理论力学13-2 基本定理综合题

n FAD 60 ° A C 60° aC mg FBE B
60°
FAD A C aC vC
FBE
B
mg
(a) 图综-4
(b)
(c)
解
（1）对绳 FG 刚剪断瞬时的均质板进行运动和受力分析。板在软绳 FG 剪断后作
t
平面曲线平移（ ω 及 α 均为零） ，板在刚剪断瞬时其质心 C 只有切向加速度， aC =a C ，如 图综-4b 所示。根据平面运动微分方程
α=
dω M = dt (m1 + m2 ) R 2
（1）
(2) 取轮 A 为研究对象，如图综-6c 所示。根据定轴转动微分方程有
1 m1 R 2α = M − FT R 2
式（1）代入式（2） ，即得
（2）
FT =
综-7 如图综-7a 所示图示圆环以角速度 ω 绕铅垂轴 AC 自由转动。此圆环半径为 R， 对轴的转动惯量为 J。 在圆环中的点 A 放 1 质量为 m 的小球。 设由于微小的干扰小球离开点 A。圆环中的摩擦忽略不计，求小球到达点 B 和点 C 时，圆环的角速度和小球的速度。
ρ = R - vt
ϕ=
v0 t R − vt
2 mvϕ
线的张力
&& = F = ma ρ = mρ
ρ
=
mv0 R 2 ( R − vt ) 3
2
综-4 正方形均质板的质量为 40 kg，在铅垂平面内以 3 根软绳拉住，板的边长 b = 100 mm，如图综-4a 所示。求： （1）当软绳 FG 剪断后，木板开始运动的加速度以及 AD 和 BE 两绳的张力； （2）当 AD 和 BE 两绳位于铅垂位置时，板中心 C 的加速度和两绳的张力。
ω
O1 B
(a) 图综-6 189
v C O
ω
FT
FO y
α
O
M
M
A
(b)
FOx
(c)
解 (1) 以整个系统为研究对象。设轮 A，B 在某瞬时的角速度为 ω （图综-6b） ，则物 块 C 的速度为 v = Rω 根据动能定理微分形式有
即 两边除以 dt，约去 ω ，整理得
1 ⎡ 1 1 ⎤ Mdϕ = d ⎢2 × ( m1 R 2 )ω 2 + m2 ( Rω ) 2 ⎥ 2 ⎣ 2 2 ⎦ 2 2 Mdϕ = m1 R ωdω + m2ωdω ⋅ R
[
]
（1）
滑块 M 的法向运动微分方程为
mv 2 2kR sin ϕ cos(90° − ϕ ) + mg cos(180° − 2ϕ ) − FN = R
式（1）代入上式，化简得
FN = 2kR sin 2 ϕ − mg cos 2ϕ − 4(mg + kR) cos 2 ϕ
综-2 如图综-2a 所示 1 撞击试验机，主要部分为 1 质量为 m = 20 kg 的钢铸物，固定在 杆上，杆重和轴承摩擦均忽略不计。钢铸物的中心到铰链 O 的距离为 l = 1 m，钢铸物由最 高位置 A 无初速地落下。求轴承约束力与杆的位置 ϕ 之间的关系。并讨论 ϕ 等于多少时杆 受力为最大或最小。
186
（1）
式（1）两边对时间 t 求导，得
& 2va t = 2 gl sin ϕ ⋅ ϕ & , a t = g sin ϕ v = lϕ
法向：
（ 2）
式（1）代入上式，得 切向： 式（2）代入上式得 由式（3） ，当 ϕ = π时 当 ϕ = arc cos
v2 v2 Fn + mg cos ϕ = m (a n = ) l l Fn = mg (2 − 3 cos ϕ ) Ft + mg sin ϕ = mat Ft = 0
Fn = Fmax = 5 mg =（5×20×9.8）N = 980 N
（3）
2 = 48°11′ 时， 3
Fn = Fmin = 0 讨论： ϕ = 0 时， Fn = − mg 只表示杆受压力，一般讨论最大、最小应以绝对值考虑。 综-3 1 小球质量为 m，用不可伸长的线拉住，在光滑的水平面上运动，如图综-3a 所 示。线的另 1 端穿过 1 孔以等速 v 向下拉动。设开始时球与孔间的距离为 R，孔与球间的线 段是直的，而球在初瞬时速度 v0 垂直于此线段。求小球的运动方程和线的张力 F（提示： 解题时宜采有极坐标）
F⋅
且
l ml 2 = α 2 12
（2）
l aC = α 2
式（1） 、 （2） 、 （3）联立，解得
（3）
F=
mg = 9.8 N 4
综-9 如图综-9a 所示为曲柄滑槽机构，均质曲柄 OA 绕水平轴 O 作匀角速度转动。已 。滑块 A 的重量和各 知曲柄 OA 的质量为 m1，OA = r，滑槽 BC 的质量为 m2（重心在点 D） 处摩擦不计。求当曲柄转至图示位置时，滑槽 BC 的加速度、轴承 O 的约束力以及作用在曲 柄上的力偶矩 M。
y
B
ω
M E
A
FN x
′ FN
A
a BC
D
FOx O FO y
ϕ
m1 g
C
m2 g
p
ae aa
ϕ
A ar
(a)
(wk.baidu.com) 图综-9
(c)
(d)
191
解 曲柄 OA 和滑槽 BC， 滑块 A 的受力与运动分析分别如图综-9b、 综-9c、 综-9d 所示， 其中 p ( x )表示 T 形杆 BC 在槽上受到的分布力，但我们不用求这些力。建立图综-9b 坐标 系 Oxy。 ′ 。选取 BC 为动系，曲柄 OA 上的滑块 A 为动点， （1）求 BCD 的加速度及水平力 FN 点 A 加速度分析如图综-9d 做事。根据加速度合成定理 aa = ae + ar 故
（4）
& &A = (1 + y
（5）
式（1） ， （5）代入式（4）中 2 式，消去 FN，解得
&B = − aB = & x
m1 sin 2θ g （←） 2(m2 + m1 sin 2 θ )
综-6 如图综-6a 所示，轮 A 和 B 可视为均质圆盘，半径均为 R，质量均为 m1。绕在两 轮上绳索中间连着物块 C，设物体 C 的质量为 m2，且放在理想光滑的水平面上。今在轮 A 上作用 1 不变的力偶 M，求轮 A 与物块之间那段绳索的张力。
Jω = ( J + mR 2 )ω B Jω ωB = J + mR 2
机械能守恒：
（1）
mg ⋅ 2 R +
式（1）代入式（2）解得
1 1 1 2 2 Jω 2 = mgR + Jω B + mv B 2 2 2
（2）
vB =
（2）A 至 C 过程 动量矩守恒：
⎤⎫ 1⎧ J2 2⎡ 2 − − 1⎥ ⎬ ω mgR J ⎨ ⎢ 2 2 m⎩ ⎣ ( J + mR ) ⎦⎭
2
2
Jω 2 R 2 J + mR 2
综-8 均质棒 AB 的质量为 m = 4 kg，其两端悬挂在两条平行绳上，棒处在水平位置， 如图综-8a 所示。设其中 1 绳突然断了，求此瞬时另 1 绳的张力 F。
F A
(a) 图综-8
aC
α
C mg
(b)
B
解 设绳 DB 突然折断，因水平无外力，初始静止，故水平方向不会有加速度，即在绳 断瞬时棒 AB 质心加速度沿铅垂方向。棒 AB 的受力与运动分析如图综-8b 所示。 mg − F = maC （1） 由相对质心动量矩定理：
ω
M (m1 + 2m2 ) 2 R(m1 + m2 )
FAx
A F Ay ve vr vB
B C vC FCx
(a) 图综-7
FCy
FCz
(b)
解 整个系统在运动过程中对转动轴动量矩守恒，机械能也守恒。设小球至 B 位置时 圆环绕 AC 轴转动角速度为 ω B ，小球至 C 位置时圆环角速度为 ω C ，又设小球在最低位置 为零势能点。 （1）A 至 B 过程 动量矩守恒：
M O′ FT O
(a) 图综-1
FN
v
a
ϕ
mg
(b)
解 滑块 M 在下降至任意位置时的运动及受力分析如图综-1b 所示。滑块 M 在下降过 程中 v 与 ϕ 的关系可由动能定理确定：
mg × 2 R cos 2 ϕ +
1 1 k (2 R) 2 − (2 R sin ϕ ) 2 = mv 2 -0 2 2 kR v = 2 cos ϕ gR(1 + ) mg
根据质心运动定理及相对质心动量矩定理得 FAD + FBE – mg = maC
（1） （2） （3）
FBE
b b − FAD = 0 2 2
188
2 vC aC = l aC = g (2 − 3 ) = 2.63 m/s 2
代入式（2） ， （3）得
FBE = FAD =
a mg (1 + C ) = 249 N 2 g
A
at
v
an mg Ft
ϕ
O Fn
B
(a) 图综-2
(b)
解 钢铸物下降至 ϕ 角位置时运动和受力分析如图综-2b 所示。轴承约束力不做功，做 功力为重力 mg，是有势力，故机械能守恒，设 O 位置为零势能位置，则
即
1 mgl = mgl cos ϕ + mv 2 2 v 2 = 2 gl (1 − cos ϕ )
vϕ vρ
ρ
O v
F
ϕ
v
M
F
(a) 图综-3 (b)
解 小球在铅垂方向受合力为 0，在水平面内受拉力 F，受力和速度分析如图综-3b 所 示。由于作用于小球的力对小孔 O（轴 Oz）之矩为零，故小球在运动过程中对点 O（轴 Oz） 的动量矩守恒，即
mv0 R = mvϕ ⋅ ρ
vϕ = R
ρ
v0
在极坐标下，
t maC = ∑ Ft , n maC = ∑ Fn ,
J Cα = ∑ M C
（1） （2） （3）
得
b FBE sin 60° − FBE 2
联立解得
mg cos 60° = maC FAD + FBE − mg sin 60° = 0 b b b cos 60° − FAD sin 60° − FAD cos 60° = 0 2 2 2 g aC = = 4.9 m/s 2 2 FAD = 72 N FBE = 268 N
综-5 如图综-5a 所示三棱柱 A 沿三棱柱 B 光滑斜面滑动， A 和 B 的质量各为 m1 与 m2， 三棱柱 B 的斜面与水平面成 θ 角。如开始时物系静止，忽略摩擦，求运动时三棱柱 B 的加 速度。
y
& &A y
A
aB ar aA
FN O
A
& &A x
θ
m1 g
x
(a)
(b) 图综-5
(c)
190
Jω = Jω C ωC = ω
机械能守恒：
mg ⋅ 2 R +
1 1 1 2 2 Jω 2 = Jω C + mvC 2 2 2 vC = 2 gR
如果确定小球在位置 B 时相对于圆环的速度 vBr，则从速度分析知 vBr 垂直向下，vBe 垂直于 图面向里，且 vBe = Rω B 故
v Br = v B − v Be = 2 gR +
综合问题习题
综-1 滑块 M 的质量为 m，在半径为 R 的光滑圆周上无摩擦地滑动。此圆周在铅直面 内，如图综-1a 所示。滑块 M 上系有 1 刚度系数为 k 的弹性绳 MOA，此绳穿过光滑的固定 环 O，并固结在点 A。已知当滑块在点 O 时线的张力为零。开始时滑块在点 B，处于不稳定 的平衡状态；当它受到微小振动时，即沿圆周滑下。求下滑速度 v 与 ϕ 角的关系和圆环的约 束力。
vρ =
积分，得 故小球在任意瞬时绕小孔 O 转动的角速度
dρ = −v dt
ρ = R − vt ω=
v0 R ρ ( R − vt ) 2 v0 R dϕ = ω= dt ( R − vt ) 2 = vϕ
即
187
两边积分得 故小球的运动方程
ϕ=∫
t
v0 R v0 t t = d 0 ( R − vt ) 2 R − vt
& &A = & &B + ar cosθ x x & &A = −ar sin θ y
（2） （3）
（3）对 A 进行受力及运动分析，如图综-5c 所示，建立质点运动微分方程
由式（2） ， （3）消去 ar 得 式（1）代入上式得
&A = FN sin θ m1 & x &A = FN cos θ − m1 g m1 & y & &A = ( & &B − & &A ) tan θ y x x m2 &B tan θ )& x m1
（2）板运动到两绳位于铅垂位置时（即板的最低位置时）其运动及受力分析如图 c， 因所有外力沿铅垂方向，故点 C 无水平方向（即切向）加速度，只有铅垂方向（即法向） 加速度。板自绳 FG 刚剪断后至最低位置过程中，由动能定理确定点 C 的速度。设 AD，BE 绳长为 l，则
1 2 mgl (1 − sin 60°) = mvC 2 2 vC = gl (2 − 3 )
解 （1）以 A 及 B 为系统，由于作用于该系统上的外力无水平分量，因此该系统在水 平方向动量守恒。即 & A + m2 x & B = 常数 m1 x 两边求导得
& &A = − x
m2 & &B x m1
（1）
（2） 以 B 为动系，分析 A 的运动。如图综-5b 所示，根据 aA = ae + ar = aB + ar