密码学习题集答案

(10分)习题1设英文字母A, B, C, … , Z分别编码伪0, 1, 2, 3, … , 25。

已知单表加密变换为
c＝5m＋7（mod 26）
其中m表示明文，c表示密文。

试对明文HELPME加密。

明文H E L P M E
对应的编码值分别是7 4 11 15 12 4。

用加密变换将上述6个编码值分别加密并转换为字母是
c＝5×7＋7 （mod 26）＝16 →Q
c＝5×4＋7 （mod 26）＝1 → B
c＝5×11＋7 （mod 26）＝10 →K
c＝5×15＋7 （mod 26）＝4 → E
c＝5×12＋7 （mod 26）＝15 →P
c＝5×4＋7 （mod 26）＝1 → B
从而得到密文QBKEPB。

(10分)习题2设英文字母A, B, C, … , Z分别编码伪0, 1, 2, 3, … , 25。

已知单表加密变换为
c＝11m＋2（mod 26）
其中m表示明文，c表示密文。

试对密文VMWZ解密。

首先从加密变换求出解密变换
m＝11－1（c－2）（mod 26）
＝19（c－2）（mod 26）
其中19＝11－1（mod 26）。

其次将密文字母转换为编码值
V M W Z →21 12 22 25。

最后用解密变换将上述4个编码值分别解密并转换为字母是
m ＝19×(21－2) （mod 26）＝23 → X
m ＝19×(12－2) （mod 26）＝8 → I
m ＝19×(22－2)（mod 26）＝16 → Q
m ＝19×(25－2)（mod 26）＝21 → V
从而得到明文XIQV 。

(10分)习题3 设英文字母A, B, C, … , Z 分别编码伪0, 1, 2, 3, … , 25。

已知Hill 密码中的明文分组长度为2，密钥K 是Z 26上的一个2阶可逆方阵。

假设明文Friday 所对应的密文为pqcfku ，试求密钥K 。

解. 明文 f r i d a y
对应的编码值分别是 5 17 8 3 0 24。

密文 p q c f k u
对应的编码值分别是 15 16 2 5 10 20。

设加密变换为C ＝MK ，则可取⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=38175M ，从而得到 K ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛38175521615。

如果矩阵M 可逆，就可求得
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-521615381751
K 。

事实上，|M |＝5×3－8×17＝－136 ≡ 9 （mod 26），且9－1＝3（mod
26）， 从而 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==--1521938
1753381759||11*1M M M 。

从而可求得密钥
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-3819752161515219521615381751
K 。

注：(1)矩阵M 的逆矩阵也可通过初等置换可求得：
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−−→−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−→−⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−−→−⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−→−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯-⨯+⨯-⨯152191001152
02110191114021701911002138191100138175)1()2(1915)2()2()1(821)1( (2)矩阵K 也可通过待定系数法可求得：
设 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321k k k k K ，则
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛201052240384321k k k k ，即 26mod 20
241024538238434231⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+=+k k k k k k 从26mod 10243=k ⇒ 13mod 5123=k ⇒ 13mod 851251213=⋅=⋅=-k ， 所以解得）），（）
，（（即或24260,242626821138833<≤+=+==i i k k 从26mod 20244=k ⇒13mod 10124=k ⇒13mod 31012101214=⋅=⋅=-k ， 所以解得）），（）
，（（即或24260,242626316133344<≤+=+==i i k k 取)3,8(),(43=k k ，则有26mod 22481=+k 和26mod 5982=+k ，类似以上解法可得
72011==k k 或和19622==k k 或
于是可得
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=38197K 或⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=38620K 或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=381920K 或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3867K 经检验)16,15()17,5(=K 得到一个解⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=38197K 。

再类似讨论)16,8(),(43=k k ，)3,21(),(43=k k ，)16,21(),(43=k k 的情形。

(10分)习题4 设仿射变换的加解密分别是：
C=E(m)=(7m+21)mod 26
对”security ”加密，对“vlxijh ”解密。

”security ”加密为：RXJFKZYH
对“vlxijh ”解密：agency
(10分)习题5 已知密码体制为Vigenere 体制，明文为Nankai University,密文为N R G K R B U E B V V K S Z M Y, 试求密钥。

(ART)
(10分)习题6 使用穷尽密钥搜索法，破译如下利用移位密码加密的密文：
BEEAKFYDJXUQYHYJIQRYHTYJIQFBQDUYJIIKFUHCQD Look up in the air it is a bird it is a plane it is superman （或者给出密钥K=10）
(10分)习题7 利用扩展Euclidean 算法计算如下乘法逆：
（1） 17－1 mod 101，(6)
（2） 357－1 mod 1234。

(1075)
(10分)习题8 计算有限域GF(28)上字节的乘法：
(1){57}·{83}；{c1}
(2){F2}·{14};{5c}
(10分)习题9 画出DES 解密算法的流程图（注意：输入是密文，输出是明文）。

(画出一部分也可以，只要标出输入是密文，输出是明文，并且密钥从K16递减到K1即可)
(10分)习题10 求出用DES的8个S盒将48比特串70a990f5fc36压缩置换输出的32比特串（用16进制写出每个S盒的输出）。

解：比特串70a990f5fc36用二进制表示为011100 001010 100110 010000 111101 011111 110000 110110，每6比特一组共8组，分别用8个S盒变换如下：
S1(011100)＝S1(00,1110)＝S1(0,14)＝0＝0000＝0；
S2(001010)＝S2(00,0101)＝S2(0,5)＝11＝1011=b；
S3(100110)＝S3(10,0011)＝S3(2,3)＝9＝1001＝9；
S4(010000)＝S4(00,1000)＝S4(0,8)＝1＝0001＝1；
S5(111101)＝S5(11,1110)＝S5(3,14)＝5＝0101＝5；
S6(011111)＝S6(01,1111)＝S6(1,15)＝8＝1000＝8；
S7(110000)＝S7(10, 1000)＝S7(2,8)＝10＝1010＝a；
S8(110110)＝S8(10,1011)＝S8(2,11)＝13＝1101＝d，
故8个S盒的输出为
00001011 10010001 01011000 10101101（二进制也算对）即0b9158ad。