材料力学答案

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习题 1.1

1.对一组整数进行四则运算,所得结果是什么数

解 (1)整数相加得到整数;(2)整数相减得到整数;(3)整数相乘得到整数;(4)整数相除得到的是有理数。所以对一组整数进行四则运算得到的是有理数。

2.写出4个数码1, 2, 3, 4的所有4阶排列.

分析 4阶排列是指由1, 2, 3, 4构成的有序的数组, 共有4!个, 每个数字必须出现且只能出现一次, 具体做法可以是先确定排在第一位的数, 比如为1, 然后排第二位的数分别为2, 3, 4, 接着排第三位、第四位的数.

解 1234 1243 1324 1342 1423 1432

2134 2143 2314 2341 2413 2431

3124 3142 3214 3241 3412 3421

4123 4132 4213 4231 4312 4321

3.分别计算下列四个4阶排列的逆序数, 然后指出奇排列是( A )

(A )4312; (B )4132; (C )1342; (D )2314

分析 计算排列逆序数的方法有两种:

方法一 12111()()n i i i i i ττ=⋯后面比小的数的个数

+222()i i τ后面比小的数的个数

+⋯⋯

+111()n n n i i τ−−−后面比小的数的个数

方法二 1前面比1大的数的个数+2前面比2大的数的个数+⋯⋯+(1)n −前面比1n −大的数的个数.

逆序数是奇数的称为奇排列,逆序数是偶数的成为偶排列.

解 按方法一计算:(4312)325τ=+= 奇排列

(4132)314τ=+= 偶排列

(1342)112τ=+= 偶排列

(2314)112τ=+= 偶排列 故选A.

4.计算以下各个排列的逆序数, 并指出它们的奇偶性:

(1)314265;(2)314265789;(3)542391786;

(4)987654321;(5)246813579;(6)(1)21n n −⋯.

解 按习题3分析中的方法一计算:

(1)(314265)2114τ=++= 偶排列

(2)(314265789)2114τ=++= 偶排列

(3)(542391786)431141115τ=++++++= 奇排列

(4)(987654321)8765432136τ=+++++++= 偶排列

(5)(246813579)123410τ=+++= 偶排列

(6)1((1)21)(1)(2)21(1)2n n n n n n τ−=−+−+++=

−⋯⋯, 这表明该排列的逆序数与n 有关, 故要对n 进行讨论:

当4,41n k k =+时1(1)2

n n −为偶数,此时排列(1)21n n −⋯.为偶排列; 当42,43n k k =++时1(1)2

n n −为奇数,此时排列(1)21n n −⋯.为奇排列.

5.在由1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9组成的下述9阶排列中, 选择i j 与使得:

(1)2147958i j 为偶排列; (2)1254896i j 为奇排列;

(3)4125769i j 偶排列; (3)3142786i j 奇排列.

均要求说明理由.

分析 排列1254896i j 中的两个未知数i j 与据排列的定义只能取3或7. 因而只有两种情况:1 132574896与2 172534896,然而我们只需计算上述的一个排列就可得知结果,因为1 与2 是3和7作一次对换得到的,而作一次对换必改变排列的奇偶性,也就是说若1 为偶排列, 则2 必为奇排列. 其余题解法也类似.

解 (1)取3,6i j ==有(214739568)11226τ=+++=为偶排列, 符合题目要求.

(2)取3,7i j ==有(132574896)112116τ=++++=为偶排列, 故取7,3i j ==时172534896为奇排列, 符合题目要求.

(3)取3,8i j ==有(412357698)3115τ=++=为偶排列,符合题目要求.

(4)取5,9i j ==有(531429786)42131112τ=+++++=为偶排列. 故取9,5i j ==时931425786为奇排列, 符合题目要求.

6.写出全体形如52253∗∗∗∗∗及的5阶排列.总结一下,有k 个位置数码给定的()n n k >阶排列有多少个?

分析 形如52∗∗∗的5阶排列中5和2的位置已经确定,3个∗位置只能取数字1,3,4中的某一个.

解 形如52∗∗∗的5阶排列中第一个∗可取1,3,4中的任何一个,故有3种取法,第二个∗可取剩下数字当中的任一个,有两种取法,最后一个∗只能取余下的那一个数,据乘法原理共有3213!××=种取法,即形如52∗∗∗的阶排列有(5-2)!个. 同理形如253∗∗的阶排列共有(5-3)!个. 因而,有k 个位置数码给定的()n n k >阶排列有()!n k −个.

7.自学附录一:连加号

.∑∏与连乘号

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