计量经济学31矩阵基础及多元线性回归模型PPT课件

why?
(2) 对一个nn的对称矩阵A，定义
则 why?
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方差-协方差矩阵
如果y是一个n1随机向量，用var(y)（或cov-var(y)）表示的y 的方差-协方差矩阵定义为：
其中j2=var(yj), ij=var(yi, yj) 显然， ij=var(yi,yj) =var(yj,yi)=ji，故var(y)对称。
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第三章 经典单方程计量经济学模 型：多元回归
• 多元线性回归模型 • 多元线性回归模型的参数估计 • 多元线性回归模型的统计检验 • 多元线性回归模型的预测 • 回归模型的其他形式 • 回归模型的参数约束
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§3.1 多元线性回归模型
一、多元线性回归模型 二、多元线性回归模型的基本假定
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多元线性回归模型的引入
• 令A为nn对称矩阵。 (1) 如果对除x=0外的所有n1向量x，都有x’Ax>0，则
称A为正定的。 (2)如果对除x=0外的所有n1向量x，都有x’Ax0，则
称A为半正定的。
• 正定和半正定矩阵的性质： (1) 正定矩阵的主对角元素都严格为正，半正定矩阵 的主对角元素都非负； (2) A是正定的，则A-1存在并正定； (3) 如果X是一个nk矩阵，则X’X和XX’都是半正定 的；
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对角矩阵、单位矩阵和零矩阵
零矩阵 对角矩阵
单位矩阵
4
加法：
矩阵的运算
数乘： 两矩阵相乘：
A为mn阶矩阵 B为np阶矩阵
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矩阵运算的性质（1）
和是实数，矩阵A、B和是实数，矩阵A、B、C具有运算所需的维数
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矩阵的转置、对称矩阵
矩阵A的行与列互换称为A的转置矩阵，用A’表示 转置矩阵的性质：
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一、多元线性回归模型
多元线性回归模型: 有多个解释变量的线性回归模型。也 称为多变量线性回归模型。
总体回归函数： E ( Y |X 1 i , X 2 i , X k ) i0 1 X 1 i 2 X 2 i k X k
意为：给定X1,X2,…,Xk的值时Y的期望值。
增加随机干扰项的随机表达式：
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幂等矩阵
• 令A为nn对称矩阵。如果AA=A，则称 A是幂等矩阵。
• 幂等矩阵的性质： 令A为nn幂等矩阵 (1) rank(A)=tr(A) (2) A是半正定的。
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矩阵微分
(1) 对于一个给定的n1向量a，对所有n1向量x，定义线性函 数 f(x)= a’x，则f 对x的导数是1n阶偏导数向量a’，即：
的余因子，记为cij ，定义为 cij =(-1)i+j|Mij|
余因子矩阵： 将方阵A的元素aij代之以其余因 子，则得到A的余因子矩阵，记为cof A。
伴随矩阵：余因子矩阵的转置矩阵称为A的伴 随矩阵，记为adj A
adj A=(cof A)’
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求方阵的逆矩阵（3）
如果A是方阵且是非退化的矩阵（即|A|0）， 则A的逆矩阵的计算公式为：
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例：求下列矩阵A的逆阵
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解： Step1: 求|A|
|A|=-24 Step2: 求A的余因子矩阵c Step3: 求A的伴随矩阵，即c’
Step4:
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向量组的线性相关
(1) 令 x1, x2,…, xr是一组维数相同的向量，若存在不 全为零的实数1, 2, …, r使得
则称向量组{x1, x2,…, xr}是线性相关的； 否则，称{x1, x2,…, xr}是线性无关的。
矩阵代数概述
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矩阵
矩阵(matrix)就是一个矩形数组。 mn矩阵就有m行和n列。m称为行维数， n称为列维数。 可表示为：
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方阵、行向量、列向量
• 方阵：具有相同的行数和列数的矩阵。一 个方阵的维数就是其行数或列数。
• 行向量：一个1m的矩阵被称为一个(m维) 行向量。
• 列向量：一个n1的矩阵被称为一个(n维) 列向量。
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矩阵的秩
令A是一个nm的矩阵，则A中线性无关的最 大列向量称为A的秩，即为rank(A)。
• 若rank(A)=m，则称为列满秩
• 秩的性质： (1) 行秩＝列秩=rank(A) (即： rank(A’)=rank(A)) (2) 如果A是一个nk矩阵，则 rank(A)min(n,k)
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正定和半正定矩阵
一元（双变量）线性回归模型在实践中 对许多情况往往无法描述。
例如：对某商品的需求很可能不仅依赖于它 本身的价格，而且还依赖于其他相互竞争(互 替)或相互补充(互补)的产品价格。此外，还 有消费者的收人、社会地位，等等。因此， 我们需要讨论因变量或回归子Y，依赖于两个 或更多个解释变量或回归元的模型。
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矩阵逆的性质
(1) 如果一个矩阵的逆存在，则它是唯一的 (2) 若0且A可逆，则 (3) 如果A和B都是nn可逆矩阵，则
(4)
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矩阵的行列式
• 给定一个nn的方阵 为|A|，定义为：
，A的行列式，记
|A|=(-1)ta1p1a2p2…anpn 其中，t为p1p2….pn的逆序数。
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例：求下列矩阵A的行列式
解： 根据行列式定义，可得： 因此， |A|=21-4+16-10+15-42= - 4
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求方阵的逆矩阵（1）
余子式： 将nn的方阵A的第i行和第j列去掉，所剩下 的子矩阵的行列式叫做元素aij的余子式，记为|Mij|
例如：
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求方阵的逆矩阵（2）
余因子(代数余子式)： 将nn的方阵A的元素aij
Y i 0 1 X 1 i 2 X 2 i k X k ii i=1,2…,n
Y是被解释变量
为随机干扰项
Xji为解释变量，i指第i次观测
i为偏回归系数
习惯上：把常数项看成为一虚变量的系数，该虚变量的样本 观测值始终取1。这样：型中解释变量的数目为k+1 28
截距项和偏回归系数
总体回归函数的随机表达式：
x是n1维向量
一个方阵A是对称矩阵的充要条件A=A’
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迹
• 对任意一个nn的矩阵A，A的迹tr(A)定义为
其主对角线元素之和。 • 迹的性质：
其中，A为nm矩阵，B为mn矩阵
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矩阵的逆
• 对一个nn的矩阵A，如果存在矩阵B，使得 BA=AB=In
则称B为矩阵A的逆，用A-1表示。 如果A有逆矩阵，则称A是可逆的或非奇异的；否则， 称A是不可逆的或奇异的。
Y i 0 1 X 1 i 2 X 2 i k X k ii