数学思想方法之分类讨论思想

第3讲 分类讨论思想
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一、填空题
1．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为____________．
2．(2012·宿州模拟)若x >0且x ≠1，则函数y ＝lg x ＋log x 10的值域为____________．
3．(2012·盐城模拟)过双曲线2x 2－y 2＝2的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若AB ＝4，则这样的直线共有________条． 4.
函数f (x )的图象如图所示，f (x )为奇函数，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，则不等式x [f (x )－f (－x )]<0的解集为____________．
5．(2012·汕头模拟)设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24
＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点．已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且PF 1>PF 2，则PF 1PF 2
的值为________． 6．(2012·福州模拟)函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是________．
7．已知线段AB 和平面α，A 、B 两点到平面α的距离分别为1和3，则线段AB 的中点到平面α的距离为________．
8．函数y ＝a x (a >0且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a 2
，则a 的值是________． 9．函数f (x )＝(3sin x －4cos x )|cos x |的最大值为____________________．
二、解答题
10．(2012·安徽)设函数f (x )＝22
cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋sin 2x . (1)求f (x )的最小正周期；
(2)设函数g (x )对任意x ∈R ，有g ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝g (x )，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，g (x )＝12
－f (x )，求g (x )在区间[－π，0]上的解析式．
11. (2012·常州模拟)已知m ∈R ，求函数f (x )＝(4－3m )x 2－2x ＋m 在区间[0,1]上的最大值．
12．已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－a x
－1 (a ∈R )．
(1)当a ≤12
时，讨论f (x )的单调性； (2)设g (x )＝x 2－2bx ＋4，当a ＝14
时，若对任意x 1∈(0,2)，存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，求实数b 的取值范围．
答 案
1．43或83
3 2．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
3．3
4．(－3,0)∪(0,3)
5．2或72
6．[0,4]
7．1或2
8. 12或32 9. 92
10．解 (1)f (x )＝
22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋sin 2x ＝
22⎝⎛⎭⎫cos 2x cos π4－sin 2x sin π4 ＋1－cos 2x 2＝12－12
sin 2x . 故f (x )的最小正周期为π.
(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，g (x )＝12－f (x )＝12
sin 2x ，故 ①当x ∈⎣⎡⎦
⎤－π2，0时， x ＋π2∈⎣⎡⎦⎤0，π2. 由于对任意x ∈R ，g ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝g (x )，从而 g (x )＝g ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 ＝12sin ⎣⎡⎦
⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π2 ＝12sin(π＋2x )＝－12
sin 2x . ②当x ∈⎣
⎡⎭⎫－π，－π2时， x ＋π∈⎣⎡⎭⎫0，π2，从而 g (x )＝g (x ＋π)＝12
sin [2(x ＋π)]
＝12
sin 2x . 综合①②得g (x )在[－π，0]上的解析式为
g (x )＝⎩⎨⎧
12sin 2x ，x ∈⎣⎡⎭⎫－π，－π2，－12sin 2x ，x ∈⎣⎡⎦
⎤－π2，0.
11．解 ①当4－3m ＝0，
即m ＝43时，函数y ＝－2x ＋43
， 它在[0,1]上是减函数，
所以y max ＝f (0)＝43. ②当4－3m ≠0，即m ≠43
时，y 是二次函数． 当4－3m >0，即m <43时，二次函数y 的图象开口向上，对称轴方程x ＝14－3m
>0，它在[0,1]上的最大值只能在区间端点取得(由于此处不涉及最小值，故不需讨论区间与对称轴的关系)．
f (0)＝m ，f (1)＝2－2m ，
当m ≥2－2m ，又m <43，即23≤m <43
时，y max ＝m . 当m <2－2m ，又m <43，即m <23
时，y max ＝2(1－m )． 当4－3m <0，即m >43时，二次函数y 的图象开口向下，又它的对称轴方程x ＝14－3m
<0，所以函数y 在[0,1]上是减函数，于是y max ＝f (0)＝m .
由①、②可知，这个函数的最大值为
y max ＝⎩⎨⎧ 2－2m ，m <23，m ，m ≥23.
12．解 (1)因为f (x )＝ln x －ax ＋1－a x
－1， 所以f ′(x )＝1x －a ＋a －1x 2 ＝－ax 2－x ＋1－a x 2
，x ∈(0，＋∞)． 令h (x )＝ax 2－x ＋1－a ，x ∈(0，＋∞)．
①当a ＝0时，h (x )＝－x ＋1，x ∈(0，＋∞)，
所以当x ∈(0,1)时，h (x )>0，此时f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0，此时f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．
②当a ≠0时，令f ′(x )＝0，
即ax 2－x ＋1－a ＝0，
解得x 1＝1，x 2＝1a
－1. (ⅰ)当a ＝12
时，x 1＝x 2，h (x )≥0恒成立，此时f ′(x )≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．
(ⅱ)当0<a <12时，1a
－1>1>0， 当x ∈(0,1)时，h (x )>0，此时f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；
当x ∈(1，1a
－1)时，h (x )<0，此时f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈⎝⎛⎭
⎫1a －1，＋∞时，h (x )>0，此时f ′(x )<0，函数f (x )单调递减． (ⅲ)当a <0时，由于1a
－1<0， x ∈(0,1)时，h (x )>0，此时f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；
x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0，此时f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．
综上所述，当a ≤0时，函数f (x )在(0,1)上单调递减，函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增；
当a ＝12
时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减； 当0<a <12
时，函数f (x )在(0,1)上单调递减，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫1，1a －1上单调递增，函数f (x )在⎝⎛⎭
⎫1a －1，＋∞上单调递减． (2)因为a ＝14∈⎝
⎛⎭⎫0，12，由(1)知 当x ∈(0,1)时，函数f (x )单调递减；
当x ∈(1,2)时，函数f (x )单调递增．
所以f (x )在(0,2)上的最小值为f (1)＝－12
. 由于“对任意x 1∈(0,2)，存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)”等价于“g (x )在[1,2]上的最小
值不大于f (x )在(0,2)上的最小值－12
”．(*) 又g (x )＝(x －b )2＋4－b 2，x ∈[1,2]，所以
①当b <1时，因为g (x )min ＝g (1)＝5－2b >0，此时与(*)矛盾；
②当b ∈[1,2]时，因为g (x )min ＝4－b 2≥0，同样与(*)矛盾；
③当b ∈(2，＋∞)时，因为g (x )min ＝g (2)＝8－4b ，解不等式8－4b ≤－12
， 可得b ≥178
. 综上所述，b 的取值范围是⎣⎡⎭⎫178，＋∞.。