高数期末考试题及答案

高数期末考试题及答案

一．选择填空题（每小题3分，共18分） 1.设向量 a =（2,0,-2）,b = （3,-4,0），则a ⨯b =

分析：a ⨯b = 2

234

i

j k

-- = -6j – 8k – 8i = （-8,-6,-8） 2.设 u = 2

2

3

x xy y ++.则 2u x y ∂∂∂ =

分析：u x

∂∂ = 22x y +, 则2u x y ∂∂∂ = 2'

(2)x y += 2y

3.椭球面 2

2

2

2315x y z ++= 在点（1,-1,,2）处的切平面方程为

分析：由方程可得，2

2

2

(,,)2315F x y z x y z =++- ，则可知法向量n =（ Fx, Fy, Fz ）; 则有 Fx = 2x ， Fy = 4y ， Fz = 6z ，则过点（1,-1,,2）处的法向量为 n =（2,-4,,12） 因此，其切平面方程为：2(1)4(1)12(2)0x y z --++-= ，即 26150x y z -+-= 4.设D ：y = x, y = - x, x = 2直线所围平面区域.则

(2)D

y d σ+=⎰⎰___________

分析：画出平面区域D （图自画），观图可得，

2

(2)(2)8x

x

D

y d dx y dy σ-+=+=⎰⎰⎰⎰

5.设L ：点(0 , 0 )到点(1 , 1)的直线段.则

2L

x ds =⎰

_________

分析：依题意可知：L 是直线y = x 上点(0 , 0 )与点(1 , 1)的一段弧，则有

1

1

2

L

x ds x

x ===

⎰

⎰⎰ 6.D 提示：级数

1

n

n u

∞

=∑发散，则称级数

1

n

n u

∞

=∑条件收敛

二.解答下列各题（每小题6分，共36分） 1.设2

ln()tan 2z x y x y =+++，求dz 分析：由z z dz dx dy x y ∂∂=

+∂∂可知，需求z x ∂∂及z y

∂∂ 12z xy x x y ∂=+∂+ ， 21

z x y x y

∂=+∂+ ，

则有 211(2)()z z dz dx dy xy dx x dy x y x y x y

∂∂=

+=+++∂∂++ 2.设(4,23),u f xy x y =-其中f 一阶偏导连续，求

u

y

∂∂ 分析：设v = 4xy , t = 2x – 3y ,则

'''4(3)(43)u f v f t f x f x f y v y t y

∂∂∂∂∂=+=+-=-∂∂∂∂∂ 3.设(,)z z x y =由222

100x y z xyz ++-=确定.求

z y

∂∂ 分析：由222

100x y z xyz ++-=得，2

2

2

(,,)100F x y z x y z xyz =++-- 则有由2()x Fx x yz xyz =-+，2()y Fy y xz xyz =-+，2Fz z xy =-

则

2()()222y y y xz xyz xz xyz y z Fy

y Fz z xy z xy

-++-∂=-=-=∂-- 4.求函数3

3

2

2

(,)339f x y x y x y x =-++-的极值 提示：详细答案参考高数2课本第111页例4 5.求二重积分

22

,x y D

e

d σ+⎰⎰其中D ：2219x y ≤+≤

分析：依题意，得 219

02ρθπ

≤≤≤≤⎧⎨⎩

，即1302ρθπ

≤≤≤≤⎧⎨⎩

则有，22

2

23

90

1

()x y D

e

d d

e d e e πρσσρρπ+==-⎰⎰⎰⎰

6.求三重积分

2xyz dV Ω

⎰⎰⎰，Ω：平面x = 0, x = 3, y = 0, y = 2, z = 0, z = 1所围区域 分析：依题意，得030201

x y z ≤≤≤≤≤≤⎧⎪⎨⎪⎩ 则有 3

2

1

2

20

3xyz dV dx dy xyz dz Ω

==⎰⎰⎰⎰⎰⎰

三.解答下列各题（每题6分，共24分） 1.求L

ydx xdy -⎰

，L ：圆周22

9x y +=，逆时针

分析：令P=y , Q= - x , 则

1Q

x

∂=-∂，1P y ∂=∂

由格林公式得

(

)(2)L

D

D

Q P

ydx xdy dxdy dxdy x y ∂∂-=-=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 作逆时针方向的曲线L ：{

cos sin x r y r θ

θ== ，

02θπ≤≤

则

20(

)(2)24L

D

D

Q P

ydx xdy dxdy dxdy d x y πθπ∂∂-=-=-=-=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰

2.设

:∑平面31x y z ++=位于第一卦限部分.试求曲面积分xdS ∑

⎰⎰

分析：由

:∑平面31x y z ++=可得13z x y =--

则 13y

x y z z

z x ∂∂=

=-=-∂∂，z = 则有

Dxy

Dxy

xdS xdxdy ∑

=

=⎰⎰⎰⎰

由于xy D 是∑在xOy 面的第一卦限的投影区域，即由0,031x y x y ==+=及所围成的闭区域.因此

11

30

18

x

Dxy

xdS xdxdy dx xdy -∑

===

⎰⎰⎰

3. 设

∑

是22

z x y =+位于平面4,9z z ==之间部分且取下侧，求

zdxdy ∑

⎰⎰

分析：依题意，可得00249

z ρθπ≤≤≤≤≤⎧⎪⎨⎪⎩，由于∑是取下侧，则有

9

24

63054

zdxdy zdz d d ππ

θρρ∑

=-=-

⎰⎰⎰

⎰

4.设

∑

是锥面z =

与平面z = 1 所围立体区域整个边界曲面的外侧。试求

2

32.xdydz yzdzdx z dxdy ∑

-+⎰⎰