长郡理科实验班招生 考试数学试卷(一)

最全长郡理科实验班招生考试数学试卷（一）
时量：60分钟满分：100分
一选择题（每题5分，共30分）
l.已知α为实数，则代数式27−12α＋2a2的最小值为（）
A.0
B.3
C.33
D.9
2.若n为整数，则能使n+1n−1也为整数的n的个数有（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个·
3.已知α，b为实数，且αb=1，设M=a a+1+b b+1,N=1a+1+1b+1,则M、N的大小关系是
A..M>N
B.M=N
C.M<N.
D.无法确定
4.一张圆桌旁有四个座位如图，A,B,C,D四人随机坐在四个座位上，则A与D相
邻的概率是（）
A.23B12C14 D.29
5.如图，∠ACB=60°，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，
则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（）
A.2π
B.π
C.23
D.4
6.如图，平面中两条直线l1，和l2相交子点0，对于平面上任意一点M，若P,q分
别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对（p1,q）是点M的“距离坐标”，
根据上述定义，有以下几个结论：
①“距离坐标”是（0,1)的点有1个；
②“距离坐标”是（5，的的点有4个；
③“距离坐标”是（α，α），（α为非负实数）的点有4个．其中正确的有
其中正确的有（）
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
二、填空题（每题5分，共30分）
7.已知α，b,C是实数，且α2+6b＝-17,b2+8c=-23,c2+2α＝14，则α＋b+c=.
8.已知关于 的不等式（2α-b）＞b的解集是 棨−12，则a b b+-36a3=.
9.对正实数α，b作定义a∗b=ab−a+b，若4*x=44，则x的值是.
10.在△ABC中，AB=4C,∠A=45°，AC的垂直平分线分别交AB、AC于D、E 两点，连结CD，如果AD=l，则tan∠BCD的值为.
11.已知：如图，在直角△ABC中，AD=DE=EB，且CD2+CE2=1，则斜边AB的长为
12.小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的是基叫做中裆题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多
道．
三、解答题（每题10分，共40分）
13.某商场将进价为2600元的彩电以3000元售出，平均每天能销售出6台．为丁配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种彩电的售价每降低50元，平均每天就能多售出3台．
(1）商场要想在这种彩电销售中每天盈利3600元，同时又要使百姓得到最卢大实惠，每台彩电应降价多少元？
(2）每告彩电降价多少元时，商场每天销售这种彩电的利润最高？最高利润是多少？
14.已知点M,N的坐标分别为（0,1),(0,-1），点P是抛物线y=14x2上的一个动点．
（1）求证：以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=-1的相切；（2）设直线PM与抛物线y=14x2的另一个交点为点Q，连接NP、NQ，
求证：∠PNM=∠QNM.
15、已知关于x的方程（m2−1）x2−33m−1+18=0有两个正整数根（m是整数），△ABC的三边a、b、c满足c=23，m2+a2m−8a=0，m2+b2m−8b=0，求：（1）m的值；
（2）△ABC的面积；
16.直线y=x−10与x轴交于A点，点B在第一象限，且AB=35，以cos∠OAB=25 (1）若点C是点B关于x轴的对称点，求过0、C、A三点的抛物线的表达式(2）在(1）中的抛物线上是否存在点P(P点在第一象限），使得以点P、0、C、A为顶点的囚边形是梯形？若存在，求出点O的坐标；若不存在，请说明理由．
(3）若将点O、A分别变换为点Q(-4m,0),R(6m,0）（m 0且为常数）），设过Q、R两点且以QR的垂直平分线为对称轴的抛物线（开口向上）与y轴的交点为N，其顶点为M，记△QNM的面积为S∆QNM，△QNR的面积为S∆QNR，求S∆QNM:S∆QNR的
数学试卷（一）参考答案
一、选择题（每题5分，共30分）
1.B
2.D
3.B
4.A
5.C
6.B
二、填空题（每题5分，共30分）
7.-88.-39.3610.12 11.55312.20
三、解答题（每题10分，共40分）
13.解：设每台彩电降价x 元（0<x<400），商场销售这种彩电平均每天的利润为y 元
，则
有y =3000−2600−x 6+=350（x 2−−4000）……………………4分(1）因为要每天盈利3600元，则y=3600
2−300x −4000=3600所以x 2−300x +2000=0，解得x=100或俨200,又因为要使百姓得到最大实惠，则每台要降价200元．…………………………7分
(2)∵y =350x 2−300x −4000=350（x −150）2+3750∴当x=150时，y 取得最大值为3750,
所以每台彩电降价150元时，商场的利润最高为3750元．………………10分
14.解：（1）设点P 的坐标为（x 0，1
4x 02），则
PM===14x02+1；……………………4分
（2）如图，分别过点P，Q作直线y=-1的垂线，垂足分别为H、R，由（1）知PH=PM,MN、QR都垂直于直线y=-1，所以PH//MH//QR，于是
QM EN=MP NH,所以QR RN=PH HN,因此，Rt∆PHN∽Rt∆QNM.………………………………9分
于是∠HNP=∠RNQ，从而∠PNM=∠QNM。

................................................10分15.解：（1）方程有两个实数根，则m2−1≠0，解方程得x1=6m+1，x2=3m−1 (2)
分
由题意，得m+1=1，2，3，6
m=2，4
m−1=1，3，即m=0，1，2，5
故m=2…………………………………………………………………………4分（2）把m=2代入两等式，化简得a2−4a+2=0，b2−4b+2=0
当a=b时，a=b=2±2
当a≠b时，a、b是方程x2−4x+2=0的两根，而∆ 0，由韦达定理得，
①a≠b时c=23时，由于a2+b2=0，则a 0，b 0
故△ABC是直角三角形，且∠C=90°，S∆ABC=12ab=1
②a=b=2−2，c=23时，因22+2棨23
故不能构成三角形，不合题意，舍去…………………………8分
③a=b=2−2，c=23时，因2+2 23，故能构成三角形。

S∆ABC=12×23×（2−2）2=9+122.…………………………8分
16、（1）如图所示，点A（10，0），过B作BD⊥x轴于点D
则在Rt△ACD中，cos∠OAB=AD AB
∴AD=6,OD=4，∴B（4，3），则C(4，-3)
设过O、C、A三点抛物线表达式为
y=ax（x-10），将C（4，-3）代入得a=18
∴所求抛物线的表达式是y=18x2−54x
综上，！：，A.BC的面积为1或...............................10分
(2）设存在第一象限的点P，使得以点P、0、c、A为顶点的囚边形是梯形，则CA I/ PO，由A（毗明帆－3）可求得直线α的表达式为y十5，则直线PO的表达式为y=12x'
联立y=12x
y=18x2−54x，解得x=0y=0（舍去）或x=14y=7，则P（14，7），
此时PO=245,CA=45,OP≠CA
所以存在点P(14，7)使得四边形POCA为梯形。

…………………………6分
(3）依题意可设抛物线表达式为y=b(x-6m)，
则N（0，−24m2b），M（m，−25m2b）
S∆QNR=12·10m·24m2b，
设抛物线的对称轴与z轴的交点为G，则S∆QNR=S∆DQN+S∆NMG−S∆QCM=12·4m −24m2b+12·m·24m2b−12·5m·25m2b=10m3b.
∴S∆QNM：S∆QNR=1：12
.
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