必修四 第二章 平面向量 章末复习课
高中数学 必修四 第二章 平面向量章末归纳总结课件 新人教A版必修4
已知非零向量 a，b，且|a|＝|b|＝|a＋b|.求： (1)a，b 的夹角； (2)b，a－b 的夹角． [解析] 设O→A＝a，O→B＝b，以 OA 与 OB 的邻边作平行四边 形 OACB，如下图，由|a|＝|b|＝|a＋b|知，▱OACB 是菱形，且△OAC 与△OBC 都是正三角形，则
解法 2：设点 O 为平面内任一点，O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，
O→P＝t，则A→P＝O→P－O→A＝t－A． 同理，B→P＝t－b，C→P＝t－c．
∴AP2＋BP2＋CP2＝A→P2＋B→P2＋C→P2＝(t－a)2＋(t－b)2＋(t－ c)2＝3(t－a＋3b＋c)2＋a2＋b2＋c2－a＋b3＋c2.
|b|＝|－3e1＋2e2|＝ －3e1＋2e22＝ 9e21＋4e22－12e1·e2 ＝ 13－12cos60°＝ 7. 夹角 θ 满足 cosθ＝|aa|·|bb|＝ －7·727＝－12. ∴向量 a 与 b 的夹角为 120°.
[点拨] 本题易犯的三点错误： (1)求 a＝2e1＋e2 或 b＝－3e1＋2e2 的模时，错认为|a|＝ 22＋12 或|b|＝ －32＋22，这是因为 e1 与 e2 不是互相垂直的单位向量， 所以(2,1)或(－3,2)不是 a 或 b 的坐标，要将其转化成模的平方． (2)求数量积 e1·e2 时极易漏掉 cosθ， 应为 e1·e2＝|e1||e2|cosθ(θ 为 e1 与 e2 的夹角)． (3)若应用三角形法则或平行四边形法则求向量模时极易找错 向量间的夹角．注意找两向量夹角时两向量必须有共同起点．
[点拨] 运用了向量共线的坐标表达式．a＝(x1，y1)与b＝ (x2，y2)共线⇔x1y2－x2y1＝0.本题还可用向量a与b共线⇔|a·b|＝ |a|·|b|，同学们不妨试一下．
高中数学第二章平面向量章末复习提升课课件b必修4b高一必修4数学课件
(2)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
|A→B|＝ （x2－x1）2＋（y2－y1）2.
(3)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 为 a 与 b 的夹角，
则 cos θ＝|aa|·|bb|＝
x1x2＋y1y2 x21＋y12 x22＋y22
.
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内容(nèiróng)总结
第二章 平面(píngmiàn)向量
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当点 D 的坐标为(2，1)时， 设A→C＝pA→B＋qA→D， 则(－2，1)＝p(1，2)＋q(3，1)， 所以－ 1＝2＝ 2p＋p＋q.3q，所以pq＝ ＝－ 1，1.所以A→C＝A→B－A→D. 所以，当点 D 的坐标为(－2，3)时，A→C＝－A→B＋A→D； 当点 D 的坐标为(2，1)时，A→C＝A→B－A→D.
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同理可得：|d|＝ 3.而 c·d＝(2a－b)·(b－a)＝3a·b－2a2－b2
＝－92，设 θ 为 c 与 d 的夹角，
则 cos θ＝|cc|·|dd|
＝ 2
－9 7×
3
＝－3
21 14 .
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【点评】 对于非零向量 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则 a⊥b⇔a·b
高中数学 第二章 平面向量单元复习课件 新人教B版必修4
平行向量基本定理:若 = ,则 ∥ ;若 ∥ ,且 ≠ 0,
则存在唯一∈R,使 =
平面向量基本定理:如果1 ,2 是一平面内的两个不平行的向
量,那么该平面内的任一向量,存
在唯一的一对实数1 ,2 ,使 = 1 1 + 2 2
向量的分解与坐标运算
坐标表示:单位正交基底
5
6
+
3
3 1
× =- ,故选 A.
4
6
2
专题一
专题二
专题三
专题四
应用2若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a与b夹角的余弦值
为
.
解析:∵|a|=|a+2b|,
∴|a|2=|a+2b|2=|a|2+4|b|2+4a·b.
设向量a,b的夹角为θ,
∴4|a||b|cos θ+4|b|2=0.
)+a-b=(a-c)+(c-b)=0,而与为不共线向量,则
a-c=c-b=0,得 a=b=c.故选 A.
答案:A
专题一
专题二
专题三
专题四
应用 3 已知△ABC 所在的平面内有一点 P,满足 + +
= ,则△PBC 与△ABC 的面积之比是(
1
A.3
1
2
B.2
)
3
C.3
D.4
解析:因为 + + = ,
所以 + + = − ,
所以=-2=2,
2
即 P 是 AC 边的一个三等分点,且 PC=3AC.
由三角形的面积公式,可知
2019_2020学年高中数学第2章平面向量章末复习课课件北师大版必修4
(2)法一：因为 b·c＝0， 所以 b·[ta＋(1－t)b]＝0， 即 ta·b＋(1－t)b2＝0. 又因为|a|＝|b|＝1，θ＝60°， 所以12t＋1－t＝0，所以 t＝2. 法二：由 t＋(1－t)＝1 知向量 a，b，c 的终点 A、B、C 共线，在 平面直角坐标系中设 a＝(1,0)，b＝12， 23，则 c＝32，－ 23. 把 a、b、c 的坐标代入 c＝ta＋(1－t)b，得 t＝2.]
1．(1)设向量 a，b 不平行，向量 λa＋b 与 a＋2b 平行，则实数 λ ＝________.
(2)在△ABC 中，点 M，N 满足A→M＝2M→C，B→N＝N→C.若M→N＝xA→B ＋yA→C，则 x＝________；y＝________.
1 (1)2
1 (2)2
－16
[(1)因为 λa＋b 与 a＋2b 平行，
向量数量积的两种运算方法 1当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉. 2当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若 a＝x1，y1， b＝x2，y2，则 a·b＝x1x2＋y1y2. 运用两向量的数量积解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵 活选择相应公式求解.
2．已知两个单位向量 e1，e2 的夹角为3π，若向量 b1＝e1－2e2，b2
＝3e1＋4e2，则 b1·b2＝________.
－6
[b1·b2
＝
(e1
－
2e2)·(3e1
＋
4e2)
＝
3e
2 1
－Hale Waihona Puke 2e1·e2－8e
2 2
＝
3
－
2×1×1×12－8＝－6.]
高中数学课件-第二章 平面向量 章末归纳总结 课件(北师大版必修4)
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设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC 外，B→C2＝16，
|A→B＋A→C|＝|A→B－A→C|，则|A→M|＝( )
A案] C [解析] ∵|A→B＋A→C|＝|A→B－A→C|，∴△ABC 是以 A 为直角 顶点的三角形，
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②数乘向量的几何意义 数乘向量的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方 向放大或缩小． ③数乘向量运算满足的运算律 设λ，μ为实数，则 (λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(μa)＝(λμ)a； λ(a＋b)＝λa＋λb(分配律)． ④向量的线性运算 向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫作向量 的线性运算．
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∴(13－3t )a＋tb＝(14－4s)b＋sa. ∴t13＝－143t－＝4ss.， 解得st＝＝112311.， 故有A→P＝131a＋121b.
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[规律总结] 用待定系数法解决问题的关键是构造一个同 一向量的不同表达形式，怎样去构造是难点，这要把握所给图 形加以分析．
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[例 3] 已知四边形 ABCD 中，A→B＝(6,1)，B→C＝(x，y)，C→D ＝(－2，－3)．
(1)若 B→C∥D→A，求 y＝f(x)的解析式； (2)在(1)的条件下，若A→C⊥B→D，求 x，y 的值以及四边形 ABCD 的面积． [思路分析] (1)利用向量平行的坐标表示，整理可得函数 的解析式； (2)根据条件先求出 x，y 的值，然后求出|A→C|、|B→D|，再利 用 S 四边形 ABCD＝12|A→C||B→D|求面积．
高中数学第二章平面向量章末复习提升课课件a必修4a高一必修4数学课件
答案：135°
12/10/2021
第二十一页，共二十六页。
向量的长度(模)与距离的问题
已知平面向量 a，b 的夹角为π6，且|a|＝ 3，|b|＝2，在△ABC
中，A→B＝2a＋2b，A→C＝2a－6b，D 为 BC 的中点，则|A→D|等于
()
A．2
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(2019·河南八市重点高中质检)已知平面向量
a，b 的夹角为23π，且 a·(a－b)＝8，|a|＝2，则|b|等于( )Fra bibliotekA. 3
B．2 3
C．3
D．4
解析：选 D.因为 a·(a－b)＝8， 所以 a·a－a·b＝8，即|a|2－|a||b|cos〈a，b〉＝8， 所以 4＋2|b|×12＝8，解得|b|＝4.
第十四页，共二十六页。
1．已知向量 a，b 的夹角为34π，|a|＝ 2，|b|＝2，则 a·(a－2b)＝ ________．
解析：a·(a－2b)＝a2－2a·b＝2－2×
2×2×－
22＝6.
答案：6
12/10/2021
第十五页，共二十六页。
2．设四边形 ABCD 为平行四边形，|A→B|＝6，|A→D|＝4，若点 M， N 满足B→M＝3M→C，D→N＝2N→C，则A→M·N→M等于________． 解析：A→M＝A→B＋B→M＝A→B＋34A→D， N→M＝C→M－C→N＝－14A→D＋13A→B， 所以A→M·N→M＝14(4A→B＋3A→D)·112(4A→B－3A→D)＝418(16A→B2－9A→D2) ＝418(16×62－9×42)＝9. 答案：9
高中数学人教B版必修四第二章《平面向量章末归纳总结》ppt课件
＝
－
F
→
C
－C
→
D
－D
→E ＝
C
→F ＋
D→C ＋E→D .
①
在四边形 ABFE 中，
E→F ＋F→B ＋B→A ＋A→E ＝0，
∴E→F ＝B→F ＋A→B ＋E→A .
②
①＋②，得
2E→F＝C→F ＋D→C ＋E→D ＋B→F ＋A→B ＋E→A ＝(C→F ＋B→F )＋
(E→D ＋E→A )＋(A→B ＋D→C )．
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/29
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31
谢谢欣赏！
2019/8/29
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32
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、 语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面 的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
[解析] 如图，作 O→A ＝a，O→B ＝b，
以 OA、OB 为邻边作▱OACB，
则 O→C ＝a＋b，B→A ＝a－b.
由|a|＝|b|＝|a＋b|，
知 OA＝OB＝OC＝AC＝BC， 故四边形 OACB 为菱形，△OBC 为等边三角形． ∵BA 平分∠OBC，且∠OBC＝60°， ∴∠CBA＝30°.
垂直，16a＋11b 与 2a－7b 垂直，试求 a 与 b 的夹角．.
高中数学第2章平面向量章末复习课教案含解析新人教B版必修4
第2章平面向量(教师用书独具)注意大小、方向两个方面．2．向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线问题、共点问题．3．题型主要有证明三点共线、两线段平行、线段相等、求点或向量的坐标等． 【例1】 如图，在△ABC 中，点M 是AB 边的中点，E 是中线CM 的中点，AE 的延长线交BC 于F .MH ∥AF 交BC 于H .求证：HF →＝BH →＝FC →.[思路探究] 选择两不共线向量作基底，然后用基底向量表示出HF →、BH →与FC →即可证得． [证明] 设BM →＝a ，MH →＝b ， 则BH →＝a ＋b ， HF →＝HB →＋BA →＋AF → ＝－BH →＋2BM →＋2MH → ＝－a －b ＋2a ＋2b ＝a ＋b ，FC →＝FE →＋EC →＝12HM →＋ME →＝－12MH →＋MA →＋AE →＝－12b ＋BM →＋AF →－EF →＝－12b ＋a ＋2MH →－12MH →＝－12b ＋a ＋2b －12b ＝a ＋b .综上，得HF →＝BH →＝FC →.1.如图，平行四边形ABCD 中，点M 在AB 的延长线上，且BM ＝12AB ，点N 在BC 上，且BN＝13BC ，求证：M ，N ，D 三点共线． [证明] 设AB →＝e 1，AD →＝e 2，则BC →＝AD →＝e 2， ∵BN →＝13BC →＝13e 2，BM →＝12AB →＝12e 1，∴MN →＝BN →－BM →＝13e 2－12e 1，又∵MD →＝AD →－AM →＝e 2－32e 1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫13e 2－12e 1＝3MN →，∴向量MN →与MD →共线，又M 是公共点，故M ，N ，D 三点共线.根据定义式可知，当向量夹角为锐角、钝角和直角时，其结果分别为正值、负值和零，零向量与任何一个向量的数量积均为零．平面向量的数量积是向量的核心内容，通过向量的数量积考查向量的平行、垂直等关系，利用向量的数量积可以计算向量的夹角和长度．【例2】 非零向量a ，b 满足(a ＋b )⊥(2a －b )，(a －2b )⊥(2a ＋b )，求a ，b 的夹角的余弦值．[思路探究]由(a ＋b )⊥(2a －b )，(a －2b )⊥(2a ＋b )列出方程组→求出|a |2，|b |2，a ·b 的关系→利用夹角公式可求[解] 由(a ＋b )⊥(2a －b )，(a －2b )⊥(2a ＋b )，得⎩⎪⎨⎪⎧2|a |2－|b |2＋a ·b ＝0，2|a |2－2|b |2－3a ·b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧|a |2＝－52a ·b ，|b |2＝－4a ·b ，所以|a ||b |＝－10a ·b ，所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1010.2.如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP →·AC →＝________. 18 [∵AP →·AC →＝AP →·(AB →＋BC →)＝AP →·AB →＋AP →·BC →＝AP →·AB →＋AP →·(BD →＋DC →) ＝AP →·BD →＋2AP →·AB →， ∵AP ⊥BD ，∴AP →·BD →＝0.∵AP →·AB →＝|AP →||AB →|cos∠BAP ＝|AP →|2， ∴AP →·AC →＝2|AP →|2＝2×9＝18.]化为代数运算，实现数与形的统一．2．向量的坐标运算是将几何问题代数化的有力工具，它是转化思想、函数与方程、分类讨论、数形结合等思想方法的具体体现．3．通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模、夹角判断共线、平行、垂直等问题．【例3】 已知向量AB →＝(4,3)，AD →＝(－3，－1)，点A (－1，－2)． (1)求线段BD 的中点M 的坐标；(2)若点P (2，y )满足PB →＝λBD →(λ∈R )，求y 与λ的值． [思路探究] (1)先求B ，D 点的坐标，再求M 点坐标； (2)由向量相等转化为y 与λ的方程求解． [解] (1)设点B 的坐标为(x 1，y 1)．∵AB →＝(4,3)，A (－1，－2)，∴(x 1＋1，y 1＋2)＝(4,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝4，y 1＋2＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，y 1＝1，∴B (3,1)．同理可得D (－4，－3)． 设线段BD 的中点M 的坐标为(x 2，y 2)，则x 2＝3－42＝－12，y 2＝1－32＝－1，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1.(2)由已知得PB →＝(3,1)－(2，y )＝(1,1－y )， BD →＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．又PB →＝λBD →，∴(1,1－y )＝λ(－7，－4)，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝－7λ，1－y ＝－4λ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－17，y ＝37.3．已知△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，BC 边上的高为AD ，求AD →. [解] 设D (x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)， BD →＝(x －3，y －2)，BC →＝(－6，－3)，∵AD →⊥BC →，∴AD →·BC →＝0， 则有－6(x －2)－3(y ＋1)＝0，①∵BD →∥BC →，则有－3(x －3)＋6(y －2)＝0，② 解由①②构成的方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，则D 点坐标为(1,1)，所以AD →＝(－1,2).运算和线段平行之间、数量积运算和垂直、夹角、距离问题之间联系密切，因此用向量方法可以解决平面几何中的相关问题．2．向量在解析几何中的应用，主要利用向量平行与垂直的坐标条件求直线的方程． 3．在物理中的应用，主要解决力向量、速度向量等问题．【例4】 已知正方形ABCD ，E 、F 分别是CD 、AD 的中点，BE 、CF 交于点P . 求证：(1)BE ⊥CF ； (2)AP ＝AB .[证明] 如图建立直角坐标系，其中A 为原点，不妨设AB ＝2，则A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，E (1,2)，F (0,1)．(1)BE →＝OE →－OB →＝(1,2)－(2,0)＝(－1,2)， CF →＝OF →－OC →＝(0,1)－(2,2)＝(－2，－1)． ∵BE →·CF →＝－1×(－2)＋2×(－1)＝0， ∴BE →⊥CF →，即BE ⊥CF .(2)设P (x ，y )，则FP →＝(x ，y －1)，CF →＝(－2，－1)， ∵FP →∥CF →，∴－x ＝－2(y －1)，即x ＝2y －2. 同理由BP →∥BE →，得y ＝－2x ＋4，代入x ＝2y －2. 解得x ＝65，∴y ＝85，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫65，85. ∴AP →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫652＋⎝ ⎛⎭⎪⎫852＝4＝AB →2，∴|AP →|＝|AB →|，即AP ＝AB .4．已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)． (1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标，并求矩形ABCD 的两对角线所夹的锐角的余弦值．[解] (1)证明：∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， ∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)， ∴AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .(2)∵四边形ABCD 为矩形，∴AB →⊥AD →，AB →＝DC →. 设C 点的坐标为(x ，y )，则AB →＝(1,1)，DC →＝(x ＋1，y －4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝1，y －4＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5，∴C 点的坐标为(0,5)．从而AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)，∴|AC →|＝25，|BD →|＝25，AC →·BD →＝8＋8＝16. 设AC →与BD →的夹角为θ， 则cos θ＝AC →·BD →|AC →||BD →|＝1620＝45，∴矩形ABCD 的两条对角线所夹的锐角的余弦值为45.合思想．向量的坐标表示的引入，使向量运算完全代数化，将数和形紧密地结合在一起．运用数形结合思想可解决三点共线，两条线段(或射线、直线)平行、垂直，夹角、距离、面积等问题．【例5】 如图所示，以△ABC 的两边AB ，AC 为边向外作正方形ABGF ，ACDE ，M 为BC 的中点，求证：AM ⊥EF .[思路探究] 要证AM ⊥EF ，只需证明AM →·EF →＝0.先将AM →用AB →，AC →表示，将EF →用AE →，AF →表示，然后通过向量运算得出AM →·EF →＝0.[证明] 因为M 是BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)，又EF →＝AF →－AE →，所以AM →·EF →＝12(AB →＋AC →)·(AF →－AE →)＝12(AB →·AF →＋AC →·AF →－AB →·AE →－AC →·AE →) ＝12(0＋AC →·AF →－AB →·AE →－0)＝12(AC →·AF →－AB →·AE →) ＝12[|AC →||AB →|cos(90°＋∠BAC )－|AB →||AC →|cos(90°＋∠BAC )]＝0， 所以AM →⊥EF →，即AM ⊥EF .5．已知a ，b 是单位向量，a·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b|＝1，则|c |的最大值为( ) A.2－1 B. 2 C.2＋1D.2＋2C [∵|a|＝|b |＝1，且a·b ＝0，∴可设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(x ，y )． ∴c －a －b ＝(x －1，y －1)． ∵|c －a －b|＝1， ∴(x －1)2＋(y －1)2＝1， 即(x －1)2＋(y －1)2＝1. 又|c |＝x 2＋y 2，如图所示．由图可知，当c 对应的点(x ，y )在点C 处时，|c |有最大值且|c |max ＝12＋12＋1＝2＋1.]。
人教版必修四第二单元平面向量的复习课件
变式：若等边 ABC 的边长为 2
3 ，平面内一点
M
满足 CM
1
CB
2 CA
,则
63
MA• MB ________.
题型五: 向量与三角函数的综合
例 已知向量 a (sin ,2) 与 b (1, cos ) 互相垂直，其中 (0, ) ．
2 （1）求 sin 和 cos 的值；
（2）若 sin( ) 10 , 0 ，求tan( )的值．
4.注意掌握一些重要结论，灵活运用结论解题。如向量的共线定理， 平面向量基本定理，三角形四心与向量有关的常见结论等。
1. (湖南)设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点,
且 =2 ， =2 ， =2 ,则
（）
A.反向平行
B.同向平行
C.互相垂直
A
解:
E F
D.既不平行也不垂直
B
C
D
仿照上题，用坐标运算的方法解决下列问题：
例 已知 ABC，AD 为中线，求证 AD2 1 AB2 AC2 BC 2
2
2
例 设两个向量 e1 、e2 ，满足| e1 | 2 ，| e2 | 1 ，e1 、e2 的夹角为 60°，若向量 2te1 7e2
与向量 e1 te2 的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围.
3
3
OM ,ON, MN
B
D
M
N C
A O
题型三: 向量平行与垂直的条件
4、已知 O，N，P 在 ABC 所在平面内，且 OA OB OC , NA NB NC 0 ，
且 PA• PB PB • PC PC • PA ，则点 O，N，P 依次是 ABC 的
人教A版数学必修四第二章平面向量单元复习课件ppt
D
A
M
MN
C N
B
1 3
MC
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
例4
在Rt△ABC中，已知斜边BC=2，
线段PQ以A为中点，且PQ=4，向量 B C 与
P Q 的夹角为60°，求 BP CQ .
（5）相等向量： 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 长度相等且方向相同的向量. （6）相反向量： 长度相等且方向相反的向量. （7）平行向量（共线向量）： 方向相同或相反的非零向量. （8）向量的数量积： a·b=|a||b|cosθ.
例1设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，
c＝(－1，－2)，若表示向量4a，4b－2c，
2(a－c），d 的有向线段首尾相接能构 成四边形，求向量d 的坐标.
d＝(－2，－6)
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
Cபைடு நூலகம்
Q
BPCQ 2 A
B
P
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
知识梳理 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
高中数学 第二章 平面向量复习课课件 新人教A版必修4
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1
(二) 要点概述 1.平面向量的有关概念：相等向量 相反向量 平行向量 共线向量 2.平面向量的运算：加法 减法 数乘 数量积 3.平面向量基本定理与共线向量定理 4.平面向量的坐标运算 5.平面向量的应用：平行 垂直 模 夹角 6.平面向量与三角、物理等知识的融合
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2
四、典型题归纳： （一）向量的基本概念和运算律
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3
（二）向量的坐标运算
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4
（三）向量与函数的交汇 （四）平面向量与三角的交汇
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5
（五）平面向量的判断题
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6
[作业精选，巩固提高]
• 复习参考题：A组2，3,5
完整版pห้องสมุดไป่ตู้t
7
人教A版高中数学必修四第二章平面向量复习课件
解：设点 B 的坐标为（x,y），
则 OB (x, y), AB (x 5, y 2)
OB AB
∴ x（ x-5） +y（ y-2） =0
即 x2+y2 – 5x – 2y=0
①
又 OB AB
∴x2+y2=（x-5）2+（y-2）2 即 10x+4y=29 ②
2024/11/3
由①、②解得：
2
2a b
b2
3
ab
3
2024/11/3
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15、如图，E是正方形ABCD的边AB延
长线上的一点，F在BC上，且BE=BF， 用向量的坐标法证明：AF⊥CE
2024/11/3
D
C
F
A
BE
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3、已知三个力 f1、f2、f3 作用于同一质点,且 | f1 | 20, | f2 | 30, | f3 | 40 (单位:牛)若三个力在同一平面
内且两两的夹角都为1200,求协力的大小和方向
y
B
f2
oθ
f3
x
C
A f1
2024/11/3
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例2:已知向量a (cos 3 x,sin 3 x),b (cos x , sin x),
22
2
2
且x
0,2
,
求
:
(1)a
b及
a
b
;
(2)若f
(x)
a
b
2
a
b
的最小值是-
3 2
, 求的值.
x1
y1
7 2
23或xy22
3 为
高中数学第二章平面向量单元复习课件新人教B版必修4
本章整合
定义:既有大小又有方向的量 向量的概念 表示:用有向线段表示向量 相关概念:相等向量、相反向量、共线向量、零向量 向量的加法 平行四边形法则 三角形法则 |������������| = |������||������| 当������ > 0 时,与������同向;当������ < 0 时,与������反向
(������ = (������1 ,������2 ),������ = (������1 ,������2 )) 在平面几何中的应用:证明垂直等 向量的应用 在解析几何中的应用:斜率、直线方程 在物理中的应用:力向量、速度向量等
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一 向量的线性运算及其应用 向量的加法、减法和数乘向量的综合运算,通常叫做向量的线性 运算,通过向量的线性运算,解决共线问题、线段相等问题,特别是 与平面图形相结合,将平面几何与向量结合起来,是高考考查的重 点内容.应熟练掌握向量加法的平行四边形法则、三角形法则以及 向量减法的三角形法则,并注意数形结合思想方法的灵活运用.
向量的减法:三角形法则 向量的线性运算 数乘向量:������������是一个向量
平行向量基本定理:若������ = ������������,则������ ∥ ������;若������ ∥ ������,且������ ≠ 0, 则存在唯一������∈R,使������ = ������������
2 2 ������1 + ������2 (������ = (������1 ,������2 ))
cos < ������,������ >=
������1 ������1 + ������2 ������2
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实用文档 必修四 第二章 平面向量 章末复习课
一、选择题
1、已知点O 为△ABC 所在平面内一点，且2＋2＝2＋2＝2＋2，则O 一定是△ABC 的( )
A ．外心
B ．内心
C ．垂心
D ．重心
2、在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足＝2，则·(＋)等于(
) A.49 B.43 C ．－43 D ．－49
3、若向量a 与b 不共线，a·b ≠0，且c ＝a －⎝ ⎛⎭⎪⎫
a·a a·b b ，则向量a 与c 的夹角为( )
A ．0 B.π6 C.π3 D.π2
4、在平行四边形ABCD 中，＝(1,2)，＝(－3,2)，则·等于( )
A ．－3
B ．－2
C ．2
D ．3
5、已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2＋＋＝0，那么( )
A. ＝
B. ＝2
C. ＝3 D．2＝
6、已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b与a垂直，则λ等于( )
A．－1 B．1 C．－2 D．2
7、若向量a＝(1,2)，b＝(－3,4)，则(a·b)(a＋b)等于( )
A．20 B．(－10,30)
C．54 D．(－8,24)
二、填空题
8、已知平面向量α、β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．
9、设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)．若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________.
10、已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a上的投影是______．
11、过点A(2,3)且垂直于向量a＝(2,1)的直线方程是____________．
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三、解答题
12、如图，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝
2 3.若＝λ＋μ(λ，μ∈R )，求实数λ、μ的值．
13、设a ，b 是两个不共线的非零向量，t ∈R .
(1)若a 与b 起点相同，t 为何值时a ，t b ，13
(a ＋b )三向量的终点在一直线上？ (2)若|a |＝|b |且a 与b 夹角为60°，那么t 为何值时，|a －t b |的值最小？
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14、已知A (1，－2)、B (2,1)、C (3,2)和D (－2,3)，以、为一组基底来表示＋＋.
以下是答案
一、选择题
1、C [由2＋2＝2＋2，得2＋(－)2＝2＋(－)2，得·＝·.∴·＝0，O 在边AB 的高线上．同理O 在边AC 的高线上，即O 为△ABC 的垂心．故选C.]
2、A [易知P 为△ABC 的重心，则＋＝－＝，故·(＋)＝2＝49，故选A.]
3、D [∵a·c ＝a·⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －⎝ ⎛⎭⎪⎫a·a a·b b ＝a·a －⎝ ⎛⎭
⎪⎫a·a a·b ·(a·b )＝0，∴〈a ，c 〉＝π2.]
4、D [＝＋＝(1,2)，＝－＝(－3,2)，解得＝(－1,2)，∴·＝(－1,2)·(1,2)＝3.故选D.]
5、A [由题意D 是BC 边的中点，
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所以有＋＝2，
所以2＋＋＝2＋2＝2(＋)＝0⇒＋＝0⇒＝.]
6、A [(λa ＋b )·a ＝0，∴λa 2＋a ·b ＝0.
∴10λ＋10＝0，∴λ＝－1.故选A.]
7、B [a ·b ＝－3＋8＝5，a ＋b ＝(－2,6)，
∴(a ·b )(a ＋b )＝5×(－2,6)＝(－10,30)．故选B.]
二、填空题
8、10
解析 由α⊥(α－2β)得α·(α－2β)＝0，∴α2－2α·β＝0.又∵|α|＝1，∴α·β＝12.又∵|β|＝2， ∴|2α＋β|＝(2α＋β)2＝4α2＋4α·β＋β2＝4＋4×12＋4＝10.
9、2
解析 λa ＋b ＝(λ＋2,2λ＋3)与c ＝(－4，－7)共线，
∴(λ＋2)(－7)－(2λ＋3)(－4)＝0，得λ＝2.
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解析 b 在a 上的投影为|b |cos θ＝2×cos 60°＝1.
11、2x ＋y －7＝0
解析 设直线上任一点P (x ，y )，则＝(x －2，y －3)．
由·a ＝2(x －2)＋(y －3)＝0，得2x ＋y －7＝0.
三、解答题
12、解 方法一
过点C 分别作平行于OB 的直线CE 交直线OA 于点E ，平行于OA 的直线CF 交直线OB 于点F .如图
所示．
在Rt △OCE 中，||＝＝23
32＝4；
||＝||·tan 30°＝23×3
3＝2，
由平行四边形法则知，＝＋＝4＋2，
∴λ＝4，μ＝2.
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如图所示，以所在直线为x 轴，过O 垂直于OA 的直线为y 轴建立直角坐标系．设B 点在x 轴的射
影为B ′，C 点在x 轴的射影为C ′.
易知，OC ′＝23cos 30°＝3，CC ′＝OC sin 30°＝3，BB ′＝OB sin 60°＝32
， OB ′＝OB cos 60°＝12
， ∴A 点坐标为(1,0)，B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，32， C 点坐标为(3，3)．
∵＝λ＋μ
∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ－12μ＝3，0·λ＋32μ＝
3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝4μ＝2.
方法三 ∵＝λ＋μ.
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∴，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 23×32λ＝12
λ－μ2＝23×32，解得λ＝4，μ＝2.
13、解 (1)设a －t b ＝m [a －13
(a ＋b )]，m ∈R ， 化简得(23m －1)a ＝(m 3－t )b ， ∵a 与b 不共线，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
23m －1＝0
m 3－t ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝32，t ＝12.
实用文档 ∴t ＝12时，a ，t b ，13
(a ＋b )的终点在一直线上． (2)|a －t b |2＝(a －t b )2＝|a |2＋t 2|b |2－2t |a ||b |cos 60°＝(1＋t 2－t )|a |2.
∴当t ＝12时，|a －t b |有最小值32
|a |.
14、解 ∵＝(1,3)，＝(2,4)，＝(－3,5)，
＝(－4,2)，＝(－5,1)，
∴＋＋＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1)＝(－12,8)．
根据平面向量基本定理，必存在唯一实数对m ，n 使得 ＋＋＝m ＋n ，
∴(－12,8)＝m (1,3)＋n (2,4)．
∴⎩⎪⎨⎪⎧ －12＝m ＋2n ，8＝3m ＋4n .，得m ＝32，n ＝－22.
∴＋＋＝32－22.。