公司金融学__2货币的时间价值
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考虑两个永久债券，债券A今年开始 支付利息，债券B则从T+1期开始支付。 图示如下：
时间 0 1 2 3„ T T+1 T+2 T+3 T+4„
债券A 债券B 年金
C
C
C
C
C C
C C
C C
C„ C„
C
C
C
C
年金现值=债券A的现值-债券B的现值 显然，债券A和债券B是两个永续年金，年金现 值是两个永续年金现值之差。
例题： 某公司正准备付给股东每股2元的股 息。投资者估计以后每年的股息将以7% 的速度增长，适用的折现率是10%，目前 公司的股价应该是多少？
2 (1 7%) 股价 2 10%- 7% 71.3
其中2为当前的股息，后面部分为以每年股息的现值
年金
指一系列稳定有规律的、持续一段 固定时期的现金收付活动。年金可能发 生在每期期末，或者每期期初。 年金如果发生在每期期末，则称为 普通年金；如果年金发生在每期期初， 则称为预付年金。 不做特别说明，以下均指普通年 金。
28
永续增长年金现值公式推导:
8 8 (1 5%) 8 (1 5%)2 PVA 2 3 1 10% (1 10%) (1 10%) 8 1 5% (1 5%)2 (1 ) 2 1 10% 1 10% (1 10%)
r R p
二、现值的计算
单笔现金流的现值
现值：为了将来获得一定数量的资金现在应投入 多少。 C PV 单期 (1 r )
多期
Ct PV 复利 (1 r ) t Ct 单利 PV (1 r t ) 为t期后的现金流量；r为适用的利率。
16
复利现值系数及现值系数表
复利现值系数： 1 复利现值公司中的 (1 是前面复利终 r) t 值系数的倒数，称之为期数为t、利率为r的复 利现值系数 PVIFi ,t ，则有：
T
其中，Ct为T期的现金流；r为适用的利率。
C1 C2 CT NPV C0 ... 2 1 r (1 r ) (1 r )T Ct C0 (1 r )t t 1
22
T
三、四类现金流的计算
1、永续年金 2、永续增长年金 3、年金 4、增长年金
23
如果是连续复利，则：
EAIR e R 1
实际利率：
就是指从名义利率中剔除了物价影响 （包括通胀或通缩）因素的利率。名义利 率不能完全反映资金时间价值，实际利率 才真实地反映了资金的时间价值。
实际利率和名义利率的关系
通货膨胀为零时两者相等； 两者的换算关系：
1 R r 1 1 p
当通货膨胀率较小时，可以简化为：
复利计息次数越多，终值越大。当计 息次数趋于无穷大的时候，就得到连续 复利的情况： m
r mt r r rt FV P0 (1 ) P0 (1 ) m m m r r rt rt FV lim P0 (1 ) e m m
8
例题： 将10000元存入银行，年利率为8%， 如果每季度复利一次，在3年后的终值是 多少？如果是连续复利呢？ 季度复利：
FVt P0 (1 r t ) （单利）
其中，P0为0期的现金流；r表示复利率。
3
单、复利终值的比较：
将100元存入银行，年存款利率为3%，那么两 年后，按单利和复利计算的终值分别为： 按单利：
FV2 P0 (1 r t ) 100 (1 3% 2) 106
32
普通年金和先付年金的区别举例
所谓的普通年金，又称“后付年 金”，它是指收付时点在每一期间期末 的年金。
比如，每年年末存入银行50000元， 2年期。到期全部提取本息。这里的 50000元，就是普通年金。假设利率为 10%，单利计息，利息该多少呢？
利息计算如下：
第一个50000元： 第一年利息 = 0（因是年末存入，当年无 利息） 第二年利息 = 50000 * 10% = 5000元 第二个50000元： 第一年利息 = 0（当年未存入，则当年无 利息） 第二年利息 = 0（因是年末存入，当年无 利息）
永续年金
是指持续到永远的现金流量（年金）。 永续年金没有终止的时间，也就没有终值。 比如优先股和永久债券。
0 C C C C C C C C C „ 永续年金的现值：
C C C PVA ... 2 3 1 r (1 r ) (1 r )
24
等比数列求和公式:
a1 (1 q n ) Sn 1 q
r mt 8% 43 FV12 P0 (1 ) 10000 (1 ) m 4 12682
连续复利：
FV P e 10000 e 0
rt 0.083
12712
终值
20%
15%
10% 5%
时间
复利频率、时间对利息的影响：
本金100元，年利率为12%，分别计算按半年、季 度、月份和每天复利的方式计算一年（五、十）后的 本息和： 按半年：112.36；179.08；320.71 按季度：112.55；180.61；326.20. 按月份：112.68；181.67；330.04 按每天：112.75；182.19；331.95
所谓的先付年金，又称“预付年金”。 它是指收付时点在每一期间期初的年金。
比如，每年年初存入银行50000元，2 年年末全部提取本息。这里的50000元， 就是先付年金。假设利率为10%，单利 计息。它产生的利息又是多少呢？
利息计算如下：
第一个50000元： 第一年利息 = 50000 * 10% = 5000（因是年 初存入，至年末产生一年的利息） 第二年利息 = 50000 * 10% = 5000元 第二个50 000元： 第一年利息 = 0（当年未存入，则当年无利 息） 第二年利息 = 50000 * 10% = 5000元（因是 年初存入，至年末产生一年的利息）
就是使得在每年计息一次时所提供的利 息和名义利率在每年计息M次时所提供的利息 相等的利率。
名义利率和有效利率的关系：
当计息周期为一年时，名义利率和实际利 率相等，计息周期短于一年时，实际利率大于 名义利率。 名义利率越大，周期越短，实际利率与名 义利率的差值就越大。 两者的换算关系：
R m EAIR (1 ) 1 m
312
262
系列1
系列2
212 系列3 系列4
162
112 1 2 3
4、名义利率、有效利率和实际利率
名义利率：
所谓名义利率，是央行或其它提供资金 借贷的机构所公布的未调整通货膨胀因素的利 率，即利息（报酬）的货币额与本金的货币额 的比率。 也就是包括补偿通货膨胀(包括通货 紧缩)风险的利率。
有效利率：
一般化：
8 1 5% (1 5%)2 PVA (1 ) 2 1 10% 1 10% (1 10%) 8 C 1 10% 1 r C 160 1 5% 1 g r g 1 1 1 10% 1 r
小贴士：
公式中的C是指的开始起 后一期（期 初） 的年金，而不是本期的现金流 （如果是 本期的必须是期末）！！！ 利率r一定要高于增长率g，这样永续 增长年金公式才有意思！！！
6
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3、利率、复利频率和期限对利息的影响 • 一年期的一项投资每年按m次复利计息， 其年末终值为：
r m FV P0 (1 ) m
式中， P0是投资者的初始投资；r是名义年 利率；m是复利计息的次数。
7
• 一项投资的期限为t年，其终值计算 公式则变为：
r mt FV P0 (1 ) m
第二章 货币的时间价值
一、终值计算 二、现值计算 三、四类现金流的计算
1
一、终值计算
1、单笔现金流的终值 2、多笔现金流的终值 3、复利 4、实际利率
2
1、单笔现金流的终值
终值：指现在投入的资金经过一段时间后将 为多少。 单期： FV P0 (1 r)
多期： FVt P0 (1 r)t （复利）
PV Ct PVIFi ,t
复利现值系数表。
利率和期限对现值的影响
现值
1 0.90 0.80
5%
10% 15%
时间 未来一元钱的现值逐渐递减，但随着时间的延长递减的速 度变慢；利率（折现率）越高，现值越小，递减的速度也越 快。
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
折（贴）现率：
FV 1 / t r ( ) 1 PV 折（贴）现率体现了：
当前的消费偏好（偏好越大，折现率就越 高）； 预期的通货膨胀（通货膨胀率越高，折现率就 越高）； 未来现金流的不确定性（风险越高，折现率就 越高）； 机会成本（机会成本越高，折现率就越高）。
例题： 假定某银行提供一种存单，要 求现值存入10000元，4年后能够领 取12625元，则此银行提供的利率是 多少？
按复利：
FV2 P0 (1 r )t 100 (1 3%)2 106.09
终值系数： 终值系数表：
FVIFr ,t (1 r)t
2、多笔现金流的终值
一系列现金流的终值就是每笔现金流终值之和。 某个项目需要连续3年投资，每年投资分别为200 万，400万和300万，假设利率为3%，则这笔投资3年 后的终值为多少？ 第一年投资的终值：200*(1+3%)^3=218.54 第二年投资的终值：400*(1+3%)^2=424.36 第三年投资的终值：300*(1+3%)=309 三年投资的终值为：218.54+424.36+309=951.9
永续增长年金
指金每年有规律的永续增长。 比如，有一门面在扣除各项费用后，从 明年开始，房东每年年初会有8万元的收 入，预计这笔收入会以每年5%的速度增 长，如果贴现率为10%，则这个门面价值 多少？
8 8 (1 5%) 8 (1 5%)2 PVA 2 3 1 10% (1 10%) (1 10%)
C 债券A的现值= r C 债券B在T时刻的现值= r
但我们需要的是它在0时刻的现值，因此必须将 债券B在T时刻的现值贴现到0时刻：
C 1 r (1 r )T
年金现值公式：
1 1 PVA C n r r (1 r ) 1 (1 r ) n C r
年金现值
例题：有一种博彩大奖，中奖者在 随后20年中每年得到50万的奖金，博彩 公司号称这是一个1000万元的大奖。若 年利率为8%，这项奖项的真实价值是多 少？
50 50 50 50 PVA 2 3 20 1 8% (1 8%) (1 8%) (1 8%)
年金现值公式的推导
其中，C是每期期末收到的现金流，r是适用的贴现 率。
我们把下式：
1 (1 r ) n r
FV 1/ t r ( ) 1 PV 1 12625 4 ( ) 1 1.06 1 0.06 10000
也可以通过现值或终值系数表来求解
多笔现金流的现值
C1 C2 CT PV ... 2 1 r (1 r ) (1 r )T Ct (1 r )t t 1
今年年末及以后每年我都想消费C元， 如果市场利率为r，则我现在该拥有多大 一笔资金存入银行才能满足这个愿望？ 这笔资金今年年末要产生的利息为C， 则今年年初的本金该为：
C r 年末产生的利息为： PVA
C r C r
例题： 国家最高科学技术奖每年年底颁发的 奖金额为1000万元。计划设立一奖励基 金，其每年的收益用作奖金支出，假设 市场收益率为8%，则该基金最低需要多 少资金才能满足每年的奖金支出？
令式中n趋于无穷大可得无穷等比数列的求和公式
永续年金现值公式：
C C C PVA ... 2 3 1 r (1 r ) (1 r ) C (1 r ) 1 PVA 1 (1 r ) 1 C PVA (1 r ) 1 C PVA r
永续年金现值公式的金融学推导：
时间 0 1 2 3„ T T+1 T+2 T+3 T+4„
债券A 债券B 年金
C
C
C
C
C C
C C
C C
C„ C„
C
C
C
C
年金现值=债券A的现值-债券B的现值 显然，债券A和债券B是两个永续年金，年金现 值是两个永续年金现值之差。
例题： 某公司正准备付给股东每股2元的股 息。投资者估计以后每年的股息将以7% 的速度增长，适用的折现率是10%，目前 公司的股价应该是多少？
2 (1 7%) 股价 2 10%- 7% 71.3
其中2为当前的股息，后面部分为以每年股息的现值
年金
指一系列稳定有规律的、持续一段 固定时期的现金收付活动。年金可能发 生在每期期末，或者每期期初。 年金如果发生在每期期末，则称为 普通年金；如果年金发生在每期期初， 则称为预付年金。 不做特别说明，以下均指普通年 金。
28
永续增长年金现值公式推导:
8 8 (1 5%) 8 (1 5%)2 PVA 2 3 1 10% (1 10%) (1 10%) 8 1 5% (1 5%)2 (1 ) 2 1 10% 1 10% (1 10%)
r R p
二、现值的计算
单笔现金流的现值
现值：为了将来获得一定数量的资金现在应投入 多少。 C PV 单期 (1 r )
多期
Ct PV 复利 (1 r ) t Ct 单利 PV (1 r t ) 为t期后的现金流量；r为适用的利率。
16
复利现值系数及现值系数表
复利现值系数： 1 复利现值公司中的 (1 是前面复利终 r) t 值系数的倒数，称之为期数为t、利率为r的复 利现值系数 PVIFi ,t ，则有：
T
其中，Ct为T期的现金流；r为适用的利率。
C1 C2 CT NPV C0 ... 2 1 r (1 r ) (1 r )T Ct C0 (1 r )t t 1
22
T
三、四类现金流的计算
1、永续年金 2、永续增长年金 3、年金 4、增长年金
23
如果是连续复利，则：
EAIR e R 1
实际利率：
就是指从名义利率中剔除了物价影响 （包括通胀或通缩）因素的利率。名义利 率不能完全反映资金时间价值，实际利率 才真实地反映了资金的时间价值。
实际利率和名义利率的关系
通货膨胀为零时两者相等； 两者的换算关系：
1 R r 1 1 p
当通货膨胀率较小时，可以简化为：
复利计息次数越多，终值越大。当计 息次数趋于无穷大的时候，就得到连续 复利的情况： m
r mt r r rt FV P0 (1 ) P0 (1 ) m m m r r rt rt FV lim P0 (1 ) e m m
8
例题： 将10000元存入银行，年利率为8%， 如果每季度复利一次，在3年后的终值是 多少？如果是连续复利呢？ 季度复利：
FVt P0 (1 r t ) （单利）
其中，P0为0期的现金流；r表示复利率。
3
单、复利终值的比较：
将100元存入银行，年存款利率为3%，那么两 年后，按单利和复利计算的终值分别为： 按单利：
FV2 P0 (1 r t ) 100 (1 3% 2) 106
32
普通年金和先付年金的区别举例
所谓的普通年金，又称“后付年 金”，它是指收付时点在每一期间期末 的年金。
比如，每年年末存入银行50000元， 2年期。到期全部提取本息。这里的 50000元，就是普通年金。假设利率为 10%，单利计息，利息该多少呢？
利息计算如下：
第一个50000元： 第一年利息 = 0（因是年末存入，当年无 利息） 第二年利息 = 50000 * 10% = 5000元 第二个50000元： 第一年利息 = 0（当年未存入，则当年无 利息） 第二年利息 = 0（因是年末存入，当年无 利息）
永续年金
是指持续到永远的现金流量（年金）。 永续年金没有终止的时间，也就没有终值。 比如优先股和永久债券。
0 C C C C C C C C C „ 永续年金的现值：
C C C PVA ... 2 3 1 r (1 r ) (1 r )
24
等比数列求和公式:
a1 (1 q n ) Sn 1 q
r mt 8% 43 FV12 P0 (1 ) 10000 (1 ) m 4 12682
连续复利：
FV P e 10000 e 0
rt 0.083
12712
终值
20%
15%
10% 5%
时间
复利频率、时间对利息的影响：
本金100元，年利率为12%，分别计算按半年、季 度、月份和每天复利的方式计算一年（五、十）后的 本息和： 按半年：112.36；179.08；320.71 按季度：112.55；180.61；326.20. 按月份：112.68；181.67；330.04 按每天：112.75；182.19；331.95
所谓的先付年金，又称“预付年金”。 它是指收付时点在每一期间期初的年金。
比如，每年年初存入银行50000元，2 年年末全部提取本息。这里的50000元， 就是先付年金。假设利率为10%，单利 计息。它产生的利息又是多少呢？
利息计算如下：
第一个50000元： 第一年利息 = 50000 * 10% = 5000（因是年 初存入，至年末产生一年的利息） 第二年利息 = 50000 * 10% = 5000元 第二个50 000元： 第一年利息 = 0（当年未存入，则当年无利 息） 第二年利息 = 50000 * 10% = 5000元（因是 年初存入，至年末产生一年的利息）
就是使得在每年计息一次时所提供的利 息和名义利率在每年计息M次时所提供的利息 相等的利率。
名义利率和有效利率的关系：
当计息周期为一年时，名义利率和实际利 率相等，计息周期短于一年时，实际利率大于 名义利率。 名义利率越大，周期越短，实际利率与名 义利率的差值就越大。 两者的换算关系：
R m EAIR (1 ) 1 m
312
262
系列1
系列2
212 系列3 系列4
162
112 1 2 3
4、名义利率、有效利率和实际利率
名义利率：
所谓名义利率，是央行或其它提供资金 借贷的机构所公布的未调整通货膨胀因素的利 率，即利息（报酬）的货币额与本金的货币额 的比率。 也就是包括补偿通货膨胀(包括通货 紧缩)风险的利率。
有效利率：
一般化：
8 1 5% (1 5%)2 PVA (1 ) 2 1 10% 1 10% (1 10%) 8 C 1 10% 1 r C 160 1 5% 1 g r g 1 1 1 10% 1 r
小贴士：
公式中的C是指的开始起 后一期（期 初） 的年金，而不是本期的现金流 （如果是 本期的必须是期末）！！！ 利率r一定要高于增长率g，这样永续 增长年金公式才有意思！！！
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Βιβλιοθήκη Baidu
3、利率、复利频率和期限对利息的影响 • 一年期的一项投资每年按m次复利计息， 其年末终值为：
r m FV P0 (1 ) m
式中， P0是投资者的初始投资；r是名义年 利率；m是复利计息的次数。
7
• 一项投资的期限为t年，其终值计算 公式则变为：
r mt FV P0 (1 ) m
第二章 货币的时间价值
一、终值计算 二、现值计算 三、四类现金流的计算
1
一、终值计算
1、单笔现金流的终值 2、多笔现金流的终值 3、复利 4、实际利率
2
1、单笔现金流的终值
终值：指现在投入的资金经过一段时间后将 为多少。 单期： FV P0 (1 r)
多期： FVt P0 (1 r)t （复利）
PV Ct PVIFi ,t
复利现值系数表。
利率和期限对现值的影响
现值
1 0.90 0.80
5%
10% 15%
时间 未来一元钱的现值逐渐递减，但随着时间的延长递减的速 度变慢；利率（折现率）越高，现值越小，递减的速度也越 快。
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
折（贴）现率：
FV 1 / t r ( ) 1 PV 折（贴）现率体现了：
当前的消费偏好（偏好越大，折现率就越 高）； 预期的通货膨胀（通货膨胀率越高，折现率就 越高）； 未来现金流的不确定性（风险越高，折现率就 越高）； 机会成本（机会成本越高，折现率就越高）。
例题： 假定某银行提供一种存单，要 求现值存入10000元，4年后能够领 取12625元，则此银行提供的利率是 多少？
按复利：
FV2 P0 (1 r )t 100 (1 3%)2 106.09
终值系数： 终值系数表：
FVIFr ,t (1 r)t
2、多笔现金流的终值
一系列现金流的终值就是每笔现金流终值之和。 某个项目需要连续3年投资，每年投资分别为200 万，400万和300万，假设利率为3%，则这笔投资3年 后的终值为多少？ 第一年投资的终值：200*(1+3%)^3=218.54 第二年投资的终值：400*(1+3%)^2=424.36 第三年投资的终值：300*(1+3%)=309 三年投资的终值为：218.54+424.36+309=951.9
永续增长年金
指金每年有规律的永续增长。 比如，有一门面在扣除各项费用后，从 明年开始，房东每年年初会有8万元的收 入，预计这笔收入会以每年5%的速度增 长，如果贴现率为10%，则这个门面价值 多少？
8 8 (1 5%) 8 (1 5%)2 PVA 2 3 1 10% (1 10%) (1 10%)
C 债券A的现值= r C 债券B在T时刻的现值= r
但我们需要的是它在0时刻的现值，因此必须将 债券B在T时刻的现值贴现到0时刻：
C 1 r (1 r )T
年金现值公式：
1 1 PVA C n r r (1 r ) 1 (1 r ) n C r
年金现值
例题：有一种博彩大奖，中奖者在 随后20年中每年得到50万的奖金，博彩 公司号称这是一个1000万元的大奖。若 年利率为8%，这项奖项的真实价值是多 少？
50 50 50 50 PVA 2 3 20 1 8% (1 8%) (1 8%) (1 8%)
年金现值公式的推导
其中，C是每期期末收到的现金流，r是适用的贴现 率。
我们把下式：
1 (1 r ) n r
FV 1/ t r ( ) 1 PV 1 12625 4 ( ) 1 1.06 1 0.06 10000
也可以通过现值或终值系数表来求解
多笔现金流的现值
C1 C2 CT PV ... 2 1 r (1 r ) (1 r )T Ct (1 r )t t 1
今年年末及以后每年我都想消费C元， 如果市场利率为r，则我现在该拥有多大 一笔资金存入银行才能满足这个愿望？ 这笔资金今年年末要产生的利息为C， 则今年年初的本金该为：
C r 年末产生的利息为： PVA
C r C r
例题： 国家最高科学技术奖每年年底颁发的 奖金额为1000万元。计划设立一奖励基 金，其每年的收益用作奖金支出，假设 市场收益率为8%，则该基金最低需要多 少资金才能满足每年的奖金支出？
令式中n趋于无穷大可得无穷等比数列的求和公式
永续年金现值公式：
C C C PVA ... 2 3 1 r (1 r ) (1 r ) C (1 r ) 1 PVA 1 (1 r ) 1 C PVA (1 r ) 1 C PVA r
永续年金现值公式的金融学推导：