实用运筹学8.3风险性决策

max{akj } akj , i 1,2, , m; j 1,2, , n ，称该值 令 bij 1 k m 为在自然状态 N 下采用方案 Si 时的机会损失值，又称 j 遗憾值．
最小机会损失期望值准则即决策者先计算各方案 的机会损失期望值，然后从这些机会损失期望值中 选取最小的，将其对应的方案作为最优方案．
根据最终点的损益值与概率枝的概率，计算出同一方案在不 同自然状态下的期望收益（负的为损失），然后从中选取最优 方案，被淘汰的方案在其决策枝上画“//”．
Hale Waihona Puke Baidu
2. 单阶段决策 例8.3.1 某工厂需要扩建，有两个方案：一是建大厂，二是建 小厂，两者的使用期都是10年．建大厂需投资300万元，建小 厂投资160万元，两方案的年收益及自然状态的概率见表，试 问如何选择建厂？
8.3 风险型决策
决策问题的不确定性给决策者的决策带来困难，决策者努力 收集有关自然状态的以往信息，以便获得各个自然状态发生的 概率，如果决策者已经获得各自然状态发生的概率，则该决策 问题为风险型决策．它与不确定型决策的区别是已知自然状态 概率集．风险型决策所使用的概率有以下几种： (1) 客观概率：根据事件过去和现在的资料所确定或计算的每 个事件出现的概率称为客观概率．在客观概率中又有先验概率 和后验概率之分．前者是根据事件的历史资料来确定，后者是 综合历史资料和现实资料计算出来的．利用后验概率进行决策 显然要比利用先验概率准确可靠一些．
单位：万元
解 根据最大收益期望值准则，计算结果如表所示．
单位：万元
假设现向40户打算购买的人发出购买的订单，其中有3 户回函购买，记这一组抽样试验结果为B,则试验B相当于 进行了40次独立试验，其中3次成功.
由二项分布得：
P( B | N1 ) C 40 0.083 0.9237 0.2313
P( B | N2 ) C
3
P( B | N3 ) C
P( N1 | B)
3 3 37 0.06 0.94 40 3 3 37 0.04 0.96 40
0.2162
0.1396
再根据贝叶斯公式得：
0.2313 0.3 0.3378 0.2313 0.3 0.2162 0.5 0.1396 0.2 0.2162 0.5 P( N 2 | B) 0.5263 0.2313 0.3 0.2162 0.5 0.1396 0.2
例8.3.4 某手表厂面对激烈的市场竞争，拟制订利用先进技术对手 表改型，有三个改型方案：Ⅰ、颜色多样化；Ⅱ、增加功能； Ⅲ、提高手表的精准度．根据市场调查，该厂潜在客户群中有高需 求、一般需求与低需求三种情况，它们发生的概率分别为0.3、0.5、 0.2．其中高需求客户群中有8%的购买者、一般需求客户群中有6% 的购买者、低需求客户群中有4%的购买者，在这三种情况下不同的 改型方案所获得的收益不一样，表给出了预期收益的情况．
j 1
我们可认为 A , An 为风险型决策中自然状态的概率， 1 , A2 , P( Ai )是先验概率， P(B | Ai ) 是由样本获取的信息， P( Ai | B) 是先 验概率经样本信息修正后得到的后验概率，用后验概率进行决 策分析就是后验期望值准则．若对概率继续抽取样本并根据新 的信息再次修正的话，则原有的后验概率当作先验概率，而再 次修正后的概率成了后验概率．
例8.3.3 某厂生产一种产品，现有5台自动车床负荷已满而对 该产品的需求仍有增长的趋势．经理要为近两年做出决策，每 年都要决定是增加一台新车床，还是由职工加班生产来增加销 售，经营部门预测市场需求情况如下： 在第一年内需求量增加25%（高销售）的概率是2/3，而需求量 减少5%（低销售）的概率是1/3，如果第一年增长25%，那么 第二年继续增长25%（高销售）的概率是0.5，增长12.5%（中 销售）的概率是0.5；但如果第一年降低5%，则第二年增长 25%（高销售）的概率是0.8，增长12.5%（中销售）的概率是 0.2.财务测算的结果如下表所示．
(1) 画出决策树，如图
(2)从右向左计算各节点的期望损益值 节点4：0.9×100×7+0.1×(-20)×7=616(万元) 节点5：1.0×(-20)×7=-140(万元) 节点2：0.7×100×3+0.3×(-20)×3+0.7×616+0.3×(-140) -300=281.2(万元) 节点8：0.9×100×7+0.1×(-20)×7-200=416(万元) 节点9：0.9×40×7+0.1×10×7=259(万元) 节点7：1.0×10×7=70(万元) 节点3：0.7×40×3+0.3×10×3+0.7×416+0.3×70-160 =266.5(万元) (3)由计算结果可知，由于节点2的期望损益值大于节点3的 期望损益值，因此选择建大厂是最优方案．
按最小机会损失期望值准则对例8.1.1决策，见下表．
单位：万元
从表中看到最小机会损失期望值为3.6，其对应的是方案Ⅱ为 最优方案．
8.3.3 决策树法
决策树是利用图形选择最优方案，它是决策分析最常使用的 一种方法．决策树不但能够解决单阶段决策问题，而且能解决 决策表无法表达的多阶段决策问题. 1.决策树结构 决策树结构如下图所示，图中的方框节点称作决策点，由决 策点引出若干条直线，每条直线代表一个方案，称作决策枝． 在各个决策枝的末端画上一个圆圈，称为状态节点，由状态节 点引出若干条线段，每条线段代表一个自然状态及其可能出现 的概率，称为概率枝．概率枝的末端为每一个方案在各状态下 的损益值．决策树的画法一般是从左向右，由简入繁，根据问 题的层次构成一个树形图．
(2) 主观概率：由决策者主观判断出某个事件出现的概率称 为主观概率．这种概率没有过去或现在的资料作为实证依据， 一般决策者是根据以往的表象和经验，结合当前信息大致确定 的． 当然，这与决策者个人的智慧、经验、胆识、知识等有 密切关系．在一般情况下，主观概率不如客观概率准确可靠．
对于风险型决策问题，一般采用期望值作为决策准则，常用 的决策方法有最大收益期望值准则、最小机会损失期望值准 则、决策树法和后验期望值准则．下面我们分别介绍如何应 用这些准则和方法对风险型决策问题进行决策．
单位：万元
解 (1) 画出决策树，如图
(2) 计算各节点的期望收益 节点2：[100×0.7+(-20)×0.3]×10-300=340(万元) 节点3：[40×0.7+10×0.3]×10-160=150(万元) (3) 比较后，选择建大厂为最优决策方案．
3. 多阶段决策 对一个决策问题，如果需要进行多次、有顺序的决策，才能 达到决策目的，这种决策称为多阶段决策．下面通过举例加以 说明． 例8.3.2 在例8.3.1中再增加第三个建厂方案：先建小厂，如果 前三年的销路好，再扩建大厂，扩建所需投资为200万元，盈 亏收益情况仍如例8.3.1．关于调查的结果：在10年使用期中， 前三年销路好的概率为0.7，销路差的概率为0.3；如前3年销路 好，则后7年销路也好的概率为0.9；如前3年销路差，则后7年 销路肯定差．若仍以10年为期，问工厂应怎样扩建？ 解 由题意可知，本决策问题是一个两阶段决策问题，前3年为 第一阶段，后7年为第二阶段．在第一阶段中，有两个方案： 建大厂与建小厂．对于建小厂方案，若前3年销路好，则第二 阶段开始还有一个决策选择：是否扩建
单位：万元
试用决策树方法求出使期望收入最大的决策．
解 所做决策树如下图
决策：第一年增添新设备（1），如果第一年需求增加25%，则第二年利 用加班时间，否则第二年使用新设备（1）
8.3.4 后验期望值准则（贝叶斯决策准则）
先验概率具有较大的主观性，若要求决策者追加信息再利用贝 叶斯公式修正有关状态的先验概率称为后验概率． , An 是一个完备事件组，则对任一事 贝叶斯公式： 设 A 1 , A2 , 件B有 P ( Ai ) P ( B | Ai ) P ( Ai | B ) n (i 1, 2, , n) P( Aj ) P( B | Aj )
8.3.1 最大收益期望值（EMV）准则
根据各事件的概率计算出各方案的期望收益值，并从中选择最 大的期望值，以它对应的方案为最优策略，这就是最大期望值决策
准则．按最大收益期望值准则对例8.1.1决策，见表
单位：万元
从表中看到最大期望值为34.5，其对应的是方案Ⅱ为最优方案．
8.3.2 最小机会损失期望值（EOL）准则
0.1396 0.2 P( N3 | B) 0.1359 0.2313 0.3 0.2162 0.5 0.1396 0.2
根据修正后的概率按照最大收益期望值准则计算，结果如表所示
单位：万元