线段和差最值问题

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专题一．线段和(差）的最值问题

【知识依据】

1．线段公理——两点之间，线段最短;

2．对称的性质——①关于一条直线对称的两个图形全等;②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线； 3．三角形两边之和大于第三边; 4．三角形两边之差小于第三边; 5、垂直线段最短。 一、已知两个定点:

1、在一条直线m 上,求一点P,使最小;

(1)点A 、B 在直线m 两侧：

(2)点A 、B 在直线同侧：

m m A

B

A

B

m

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A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。

2、在直线m 、ｎ上分别找两点Ｐ、Ｑ，使最小。

(1）两个点都在直线外侧：

n

m

n

（２）一个点在内侧,一个点在外侧：

(3)两个点都在内侧：

n

m

n

n

n

m

（４）、台球两次碰壁模型

变式一:已知点Ａ、B 位于直线 的内侧,在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形周长最短.

变式二:已知点A 位于直线 的内侧, 在直线m 、ｎ分别上求点P 、Q 点周长最短.

m

二、一个动点,一个定点:

(一)动点在直线上运动： 点B 在直线n 上运动，在直线ｍ上找一点P,使最小(在图中画出点P 和点B ）

１、两点在直线两侧:

２、两点在直线同侧:

m n

A

m

n

m

n

m

（二)动点在圆上运动:点B 在⊙O 上运动,在直线m 上找一点P,使最小（在图中画出点Ｐ和点B)

1、点与圆在直线两侧:

2、点与圆在直线同侧：

m

m

m

A

m

三、已知A 、B 是两个定点,P 、Q 是直线m 上的两个动点,Ｐ在Q 的左侧,且间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得的值最小。(原理用平移知识解)

(1)点A 、B 在直线m 两侧:

过A 点作∥m,且长等于长，连接,交直线m 于向左移

动长，即为P 点,此时P 、Q 即为所求的点。

(2）点A 、B 在直线ｍ同侧：

m

Q

Q

m

四、求两线段差的最大值问题（运用三角形两边之差小于第三边)

1、在一条直线ｍ上，求一点P ，使与的差最大； （1)点Ａ、B 在直线m 同侧:

（２）点

Ａ、Ｂ在直线m 异侧:

B

A

过B 作关于直线m 的对称点B ’,连接’交点直线ｍ于P,此时’,最大值为’

Ⅰ.专题精讲

最值问题是一类综合性较强的问题,而线段和（差)问题，要归归于几何模型: （1)归于“两点之间的连线中,线段最短”凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时,大都应用这一模型．

（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时,大都应用这一模型．

Ⅱ.典型例题剖析

一．归入“两点之间的连线中,线段最短” Ⅰ.“饮马”几何模型：

条件:如下左图,Ａ、B 是直线l 同旁的两个定点. 问题:在直线l 上确定一点Ｐ，使+的值最小.

模型应用：

１.如图，正方形的边长为2,E 为的中点,P 是上一动点．则的最小值是 ．

2．如图，⊙O 的半径为2,点Ａ、Ｂ、C 在⊙O 上,⊥，∠60°，P 是上一动点，则的

最小值是 .

３.如图，在锐角△中，＝４２，∠=４５°,∠的平分线交于点D,M、N 分别是和上的动点,则的最小值是 .

4．如图,在直角梯形中，∠＝90°,∥，＝４，＝5,＝６,点P是上一个动点，当+的和最小时,的长为．

5．如图，等腰梯形中，＝＝＝1,∠=６0°，P是上底,下底中点直线上的一点,则的最小值为 .

6.如图,是半径为1的⊙O的直径,点A在⊙Ｏ上，∠＝3０°，B为弧的中点，Ｐ是直径上一动点，则+的最小值为．

第1题第2题第3题第4题

第5题第6题第7题

7.已知Ａ(－2,3),B(3,1）,Ｐ点在ｘ轴上，若+长度最小，则最小值为．若—长度最大,则最大值为 .

8.已知：如图所示，抛物线y＝－x２+＋c与ｘ轴的两个交点分别为A(１,０),B(3，0）．

(1)求抛物线的解析式;

（2）设点Ｐ在该抛物线上滑动，且满足条件S△=1的点P有几个?并求出所有点P 的坐标;

(3）设抛物线交ｙ轴于点C，问该抛物线对称轴上是否存在点Ｍ,使得△的周长最小?若存在,求出点M的坐标；若不存在,请说明理由．

Ⅱ．台球两次碰壁模型

已知点A位于直线ｍ,n的内侧，在直线m、n分别上求点P、Ｑ点,使周长最短.

变式:已知点Ａ、Ｂ位于直线ｍ,ｎ的内侧,在直线m、ｎ分别上求点D、E点，使得围成的四边形周长最短.

模型应用：

1．如图，∠４5°,P是∠内一点，1０，Q、R分别是、上的动点,求△周长的最小值.

２．如图，已知平面直角坐标系,A，B两点的坐标分别为Ａ（2，-3),B(4,－1）

设M,N分别为x轴和y轴上的动点,请问：是否存在这样的点M(m,０),N（0，n),使四边形的周长最短？若存在,请求出m=，n＝(不必写解答过程）;若不存在，请说明理由.

中考赏析:

１.著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B)位于笔直的沪渝高速公路X同侧,50、B到直线X的距离分别为10和40,要在沪渝高速公路旁修建一服务区Ｐ，向Ａ、B两景区运送游客.小民设计了两种方案,图（１)是方案一的示意图(与直线X垂直,垂足为P),P到A、B的距离之和S1＝＋，图（2)是方案二的示意图(点A关于直线X的对称点是Ａ',连接'交直线X于点P），P到A、B的距离之和S２=＋．(1）求S1、Ｓ2，并比较它们的大小;

(２）请你说明S2=＋的值为最小;

(3）拟建的恩施到张家界高速公路Ｙ与沪渝高速公路垂直，建立如图(3）所示的直角坐标系，Ｂ到直线Y的距离为3０，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.