xy xz yz xz yx xy zy zx xx dz yy
yy yz
yx
O xx
Y
dx
z X y
O x
dy
zz
正面正方向为正，负面负方向为正 正面负方向为负，负面正方向为负
2）应力
FS
F
物体在受力状态下，其内部不同部分之间互相产生作用 力，这种作用力称为内力。作用在某点处的内力，在该 点的微面积上的集度p，叫该点处的应力。
FN A
在 m-m截面上P点处定义：
FN lim A 0 A FS lim A0 A
m-m截面上P 点的正应力
W1 l D b W2 F l D W1 W2 F l D l D b F b
特点
作用在单位位错线上的力F与外加切应力τ 及柏氏矢量b成正比，由于同一位错线各 点柏氏矢量b相同，所以当外加切应力均 匀作用在晶体上时，位错线各点所受力的 大小是相同的。 作用于位错线上的力F与外加切应力τ的 方向不一定是一致的(纯刃型位错与τ同向， 纯螺型位错与τ垂直)。
x
ux
ux u x dx x
x
u x u x u y xx ； xy x y x u y u y u z yy ； yz y z y u z u z u x zz ； zx z x z

该式表明了一点处的位移分量和应变分量所应满足的 关系，称为几何方程，也称为柯西（Augustin-Louis Cauchy）几何关系。
4.2 位错的应力场
位错中心部分畸变程度最为严重，超出了弹性应变范 围，不讨论。仅讨论中心区以外的弹性畸变区，借助 弹性连续介质模型。假设：晶体是各向同性的均匀连 续弹性介质，位错处在无限大的连续介质中。
d F fds 2T sin 2 d ds rd , sin 2 2 T f r
由式可见，曲率半径r越小，则恢复力越大；要使位错弯 曲，外力必须在位错上作用一个能与向心恢复力平衡的力。
例 题
如图某晶体的滑移面上有一柏氏矢量为b 的位错环，并受到一均匀切应力τ。
(1) 分析该位错环各段位错的 结构类型。 (2) 求各段位错线所受的力的 大小及方向。 (3) 在τ的作用下，该位错环 将如何运动？ (4) 在τ的作用下，若使此位 错环在晶体中稳定不动，其半 径应为多大？
圆柱坐标：用z轴、 ρ方向及θ角来描述 为表示任一点应力 状态也是取一个体 积元，其上的应力 分量也有9个，3个 正应力 ,6个切应力
3）应变
正应变
棱边长度的改变量与原棱长之比 。以线段伸 长为正，线段缩短为负。
原来成直角的两棱之间角度的改变量。以角 度减小为正，以角度增大为负。
切应变
4）泊松比
2）螺型位错的应力场
① 应力场模型与函数
沿xz平面剖开使之沿z轴产生相对位移b，然后再粘合。当然 也要挖去位错线附近的严重畸变区域。
b y xz zx 2 2 x y 2 b x yz zy 2 2 x y 2 xx yy zz xy yx 0
R—位错应力场最大作用范围的半径 r0 —位错中心区域的半径 θ—混合位错的柏氏矢量与位错线的夹角 α—由位错的类型、密度(R值)决定，其值0.5~1.0 上述公式可简化为： W
Gb
2
讨论
Gb2 R W混 ln 4k r0
1）位错的能量包括两部分：Ec和Ee。位错中心区的能量Ec一 般小于总能量1/10,常可忽略；而位错的弹性应变能 ln(R/r0),它随r缓慢地增加,所以位错具有长程应力场。 2）位错的应变能与b2 成正比。从能量的观点来看，晶体中具 有最小b的位错应该是最稳定的，因此位错趋向于取b最小 的组态。 3）W螺/W刃=1-ν，常用金属材料的ν约为1/3，故螺型位错的弹 性应变能约为刃型位错的2/3。 。 4）位错的能量是以单位长度的能量来定义的，故位错能量还 与位错线的形状有关。由于两点间以直线为最短，所以直 线位错的应变能小于弯曲位错的，即更稳定，因此位错线 有尽量变直和缩短其长度的趋势。 5）位错的存在均会使体系的内能升高。因此，位错的存在使 晶体处于高能的不稳定状态，可见位错是热力学上不稳定 的晶体缺陷。
4.4 位错的受力
1）位错的线张力
位错的总能量与位错线的长度成正比，因此为降 低能量，位错线有缩短变直的倾向，好像沿位错 线有个张力，这个张力叫位错的线张力。 当位错线的长度增加一无限小量，其能量增加与 长度增量的比值等于线张力T，即：T=ΔW/ΔL， 所以位错的线张力在数值上等于单位长度位错线 的能量，并且与位错线的具体形状有关。
4.3 位错的应变能
位错在周围晶体中引起畸变，使晶体产生畸变能，这 部分能量称为位错的应变能。
与位错的畸变相对应，位错的能量也可分为两部 分：一是位错中心畸变能；二是位错中心以外的 能量即弹性应变能 。
根据点阵模型对位错中心能量的估算得：弹性应 变能占总能量的90%，所以位错中心畸变能可忽 略不计，即通常用弹性畸变能表示位错的应变能。
切应力： xy
xz zx b 其中：D 2 (1 )
同时存在着正应力与切应力; 刃型位错的应力场，对称于多余半原子面; 滑移面上无正应力，只有切应力，且其切应力最大。 正刃型位错的滑移面上侧，在x方向的正应力为压应力; 滑移面下侧，在x方向上的正应力为拉应力 半原子面上或与滑移面成45°的晶面上，无切应力。
4.1 弹性力学基础知识
1）弹性连续介质 所谓弹性连续介质，是对晶体作了简化假设之后提 出的模型： (1) 晶体是完全弹性体，因此服从胡克定律； (2) 晶体是各向同性的，因此其弹性常数（弹性模 量、泊松比等）不随方向而变化； (3) 晶体内部由连续介质组成，因此晶体中的应力、 应变、位移可用连续函数表示。
y x
负面：外法向与坐标轴反向
2 应力分量 为了表达弹性体内部任意一点M 的应力状态，利 用三个与坐标轴方向一致的微分面，通过M点截 取一个平行六面体单元,如图所示
z zx
zz zy
xy
该分量的指向 z
xz xy
yz
所在面的法向
xx
yx
yy
y
yy
x 两脚标相同——正应力 两脚标不同——切应力
② 应力场的特点
正应力： xx
yy zz
y (3 x 2 y 2 ) D ( x2 y 2 )2 y( x 2 y 2 ) D ( x2 y 2 )2 ( xx yy ) yx x( x 2 y 2 ) D ( x 2 y 2 )2 yz zy 0
虚功原理：外力使晶体变形所做的功=位错 运动所作的功。
虚 功 原 理
应力：单位面积上的内力
假设作用在滑移面上的切应力为τ,当使长度为l的位错 线移动距离D之后，晶体正好位移了位错的一个柏氏 矢量b，设此面上晶体位移b所做的功为W1 实功：力在自身引起的位移上所做的功W1 虚功：力在其他原因产生的位移上所做的功W2

Hale Waihona Puke Baidu
p

A
m-m截面上P点的 切应力（剪应力）
F p lim A 0 A
m-m截面上P 点的全应力
1 单元体的概念
变形体内某点处取出的边长无限小的体积微元 在直角坐标系下，单元体为无限小正六面体 z 单元体是变形体 的最基本模型 y x 单元体的三对表面： 正面：外法向与坐标轴同向 z
答案
(1)令逆时针方向为位错环的方向，则a点为正刃型位 错，b点为负刃型位错，c点为左螺旋位错，d点为右螺旋 位错。环上其它各点为混合型位错。 (2)各点均受力均为F=τb，方向垂直于位错线并指向滑移面 的未滑移区。 (3)在应力作用下位错环在晶体中扩展，直至达到应力与位 错线的线张力的平衡，位错环最后在晶体中稳定不动。 (4)使位错环不动时，作用在位错线的向心恢复力与外加应 力作用在单位位错线上的力平衡，所以：
R
Gb2 R W刃 ln 单位长度的刃错线总能量（应变能）： 4 (1 ) r0
2）螺型位错的应变能
在XZ剖面的应力为:
单位长度的螺错线能量：
σθz
Gb2 R W螺 ln 4 r0
3）混合位错的应变能
单位长度的混合位错能量：
Gb R W混 ln 4k r0
2
1 v k 1 v cos 2
优点 缺点
模型简单
中心区不适用，忽略晶体结构的影响
1）刃位错的应力场
① 应力场模型 1. 在圆柱体中心挖出一 个半径为rO的小洞 2. 沿xoz平面从外部切 通至中心 3. 在切开的两面上加外 力，使其沿x轴作相 对位移b;再把切开的 面胶合起来 4. 撤去外力 这样的圆柱体与包含一个刃型位错的晶体相似。
② 位错在一般应力场中的受力
若晶体中有一段位错线元dl, 它的柏氏矢量为b,在外加应力 场σ作用下，位移ds,把应力 场写成
xx yx xz yx yy yz zx zy zz
G为切应变弹性模量，也叫切变模量：
Eii ii Gii
E和G之间存在如下关系：E=G/2(1-ν)，其中ν是表示 纵横变形茉系的参量，称为泊松比
5）应变与位移的关系
z
uz u z dz z
u x dz z
F’ F E A’ dx C C’
E’
dz
uz z A
u z dx x