2.1《变化的快慢与变化率》课件(北师大版选修2-2)
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2018年优课系列高中数学北师大版选修2-2 2.1 变化的快慢与变化率 课件(共13张)
合作探究
由表可以看出，当时间t1趋于t0时，平均速度趋于 13.72m/s，因此，可以认为鸡蛋在t0=1.4s时的瞬时速 度为13.72m/s.
合作探究
实例2 如图所示，一根质量分布不均匀的合金棒， 长为10m.x（单位：m）表示OX这段棒的长，y（单 位：kg）表示OX这段棒的质量，它们满足以下函数
为10cm，高为100cm.右侧面为一活塞，活塞的初始 位置（距左侧面）为x0 =1cm，水面高度为100cm.当 活塞位于距左侧面xcm的位置时，水面高度为ycm.
（1）写出y关于x的函数解析式； 10
（2）试估计当x等于5cm时，水
y
面高度y关于活塞位置x的瞬时变化率. x
解（1）y关于x的函数解析式为：
感谢专家们的指导！ 谢谢同学们的精彩表现！
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
则函数的平均变化率为:
yf(x1)f(x0)f(x0 x)f(x0)
x x1x0
x
当 x 趋于0时,若平均变化率趋于一个定值，则 称这个定值为函数在 x 0 点的瞬时变化率.
问题：瞬时变化率刻画的是什么？
瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢.
效果评价
实例3 有一个长方体形的容器，如图所示，它的宽
y
100（x x
1）
（2）由函数解析式计算出相应的平均变化率得到
2.1 变化的快慢与变化率 课件(北师大选修2-2)
其中自变量的变化
x2－x1
称作自变量的改变量，记
作 Δx ，函数值的变化 f(x2)－f(x1) 称作函数值的改变量， 记作 Δy .这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改 fx2－fx1 Δy 变量与自变量的改变量之比，即 ＝ x2－x1 . Δx (2)作用：刻画 函数值 在区间[x1，x2]上变化的快慢.
(1)由f(x)＝2x2＋1，得Δy＝f(2.01)－f(2)
Δx＝2.01－2＝0.01， Δy 0.080 2 ∴ ＝ ＝8.02. Δx 0.01 (2)∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)
2 ＝2(x0＋Δx)2＋1－2x0－1
＝2Δx(2x0＋Δx)， Δy 2Δx2x0＋Δx ∴ ＝ ＝4x0＋2Δx. Δx Δx
s3－s2.5 2－1.25 (2)t∈[2.5,3]时， v ＝ ＝ ＝1.5. 0.5 3－2.5 s3＋Δt－s3 t∈[3,3＋Δt]时， v ＝ Δt Δt2＋2Δt ＝ ＝Δt＋2. Δt 当Δt趋于0时， v 趋于2，即为t＝3时的瞬时速度．
4．一辆汽车按规律s＝at2＋1做直线运动，若汽车在t＝2时 的瞬时速度为12，求a.
答案：B
2．已知函数f(x)＝x2，分别计算函数f(x)在区间[1,3]，[1,2]，
[1,1.1]，[1,1.001]上的平均变化率．
f3－f1 解：函数f(x)在区间[1,3]上的平均变化率为 ＝4. 3－1 f2－f1 函数f(x)在[1,2]上的平均变化率为 ＝3. 2－1 函数f(x)在[1,1.1]上的平均变化率为 f1.1－f1 ＝2.1.函数f(x)在[1,1.001]上的平均变化率为 1.1－1 f1.001－f1 ＝2.001. 1.001－1
【数学】2.1 变化的快慢与变化率 课件(北师大版选修2-2)
第二章 变化率与导数
§2.1 变化的快慢与变化率
问题提出
世界上,变化无处不在,人们以常关心变化的 快慢问题,如何刻画事物变化的快慢呢?
实例分析
问题1
物体从某一时刻开始运 动, 设s表示此物体经过时间 t走过 的路程 , 显然 s是时间 t的函数 , 表示为 s s(t ).在运动的过 程中测得了一些数据 , 如下表 :
在第二个问题中我们用一段时间内体温 , 的平均变化率刻画了 体温变化的快慢当时间从x0变为x1时, 体温从 y ( x0 )变为y ( x1 ), , 这段时间内物体的平均 速度是: y ( x1 ) y ( x0 ) 平均速度 . x1 x0
抽象概括
对一般的函数 f ( x)来说,当自变量 从x1变为x2时,函数值从 ( x1 ) y x f 变为f ( x2 ), 它的平均变化率为 : f ( x2 ) f ( x1 ) . x2 x1
当时间x从0 min 到20 min时, 分析 由上图可看出:体温y从39c变为38.5c, 下降了0.5c;
当时间 x从20 min 到30 min时, 体温y从38.5c变为38c, 下降了0.5c;
两段时间下降相同的温度,而后一段时间比前 一段时间短,所以后一段时间的体温比前一段 时间变化快.
练习
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存 h 在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态?
o t
请计算
0 t 0.5和1 t 2时的平均速度v :
在0 t 0.5这段时间里 , h(0.5) h(0) v 4.05(m / s); 0.5 0 在1 t 2这段时间里 , h(2) h(1) v 8.2(m / s). 2 1
§2.1 变化的快慢与变化率
问题提出
世界上,变化无处不在,人们以常关心变化的 快慢问题,如何刻画事物变化的快慢呢?
实例分析
问题1
物体从某一时刻开始运 动, 设s表示此物体经过时间 t走过 的路程 , 显然 s是时间 t的函数 , 表示为 s s(t ).在运动的过 程中测得了一些数据 , 如下表 :
在第二个问题中我们用一段时间内体温 , 的平均变化率刻画了 体温变化的快慢当时间从x0变为x1时, 体温从 y ( x0 )变为y ( x1 ), , 这段时间内物体的平均 速度是: y ( x1 ) y ( x0 ) 平均速度 . x1 x0
抽象概括
对一般的函数 f ( x)来说,当自变量 从x1变为x2时,函数值从 ( x1 ) y x f 变为f ( x2 ), 它的平均变化率为 : f ( x2 ) f ( x1 ) . x2 x1
当时间x从0 min 到20 min时, 分析 由上图可看出:体温y从39c变为38.5c, 下降了0.5c;
当时间 x从20 min 到30 min时, 体温y从38.5c变为38c, 下降了0.5c;
两段时间下降相同的温度,而后一段时间比前 一段时间短,所以后一段时间的体温比前一段 时间变化快.
练习
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存 h 在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态?
o t
请计算
0 t 0.5和1 t 2时的平均速度v :
在0 t 0.5这段时间里 , h(0.5) h(0) v 4.05(m / s); 0.5 0 在1 t 2这段时间里 , h(2) h(1) v 8.2(m / s). 2 1
高中数学第二章变化率与导数2.1变化的快慢与变化率课件北师大版选修2_2
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
D 典例透析 IANLI TOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
题型一 题型二
解 :(1)∵Δy=f(4+Δt)-f(4)=(4+Δt)3+3-(43+3)=(Δt)3+12(Δt)2+48Δt,
������
∴ Δ������ = 48 + 12Δ������ + (Δ������)2.
������ ������
=
������(������1)-������(������0) ������1-������0
=
������(������0+ΔΔ������������)-������(������0). 而当 Δx 趋于 0 时,平均变化率就趋于函数在 x0点的瞬时变化率,
瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢.
当Δt=0.01时,平均速度为14+3×0.01=14.03.
(2)结合(1)知,当t趋于2时,平均速度趋于14.所以估计当t=2时,该
质点的瞬时速度为14.
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D 典例透析 IANLI TOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
1)
=2x0-2+Δx.
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D 典例透析 IANLI TOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
题型一 题型二
题型二
瞬时变化率
【例2】 如果一个质点从定点A开始运动,在时间t的位移函数为
2.1 变化的快慢与变化率 课件(北师大版选修2-2)
而当Δx趋于0时，平均变化率就趋于函数在x0点的
瞬时变化率 瞬时变化率 _________________ ，__________________ 刻Байду номын сангаас的是函数在一
点处变化的快慢．
学习方法指导
fx2－fx1 1．函数的平均变化率 中要注意以下几点： x 2 －x 1 (1)x2－x1不可为零，f(x2)－f(x1)可正可负，也可为零； (2)当x1取定后，x2取不同的数值时，函数的平均变化率不 一定相同；当x2－x1取定值时，x1取不同的数值时，函数的平 均变化率也不一定相同． (3)从平均变化率的定义知，其几何意义是经过曲线y＝f(x) 上两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)的直线的斜率． 用函数在某一点附近的平均变化率，可以刻画函数图像的 变化趋势．
第二章
变化率与导数
第二章 §1 变化的快慢与变化率
1
知能目标解读
5
探索延拓创新
2
知能自主梳理
6
易错辨误警示
3
学习方法指导
7
课堂巩固训练
4
思路方法技巧
8
课后强化作业
知能目标解读
• • • •
1．了解函数平均变化率的概念 2．掌握函数平均变化率的求法 3．理解瞬时变化率 本节重点：函数的平均变化率、瞬时变化率、 平均速度、瞬时速度． • 本节难点：瞬时变化率、瞬时速度．
Δy ∴当Δx趋于0时，Δx＝7＋3Δx趋于7＋3×0＝7. ∴函数y＝3x2＋x在点x＝1处的瞬时变化率为7.
[ 点评]
求函数y＝f(x)在点x＝x0处的瞬时变化率的步骤：
①求Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； Δy ②计算Δx，并化简，直到当Δx＝0时有意义为止； Δy ③将Δx＝0代入化简后的Δx即得瞬时变化率．
2016高考数学 2.1变化的快慢与变化率课件 北师大版选修2-2
解:当 t=1 时,s=3t2+1,
Δ
∴Δ
=
2
[3(1+Δ) +1]-(3×12 +1)
=6+3Δt.
Δ
Δ
∴当 Δt 趋向于 0 时,Δ趋向于 6,即 t=1 时的瞬时速度为 6.
2
2
当 t=3 时,Δs=[2+3(3+Δt-3) ]-[2+3×(3-3) ]=3(Δt)
Δ
Δ
,∴
Δ
求瞬时变化率的步骤:(1)求 Δy=f(x0+Δx)-f(x0);(2)求 的值;(3)当
Δ
Δ
Δx→0 时,求 的值.
探究一
探究二
变式训练子弹在枪筒中运动可以看作是匀变速运动,如果它的
加速度是 a=5×105 m/s2,子弹从枪口射出时所用的时间为 t0=1.6×10-3 s.求
子弹射出枪口时的瞬时速度.
=f(4)=43+3×4=76(m).
(2)∵Δt=1-0=1,Δs=f(1)-f(0)=4-0=4,
Δ
4
∴1 = Δ = 1=4(m/s).
∵Δt=2-0=2,Δs=f(2)-f(0)=14,
Δ
∴2 = Δ =
14
=7(m/s).
2
∵Δt=3-0=3,Δs=f(3)-f(0)=36,
Δ
Δ
率,瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢.
做一做 2
如果某物体作运动方程为 s=2(1-t2)的直线运动(s 的单位:m,t 的单位:s),
那么,物体在 1.2 s 末的瞬时速度为
(
)
A.-4.8 m/s
B.-0.8 m/s
Δ
∴Δ
=
2
[3(1+Δ) +1]-(3×12 +1)
=6+3Δt.
Δ
Δ
∴当 Δt 趋向于 0 时,Δ趋向于 6,即 t=1 时的瞬时速度为 6.
2
2
当 t=3 时,Δs=[2+3(3+Δt-3) ]-[2+3×(3-3) ]=3(Δt)
Δ
Δ
,∴
Δ
求瞬时变化率的步骤:(1)求 Δy=f(x0+Δx)-f(x0);(2)求 的值;(3)当
Δ
Δ
Δx→0 时,求 的值.
探究一
探究二
变式训练子弹在枪筒中运动可以看作是匀变速运动,如果它的
加速度是 a=5×105 m/s2,子弹从枪口射出时所用的时间为 t0=1.6×10-3 s.求
子弹射出枪口时的瞬时速度.
=f(4)=43+3×4=76(m).
(2)∵Δt=1-0=1,Δs=f(1)-f(0)=4-0=4,
Δ
4
∴1 = Δ = 1=4(m/s).
∵Δt=2-0=2,Δs=f(2)-f(0)=14,
Δ
∴2 = Δ =
14
=7(m/s).
2
∵Δt=3-0=3,Δs=f(3)-f(0)=36,
Δ
Δ
率,瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢.
做一做 2
如果某物体作运动方程为 s=2(1-t2)的直线运动(s 的单位:m,t 的单位:s),
那么,物体在 1.2 s 末的瞬时速度为
(
)
A.-4.8 m/s
B.-0.8 m/s
高中数学选修2-2 北师大版 2.1 变化的快慢与变化率 课件(18张)
∴ ������1 = = =4(m/s). Δ������ 1 ∵ Δt=2-0=2,Δs=f(2)-f(0)=14, ∴ ������2 = = Δ������
������ 14 =7(m/s). 2
������ ������
=
������(������0 +Δ������)-������(������0) .而当 Δx 趋于 0 时,平均变化率就趋于函数在 x0 点的瞬时变化 Δ������
������(������1 )-������(������0 ) ������1 -������0
=
率,瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢.
做一做 2
如果某物体作运动方程为 s=2(1-t2)的直线运动(s 的单位:m,t 的单位:s), 那么,物体在 1.2 s 末的瞬时速度为 ( ) A.-4.8 m/s B.-0.8 m/s C.0.88 m/s D.4.8 m/s 解析:������ = -4.8 m/s. 答案:A
探究一
探究二
探究一平均变化率
变化率就是
������(������2 )-������(������1 ) 的比值,物理上称为平均速度,数学上称为平均变 ������2 -������1
化率,在气球的变化过程中称为膨胀率,其名称虽有差别,但求法一样. 在求平均变化率时,一定要将 Δs=f(t2)-f(t1)与 Δt=t2-t1 对应好.
-6-
Δ������ Δ������ =-4.8-2Δt,当 Δt→0 时, →-4.8,即 t=1.2 Δ������ Δ������
s 时的瞬时速度为
§1
变化的快慢与变化率
首 页
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2021年优课系列高中数学北师大版选修2-2 2.1 变化的快慢与变化率 课件(57张)
【解析】
∴(1)此物体的初速度为3. (2)此物体在t=2时的瞬时速度为-1. (3)t=0到t=2之间的平均速度为1.
7.质点M按规律s=at2+1运动,若质点M在t=2时的瞬时速度为8,求 常数a的值.
【解题提示】解答本题的关键是对瞬时速度意义的理解和把 握.
【解析】
1.（5分）已知曲线y=2x2+1在点M处的瞬时变化率为-4,则M点
3.以初速度为v0(v0>0)(单位:米/秒)作竖直上抛运动的物体, t秒时的高度(单位:米)为s(t)=v0t- 1 gt2,则物体在时刻t0时
2 的瞬时速度为__________.
知能巩固提高
一、选择题（每题5分，共15分）
1.已知函数f(x)=3x2+4的图象上一点(1,7)及附近一点
的坐标为（ ）
(A)(1,3)
(B)(-4,33)
(C)(-1,3)
(D)不确定
【解析】
2.（5分）物体运动曲线s=3t-t2,则物体的初速度为_____. 【解析】
答案：
3.(5分)汽车行驶的路程s和时间t之间 的函数图象如图,在时间段［t0,t1］, ［t1,t2］,［t2,t3］上的平均速度分 别为v1,v2,v3,则三者的大小关系为________.
5.某日上午8时，甲车自A处以30 km/h的速度向正东方向驶往 B处，乙车自B处以40 km/h的速度向正西方向驶往A处，已知A、 B两地相距80 km.则到当日上午8时30分，这30分钟内，甲、 乙两车的距离对时间的平均变化率为____________.
【解题提示】
【解析】30分钟后甲乙两车相距
【练一练】1.函数f(x)=x2在下列区间上的平均变化率最大的
2018年优课系列高中数学北师大版选修2-2 2.1 变化的快慢与变化率 课件(57张)
3.以初速度为v0(v0>0)(单位:米/秒)作竖直上抛运动的物体, t秒时的高度(单位:米)为s(t)=v0t- 1 gt2,则物体在时刻t0时
2 的瞬时速度为__________.
知能巩固提高
一、选择题（每题5分，共15分）
1.已知函数f(x)=3x2+4的图象上一点(1,7)及附近一点
课程目标设置
主题探究导学
典型例题精析
【例2】求函数f(x)=x2在x0到x0+Δ x之间的平均变化率;并结 合图象探讨当Δ x取定值后,随x0取值不同,该平均变化率是 否相同？ 思路点拨：解答本题可先根据定义求平均变化率,再结合图 像探索和观察平均变化率的变化情况.
【解题提示】解答本题可参照函数图象，更直观地认识平 均速度的变化及它们之间的大小关系.
【解析】 答案：
4.（15分）国家环保总局在规定的排污达标的日期前，对甲、 乙两家企业进行检查，其连续检测结果如图所示，试问哪个企 业治污效果好（其中W表示治污量）？为什么？
【解析】
由题意知W1(t0)=W2(t0), W1(t0-Δt)>W2(t0-Δt), 所以|W甲|>|W乙|. 所以，在单位时间里，企业甲比企业乙的平均治污率大，因此， 企业甲比企业乙治污效果好.
的坐标为（ ）
(A)(1,3)
(B)(-4,33)
(C)(-1,3)
(D)不确定
【解析】
2.（5分）物体运动曲线s=3t-t2,则物体的初速度为_____. 【解析】
答案：
3.(5分)汽车行驶的路程s和时间t之间 的函数图象如图,在时间段［t0,t1］, ［t1,t2］,［t2,t3］上的平均速度分 别为v1,v2,v3,则三者的大小关系为________.
《2.1 变化的快慢与变化率》课件 2-优质公开课-北师大选修2-2精品
分 析
已知函数f(x)＝2x2－x，求自变量x在以下的变化
辨 析
教 过程中，函数值的平均变化率：
当
学
堂
方
双
案
x从0变到0.1；
基
设
达
计
x从0变到0.01；
标
课
前
x从0变到0.001.
自
课 时
主 导
估计当x＝0时函数的瞬时变化率是多少？
作 业
学
【思路探究】 先算出函数在三个不同的变化过程中
课
教
堂 互
的平均变化率，再总结这些数值趋于哪个数，这个数就是
备 课
探
资
究
源
菜单
BS·数学 选修2-2
教
易
学
错
教
●重点难点
易
法
误
分 析
重点：函数的平均变化率和瞬时变化率的定义及求
辨 析
教 学
解；
当 堂
方
双
案
难点：平均变化率与瞬时变化率的定义的推导及用平 基
设
达
计
标
均变化率“逼近”瞬时变化率．
课
前 自
教学时，应引导学生归纳具体实例(平均变化率)的共同
课 时
主
作
误 辨
析
析
教 学 方
fx2－fx1 ____x_2_－__x_1 _____.通常我们把自变量的变化__x_2_－__x_1__称作自
当 堂 双
案 设
变量的__改__变__量____，记作_Δ__x__，函数值的变化_f_(x_2_)_－__f(_x_1_)_
基 达
计
标
课 称作函数值的__改__变__量____，记作_Δ__y__.这样，函数的平均变
【赢在课堂】2016高考数学 2.1变化的快慢与变化率课件 北师大版选修2-2
探究一
探究二
������ 变式训练������ 子弹在枪筒中运动可以看作是匀变速运动,如果它的
加速度是 a=5×105 m/s2,子弹从枪口射出时所用的时间为 t0=1.6×10-3 s.求 子弹射出枪口时的瞬时速度. 解:运动方程为 s= at2.
2 ∵ Δ s= a(t0+Δ t)2- ������������0 =at0Δ t+ a(Δ t)2, 2 2 2
������ ������ (3+2.1) -(3+22) =4.1. 2.1-2
B.3
=
2
C.4
D.4.1
1
2
2.瞬时变化率 对于一般的函数 y=f(x),在自变量 x 从 x0 变到 x1 的过程中,若设 Δ x=x1-x0,Δ y=f(x1)-f(x0),则函数的平均变化率是
������(������0 +Δ������)-������(������0) .而当 Δ Δ������ Δ������ Δ������
1
1
2
3
4
1.已知函数 y=f(x)=x2+1,则在 x=2,Δ x=0.1 时,Δ y 的值为( A.0.40 B.0.41 C.0.43 D.0.44 解析:∵ x=2,Δ x=0.1,∴ Δ y=f(x+Δ x)-f(x)=f(2.1)-f(2)=0.41. 答案:B
)
1
2
3
4
2.在 x=1 附近,取 Δ x=0.3,在四个函数:①y=x;②y=x2;③y=x3;④y= 中,平均 变化率最大的是( ) A.④ B.③ C.② D.① 解析:根据平均变化率的定义可求得四个函数的平均变化率依次为 1,2.3,3.99,- . 答案:B
北师大版高中数学选修2-2《2.1 变化的快慢与变化率》优秀课件
模块二：瞬时变化率
随堂练习
2.求f
(x)
1 x2
2
在x 1处的瞬时变化率.
解 : y f (1 x) f (1)
2x x2 (1 x)2
y x
2 x (1 x)2
当x 0时，y -2 x
即x 1处瞬时变化率为 - 2
变化的快慢与变化率
模块二：瞬时变化率
随堂练习
3.质点N按规律s at2 3(s为位移) 做直线运动，质点N在t 2时瞬时 速度为4，求a.
y 4 x x 当x 0时，y 4
x 即x 2处瞬时变化率为4
求瞬时变化率的步骤：
1.求自变量的改变量：x x2 x1 2.求函数值的改变量：y f ( x2 ) f ( x1) 3.计算f ( x)的平均变化率为 y
x 4.当x 0, y 常数M，即
x 瞬时变化率
变化的快慢与变化率
解：s s(2 t) s(2)
作用：刻画f (x)在区间[x1, x2 ]上变化的快慢
几何意义：曲线y f (x)在(x1, f (x1)), (x2, f (x2 ))连线的斜率
变化的快慢与变化率
模块一：平均变化率
随堂练习
1.y f (x)在A，B两点间的平均 变化率是__-_1___
求函数f (x)平均变化率的步骤:
1.求自变量的改变量：x x2 x1
v1, v2 ? (2)小球在t 5时的瞬时速度？
解：(1)v1
s(6) 6
s(5) 5
53.9
s(5.1) s(5) v2 5.1 5 49.49
变化的快慢与变化率 模块二：瞬时变化率
例2 一小球从高空自由下落，其走过的路程 s与时间t之间的函数关系是s 1 gt2
变换的快慢与变化率课件2北师大选修2
离散变化率与连续变化率的区别：离散变化率是针对离散时间序列，连续变化率是针对连续时 间序列
离散变化率与连续变化率的应用：离散变化率常用于计算股票价格、汇率等金融产品的变化率， 连续变化率常用于计算物理量、化学量等连续变量的变化率。
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瞬时速度：物体在某一时刻的速度 平均速度：物体在某一段时间内的速度平均值 瞬时速度的计算方法：通过位移与时间的比值计算 平均速度的计算方法：通过总位移与总时间的比值计算 瞬时速度与平均速度的关系：瞬时速度是平均速度在某一时刻的极限值
研究领域：数学、物理、化学、生物等 应用前景：在科学研究、工程技术、经济管理等领域具有广泛应用 发展趋势：随着科技的发展，变换的快慢与变化率的研究将更加深入和广泛 挑战与机遇：需要解决一些理论和实践问题，同时也带来了新的机遇和挑战
感谢您的观看
汇报人：
时间：变换所需的时间越长，快慢越慢 速度：变换的速度越快，快慢越快 加速度：加速度越大，快慢越快 变化率：变化率越大，快慢越快
时间间隔：时间间隔越短，变换越快 变化幅度：变化幅度越大，变换越快 初始状态：初始状态越接近目标状态，变换越快 外部环境：外部环境越稳定，变换越快
物理学：描述物体运动的速度、加速度等 经济学：描述经济增长、通货膨胀等 生物学：描述生物进化、种群变化等 社会学：描述社会变迁、文化演变等
变化率可以用来 衡量一个量的变 化程度
变化率也可以应用 于各种领域，如经 济学、物理学等
变化率是描述物体 运动状态的物理量
变化率表示物体在 一定时间内运动状 态的变化程度
变化率与加速度、 速度、位移等物理 量有关
变化率是研究物体 运动规律的重要工 具
股票价格变化率：股票价格随时间的变化率，反映了股票价格的波动情况
离散变化率与连续变化率的应用：离散变化率常用于计算股票价格、汇率等金融产品的变化率， 连续变化率常用于计算物理量、化学量等连续变量的变化率。
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瞬时速度：物体在某一时刻的速度 平均速度：物体在某一段时间内的速度平均值 瞬时速度的计算方法：通过位移与时间的比值计算 平均速度的计算方法：通过总位移与总时间的比值计算 瞬时速度与平均速度的关系：瞬时速度是平均速度在某一时刻的极限值
研究领域：数学、物理、化学、生物等 应用前景：在科学研究、工程技术、经济管理等领域具有广泛应用 发展趋势：随着科技的发展，变换的快慢与变化率的研究将更加深入和广泛 挑战与机遇：需要解决一些理论和实践问题，同时也带来了新的机遇和挑战
感谢您的观看
汇报人：
时间：变换所需的时间越长，快慢越慢 速度：变换的速度越快，快慢越快 加速度：加速度越大，快慢越快 变化率：变化率越大，快慢越快
时间间隔：时间间隔越短，变换越快 变化幅度：变化幅度越大，变换越快 初始状态：初始状态越接近目标状态，变换越快 外部环境：外部环境越稳定，变换越快
物理学：描述物体运动的速度、加速度等 经济学：描述经济增长、通货膨胀等 生物学：描述生物进化、种群变化等 社会学：描述社会变迁、文化演变等
变化率可以用来 衡量一个量的变 化程度
变化率也可以应用 于各种领域，如经 济学、物理学等
变化率是描述物体 运动状态的物理量
变化率表示物体在 一定时间内运动状 态的变化程度
变化率与加速度、 速度、位移等物理 量有关
变化率是研究物体 运动规律的重要工 具
股票价格变化率：股票价格随时间的变化率，反映了股票价格的波动情况
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∴甲乙两车的距离对时间的平均变化率为 45-80 =-70 km/h. 0.5 答案：-70 km/h
三、解答题（6题12分，7题13分，共25分）
6.一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s=3t-t2.
(1)求此物体的初速度； （2）求此物体在t=2时的瞬时速度；
（3）求t=0到t=2之间的平均速度.
）
3.以初速度为v0(v0>0)(单位:米/秒)作竖直上抛运动的物体, 1 t秒时的高度(单位:米)为s(t)=v0t- gt2,则物体在时刻t0时 2 的瞬时速度为__________.
知能巩固提高
一、选择题（每题5分，共15分） 1.已知函数f(x)=3x2+4的图象上一点(1,7)及附近一点 (1+Δ x,7+Δ y),则 y =（ x (A)6 (C)6+3Δ x 【解析】 ） (B)6x (D)6+3(Δ x)2
【练一练】1.函数f(x)=x2在下列区间上的平均变化率最大的 是（ ） (B)［1,2］ (D)［1,1.001］
(A)［1,1.1］ (C)［1,3］
2.一质点作直线运动，其位移s与时间t的关系为s=t2+1,该质点 在［2,2+Δ t］(Δ t>0)上的平均速度不大于5,则Δ t的取值范围 为__________.
(A)7米/秒
(C)5米/秒
(B)6米/秒
(D)8米/秒
【解析】
二、填空题（每题5分，共10分） 4.函数y=f(x)=x2+1在x=1附近的自变量的改变量为Δ x,则函数
改变量Δ y=_______.
【解析】Δy=f(1+Δx)-f(1)=(1+Δx)2+1-2=2Δx+(Δx)2 答案:2Δx+(Δx)2
5.某日上午8时，甲车自A处以30 km/h的速度向正东方向驶往
B处，乙车自B处以40 km/h的速度向正西方向驶往A处，已知A、
B两地相距80 km.则到当日上午8时30分，这30分钟内，甲、
乙两车的距离对时间的平均变化率为____________.
【解题提示】
【解析】30分钟后甲乙两车相距
80-(30+40)×0.5=45(km).
(C)(-1,3)
(D)不确定
【解析】
2.（5分）物体运动曲线s=3t-t2,则物体的初速度为_____.
【解析】
答案：
3.(5分)汽车行驶的路程s和时间t之间 的函数图象如图,在时间段［t0,t1］, ［t1,t2］,［t2,t3］上的平均速度分 别为v1,v2,v3,则三者的大小关系为________. 【解题提示】解答本题可参照函数图象，更直观地认识平 均速度的变化及它们之间的大小关系.
课程目标设置
主题探究导学
典型例题精析
【例2】求函数f(x)=x2在x0到x0+Δ x之间的平均变化率;并结
合图象探讨当Δ x取定值后,随x0取值不同,该平均变化率是 否相同？
思路点拨：解答本题可先根据定义求平均变化率,再结合图
像探索和观察平均变化率的变化情况.
2.质点运动的规律为s=t2+3,则在时间(3,3+Δ t)中,相应的平
均速度等于（Βιβλιοθήκη (A)6+Δ t (C)3+Δ t 【解析】
）
(B)6+Δ t+ (D)9+Δ t
9 t
3.（2010·郑州高二检测）一个物体的运动方程为S=1-t+t2其
中S的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度 是（ ）
【解析】
答案：
4.（15分）国家环保总局在规定的排污达标的日期前，对甲、
乙两家企业进行检查，其连续检测结果如图所示，试问哪个企
业治污效果好（其中W表示治污量）？为什么？
【解析】
由题意知W1(t0)=W2(t0), W1(t0-Δt)>W2(t0-Δt), 所以|W甲|>|W乙|. 所以，在单位时间里，企业甲比企业乙的平均治污率大，因此， 企业甲比企业乙治污效果好.
思路点拨：解答本题可先根据要求的问题选好使用的函数解析
式，再根据求平均变化率和瞬时变化率的方法求解平均速度和 瞬时速度.
2.从时刻t=0开始的t s内,通过某导体的电量(单位:库仑)可由
公式q=2t2+3t表示,则在第5 s 时的电流强度为（
(A)27 (B)20 (C)25 (D)23
【解析】
∴(1)此物体的初速度为3. (2)此物体在t=2时的瞬时速度为-1. (3)t=0到t=2之间的平均速度为1.
7.质点M按规律s=at2+1运动,若质点M在t=2时的瞬时速度为8,求
常数a的值.
【解题提示】解答本题的关键是对瞬时速度意义的理解 和把握.
【解析】
1.（5分）已知曲线y=2x2+1在点M处的瞬时变化率为-4,则M点 的坐标为（ (A)(1,3) ） (B)(-4,33)
三、解答题（6题12分，7题13分，共25分）
6.一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s=3t-t2.
(1)求此物体的初速度； （2）求此物体在t=2时的瞬时速度；
（3）求t=0到t=2之间的平均速度.
）
3.以初速度为v0(v0>0)(单位:米/秒)作竖直上抛运动的物体, 1 t秒时的高度(单位:米)为s(t)=v0t- gt2,则物体在时刻t0时 2 的瞬时速度为__________.
知能巩固提高
一、选择题（每题5分，共15分） 1.已知函数f(x)=3x2+4的图象上一点(1,7)及附近一点 (1+Δ x,7+Δ y),则 y =（ x (A)6 (C)6+3Δ x 【解析】 ） (B)6x (D)6+3(Δ x)2
【练一练】1.函数f(x)=x2在下列区间上的平均变化率最大的 是（ ） (B)［1,2］ (D)［1,1.001］
(A)［1,1.1］ (C)［1,3］
2.一质点作直线运动，其位移s与时间t的关系为s=t2+1,该质点 在［2,2+Δ t］(Δ t>0)上的平均速度不大于5,则Δ t的取值范围 为__________.
(A)7米/秒
(C)5米/秒
(B)6米/秒
(D)8米/秒
【解析】
二、填空题（每题5分，共10分） 4.函数y=f(x)=x2+1在x=1附近的自变量的改变量为Δ x,则函数
改变量Δ y=_______.
【解析】Δy=f(1+Δx)-f(1)=(1+Δx)2+1-2=2Δx+(Δx)2 答案:2Δx+(Δx)2
5.某日上午8时，甲车自A处以30 km/h的速度向正东方向驶往
B处，乙车自B处以40 km/h的速度向正西方向驶往A处，已知A、
B两地相距80 km.则到当日上午8时30分，这30分钟内，甲、
乙两车的距离对时间的平均变化率为____________.
【解题提示】
【解析】30分钟后甲乙两车相距
80-(30+40)×0.5=45(km).
(C)(-1,3)
(D)不确定
【解析】
2.（5分）物体运动曲线s=3t-t2,则物体的初速度为_____.
【解析】
答案：
3.(5分)汽车行驶的路程s和时间t之间 的函数图象如图,在时间段［t0,t1］, ［t1,t2］,［t2,t3］上的平均速度分 别为v1,v2,v3,则三者的大小关系为________. 【解题提示】解答本题可参照函数图象，更直观地认识平 均速度的变化及它们之间的大小关系.
课程目标设置
主题探究导学
典型例题精析
【例2】求函数f(x)=x2在x0到x0+Δ x之间的平均变化率;并结
合图象探讨当Δ x取定值后,随x0取值不同,该平均变化率是 否相同？
思路点拨：解答本题可先根据定义求平均变化率,再结合图
像探索和观察平均变化率的变化情况.
2.质点运动的规律为s=t2+3,则在时间(3,3+Δ t)中,相应的平
均速度等于（Βιβλιοθήκη (A)6+Δ t (C)3+Δ t 【解析】
）
(B)6+Δ t+ (D)9+Δ t
9 t
3.（2010·郑州高二检测）一个物体的运动方程为S=1-t+t2其
中S的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度 是（ ）
【解析】
答案：
4.（15分）国家环保总局在规定的排污达标的日期前，对甲、
乙两家企业进行检查，其连续检测结果如图所示，试问哪个企
业治污效果好（其中W表示治污量）？为什么？
【解析】
由题意知W1(t0)=W2(t0), W1(t0-Δt)>W2(t0-Δt), 所以|W甲|>|W乙|. 所以，在单位时间里，企业甲比企业乙的平均治污率大，因此， 企业甲比企业乙治污效果好.
思路点拨：解答本题可先根据要求的问题选好使用的函数解析
式，再根据求平均变化率和瞬时变化率的方法求解平均速度和 瞬时速度.
2.从时刻t=0开始的t s内,通过某导体的电量(单位:库仑)可由
公式q=2t2+3t表示,则在第5 s 时的电流强度为（
(A)27 (B)20 (C)25 (D)23
【解析】
∴(1)此物体的初速度为3. (2)此物体在t=2时的瞬时速度为-1. (3)t=0到t=2之间的平均速度为1.
7.质点M按规律s=at2+1运动,若质点M在t=2时的瞬时速度为8,求
常数a的值.
【解题提示】解答本题的关键是对瞬时速度意义的理解 和把握.
【解析】
1.（5分）已知曲线y=2x2+1在点M处的瞬时变化率为-4,则M点 的坐标为（ (A)(1,3) ） (B)(-4,33)