结构力学力法

2P

M2M P 1 1 1 2 qa 4 ds ( a a qa ) EI 1.5 EI 2 2 6 EI
④解力法方程：
5 1 19 X 1 X 2 qa 0 6 3 48 1 2 1 X 1 X 2 qa 0 3 9 6
7 3 得： X 1 qa , X 2 qa 16 32
2
2
12 21 22
M2 1 1 2 2a 3 ds ( a a a) EI 1.5 EI 2 3 9 EI
a a
X2=1
1 2 qa 2
2EI 1.5EI
X1=1
M1图
1P
a
M 2图
Mp图

M1 M P 1 1 ds (a a qa 2 ) EI 1.5 EI 2 1 1 1 2 3 19qa 4 ( qa a a ) 2 EI 3 2 4 48 EI
X3 0
（只有对称未知力）
(c)
3. 反对称荷载作用
P
P
X1 P
X3
P
X2 X1 P
P Mp
基本结构
力法方程同(a)，
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1 p 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 p 0 31 X 1 32 X 2 33 X 3 3 p 0
③求力法方程系数
a a X2=1
X1=1
M1图
a
M 2图
11
M1 1 1 1 2 5a 3 ds (a a a ) ( a a a) EI 1.5 EI 2 EI 2 3 6 EI
M1 M 2 1 1 a3 ds ( a a a) EI 1.5 EI 2 3 EI
（线性方程组降阶）
说明：
对称超静定结构如果选取对称基本结 构，只要未知力分为对称与反对称，则力 法方程也必然分组，该性质与荷载无关。
结构对称一般选取对称基本结构
§5-6 超静定结构自内力概念与计算
自内力 — 超静定结构在没有荷载作用情况下，由于
支座移动、温度改变、制造误差等因素产 生的内力。(这是超静定结构所特有的性质)
②变形条件ΔA=
A X1
基本结构
B
③力法方程
A
11 X1 AB
B a A 1 X1=1
M1
B
Δ
1 1 1 2 l 2 11 M 1 dx EI ( 2 l 1 3 ) 3 EI EI
AB
a （由于B点位移在A点引起的转动） l
l a X1 3 EI l
习题十
《结构力学》
5-3(b), 5-4, 5-5
上次课主要内容回顾
超静定结构
有多余约束的几何不变体。
二次超静定结构
q q B B X2
C
C
X1
A
原结构
A
基本结构
（解除二个约束）
二次超静定 典型力法方程
q
C
B
X1
q X2 C
B Δ1p Δ2p X2=1 δ12 δ22
A
基本结构 δ11 X1=1 δ21
b)选取对称与反对称未知力 力法方程分组
P
wk.baidu.comX1
X3 X2 X1
力法方程同(a), 其中：
13 31 0 23 32 0
(e)
基本结构
(e)代入(a), 力法方程简化为：
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1 p 0 11 X 1 12 X 2 1 p 2 p 0 X1 X 2 23 X 3 0 二阶（对称未知力） (a) 21 22 p 0 21 X 1 22 X 2 2X 3 3 p 0 31 X 1 32 X 2 33 33 X 3 3 p 0 一阶（反对称未知力）
(a)
X2=1
其中：
13 31 0 23 32 0 (d) 1 p 2 p 0
X1=1
M1
X3=1
P
M2
P
M3
Mp
(d)代入(a)
11 X 1 12 X 2 0 X1=X2=0 21 X 1 22 X 2 0 33 X 3 3 p 0 (只有反对称未知力)
4. 力法的简化计算
对称结构在对称荷载作用下只有对称多余 未知力。 （弯矩、位移对称）
对称结构在反对称荷载作用下只有反对称 多余未知力。 (弯矩、位移反对称)
① 对称荷载
P P
原结构
P
简化结构
②反对称荷载
P P P P
原结构
P P
简化结构
③任意荷载
P P/2 P/2 P/2 P/2
+
a)任意荷载 对称与反对称荷载 叠加
BA l （由于A点转动在B点引起的位移）
l3 3 EI a X 1 l a 解得： X 1 ( ) 2 3 EI l l
③梁中内力
M M 1 X1
A
3 EI a ( ) l l
B
M图
（基本结构是静定，支座A移动不产生内力）
另解： ①基本结构
A θ EI l B a
(a)
由图乘法可知：
13 31 0 23 32 0 3 p 0
(b)
X1=1
X2=1
M1
X3=1 P
M2
P
（对称图形与反对称图形相乘）
M3
Mp
力法方程简化为：
11 X 1 12 X 2 1 p 0 21 X 1 22 X 2 2 p 0 33 X 3 0
⑤画内力图：
M M 1 X1 M 2 X 2 M p
q
X2 X1
基本结构
a a
X2=1
1 2 qa 2
2EI 1.5EI
X1=1
M1图
a
M 2图
Mp图
7 3 X 1 qa , X 2 qa 16 32
qa 2 16
qa 2 8
按内侧拉为正：
B
C
7 1 2 qa 2 M C a qa qa 16 2 16 7 3 1 2 qa 2 M A a qa a ( qa ) qa 16 32 2 32
A
θ
1. 支座移动
已知图示梁A端转动角度 为θ，B端下沉a，求在梁 中引起的自内力。
EI
B
a
l
A
B X1
基本结构
解：①变形条件（原结构B点竖向位移）
ΔB = - a （位移方向与X1相反）
A
θ
EI
B a
l
②力法方程
θ A
11 X1 BA a
B
l
θ
A l
M1
B
Δ
X1=1
1 1 1 2 l3 2 11 M 1 dx ( l l l) EI EI 2 3 3 EI
A qa 2 M图
32
§5-5 对称性的利用
1. 对称结构及其特点
I2
• 结构对某轴
I1
I1
几何形状、支承对称
截面、材料性质对称（超静定必需）
对称轴 （对折线）
• 荷载
对称 弯矩对称； 反对称 弯矩反对称； 任意荷载 弯矩不对称。
P
P
P
P
对称荷载
反对称荷载
2. 对称荷载作用
P P P X1 X3 P X1 P
解得： X 1
M M 1 X1
A
3 EI a ( ) l l
梁中内力
B
M图
3 EI a ( ) l l
2. 温度改变（略）
P
X2
基本结构
Mp X3=1
对称
X1=1
X2=1
M1
M2
M3
对称
对称
反对称
力法方程：
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1 p 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 p 0 31 X 1 32 X 2 33 X 3 3 p 0
X1=1产生的位移
A
荷载产生的位移
X2=1 产生的位移
11 X 1 12 X 2 1 p 0 21 X 1 22 X 2 2 P 0
力法应用举例
解图示二次超静定结构。
C a A q
2EI 1.5EI
B
q X2 X1
基本结构
a
解：①取基本结构
②力法方程:
11 X 1 12 X 2 1 p 0 21 X 1 22 X 2 2 p 0