高中数学必修五： 不等式全章复习与巩固

高中数学必修四：《不等式》全章复习与巩固

【学习目标】

1.能正确的记忆和灵活运用不等式的性质；

2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型和二元一次不等式组，提高数学建模能力；

3.掌握一元二次方程，二次函数，一元二次不等式，这三个“二次”的联系，会解一元二次不等式；

4.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组，会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决；

5.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题，注意基本不等式适用的条件. 【知识网络】

【要点梳理】

要点一：不等式的主要性质 (1)对称性：a b b a <⇔> (2)传递性：c a c b b a >⇒>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>；

d b c a d c b a +>+⇒>>,

(4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,；

bc ac c b a <⇒<>0,， bd ac d c b a >⇒>>>>0,0

(5) 乘方法则：0n n

a b a b >>⇒>(*1)n N n ∈>且 (6) 开方法则：0a b >>⇒

>(*1)n N n ∈>且

要点诠释：不等式性质中要注意等价双向推出和单向推出关系的不同.

不等式

不等关系与

不等式 一元二次不等式及其解法 二元一次不等式（组）与平面区域

基本不等式

最大（小）值问题

简单的线性规划

要点二：三个“二次”的关系

一元二次不等式2

0ax bx c ++>或2

0ax bx c ++<(0)a >的解集：

设相应的一元二次方程2

0ax bx c ++=(0)a >的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42

-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：

解一元二次不等式的步骤

（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数：2

A ax bx c =++(0)a > （2）计算判别式∆，分析不等式的解的情况：

①0∆>时，求根12,x x （注意灵活运用因式分解和配方法）； ②0∆=时，求根a

b

x x 221-==； ③0∆<时，方程无解 （3）写出解集.

要点诠释：若0a <，可以转化为0a >的情形解决. 要点三：线性规划

用二元一次不等式（组）表示平面区域

二元一次不等式Ax+By+C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）

二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法

由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入Ax+By+C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax+By+C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点）

线性规划的有关概念： ①线性约束条件：

如果两个变量x 、y 满足一组一次不等式组，则称不等式组是变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．

②线性目标函数：

关于x 、y 的一次式z=ax+by(a ，b ∈R)是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数．

③线性规划问题：

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解：

在线性规划问题中，满足线性约束条件的解（x,y ）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域． 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 要点诠释：求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤 （1）设变量，建立线性约束条件及线性目标函数； （2) 由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； （3)求出线性目标函数在可行域内的最值(即最优解)； （4)作答．

要点四：基本不等式 两个重要不等式

①,R a b ∈，那么2

2

2a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）

②基本不等式：如果,a b 是正数，那么2

a b

+≥（当且仅当a b =时取等号“=”）. 算术平均数和几何平均数 算术平均数：

2

b

a +称为,a

b 的算术平均数； 几何平均数：ab 称为,a b 的几何平均数.

因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 基本不等式的应用

,(0,)x y ∈+∞，且xy P =（定值），那么当x y =时，x y +有最小值；

,(0,)x y ∈+∞，且x y S +=（定值），那么当x y =时，xy 有最大值2S 4

1.

要点诠释 ：在用基本不等式求函数的最值时，应具备的三个条件：

① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；

② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值 【典型例题】 类型一：不等式的性质

例1．若0<

b a 11> B ．a

b a 11>- C ．||||b a > D ．22b a > 【思路点拨】利用不等式的性质，逐项进行判断. 【解析】∵0<->-b a . 由

b a -<

-11，b

a 1

1>，∴A 项成立. 由0<，∴C 项成立.

由0>->-b a ，2

2

)()(b a ->-，2

2b a >，∴D 项成立.

∵0<->-a b a ，

)(11b a a --<-，b

a a ->11，∴B 项不成立. 故应选B

【总结升华】运用不等式的基本性质解答不等式问题，要注意不等式成立的条件，否则将会出现一些错误.

举一反三：

【变式】已知,m n R ∈，则

11

m n

>成立的一个充要条件是（ ） A.0m n >> B.0n m >> C.()0mn m n -< D.0m n << 【答案】C

例2．如果3042x <<，1624y <<，则

(1)2x y -的取值范围是 ； (2)

x

y

的取值范围是 . 【思路点拨】利用不等式性质运算时，注意不等式成立的条件. 【答案】（1）(18,10)-；（2）521

(,

)48

. 【解析】（1）1624,48232y y <<∴-<-<-，又3042x <<，

利用不等式的性质d b c a d c b a +>+⇒>>,可得：