二次函数中的分类讨论思想

二次函数中的分类讨论思想

一、例题分析归类: （一)、正向型

是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形:（1)轴定,区间定;（2)轴定,区间变;(3)轴变,区间定；(４)轴变，区间变。 １. 轴定区间定 例1. （2008年陕西卷)

22.本小题满分１4分)

设函数3

2

2

2

()1,()21,f x x ax a x g x ax x =+-+=-+其中实数0a ≠．

（Ⅰ）若0a >，求函数()f x 的单调区间；

(Ⅱ）当函数()y f x =与()y g x =的图象只有一个公共点且()g x 存在最小值时,记()g x 的最小值为()h a ，求()h a 的值域;

（Ⅲ)若()f x 与()g x 在区间(,2)a a +内均为增函数，求a 的取值范围.

２. 轴定区间动 例2. (全国卷)

设ａ为实数,函数2

()||1,,f x x x a a R =+-+∈，求ｆ(ｘ)的最小值。

3． 轴动区间定

评注：已知2

()(0)f x ax bx c a =++≠,按对称轴与定义域区间的位置关系，由数形结合可得()f x 在[,]m n 上的最大值或最小值。

例3.求函数)(a x x y --=在]1,1[-∈x 上的最大值。

4. 轴变区间变

例4. 已知2

4()(0),y a x a a =->，求2

2

(3)u x y =-+的最小值。

(二)、逆向型

是指已知二次函数在某区间上的最值,求函数或区间中的参数值。

例5. 已知函数2

()21f x ax ax =++在区间[3,2]-上的最大值为４，求实数a 的值。

例６. 已知函数2

()2

x f x x =-+在区间[,]m n 上的值域是[3,3]m n ,求ｍ,n 的值。

练习：

1、(２00８江西卷2１)． 已知函数43

22411()(0)43

f x x ax a x a a =

+-+> （1）求函数()y f x =的单调区间;

(２)若函数()y f x =的图像与直线1y =恰有两个交点,求a 的取值范围.

2、已知二次函数2

()(21)1f x ax a x =+-+在区间3[,2]2

-上的最大值为３，求实数a 的值。

3、(２0０8山东卷21．)(本小题满分12分） 设函数21

32()x f x x e

ax bx -=++，已知2x =-和1x =为()f x 的极值点．

（Ⅰ)求a 和b 的值； （Ⅱ)讨论()f x 的单调性; （Ⅲ）设3

22()3

g x x x =

-,试比较()f x 与()g x 的大小．

二次函数中的分类讨论思想

例题答案: 例1． 解:(Ⅰ)

22()323()()3

a

f x x ax a x x a '=+-=-+,又0a >，

∴ 当3

a x a x <->或时，()0f x '>;当3a

a x -<<时，()0f x '<,

∴()f x 在(,)a -∞-和(,)3a +∞内是增函数，在(,)3a

a -内是减函数.

(Ⅱ）由题意知 3222

121x ax a x ax x +-+=-+,

即22[(2)]0x x a --=

恰有一根(含重根）.∴ 2

2a -≤0,即

≤a 又0a ≠,∴ [(0,2]a ∈

．

当0a >时,()g x 才存在最小值，∴a ∈．

2

11()()g x a x a a

a

=-+-

, ∴ 1

(),h a a a a

=-∈． ∴()h a 的值域为(,12-∞-. (Ⅲ）当0a >时,()f x 在(,)a -∞-和(,)3a +∞内是增函数，()g x 在1

(,)a

+∞内是增函数．

由题意得031a a a a a ⎧

⎪>⎪

⎪

≥⎨⎪

⎪≥⎪⎩

，解得a ≥1；

当0a <时,()f x 在(,)3a -∞和(,)a -+∞内是增函数,()g x 在1

(,)a

-∞内是增函数.

由题意得02312a a a a a ⎧

⎪<⎪

⎪

+≤⎨⎪

⎪

+≤⎪⎩

，解得a ≤3-；

综上可知,实数a 的取值范围为(,3][1,)-∞-+∞．

例２.（1）当x a ≥时，213

()()24

f x x a =++-

①若12a ≤-,则min 13

()()24f x f a =-=-;

②若12

a >-,则2

min ()()1f x f a a ==+

(2)当x a <时，213

()()24

f x x a =-++

①若

1

2

a<,则2

min

()()1

f x f a a

=

=+;；

②若

1

2

a ≥,则

min

13

()()

24

f x f a

==+

综上所述,当

1

2

a≤-时，

min

3

()

4

f x a

=-;当

11

22

a

-<<时，2

min

()1

f x a

=+；当

1

2

a≥时,

min

3

()

4

f x a

=+。

例３．解析：函数

4

)

2

(

2

2

a

a

x

y+

-

-

=图象的对称轴方程为

2

a

x=，应分1

2

1≤

≤

-

a

，1

2

-

<

a

，1

2

>

a 即2

2≤

≤

-a，2

-

<

a和2

>

a这三种情形讨论,下列三图分别为

(1)2-

<

a;由图可知

max

()(1)

f x f

=-

(2)a

≤

-22

≤；由图可知

max

()()

2

a

f x f

=

（3）2

>

a时；由图可知

max

()(1)

f x f

=

∴

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

>

≤

≤

-

-

<

-

=

2

,)1(

2

2

,)

2

(

2

,)1

(

a

f

a

a

f

a

f

y

最大

;即

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

>

-

≤

≤

-

-

<

+

-

=

2

,1

2

2

,

4

2

,)1

(

2

a

a

a

a

a

a

y

最大

例4．解析：将24()

y a x a

=-代入u中,得

①，即时，

②，即时,

所以

例5．解析:2

()(1)1,[3,2]

f x a x a x

=++-∈-

（1)若0,()1,

a f x

==，不合题意。

(2)若0,

a>则

max

()(2)81

f x f a

==+

由814

a+=,得

3

8

a=