第二章 李雅普诺夫稳定性

定理1：若(1)
说明：V ( x , t )负定
.
正定； V ( x ,t ) . (2) V ( x ,t )负定；
则系统在原点是 渐近稳定的。
能量随时间连续单调衰减
定理2：若(1)
V ( x )C
V ( x ,t )正定； 则系统在原点是 . (2) V ( x ,t ) 负半定； 渐近稳定的。 . (3) 在非零状态 V ( x ,t )0 . x2 说明： ( x ,t )0 运动轨迹某 V x0 瞬时与 V ( x )C 相切 ,但不维持 在该状态而继续向原点收缩。
关于李氏函数的几点说明： （1）该函数是一个正定的标量函数，且存在对 x 的连续的一阶偏导数;
（2） V ( x ,t ) 选取不唯一，但没有通用办法， . V ( x ,t ) 选取不当，会导致 V ( x ,t )不定。
（3）V ( x , t ) 的最简形式是二次型函数 V ( x ) x T Px 其中P是实对称方阵。当P=I 有： 2 2 2 V ( x ) x T Ix x1 x2 xn 为以原点为中心的球面。
x xe
x Ax
系统线性化方程为：
x Ax
结论： (1)若A的所有特征值都具有负实部，则非线性系统 在 x e 处是渐进稳定的，与 R( x ) 无关；
(2)若A的特征值，至少有一个具有正实部，则非线 性系统在 xe 处是不稳定的； (3)若A的特征值,至少有一个实部为零，则稳定 性由 R( x ) 确定， 如有 R( x)0，则是李雅普诺夫 意义下的稳定。
即 s( ) 很小
4.不稳定性：对于 ，不管 有多小，只要由
s( )内出发的状态轨迹超出 s( ) 以外，则称
此平衡状态是不稳定的。
x2
s( )
s( )
x0
xe
x1
2.2
李雅普诺夫第一法（间接法）
利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。
1. 线性系统的稳定判据：
x Ax Bu , yCx 1）李氏稳定的充要条件： i 1,2 ,n Re(i ) 0
2.3
李雅普诺夫第二法 李氏第二法（直接法）：通过构造李氏函数， 从能量的角度直接判断系统稳定性。
系统被激励 储能随时间 稳定性定理： 设系统状态方程：
x f ( x ,t )
逐渐衰减至最小值 渐近稳定 储能不变 李氏稳定 储能越来越大 不稳定
假定状态空间原点为平衡状态，即： xe 0 设存在标量函数 V ( x ,t ), 且 V 对所有x具有连续的 一阶偏导数：
xe
x1
且如 x V ( x ) 则系统是大范围渐进稳定的
定理3：若(1)
V ( x ,t ) 正定； (2) V ( x ,t ) 负半定； . (3) 在非零状态 V ( x ,t )0
.
则系统在原点是 李雅普诺夫意义 下稳定的。
说明：x 0 V ( x , t ) 0 系统维持等能量运动 使 x 维持在非零状态而不运行至原点。
x0
V ( x )C
xe
.
x2
x1
定理4：若(1) V ( x ,t ) 正定； 则系统在原点 . 是不稳定的。 (2) V ( x ,t )正定； 说明： ( x ,t )正定 能量函数随时间增大， V
x 在 xe 处发散。
.
推论1：当 V ( x ,t )正定， ( x ,t )正半定，且 V ( x ,t ) V 在非零状态不恒为零时,则原点不稳定。 . 推论2： ( x ,t )正定， ( x ,t ) 正半定，若有 x0 时， V V
f 1 x 2 f n x 2 f 1 x n f n x n
f 1 x f 1 其中： T x f n x1
向量函数的 雅可比矩阵
令
x x xe
f A T x
则系统线性化方程为：
则 ( t0 ; x0 , t0 ) x0 初态
3.平衡状态：
xe f ( xe , t ) 0 x e 系统的平衡状态
1).线性系统
Ax x Rn x A非奇异 xe Ax e 0 xe 0
A奇异
Ax e 0 x e无穷多个
2).非线性系统
V 4)判断非零情况下， ( x ,t )是否为零。
.
李氏第二法的难点在构造李氏函数，故仅适用于 那些无法用其他方法判别稳定性的系统。
例2.3.1
已知非线性系统的状态方程为： 2 2 x1 x2 x1 ( x1 x2 ) 2 2 x2 x1 x2 ( x1 x2 ) 试用李雅普诺夫第二法判断其稳定性。
第2章
2.1
2.2 2.3 2.4 2.5
稳定性与李雅普诺夫法
李雅普诺夫意义下的稳定性
李雅普诺夫第一法 李雅普诺夫第二法 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用 李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用
教学要求：
1.正确理解稳定性基本概念和李雅普诺夫意义稳定 性概念； 2.熟练掌握李氏第一法,李氏第二法； 3.掌握线性系统渐近稳定性分析和离散系统渐近稳 定性分析方法。 重难点内容： •李雅普诺夫函数的构造 •线性定常系统与非线性系统稳定性定理与判别 •李雅普诺夫方程，渐近稳定性的分析与判别
t
lim x( t ; x0 ,t 0 ) xe 0
x e大范围内渐进稳定
即初始条件扩展到整个空间，且是渐进稳定性的， 1)必要条件：在整个状态空间中只有一个平衡状态 2)线性系统(严格)：如果是渐进稳定的，必是
大范围渐进稳定的(线性系统稳定性与初始条件
的大小无关)。
3)非线性系统：一般只能在小范围渐近稳定
定常系统： 与 t 0无关， x e是一致稳定的。
x0
xe
x1
2.渐近稳定 1）平衡点是李氏意义下的稳定 2） 与t 0无关,且 lim x(t; x0 , t0 ) xe
t
0
x2
s( )
s( )
一致渐进稳定
x 0 xe
x1
3.大范围内渐进稳定性
如果对 x0s( ) 都有
1
极点位于复平面左半部，输出稳定。
说明: 1).系统输出稳定不一定状态稳定; 2).只有当系统传递函数W(S)无零极点对消，且 系统特征值与W(S)极点相同，二者才一致。
2.非线性系统的稳定性
非线性系统在平衡状态附近 台劳级数 平衡状态处的稳定性 用线性化系统的特征值 设非线性系统状态方程
x f ( x )
研究的目的和意义:稳定性是自动控制系统正常 工作的必要条件，是一个重要特征。
要求：在受到外界扰动后，虽然其原平衡状态被 打破，但在扰动消失后，仍然能恢复到原来的平 衡状态，或者趋于另一平衡状态继续工作。
稳定性：系统在受到小的外界扰动后，系统状态 方程解的收敛性，而与输入作用无关。 经典控制理论稳定性判别方法：代数判据，奈魁 斯特判据，对数判据，根轨迹判据
V ( x ,t )0 ，则原点是李雅普诺夫意义下的
.
.
稳定(同定理3Байду номын сангаас。
1)以上仅仅是判断系统稳定性的充分条件， 注意： 而不是充要条件；
2)线性系统的平衡状态不稳定说明系统不稳定； 3）非线性系统的平衡状态不稳定只说明存在 局部发散的轨迹。 s( ) 域外是否存在其它平衡状态， 若存在极限环，则系统仍是李雅普诺夫意义下 的稳定性。
2.1
李雅普诺夫意义下的稳定性
2.1.1 稳定性基本概念
1.自治系统：输入为0的系统
如x Ax Bu ( u 0 ) x Ax
从x0出发的 运动轨线
2.初态： 设x( t ) f [ x( t ), t ] 的 解 为 ( t ; x0 , t0 ) x
xe f ( xe ,t )0
x e 可能有多个平衡状态
例2.1.1
x1 x1 x x x 3 求系统平衡状态。 x2 1 2 2
解：令 e f ( xe ,t )0 x
x1e 0 x2e 0

0 , x 0 , xe e2 xe 0 1 3 1 1 0

4. 孤立的平衡状态： 在某一平衡状态的充分小的领域内不存在 别的平衡状态。 适当的坐标变换 孤立平衡状态 状态空间原点
2.1.2
李雅普诺夫意义下的稳定性
1.李氏意义下的稳定
如果对每个实数 0 都对应存在另一个实数
( , t0 ) 0 ,使当满足 x0 xe ( ,t0 )时
解:
x1 0 令 x2 0
x1 0 x2 0
原点是唯一平衡点
2 2 设 V ( x ) x1 x 2
则 V ( x ) 2 x1 x1 2 x 2 x 2
试分析系统的状态稳定性与输出稳定性。 解：（1）系统的特征方程：
0 I A ＝（＋1） －1 0 0 1 即 1＝－1 2＝1
故系统的平衡状态不是渐进稳定的。
1
（2）由系统的传递函数：
1
s 1 0 1 W ( s ) c( sI A ) b 1 0 0 s 1 1 s 1 1 ( s 1 )( s 1 ) s 1
李雅普诺夫方法 1892年，俄国学者李雅普诺夫提出了稳定性定理， 适用于单变量，线性，非线性，定常，时变，多 变量等系统。 应用：自适应，最优控制，非线性控制等。 主要内容： • 李氏第一法（间接法）：求解系统微分方程，据 解的性质判断系统稳定性； • 李氏第二法（直接法）：利用经验和技巧来构造 李氏函数，直接判断系统稳定性。
xx1 x2
f ( x ) --非线性函数
f f1 f2 f n T
xn T
在平衡状态 xe 0 附近存在各阶偏导数，则 f T x xe R( x ) x x 其中：
R( x ) --级数展开式中二阶以上各项之和
x
f x
x xe R( x ) T
V 如： ( x ) x1 x2
V 5. V ( x ,t ) 正定性。 ( x ,t ) 在数域 R 中对 tt 0 有 V ( x ,t )0，且V ( 0 ,t )0 ，则称 V ( x ,t ) 在 R
中是正定的。 李氏第二法的步骤： 1)构造一个 V ( x ,t ) 二次型；
2)求 V ( . , t )，并代入状态方程； x 3)判断 V ( x , t ) 的定号性；
V ( x )0 且 V ( 0 )0 ，则称V ( x )在 R 中是负定的。 2 2 V ( x )( x1 x2 ) 如：
3.正（负）半定性：如 V ( 0 )0 ，且对 x0 有V ( x )0 则称V ( x ) 正（负）半定。 V 如： ( x )( x1 2 x2 )2 V 4.不定性： ( x )在 R 中可正可负，则 V ( x )是不定的。
标量函数的定号性 1.正定性: 标量函数 V ( x ) 在数域 R中对所有 x0 有 V ( x )0 ,且 V ( 0 )0 ，则称 V ( x ) 在 R 中是正定的。
2 2 V ( x ) x1 x2 如：
2.负定性: 标量函数 V ( x ) 在数域 R 中对所有 x0 有
在 t 都满足：
从任意初始态 x 0 出发的运动轨迹 x ( t ; x0 ,t 0 )
x( t ;x0 ,t0 ) xe ,
t t 0
则称 x e是李雅普诺夫意义下稳定的，简称稳定。
注意：

－向量范数(表示空间距离)
x2
s( )
s( )
x-xe
欧几里得范数。
时变系统： 与 t 0有关
设给定系统为 即系统矩阵A的全部特征值位于复平面左半部。 状态稳定 输出稳定的充要条件： W ( s )c( sI A )1 b 的全部极点位于复平面左半部。
例2.2.1 设系统的状态空间表达式为：
1 0 1 x x 1 u 0 1 y1 0x