解三角形的实际应用举例
1.2.1解三角形的实际应用--距离、角度(1)
2.如图，设 A，B 两点在河的两岸，一测量者在 A 所在的同侧河岸边 选定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就 可以计算出 A，B 两点的距离为________．
例1.如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距 离．测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出 AC＝60 m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，求A、B两点间 的距离．
例2.要测量河对岸两点A，B之间的距离，选取相距 3 km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°， ∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A，B之间的距离．
b2 c2 a2 cos A=
2bc
1.已知三角形的任意两边及两边夹角，解三角形； 2.已知三角形的三边，解三角形；
1.阅读课本P11-12例1、例2，运用正、余弦定理 解答实际问题中的距离问题； 2.阅读课本P15例6，运用正、余弦定理解答实际 问题中的角度问题。
1.组议，小组讨论导学提纲中例题的解答过程； 2.组议，小组讨论运用正弦定理、余弦定理解答 实际生活中的距离、角度问题的方法。
例3.如图所示，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处( 3 1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A 处2n mile的C处的缉私船奉命以10 3 n mile/h的速度追截走私船， 此时，走私船正以10n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃 窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
例4.在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北 偏东45°方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以 每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇
解三角形的实际应用举例
AB sin CAB 15 sin15 BC sin120 sin ACB
6 2 sin15 4
5 6 BC ( 3 1) 4.48(海里) 2
(1)解决实际应用问题的关键思想方法是把实际问题转化为 数学问题，即数学建模思想。 (2)解决实际应用问题的步骤
(1)设A到P的距离为xkm,用x表示B,C到P的距离,并求x的值;
(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离(结果精确到0.01km).
a
P B C
D A
分析
(1)PA,PB,PC长度之间的关系可以通过收到信号的先后时
间建立起来. (2)作PD⊥a,垂足为D,要求PD的长,只需要求出PA的长和cos∠APD, 即cos∠PAB的值.由题意,PA-PB,PC-PB都是定值,因此,只需分别在 △PAB和△PAC中,求出cos∠PAB, cos∠PAC的表达式,建立方程即 可.
=3.571 ∴BC≈1.89(m)． 答：顶杆BC约长1.89m．
例2.如图，两点C，D与烟囱底部在同一水平直线上,在点C1，D1利
用高1.5m的测角仪器, 测得烟囱的仰角分别是 ＝450和 ＝600, ＣＤ间的距离是12m.求烟囱的高AB (结果精确到0.01m). B
C1 C
D1 D
(18 2 6)(m)
从而 A1 B 因此
2 BC1 18 3 19.732(m) 2 AB A1B AA1 19.732 1.5 21.23(m)
例3：如图是曲柄连杆机构的示意图,当曲柄CB绕点C旋转时,通
过连杆AB的传递,活塞作直线往复运动.当曲柄在CB0位置时,曲 柄和连杆成一条直线,连杆的端点A在A处.设连杆AB长为l mm,曲 柄CB长为r mm,l>r. (1)当曲柄自CB0按顺时针方向旋转角为θ时,其中0O≤θ<360O, 求活塞移动的距离(即连杆的端点A移动的距离A0A); (2)当l =340mm, r =85mm,θ=80O时,求A0A的长(结果精确到1mm).
解三角形应用举例
解三角形应用举例一、测量距离问题例1(1)如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B 的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得CD＝32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为km.答案6 4解析∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝32km.在△BCD中，∠DBC＝180°－∠CDB－∠ACD－∠ACB＝45°，由正弦定理，得BC＝DCsin∠DBC·sin∠BDC＝32sin 45°·sin 30°＝64(km).在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 45°＝34＋38－2×32×64×22＝38.∴AB＝64km.∴A，B两点间的距离为64km.(2)如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 3 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为m.答案900解析由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°.又∠PBA＝∠PBQ＝60°，∴∠AQB＝30°，∴AB＝BQ.又PB为公共边，∴△PAB≌△PQB，∴PQ ＝PA.在Rt△PAB中，AP＝AB·tan 60°＝900(m)，故PQ＝900 m，∴P，Q两点间的距离为900 m.二、测量高度问题例2如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B 两点间的距离为60 m，则树的高度为m.答案30＋30 3解析在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB ＝15°，AB＝60 m，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝22×32－22×12＝6－2 4，由正弦定理得PB sin 30°＝AB sin 15°， 所以PB ＝12×606－24＝30(6＋2)， 所以树的高度为PB ·sin 45°＝30(6＋2)×22＝(30＋303)(m ). 三、测量角度问题例3 已知岛A 南偏西38°方向，距岛A 3海里的B 处有一艘缉私艇.岛A 处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？⎝⎛⎭⎫参考数据：sin 38°≈5314，sin 22°≈3314 解 如图，设缉私艇在C 处截住走私船，D 为岛A 正南方向上一点，缉私艇的速度为x 海里/小时，结合题意知BC ＝0.5x ，AC ＝5，∠BAC ＝180°－38°－22°＝120°.由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·ACcos 120°，所以BC 2＝49，所以BC ＝0.5x ＝7， 解得x ＝14.又由正弦定理得sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BAC BC＝5×327＝5314， 所以∠ABC ＝38°，又∠BAD ＝38°，所以BC ∥AD ，故缉私艇以14海里/小时的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船. 素养提升 数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程，主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或数学术语予以表征.从实际问题中抽象出距离、高度、角度等数学问题，然后利用正弦定理、余弦定理求解，很好地体现了数学抽象的数学素养.。
利用三角形全等解决实际问题
利用三角形全等解决实际问题三角形全等是几何学中的一个重要概念，它具有广泛的应用。
通过运用三角形全等，我们可以解决实际生活和工作中的很多问题。
本文将介绍三角形全等的定义与性质，并通过几个实例来说明如何利用三角形全等解决实际问题。
三角形全等定义与性质在几何学中，三角形全等是指两个三角形的对应边和对应角完全相等。
当两个三角形的三个边和三个角分别相等时，我们可以得出这两个三角形全等的结论。
换句话说，如果两个三角形的三个边长度和三个夹角大小分别相等，那么这两个三角形就是全等的。
利用三角形全等解决实际问题的实例例1：测量高楼的高度假设我们在测量一座高楼的高度时，无法直接测量，但我们可以通过测量影子的长度来获得一些有用的信息。
为了解决这个问题，我们可以利用三角形全等的原理。
首先，选择一棵垂直于地面的直杆，使得直杆的长度和影子的长度成等比例。
然后，测量直杆的长度和它的投影长度，以及高楼的投影长度。
由于直杆和高楼的投影都是等比例关系，而直杆和影子之间的三角形是全等的，我们可以通过设置一个方程组来解决问题，从而计算出高楼的高度。
例2：求解行走距离假设我们需要从A点到B点行走，但由于某些原因，我们只能从A 点看到B点的某一侧，不直接看到B点。
为了确定行走的距离，我们可以利用三角形全等原理。
首先，从A点出发，设想一条虚拟的直线使其与B点相连。
然后，选择一个合适的地方设立一个测量点C，使得C点能够和B点连成一条直线。
测量AC的长度和∠C的角度。
由于三角形ABC与实际的三角形ABD是全等的，我们可以通过计算得到BD的长度，进而确定行走的距离。
总结通过本文的介绍，我们了解了三角形全等的定义与性质，并且通过两个实际问题的解决，展示了如何利用三角形全等来解决实际问题。
三角形全等在几何学中发挥着重要的作用，通过合理运用三角形全等的原理，我们可以解决许多实际问题，提升工作和生活的效率。
虽然本文只提供了两个实例，但是通过进一步的学习和实践，我们可以应用三角形全等的原理解决更多的实际问题。
解三角形的实际应用举例
第二章 解三角形
(2)由正弦定理得 AC＝sin[180°20－sin（（3405°°＋＋4650°°＋）60°）] ＝20ssiinn4150°5°＝20sisnin4575°° ＝10(1＋ 3)(米)， BC＝sin[180°－（206s0i°n 4＋5°30°＋45°）] ＝20sisnin4455°°＝20(米)．
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第二章 解三角形
测量高度问题 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向 正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在 西偏北 30°的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处， 测得此山顶在西偏北 75°的方向上，仰角为 30°，则此山的 高度 CD＝________m.
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第二章 解三角形
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第二章 解三角形
若 P 在 Q 的北偏东 44°，则 Q 在 P 的( )
A．东偏北 46°
B．东偏北 44°
C．南偏西 44°
D．西偏南 44°
解析：选 C.如图，因为 P 在 Q 的北偏东 44°，则 Q 在 P 的南 偏西 44°.
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第二章 解三角形
A，B 两点间有一小山，选定能直接到达点 A，B 的点 C， 测得 AC＝60 m，BC＝160 m，∠ACB＝60°，则 A，B 两点间 的距离为________m. 解析：在△ABC 中，由余弦定理得 AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BC·cos 60° ＝602＋1602－2×60×160cos 60°＝196 00， 所以 AB＝140 m，即 A、B 两点间的距离为 140 m. 答案：140
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第二章 解三角形
1.(1)在 200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶
解三角形的实际应用举例课件ppt
方法点评 函数关系的建立及最值的求法 (1)依据条件，确定适当的变量，如时间、距离、角度等． (2)利用正、余弦定理在三角形中寻找关系． (3)建立相应函数关系式，利用二次函数或三角函数求最值 的方法使问题得到解决．
谢谢！
解 如图所示，易知 ∠CAD＝25°＋35°＝60°，在△BCD 中， cos B＝3122×＋3210×2－22012＝2331，
所以 sin B＝12313.
在△ABC 中，AC＝BCsinsinAB＝31s× in 162301°3＝24(千米)．
由BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos A 得AB2－24AB－385＝0，解得AB＝35或AB＝－11(舍去)． ∴AD＝AB－BD＝15(千米)． ∴故此人在D处距A还有15千米．
∴BC＝ 6，且 sin∠ABC＝ABCC·sin∠BAC＝ 26·23＝ 22， ∴∠ABC＝45°，∴BC 与正北方向成 90°角．(8 分)
∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD 中，由正弦定理，得 sin∠BCD＝BD·siCn∠D CBD＝10t1s0in 132t 0°＝12，(10 分) ∴∠BCD＝30°.即缉私船沿北偏东 60°方向能最快追上走私
解三角形的实际应用举例课件ppt
自学导引
1．仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水 平视线和目标视线的夹角．目标视 线在水平视线_上__方__时叫仰角，目标 视线在水平视线_下__方__时叫俯角，如 图所示．
2．方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水 平角，如B点的方位角为α(如图所示)．
∵sin10300°＝sinBC15°.∴BC＝50( 6－ 2) m
设倾斜角为 θ，则sin9B0C°＋θ＝sin5045°，
解三角形的实际应用举例
C
(2) 已知两边和一边对角,
求其它元素。
A
B
C
• 余弦定理
c2 a2 b2 2abcosC
(1) 已知三边 , 求三个角;
A
B
C
(2) 已知两边和它们的夹角,
求其它元素。
A
B
C
例1、自动卸货汽车的车箱采用液压机构.设计时 需要计算油泵顶杆BC的长度（如图所示）.已知车 箱最大仰角为60油泵顶点B与车箱支点A之间的 距离为1.95m,AB与水平线之间的夹角为620， AC为1.40m,计算BC的长.
数学问题（画出图形）
检 验
数学结论
解三角形问题
谢谢
再见！
么 “ 来 两一 的 算 已度在形是 测 ， 部解世 记 圆 经及物的我解三 量 三 分三纪 载 内 取工理方国三角 ” 角 内角的，接得程学法古角学。学容形公正了《建中。代形？最才的问元六某周筑，很的三初被一题三边些髀等有早方角的看门是世 形 特算生 关就法学 理 作 数三纪 、 殊经产 向有在来 解 包 学角， 正 角》实 量测度自 是 括 分学十 的里际 的我量量希 解 三 学的二 正，中 计国方工腊 三 角 科基边 弦已， 算数面件角文 函 。本形有…有 也学的、形“ 数…问关的广要家知测的三和题于边泛用识刘量计角解之平长的到，徽距算形三一面时应解公在离，”角。测，用三元计和后和形什量就，角高
=3.571 ∴BC≈1.89(m)．
答：顶杆BC约长1.89m．
解斜三角形理论应用于实际问题应注意：
1、认真分析题意，弄清已知元素和未知元素。
2、要明确题目中一些名词、术语的意义。如 视角，仰角，俯角，方位角等等。
3、动手画出示意图，利用几何图形的性质， 将已知和未知集中到一个三角形中解决。
解三角形在实际生活中的应用
第3节 解三角形在实际生活中的应用
1、 小红为了测量某一树身的高度，他站在A 处看树梢，测得此时的仰角为45°，前进200m
到达B 处，测得此时的仰角为60°，小红身高1.8m,试计算树身的高度是多少米？
2、 为了测量河对岸A 、B 两点的距离，在河的这边测出CD 的长为2
3km ,∠ADB=∠CDB=30°，∠ACD=60°，∠ACB=45°，求A ，B 两点间的距离。
3、(2009宁夏、海南)为了测量两山顶M ，N 间的距离，飞机沿水平方向A ，B 两点进行测量。
A ，B ，M ，N 在同一铅垂平面内（如图）飞机能够测量的数据有俯角和A ，B 间的距离。
请设计一个方案。
包括：（1）指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）（2）用文字和公式写出计算M ，N 间的距离的步骤。
4、已知海岛A 四周8海里内有暗礁。
今有一货轮由西向东航行，望见岛A 在北偏东75°，航行202海里后，望见此岛在北偏东30°。
如果货轮不改变航向继续前进，有无触礁的危险？
5、甲船在A 处发现乙船在方位角45°与A 相距10海里的C 处正以20海里/小时的速度向南偏东75°方向航行。
已知甲船的速度是203海里/小时，问：甲船沿什么方向航行，需多长时间才能与已船相遇？。
解三角形 应用举例
的水平角，如南偏西60°指以正 南方方向向为线始边，顺时针方向向西旋转 60°.
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正弦定理、 余弦定理
几何方面的应用 实际应用
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学点一 平面距离问题
要测量河对岸两地A,B之间的距离，在岸边选取相距1003 米的C,D两点，并测得 ∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°(A,B, C,D在同一平面内），求A,B两地的距离.
= sin45o cos60o cos =45o sin60o =10 3 (海里)，
5 3( 3 1) 3 1 2
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又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+（90°-60°） =60°，BC=203 （海里）， 在△DBC中，由余弦定量得 CD２=BD２+BC２-２BD·BC·cos∠DBC =300+1 200-2×103 ×20 3× 12=900, ∴CD=30(海里)，则需要的时间t= 30 =1(小时).
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2.解三角形应用题的步骤和思路是怎样的？ （1）一般步骤：①分析：理解题意，分清已知与未知， 画出示意图；②建模：根据已知条件与求解目标，把已 知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解 斜三角形的数学模型；③求解：利用正弦定理或余弦定 理有序地解出三角形，求得数学模型的解；④检验：检 验上述所求的三角形是否符合实际意义，从而得出满足 实际问题的解. （2）基本思路：
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1.应用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，通常都 是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形， 然后通过解这些三角形，得到所要求的量，从而得到 实际问题的解. 2.解题时应认真读题，未给出图形的，要画出示意图， 结合图形去选择正弦定理、余弦定理，使解题过程简 捷.另外，对于实际问题的解，要注意题目中给出的精 确度，合理地取近似值.
解直角三角形在实际生活中应用
解直角三角形在实际生活中应用直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角为90度，另外两个角则是锐角或钝角。
直角三角形的重要性在于它具有很多实际应用价值。
本文将介绍一些直角三角形在实际生活中的应用。
一、测量高度和距离直角三角形的一条腿可以用作测量高度或距离的工具。
通过测量一个物体的顶部和底部的距离，同时测量观察点到底座的距离，我们可以利用直角三角形的性质计算出物体的高度。
例如，在建筑工地上，工人可以使用测量工具和直角三角形的原理来测量建筑物的高度。
二、解决倾斜和斜率问题直角三角形可以帮助我们解决倾斜和斜率问题。
在地质学和土木工程中，我们经常需要测量地面的倾斜度和斜率。
直角三角形可以帮助我们测量坡度的比例。
通过测量斜坡上某一段的水平距离和相应的垂直距离，我们可以计算出斜坡的斜率。
三、计算不可测量的距离在某些情况下，两个点之间的距离无法直接测量，例如跨越湖泊或河流的距离。
然而，利用直角三角形的性质，我们可以使用三角函数计算出这种不可测量距离。
通过观察两个点之间的角度和某一点到这两个点之间的距离，我们可以使用正切函数计算出这个不可测量的距离。
四、导航和定位直角三角形在导航和定位中也有广泛的应用。
例如，航海员可以使用天文观测和直角三角形的性质来确定船只的位置。
通过测量星体和地平线之间的角度，同时知道船只和地平线之间的距离，我们可以利用正弦和余弦函数计算出船只的位置。
五、解决工程问题在工程领域中，直角三角形常常用于解决一些复杂问题。
例如，自然灾害生态学家可以使用直角三角形的概念来设计保护森林免受火灾侵蚀。
通过构建直角三角形网格，他们可以最大程度地减少火势蔓延的可能性，保护森林资源。
六、解决影子和光线问题在摄影和照明设计领域，直角三角形可以帮助我们解决影子和光线的问题。
通过观察物体和光源之间的角度，并结合直角三角形的性质，我们可以计算出物体产生的影子的长度。
这对于照明设计师来说非常重要，以确保正确照亮目标物体。
解直角三角形在实际生活中的应用
解直角三角形在实际生活中的应用山东 李浩明在现实生活中, 有许多和解直角三角形有关的实际问题，如航海航空、建桥修路、测量技术、图案设计等，解决这类问题其关键是把具体问题抽象成“直角三角形”模型，利用直角三角形的边角关系以及勾股定理来解决.下面举例说明，供大家参考．一、航空问题例1．（2008年桂林市）汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A 、B 两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P 点，测得A 村的俯角为30︒，B 村的俯角为60︒（如图1）．求A 、B1.414 1.732==）分析:要求A 、B 两个村庄间的距离,由题意知AB =PB ，在Rt △PBC 中,可求得60PBC ∠=︒，又因为PC =450，所以可通过解直角三角形求得PB.解：根据题意得：30A ∠=︒，60PBC ∠=︒，所以6030APB ∠=︒-︒，所以A P B A ∠=∠，所以AB =PB .在Rt BCP ∆中，90,60C PBC ∠=︒∠=︒，PC =450，所以PB=450sin 60==︒.所以520AB PB ==≈(米) 答：A 、B 两个村庄间的距离为520米． 二、测量问题例2.（2008年湛江市）如图2所示，课外活动中，小明在离旗杆AB 10米的C 处，QB CP A 45060︒30︒图1用测角仪测得旗杆顶部A 的仰角为40︒，已知测角仪器的高CD =1.5米，求旗杆AB 的高(精确到0.1米) ．分析:要求AB 的高,由题意知可知CD=BE ,先在Rt △ADE 中求出AE 的长,再利用AB=BE +AE 求出AB 的长.解：在Rt △ADE 中，tan ∠ADE =DEAE. ∵DE =10，∠ADE =40︒.∴AE =DE tan ∠ADE =10tan 40︒≈100.84⨯=8.4. ∴AB =AE +EB =AE +DC =8.4 1.59.9+=.答：旗杆AB 的高为9.9米． 三、建桥问题例4.（2008年河南）如图所示，A 、B 两地之间有一条河，原来从A 地到B 地需要经过DC ，沿折线A →D →C →B 到达，现在新建了桥EF ，可直接沿直线AB 从A 地到达B 地．一直BC =11km ，∠A =45°，∠B =37°．桥DC 和AB 平行，则现在从A 地到达B 地可比原来少走多少路程？（结果精确到0.1km ．参考数据： 1.412≈，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）. 分析:要求现在比原来少走多少路程，就需要计算两条路线路程之差，如图构造平行四边形DCBG ，将两条路线路程之差转化为AD DG AG +-，作高线DH ,将△ADG 转化为两个直角三角形，先在在Rt DGH △中求DH 、GH ，再在Rt ADH △中求AD 、AH,此题即可得解.解：如图，过点D 作DH AB ⊥于H ，DG CB ∥交AB 于G ．DC AB ∥，∴四边形DCBG 为平行四边形．∴DC GB =，11GD BC ==．∴两条路线路程之差为AD DG AG +-． 在Rt DGH △中，sin37110.60 6.60DH DG =⋅≈⨯=， cos37110.808.80GH DG =⋅⨯≈≈．在Rt ADH △中，1.41 6.609.31AD =⨯≈≈．6.60AH DH =≈．∴(9.3111)(6.608.80)AD DG AG +-=+-+≈即现在从A 地到B 地可比原来少走约4.9km ． 四、图案设计问题例4.（2008年上海市）“创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图4所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆O 的半径OC 所在的直线为对称轴的轴对称图形，A 是OD 与圆O 的交点．由于图纸中圆O 的半径r 的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中1:0.75i =是坡面CE 的坡度），求r 的值．分析:要求圆O 的半径r 的值，需在直角三角形ODH 中来解决,而已知的条件太少，需要先在直角三角形CEH 中，根据条件5CE =、坡面CE 的坡度1:0.75i =求出EH 、CH ，然后在直角三角形ODH 中利用勾股定理列出方程，从而求出r 的值．解：由已知OCDE ⊥，垂足为点H ，则90CHE ∠=．图41:0.75i =，43CH EH ∴=． 在Rt HEC △中，222EH CH EC +=．设4CH k =，3(0)EH k k =>，又5CE =，得222(3)(4)5k k +=，解得1k =．∴3EH =，4CH =．∴7DH DE EH =+=，7OD OA AD r =+=+，4OH OC CH r =+=+． 在Rt ODH △中，222OH DH OD +=，∴222(4)7(7)r r ++=+． 解得83r =．航海中的安全问题船只在海上航行，特别要注意安全问题，这就需要运用数学知识进行有关的计算，以确保船只航行的安全性.请看下面两例.例1 （深圳市）如图1，某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A 处运往正东方向的M 处，在点A 处测得某岛C 在北偏东60的方向上．该货船航行30分钟后到达B 处，此时再测得该岛在北偏东30的方向上，已知在C 岛周围9海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由．分析：问题的关键是弄清方位角的概念，过点C 作CD ⊥AB 于D ，然后通过解直角三角形求出CD 的长，通过列方程解决几何问题也是一种常用方法.解：由已知，得AB=24×21=12，∠CAB=90°-60°=30°，∠CBD=90°-30°=60°，所以∠C=30°，所以∠C=∠CAB ，所以CB=AB=12.在Rt △CBD 中，sin ∠CBD=CB CD ，所以CD=CB ·sin ∠CBD=12×3623=.∵936> 所以货船继续向正东方向行驶无触礁危险．例2 如图2，一艘渔船在A 处观测到东北方向有一小岛C ，已知小岛C 周围4.8海里范围内是水产养殖场.渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B 处，在B 处测得小岛C 在北偏东60°方向上，这时渔船改变航线向正东（即BD ）方向航行，这艘渔船是否有进入养殖场的危险？分析：先将实际问题转化为解直角三角形的问题.可有如下两种方法求解. 解法一：如图3，过点B 作BM ⊥AH 于M ，则BM//AF.所以∠ABM=∠BAF=30°. 在Rt △BAM 中，AM=21AB=5，BM=35. 过点C 作CN ⊥AH 于点N ，交BD 于K. 在Rt △BCK 中，∠CBK=90°-60°=30°. 设CK=x ，则BK=3x.在Rt △CAN 中，因为∠CAN=90°-45°=45°，所以AN=NC.所以AM+MN=CK+KN. 又NM=BK ，BM=KN ，所以x+35=5+3x.解得x=5. 因为5>4.8，所以渔船没有进入养殖场的危险.解法二：如图4，过点C 作CE ⊥BD 于E.所以CE//GB//FA. 所以∠BCE=∠GBC=60°，∠BCA=∠FAC=45°. 所以∠BCA=∠BCE-∠ACE=60°-45°=15°. 又∠BAC=∠FAC-∠FAB=45°-30°=15°，D图2图3图4所以∠BCA=∠BAC.所以BC=AB=10.在Rt △BCE 中，CE=BC ·cos ∠BCE=BC ·cos60°=10×21=5. 也5>4.8，所以渔船没有进入养殖场的危险.实际中的仰角和俯角问题在进行测量时，从下向上看,视线与水平线的夹角叫做仰角;从上往下看,视线与水平线的夹角叫做俯角.计算原理:视线、水平线、物体的高构成直角三角形，已知仰角、俯角和另一边，利用解直角的知识就可以求出物体的高度.梳理总结：⑴仰角和俯角是指视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的；可巧记为“上仰下俯”.在测量物体的高度时，要善于将实际问题抽象为数学问题.⑵在测量山的高度时，要用“化曲为直”的原则把曲的山坡“化整为零地分成一些小段，把每一小段山坡长近似地看作直的，测出仰角求出每一小段山坡对应的高，再把每部分高加起来，就得到这座山的高度.例1 (成都)如图2，甲、乙两栋高楼的水平距离BD 为90米，从甲楼顶部C 点测得乙楼顶部A 点的仰角α为30︒，测得乙楼底部B 点的俯角β为60︒，求甲乙两栋高楼各有多高？(计算过程和结果都不取近似值.分析:过点C 作CE ⊥AB 于点E, 在Rt △BCE 和Rt △ACE 中, BE 和AE 可用含CE(即为水平距离)的式子表示出来,从而求得两楼的高.解:作CE ⊥AB 于点E,∵CE ∥DB,CD ∥AB,且∠CDB=090,∴四边形BECD 是矩形. ∴CD=BE,CE=BD.图 1 E图2在Rt △BCE 中, ∠β=060,CE=BD=90米. ∵,tan CEBE=β∴BE=CE 39060tan 90tan 0=⨯=⋅β(米). ∴CD=BE=390(米).在Rt △ACE 中, ∠α=030,CE=90米. ∵ ,tan CEAE=α∴AE=CE 330339030tan 90tan 0=⨯=⨯=⋅α(米). ∴AB=AE+BE=3120390330=+(米). 答:甲楼高为390米,乙楼高为3120米.反思:仰角和俯角问题是解直角三角形中的常见题型,作辅助线构造直角三角形(一般同时得到两个直角三角形)并解之是解决这类问题的常用方法.例2 （乐山）如图3，小山上有一棵树．现有测角仪和皮尺两种测量工具，请你设计一种测量方案，在山脚水平地面上测出小树顶端A 到水平地面的距离AB ．要求：⑴画出测量示意图；⑵写出测量步骤（测量数据用字母表示）； ⑶根据（2）中的数据计算AB ．分析：要测量底步不能到达的物体的高度,要转化为双直角三角形问题,测量方案如图2,计算的关键是求 AE,可设AE=x,则在Rt △AGF 和 Rt △AEF 中, 利用三角函数可得αtan x HE =,βtan x EF = ,再根据HE-FE=CD=m 建立方程即可. 解：（1）测量图案（示意图）如图4所示（2）测量步骤：第一步：在地面上选择点C 安装测角仪，测得此时树尖A 的仰角AHE α=∠;第二步：沿CB 前进到点D ，用皮尺量出C D ，之间的距离CD m =;AB图3AE F H CDB图4第三步：在点D 安装测角仪，测得此时树尖A 的仰角AFE β=∠; 第四步：用皮尺测出测角仪的高h . （3）计算： 令AE=x,则,tan HE x =α得αtan x HE =,又,tan EF x =β得βtan xEF =, ∵HE-FE=HF=CD=m, ∴,tan tan m xx =-βα 解得αββαtan tan tan tan -⋅=m x ，∴AB=.tan tan tan tan h m +-⋅αββα反思：在多个直角三角形中一定要认真分析各条线段之间的关系(包括三角函数关系、相等关系),运用方程求解,有时可起到事半功倍之效.快乐套餐:1.(泰安)如图5，一游人由山脚A 沿坡角为30的山坡AB 行走600m ，到达一个景点B ，再由B 沿山坡BC 行走200m 到达山顶C ，若在山顶C 处观测到景点B 的俯角为45，则山高CD 等于 （结果用根号表示）2.(安徽)如图6，某幢大楼顶部有一块广告牌CD ，甲乙两人分别在相距8米的A 、B 两处测得D 点和C 点的仰角分别为45°°和60°，且A 、B 、E 三点在一条直线上，若BE=15米，求这块广告牌的高度．(1.73，计算结果保留整数)ABCD图5第19题图EDCB A450600图6参考答案:1. (300 .2. ∵AB＝8，BE＝15，∴AE＝23，在Rt△AED中，∠DAE＝45°,∴DE＝AE＝23.在Rt△BEC中，∠CBE＝60°,∴CE＝BE·tan60°＝CD＝CE－DE＝23≈2.95≈3.即这块广告牌的高度约为3米.。
解三角形应用举例
B
例4:如图,在山顶铁塔上B处测得地面上一 点A的俯角,在塔底C处测得A处的俯角.已 知铁塔BC部分的高为27.3米,求出山高 CD.
例5:一辆汽车在一条水平的公路上向正 东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山 顶D在东偏南15°的方向上,行驶5KM后 到达B处,测得此山顶在东偏南25°的方 向上,仰角为8° ,求此山的高度CD.
(1)已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5° (2)已知B=62.7°Ｃ＝６５.8° ,b=3.16cm; (3)已知三边的长分别为 a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm.
例8:在某市进行城市环境建设中，要把 一个三角形的区域改造城市内公园，经 过测量得到这个三角形区域的三条边长 分别为68m,88m,127m,这个区域的面 积是多少？ （精确到0.1cm2）
例1 设A,B两点在河的两岸,要测量两点之间的 距离,测量者在A的 同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离是55cm,
BAC 51, ACB 75
求A,B两点间的距离
B
A
C
例 2 如图A,B两点都在河的对岸(不可到达),设 计一种测量A,B两点距离的方法
A B
例3 : AB是底部B不可到达的一个建筑物,A 为建筑物的最高点,设计一种测量建筑物高 度AB的方法. A
例6:如图一艘海轮从A出发,沿北偏东75°的方 向航行67.5海里后到达海岛B,然后从B出发,沿 北偏东32°的方向航向54海里后到达海岛C. 如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿 怎样的方向航行,需要航行多少距离?，根据下列条件，求三角 形的面积S（精确到0.1cm2）
解三角形在生活中的应用
c b sin B
c c sin C
所以
a sin A
b sin B
c sin C
可是在斜三角形中是否成立的问题，在高一 的学习中已经证明也是成立的。
4
实际测量的几个例子
问题1：测量书柜的高度
模型转化
H
α
β
a
5
为了避免测量误差，我们采取了多次测量求平均 值的方法
次数
长度单位：厘米（cm) 角度单位：度（）
1730
计算高度
实际高度
第一次 第二次 第三次
此时由于仪器原因，误差较大但在我们的估计范围内。
12
实际测量的几个例子
问题3：测量小河对岸两点间长度
13
模型简化：
D
C
β1 A
α1
β2
α2 B
由于河岸不能保证完全平行，所以我们计算出来 的还是有一定的误差。我们模拟了测河岸的过程.
14
Sm，
在实际测量中，我们测量了门宽和走廊宽度，其原理与测量小河宽 度相同，数据如下：
2
二、测角仪的工作原理
经过组员的讨论和老师的建议，此次课题的中 心内容为通过制作一个简易测角仪把上述应用 和原理转变为研究和实践。模型如下：；
测角仪的简易图示
3
初中时我们学过解直角三角形。如图 在直角三角形中
Aj
sin a c
sin B b c
sinC 1
即 c c
C
B
sin C
c a sin A
水平长度测量计算器
项目 边长a 角
ห้องสมุดไป่ตู้
角
角 1
角
BD
BC
计算 系统 测算 误差 长度S 修偏 高度 估计
解三角形实际应用举例
我国古代很早就有测量方面的知识， 我国古代很早就有测量方面的知识，公元 解三角形问题是三角学的基本问题之一。 解三角形问题是三角学的基本问题之一。 解三角形的方法在度量工件、 解三角形的方法在度量工件、测量距离和 一世纪的《周髀算经》 一世纪的《周髀算经》里，已有关于平面测量 什么是三角学？三角学来自希腊文“三角形” 什么是三角学？三角学来自希腊文“三角形” 高度及工程建筑等生产实际中，有广泛的应用， 高度及工程建筑等生产实际中，有广泛的应用， 的记载，公元三世纪， 的记载，公元三世纪， 我国数学家刘徽在计 测量” 最初的理解是解三角形的计算， 和“测量”。最初的理解是解三角形的计算， 在物理学中， 在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角 算圆内接正六边形、正十二边形的边长时， 算圆内接正六边形、正十二边形的边长时，就 后来， 后来，三角学才被看作包括三角函数和解三角 形的方法。 形的方法。 已经取得了某些特殊角的正弦…… 形两部分内容的一门数学分学科。 形两部分内容的一门数学分学科。
B间的距离？ 间的距离？
α βa
C B
简解： 简解：由正弦定理可 得 AB/sinα=BC/sinA =a/sin(α+β) A
α
β
a C
B
两点在河的两岸， 例1、设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。 、 、 两点在河的两岸 要测量两点之间的距离。 测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点 ， 测量者在 的同测，在所在的河岸边选定一点C， 的同测 测出AC的距离是 的距离是55cm，∠BAC＝51o， ∠ACB 测出 的距离是 ， ＝ 两点间的距离（ ＝75o，求A、B两点间的距离（精确到 、 两点间的距离 精确到0.1m） ）
练习1：海中有岛 ，已知A岛周围 岛周围8海里内有 练习 ：海中有岛A，已知 岛周围 海里内有 暗礁，今有一货轮由西向东航行，望见A岛 暗礁，今有一货轮由西向东航行，望见 岛 在北75° 航行20 2海里后，见此岛在北 海里后， 在北 °东，航行 30°东，如货轮不改变航向继续前进，问有 如货轮不改变航向继续前进， ° 无触礁危险。 无触礁危险。 A
解三角形在现实生活中的应用——正,余弦定理
解三角形正,余弦定理在现实生活中的应用解三角形的正弦定理和余弦定理在现实生活中有广泛的应用。
例如，测量距离、测量高度、航海模型、物理问题等都与这些定理有关。
以下是一些例子：
1. 测量距离
利用正弦定理和余弦定理可以测量出无法直接测量的距离。
假设你想知道两个建筑物之间的距离，但你不能直接测量它们之间的直线距离。
你可以站在其中一个建筑物旁边，用一个工具测量你与另一个建筑物之间的角度和高度差，然后使用正弦定理或余弦定理计算出两个建筑物之间的直线距离。
2. 测量高度
同样可以利用正弦定理和余弦定理测量出无法直接测量的高度。
假设你想知道一个树的高度，但你只能在地面附近测量树的影子长度。
你可以使用正弦定理或余弦定理计算出树的高度。
3. 航海模型
在航海中，可以利用正弦定理和余弦定理计算船只的位置。
假设你知道船只在某个时间点的位置和朝向，以及它的速度和方向，你可以使用正弦定理和余弦定理计算出船只在任何其他时间点的位置和朝向。
这对于导航非常重要。
4. 物理问题
在物理学中，正弦定理和余弦定理也有很多应用，例如在振
动、波动等问题中。
例如，当一个弹簧上放置一个小球时，小球会以一定的频率来回摆动。
通过测量小球的振幅、周期等参数，可以使用正弦定理和余弦定理计算出小球的运动轨迹和速度。
解三角形在生活中的应用
解三角形在生活中的应用一、前言解三角形是初中数学中的一个重要内容，它是指已知三角形中的某些元素（如两个角度和一个边长），求出其余未知元素的过程。
虽然这个知识点在我们的学生时代可能并没有什么实际用处，但实际上，在我们的日常生活中，解三角形却有着广泛的应用。
二、建筑工程建筑工程是解三角形最常见的应用之一。
在建筑设计和施工过程中，经常需要测量建筑物各部分之间的距离、高度、倾斜度等信息。
这些信息可以通过解三角形来计算得出。
例如，在设计一座桥梁时，需要测量桥梁两端之间的距离和高度差。
如果只是简单地使用测量工具来进行测量，得到的结果可能会存在误差。
而通过解三角形来计算，则可以得到更加精确的结果。
三、导航导航也是解三角形的应用之一。
在旅行或驾车过程中，我们通常会使用地图或导航软件来确定行进方向和距离。
而这些软件所依据的原理就是通过解三角形来计算出当前位置与目标位置之间的距离和方向。
例如，当我们使用导航软件时，它会根据我们当前的位置和目标位置的坐标来计算出两点之间的距离和方向。
这个计算过程就是通过解三角形来实现的。
四、天文学天文学也是解三角形的应用之一。
在观测天体时，需要测量其位置、距离、速度等信息。
而这些信息可以通过解三角形来计算得出。
例如，在观测恒星时，需要测量其视差和视差变化，以确定其距离和速度。
而这个计算过程就是通过解三角形来实现的。
五、摄影摄影也是解三角形的应用之一。
在拍摄照片时，需要考虑拍摄角度、焦距等因素。
而这些因素可以通过解三角形来计算得出。
例如，在拍摄远景风景照片时，需要选择合适的焦距和拍摄角度，以保证整张照片都能清晰地呈现在画面中。
而这个计算过程就是通过解三角形来实现的。
六、总结综上所述，解三角形在我们日常生活中有着广泛的应用。
从建筑工程到导航、天文学再到摄影，它都扮演着重要的角色。
因此，学好解三角形不仅可以帮助我们在学术上取得更好的成绩，还能够为我们的生活带来更多便利和乐趣。
23解三角形的实际应用举例
(2)假设小艇的最高航行速度只能到达30海里/小时， 试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使 得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．
解：(1)设相遇时小艇航行的距离为 s 海里，则
s＝ 900t2＋400－2·30t·20·cos90°－30°
B A
D
C
分析：用例1的方法，可以计算出河的这 一岸的一点C到对岸两点的间隔 ，再测出 ∠BCA的大小，借助于余弦定理可以计 算出A、B两点间的间隔 。
C
解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a, 并且在C、D两点分别测得∠BCA=α, ∠ACD=β, ∠CDB=γ, ∠BDA=δ.
在 ∆ADC和∆ BDC中，应用正弦定理得
又 t＝23时，v＝30. 故 v＝30 时，t 取得最小值，且最小值等于23. 此时，在△OAB 中，有 OA＝OB＝AB＝20，故可设计航行方 案如下： 航行方向为北偏东 30°，航行速度为 30 海里/小时，小艇能以最 短时间与轮船相遇．
解决有关三角形应用性问题的思路、 步骤和方法
解斜三角形应用题的一般步骤是：
， ， C D a,测 角 仪 器 的 高 是 h .
在ACD中 ， AC=sin a(sin),
AB=AE+h =AC sin +h = a sin sin h. sin( )
应用二：测量高度问题
〔2〕底部可以到达
例4、如图, 在山顶 铁塔上B处测得地 面上一点A的俯角
54040', 在塔底
B
A
C
分析：所求的边AB的对角是的,又知三角形的一边 AC,根据三角形内角和定理可计算出边AC的对角,
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第三章 三角函数
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布置作业
1、书面作业：课本P61练习2第1 （3）（4）题和第2题
2、检查作业：
（1）步步高《40分钟课时训练》
（2）学业水平测试题A卷
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第三章 三角函数
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解析： 以 A 为原点，BA 所在直线为 y 轴建立如图所示的平面直角
坐标系．
设在 t 时刻甲，乙两船分别在 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
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第三章 三角函数
栏目导引
【思考探究】如何用方位角、方向角 确定． 一点的位置？
提示：利用方位角或方向角和目标与观 测点的距离即可唯一确定一点的位置
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第三章 三角函数
栏目导引
4、坡度与坡角:坡面与水平面的夹角叫坡角， 坡面与垂直高度 h和水平宽度l的比叫坡度
i
h l
tan
a
h
a
l
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第三章 三角函数
在 Rt△ACB 中，AB＝ACsin α＝msin α.
工具
第三章 三角函数
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探究点二 ：测量高度问题
方法三：如图，在河的这岸抽取一点 D，测得 CD＝b，并测∠BCD ＝γ，∠BDC＝β.
在△BCD 中，∠CBD＝π－γ－β. 由正弦定理得sin∠BCBDC＝sin∠CDCBD， ∴BC＝CDsi·ns∠in∠CBBDDC＝sibn·sβin＋βγ. 在 Rt△ABC 中，AB＝BCtan ∠ACB＝bs·sininββ＋tanγα.
从中你能学到代值 23CD， 运算的技巧吗？
在△BCD 中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝135°，
CD＝6 000 m，∠BCD＝30°，
根据正弦定理
BD＝CsDinsi1n3350°°＝
2 2 CD.
又在△ABD 中，∠ADB＝∠ADC＋∠BDC＝90°，
根据勾股定理有
AB＝ AD2＋BD2＝ 23＋12CD＝1 000 42(m)，
工具
第三章 三角函数
栏目导引
探要点、究所
探然究点三 ：与方向有关的实际问题
解 由题意知 AB＝5(3＋ 3)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，
∠DAB＝90°－45°＝45°， ∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°. 在△DAB 中，由正弦定理，得sin∠DBDAB＝sin∠ABADB， ∴DB＝ABsi·nsi∠n∠ADDBAB＝53＋sin310·s5i°n 45°
工具
第三章 三角函数
栏目导引
∴AC＝sinasαin－ββ. 在 Rt△ACB 中，AB＝AC·sin α＝sinasαin－ββsin α. 方法二：在 BC 的延长线上找一点 D，使得在 D 点测得仰角∠ADB ＝α2. 又测得 DC 的长为 m. 在△ADC 中，∠ADC＝α2， ∠DAC＝α－α2＝α2. ∴DC＝AC＝m，
量者在 A 的同侧，在 A 所在的河岸边选定一点 C，测出 AC 的
距离为 50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则 A、B 两点的
距离为 ( A )
A．50 2 m B．50 3 m C．25 2 m D．252 2 m
解析 由题意知∠ABC＝30°，
由正弦定理sin∠ACABC＝sin∠ABACB，
＝900， ∴CD＝30(海里)，∴需要的时间 t＝3300＝1(小时)． 故救援船到达 D 点需要 1 小时．
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第三章 三角函数
栏目导引
1．解三角形的一般步骤
实际所需电线长度约为 1.2AB≈7 425.6(m)．
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第三章 三角函数
栏目导引
课外探究 如图所示，甲船由 A 岛出发向北偏东 45°的方向作
匀速直线航行，速度为 15 2海里/小时，在甲船从 A 岛出发的同
时，乙船从
A
岛正南
40
海里处的
B
岛出发，朝北偏东
θtan
θ＝12
的方向作匀速直线航行，速度为 10 5海里/小时．
角仪支架高度忽略不计，计算结果可用测量数据所设字母表示)．
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第三章 三角函数
栏目导引
以4人小组为单位，讨论你 们的设计方案.
解析： 方法一：选择水平基线 BC，在 BC 的延长线上取一点 D，
在 D 点测得仰角∠BDA＝β，同时测得 CD 的长度为 a.
在△ADC 中∠DAC＝α－β，
在△ADC 中，由正弦定理得sAinCβ＝sinDαC－β，
例然4 如图，A，B 是海面上位于东西方向相距 5 3( 3＋1) 海里的两个观测点，现位于 A 点北偏东 45°，B 点北 偏西 60°的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点 南偏西 60°且与 B 点相距 20 3海里的 C 点的救援船 立即前往营救，其航行速度为 30 海里/时，该救援 船到达 D 点需要多长时间？
注：还可以用向量法求解.
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第三章 三角函数
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解三角形的实际应用举例
第二课时
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第三章 三角函数
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探究点二 ：测量高度问题
测量高度问题一般是利用地面上的观测点，通过测量仰角、俯
角等数据计算物体的高度，这类问题一般用到立体几何知识，先把
立体几何问题转化为平面几何问题，再通过解三角形加以解决．
1.952 1.402 21.951.40 cos6620'
3.571
BC 1.89(m)
答：顶杠BC长约为1.89m.
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第三章 三角函数
B
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变式训练1（1）轮船A和轮船B在中午12时同时
离开海港O，两船航行方向的夹角为120°，两船的
航行速度分别为25 n mile/h、15 n mile/h，则下午2
(1)求出发后 3 小时两船相距多少海里？
(2)求两船出发后多长时间距离最近？最近距离为多少海里？
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第三章 三角函数
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课时小结
解生活实际问题的一般步骤 (1)分析题意，准确理解题意． 分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词、术语 如坡度、仰角、俯角、方位角等．
(2)根据题意，通过合理 用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解．演算过程中 要算法简练，计算正确，并作答． (4)检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍．
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第三章 三角函数
栏目导引
探究点二 ：测量高度问题 【变式训练】A、B是海平面上的两个点，相距
800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝ 120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D是点C到 水平面的垂足，求山高CD.
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第三章 三角函数
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解析： 在△ABD 中，
∠BDA＝180°－45°－120°＝15°.
解三角形的实际应用举例
第一课时
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第三章 三角函数
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基础知识回顾
1、正弦定理
a b c 2R sin A sin B sin C (其中R为外接圆的半径)
2、余弦定理
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
＝ sin
53＋ 3·sin 45°cos 60°＋cos
45° 45°sin
＝5 60°
33＋3＋1 1＝10
3(海里)．
2
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第三章 三角函数
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探探然究要点点、三究：所与方向有关的实际问题
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20 3(海里)，
在△DBC 中，由余弦定理，得 CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos ∠DBC＝300＋1 200－2×10 3×20 3×12
由sinAB15°＝sinAD45°，得
AD＝ABsi·nsin154°5°＝8060－×
2
2 2
＝800(
3＋1)(m)．
4
∵CD⊥平面 ABD，∠CAD＝45°，∴CD＝AD＝800( 3＋1)(m)．
故山高 CD 为 800( 3＋1)m.
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第三章 三角函数
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探探究要点点、三究所：与方向有关的实际问题
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探究点一 ：测量距离问题 求距离问题要注意：
(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所 求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有 未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，
就选择更便于计算的定理．
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第三章 三角函数
栏目导引
解三角形实际应用举例
则xy11＝ ＝1x15＝21t5sti.n 45°＝15t，
由
tan
θ＝12可得，cos
θ＝25 5，sin
θ＝
5 5.
故 xy22＝ ＝1100
5tsin θ＝10t， 5tcos θ－40＝20t－40.
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第三章 三角函数
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(1)令 t＝3，P、Q 两点的坐标分别为(45,45)、(30,20)， |PQ|＝ 45－302＋45－202＝ 850＝5 34， 即出发后 3 小时两船相距 5 34海里． (2)由题意得： |PQ|＝ x2－x12＋y2－y12 ＝ 10t－15t2＋20t－40－15t2 ＝ 50t2－400t＋1 600＝ 50t－42＋800≥20 2， ∴当且仅当 t＝4 时，|PQ|取得最小值 20 2. 即两船出发后 4 小时时距离最近，最近距离为 20 2海里．
时两船之间的距离是________n mile.
解析： 如图，由题意可得 OA＝50，