第五节 椭圆
第五节椭圆第二课时直线与椭圆的位置关系讲
第二课时直线与椭圆的位置关系一.课标要求，准确定位1.理解直线与椭圆位置关系的判断方法.2.掌握直线被椭圆所截的弦长公式.3.会解简单的直线与椭圆相关的综合问题.二．考情汇总，名师解读1.会判断直线与圆锥曲线的位置关系，解决弦长、中点弦的计算问题；2.会从不同角度体现判别式、根与系数的关系、点差法、圆锥曲线的性质、线段垂直平分线的性质等知识在直线与圆锥曲线的位置关系中的作用．1．点与椭圆的位置关系，椭圆＋＝）在椭圆内⇔＋<1⇔＋＝⇔＋>1.，椭圆＋＝，联立得（|x或＝·|＝，＝＝·|＝·|＝·（程有解的情况下进行的，不要忽略判别式>0这一前提方法二：几何法对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．()1求椭圆的方程；()2若48.7AB CD+=求直线考向二 求面积或已知面积求参数17．已知椭圆C ：22221x y a b +=223过椭圆上一点只能作一条切线．若椭圆的方程为＋＝）处的切线方程为＋＝=，过点1参考答案：【点睛】本题考查椭圆方程的求解4．A【分析】联立方程，写出关于交点坐标的韦达定理，用两点的距离公式设1122(,),(,)M x y N x y ，由22143y x y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得因为直线l 与椭圆相交，所以0∆>，即22483(k m -）由题意得解得．所以椭圆的方程为．）由得．的坐标分别为，，则，，，．|MN|===．）到直线的距离的面积为．由，解得，经检验，所以．26．8140-+=x y 或2x =【分析】首先判断点P 与椭圆1C 的位置关系，分类讨论切线的斜率是否存在，设切线方程并联立圆的方程，根据所得方程Δ0=【点睛】本题主要考查了点差法求斜率，答案第21页，共21页所以CA CB ⊥ .因为线段AB 的中点为M ，所以||2||AB CM =.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，恒等关系的处理，考查转化思想以及计算能力．。
2021版新高考数学：椭圆及其性质含答案
第1课时椭圆及其性质(对应学生用书第152页)考点1椭圆的定义及应用椭圆定义的应用主要有两个方面一是判定平面内动点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等．(1)如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆(2)F1，F2是椭圆x29＋y27＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为()A．7B．74 C．72D．752(1)A(2)C[(1)由题意可知，CD是线段MF的垂直平分线，∴|MP|＝|PF|，∴|PF|＋|PO|＝|PM|＋|PO|＝|MO|(定值).又|MO|＞|FO|，∴点P的轨迹是以F，O为焦点的椭圆，故选A.(2)由题意得a＝3，b＝7，c＝2，∴|F1F2|＝22，|AF1|＋|AF2|＝6.∵|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|cos 45°＝|AF1|2－4|AF1|＋8，∴(6－|AF1|)2＝|AF1|2－4|AF1|＋8.已知F 1，F 2是椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________．3 [设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则⎩⎨⎧r1＋r2＝2a ，r 21＋r 2＝4c 2，所以2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 2)＝4a 2－4c 2＝4b 2，所以S △PF 1F 2＝12r 1r 2＝b 2＝9，所以b ＝3.]考点2 椭圆的标准方程定义法∴其焦点在y 轴上， 且c 2＝25－9＝16.设它的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a ＞b ＞0). ∵c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2， 故a 2－b 2＝16.①又点(3，－5)在所求椭圆上， ∴（－5）2a2＋（3）2b2＝1，则5a2＋3b2＝1.②由①②得b 2＝4，a 2＝20，∴所求椭圆的标准方程为y220＋x24＝1.]3．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y2b2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．x 2＋32y 2＝1 [不妨设点A 在第一象限，如图所示． ∵AF 2⊥x 轴，∴A (c ，b 2)(其中c 2＝1－b 2，0＜b ＜1，c ＞0).又∵|AF 1|＝3|F 1B |，∴由AF 1＝3F 1B 得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5c 3，－b23， 代入x 2＋y2b2＝1 得25c29＋b49b2＝1. 又c 2＝1－b 2， ∴b 2＝23.故椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.](1)已知椭圆上两点，常设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)；(2)椭圆的通径(过焦点且与长轴垂直的弦)长为2b2a.考点3椭圆的几何性质椭圆的长轴、短轴、焦距方法一是通过已知条件列方程组，解出a ，c 的值；二是由已知条件得出关于a ，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．(1)(20xx·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A ．23B ．12C ．13D ．14(2)椭圆C 的两个焦点分别是F 1，F 2，若C 上的点P 满足|PF 1|＝32|F 1F 2|，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是________．(1)D (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12 [(1)由题意可得椭圆的焦点在x 轴上，如图所示，设|F 1F 2|＝2c ，∵△PF 1F 2为等腰三角形，且∠F 1F 2P ＝120°，∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c .∵|OF 2|＝c ，∴点P 坐标为(c ＋2c cos 60°，2c sin 60°)，即点P (2c ，3c ).∵点P 在过点A ，且斜率为36的直线上，∴3c 2c ＋a＝36，解得c a ＝14，∴e ＝14，故选D.A.125 B ．340 C ．18 D ．35B [如图，F 为月球的球心，月球半径为：12×3 476＝1738，依题意，|AF |＝100＋1 738＝1 838，|BF |＝400＋1 738＝2138.∴2a ＝1 838＋2 138，即 a ＝1 988，∴a ＋c ＝2 138, c ＝2 138－1 988＝150，故椭圆的离心率为：e ＝c a ＝1501 988≈340，选B.]2．已知F 1，F 2是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P 使得PF 1⊥PF 2，则该椭圆的离心率的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫55，1 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，55 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 B [∵F 1，F 2是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点，∴0<e <1，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，c 2＝a 2－b 2.设点P (x ，y )，由PF 1⊥PF 2，得(x ＋c ，y )·(x －c ，y )＝0，化简得x 2＋y 2＝c 2.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y2＝c2，x2a2＋y2b2＝1，本例(1)的求解恰恰应用了焦点三角形中张角最大的情形，借助该临界点可以迅速求出此种情形下的椭圆离心率，然后数形结合求解；本例(2)的求解采用了先建模，再借助椭圆中变量x (y )的有界性解模的思路．[教师备选例题]1．(2019·深圳模拟)设椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A ．36B ．13C ．12D ．33D [法一：(直接法)如图，在Rt △PF 2F 1中，∠PF 1F 2＝30°，|F 1F 2|＝2c ，∴|PF 1|＝2c cos 30°＝43c 3，|PF 2|＝2c ·tan 30°＝23c 3.∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，即43c 3＋23c 3＝2a ，可得3c ＝a .∴e ＝c a ＝33.法二：(特殊值法)在Rt △PF 2F 1中 ，令|PF 2|＝1，∵∠PF 1F 2＝30°，∴|PF 1|＝2，|F 1F 2|＝3.∴e ＝2c 2a ＝|F1F2||PF1|＋|PF2|＝33.故选D.] 2.如图，焦点在x 轴上的椭圆x24＋y2b2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·PA→的最大值为________．4 [由题意知a ＝2，因为e ＝c a ＝12，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3.故椭圆方程为x24＋y23＝1.设P 点坐标为(x 0，y 0).所以－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤3.因为F (－1，0)，A (2，0)，PF →＝(－1－x 0，－y 0)，PA →＝(2－x 0，－y 0)，所以PF →·PA →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2.则当x 0＝－2时，PF →·PA →取得最大值4.]3．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >c >0，a 2＝b 2＋c 2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若以F 2为圆心，b －c 为半径作圆F 2，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且|PT |的最小值不小于32(a －c )，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎭⎪⎫35，22 [因为|PT |＝|PF2|2－（b －c ）2(b >c )， 而|PF 2|的最小值为a －c ，所以|PT |的最小值为（a －c ）2－（b －c ）2.依题意，有（a －c ）2－（b －c ）2≥32(a －c )，。
椭圆 解析几何-高中数学课件-第5节
第八章 平面解析几何INNOVATIVE DESIGN第5节 椭 圆考试要求1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.掌握椭圆的简单应用.内容索引考点突破题型剖析分层精练巩固提升知识诊断基础夯实Z H I S H I Z H E N D U A N J I C H U H A N G S H I知识诊断 基础夯实11.椭圆的定义(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做______.这两个定点叫做椭圆的______，两焦点间的距离叫做椭圆的______，焦距的一半称为半焦距.(2)其数学表达式：集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ＞0，c ＞0，且a ，c 为常数：①若________，则集合P 为椭圆；②若________，则集合P 为线段；③若________，则集合P 为空集.知识梳理椭圆焦点焦距a ＞c a ＝c a ＜c2.椭圆的标准方程和几何性质2a2b2c(0，1)a2－b2[常用结论]诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)××√√解析 (1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F1F2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等于|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2，常数小于|F1F2|时，不存在这样的图形.2.(选修一P 115习题3.1T6改编)如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 内一个定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是( )A.椭圆 B.双曲线C.抛物线D.圆解析 连接QA (图略).由已知得|QA |＝|QP |，所以|QO |＋|QA |＝|QO |＋|QP |＝|OP |＝r .又因为点A 在圆内，所以|OA |＜|OP |，根据椭圆的定义知，点Q 的轨迹是以O ，A 为焦点，r 为长轴长的椭圆.A又2a＝2(2b)，即a＝2b，则有a2－b2＝3b2＝c2＝3，解得a2＝4，b2＝1，K A O D I A N T U P O T I X I N G P O U X I考点突破 题型剖析2考点一 椭圆的定义及应用C(2)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169,C2：(x＋4)2＋y2＝9,动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为__________________.解析 设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16＞8＝|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16，2c＝8，椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题.C得|MF1|＋|MF2|＝2×3＝6，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立.(2)若△ABC的两个顶点为A(－3，0)，B(3，0)，△ABC周长为16，则顶点C的轨迹方程为_______________________.解析 由题知点C到A，B两点的距离之和为10，故C的轨迹为以A(－3，0)，B(3，0)为焦点，长轴长为10的椭圆，故2a＝10，c＝3，b2＝a2－c2＝16.又A，B，C三点不能共线，考点二 椭圆的标准方程例2求满足下列各条件的椭圆的标准方程：(1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3，0)；解 若焦点在x轴上，∵椭圆过点A(3，0)，∵2a＝3×2b，∴b＝1，若焦点在y轴上，∵椭圆过点A(3，0)，又2a＝3×2b，∴a＝9，解 设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，求椭圆方程的方法：(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹是否满足椭圆的定义.(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可.BCD解析 依题意，当A为上顶点，F为右焦点时，B为左顶点，则|AF|＝a＝3，a＋c＝5，∴c＝2，又a2＝b2＋c2，b2＝5，当A为右顶点，F为右焦点，B为左顶点时，|BF|＝a＋c＝5，|AF|＝a－c＝3，当B为上顶点，F为右焦点，A为右顶点时，|BF|＝a＝5，|AF|＝a－c＝3，考点三 椭圆的简单几何性质角度1 离心率A易知|AF1|＝|F1F2|＝2c，在△AF1F2中，又|AF2|＝2a－|AF1|＝2a－2c，解析 ∵△PF1F2为直角三角形，∴PF1⊥F1F2，又|PF1|＝|F1F2|＝2c，角度2 与椭圆几何性质有关的最值、范围问题C解析 若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则以原点为圆心，F1F2为直径的圆与椭圆必有交点，D解析 设左焦点F0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形.∵|AF |＋|BF |＝4，∴|AF |＋|AF 0|＝4，∴a ＝2.解析 由题知圆E的圆心为E(1，0)，半径为1.∵直线MN与圆E相切于点N，∴NE⊥MN，且|NE|＝1.设M(x0，y0)，FENCENGJINGLIAN GONGGUTISHENG分层精练 巩固提升31.已知F 1，F 2是定点，|F 1F 2|＝6.若动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则动点M 的轨迹是( )A.直线B.线段C.圆D.椭圆解析 动点M 到F 1，F 2两点的距离之和等于6，而6正好等于两定点F 1，F 2的距离,则动点M 的轨迹是以F 1，F 2为端点的线段.B 【A级 基础巩固】DBB所以所求椭圆的焦点在y轴上，且c2＝9－4＝5，C由题可知a＝2，即A(－2，0).又|NA|＝1，∠NAB＝60°，CCD△PF1F2的周长为2a＋2c＝4＋2＝6，故B不正确；在△PF1F2中，当P点移动到椭圆C的短轴端点处时，∠F1PF2最大，∴∠F1PF2＝60°＜90°，故C正确；∵a－c≤|PF1|≤a＋c，∴1≤|PF1|≤3，故D正确.。
高考数学全程一轮复习第八章解析几何第五节椭圆课件
课前自主预习案
课堂互动探究案
课前自主预习案
必备知识
1.椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于___常_数____(大于|F1F2|)的点 的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的_____焦_点______，两焦点间的 距离叫做椭圆的_____焦__距_____．
2．椭圆的标准方程和几何性质
AABB121___(2(－____0(____a，(a____，0，____，－____00____)bb)____)) ，，，_
AABB121___(2(0____－(，0____(，____bb－____，，a____a)____00)____)) ，，，_
长轴A1A2的长为___2_a____； 短轴B1B2的长为__2_b_____
(6)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
夯实基础
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭 圆．( × )
(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( × )
(3)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．( √ )
(4)
椭
圆
x2 a2
+
y2 b2
∴|PF2|＝12－3＝9，
即点P到另一个焦点的距离为9.
5
．
(
易
错
)
已
知
椭
圆
x2 5
+
y2 m
＝
1(m>0)
的
离
心
率
e
＝
10 5
，
则
m
的
值
为
___3_或__23_5 _．
5 第5讲 椭 圆
第5讲椭圆1．椭圆的定义条件结论1结论2 平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2M点的轨迹为椭圆F1、F2为椭圆的焦点|F1F2|为椭圆的焦距|MF1|＋|MF2|＝2a 2a＞|F1F2|标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：(0，0)顶点A1(－a，0)，A2(a，0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为2a短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca，e∈(0，1)a，b，c的关系c2＝a2－b2已知点P(x0，y0)，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，则(1)点P (x 0，y 0)在椭圆内⇔x 20a 2＋y 20b 2<1；(2)点P (x 0，y 0)在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；(3)点P (x 0，y 0)在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b2>1.4．椭圆中四个常用结论(1)P 是椭圆上一点，F 为椭圆的焦点，则|PF |∈[a －c ，a ＋c ]，即椭圆上的点到焦点距离的最大值为a ＋c ，最小值为a －c ；(2)椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为2b 2a，通径是最短的焦点弦；(3)P 是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，F 1，F 2为椭圆的两焦点，则△PF 1F 2的周长为2(a ＋c )．(4)设P ，A ，B 是椭圆上不同的三点，其中A ，B 关于原点对称，直线P A ，PB 斜率存在且不为0，则直线P A 与PB 的斜率之积为定值－b 2a2.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( ) (2)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( ) (3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．( )(4)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( ) (5)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距相同．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√(教材习题改编)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝1 解析：选D.右焦点为F (1，0)说明两层含义：椭圆的焦点在x 轴上；c ＝1.又离心率为c a ＝12，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. 与椭圆x 29＋y 24＝1有相同离心率的椭圆方程是( )A.y 29＋x 24＝1 B.x 236＋y 225＝1 C.y 236＋x 225＝1 D.x 236＋y 211＝1 解析：选A.椭圆y 29＋x 24＝1与已知椭圆的长轴长和短轴长分别相等，因此两椭圆的形状、大小完全一样，只是焦点所在坐标轴不同，故两个椭圆的离心率相同． 若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示椭圆，则k 的取值范围是________．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧5－k >0，k －3>0，5－k ≠k －3，解得3<k <5且k ≠4.答案：(3，4)∪(4，5)(教材习题改编)椭圆C ：x 225＋y 216＝1的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆C 于A 、B 两点，则△F 1AB 的周长为________． 解析：△F 1AB 的周长为 |F 1A |＋|F 1B |＋|AB |＝|F 1A |＋|F 2A |＋|F 1B |＋|F 2B | ＝2a ＋2a ＝4a .在椭圆x 225＋y 216＝1中，a 2＝25，a ＝5，所以△F 1AB 的周长为4a ＝20. 答案：20椭圆的定义及应用[典例引领](1)(2018·豫北六校联考)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |，且|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，则|AF 2|＝________．(2)(2018·徐州模拟)已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________． 【解析】 (1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3， 因为△ABF 2的周长为16，所以4a ＝16，所以a ＝4.则|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8， 所以|AF 2|＝8－|AF 1|＝8－3＝5. (2)设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧r 1＋r 2＝2a ，r 21＋r 22＝4c 2， 所以2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 22)＝4a 2－4c 2＝4b 2，所以S △PF 1F 2＝12r 1r 2＝b 2＝9，所以b ＝3.【答案】 (1)5 (2)3本例(2)中增加条件“△PF 1F 2的周长为18”，其他条件不变，求该椭圆的方程． 解：由原题得b 2＝a 2－c 2＝9，又2a ＋2c ＝18，所以a －c ＝1，解得a ＝5，故椭圆的方程为x 225＋y 29＝1.(1)椭圆定义的应用范围①确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆． ②解决与焦点有关的距离问题． (2)焦点三角形的结论椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫作焦点三角形．如图所示，设∠F 1PF 2＝θ. ①|PF 1|＋|PF 2|＝2a .②4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos θ. ③焦点三角形的周长为2(a ＋c )．④S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin θ＝b 2·sin θ1＋cos θ＝b 2tan θ2＝c |y 0|，当|y 0|＝b ，即P 为短轴端点时，S △PF 1F 2取最大值，为bc .已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2，0)，线段AN的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线解析：选B.点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|P A |＝|PN |.又AM 是圆的半径，所以|PM |＋|PN |＝|PM |＋|P A |＝|AM |＝6>|MN |.由椭圆的定义知，P 的轨迹是椭圆．椭圆的标准方程[典例引领](待定系数法)(1)一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆的方程为( ) A.x 28＋y 26＝1 B.x 216＋y 26＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 28＋y 24＝1 (2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为( )A.x 220＋y 24＝1 B.x 225＋y 24＝1 C.y 220＋x 24＝1 D.x 24＋y 225＝1 【解析】 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由点P (2，3)在椭圆上知4a 2＋3b 2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2×2c ，c a ＝12，又c 2＝a 2－b 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋3b 2＝1，c 2＝a 2－b 2，c a ＝12，得a 2＝8，b 2＝6，故椭圆方程为x 28＋y26＝1.(2)设所求椭圆方程为y 225－k ＋x 29－k ＝1(k <9)，将点(3，－5)的坐标代入可得（－5）225－k ＋（3）29－k＝1，解得k ＝5(k ＝21舍去)，所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.【答案】 (1)A (2)C[提醒] 当椭圆焦点位置不明确时，可设为x 2m ＋y 2n ＝1(m >0，n >0，m ≠n )，也可设为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，且A ≠B )．[通关练习]1．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)，P 2(－3，－2)，则该椭圆的方程为________．解析：设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，且m ≠n )．因为椭圆经过P 1，P 2两点，所以P 1，P 2点坐标适合椭圆方程，则⎩⎪⎨⎪⎧6m ＋n ＝1，①3m ＋2n ＝1，②①②两式联立，解得⎩⎨⎧m ＝19，n ＝13.所以所求椭圆方程为x 29＋y 23＝1.答案：x 29＋y 23＝12．已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点F (－2，0)，且长轴长与短轴长的比是2∶3，则椭圆C 的方程是________________． 解析：设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，a ∶b ＝2∶3，c ＝2，解得a 2＝16，b 2＝12.所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.答案：x 216＋y 212＝1椭圆的几何性质(高频考点)椭圆的几何性质是高考的热点，高考中多以小题出现，试题难度一般较大．高考对椭圆几何性质的考查主要有以下三个命题角度： (1)由椭圆的方程研究其性质； (2)求椭圆离心率的值(范围)； (3)由椭圆的性质求参数的值(范围)．[典例引领]角度一 由椭圆的方程研究其性质已知正数m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y 2m＝1的焦点坐标为( ) A ．(±3，0)B ．(0，±3)C ．(±3，0)或(±5，0)D ．(0，±3)或(±5，0)【解析】 因为正数m 是2和8的等比中项，所以m 2＝16，即m ＝4，所以椭圆x 2＋y 24＝1的焦点坐标为(0，±3)，故选B.【答案】 B角度二 求椭圆离心率的值(范围)(2017·高考全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为 ( ) A.63 B.33C.23D.13【解析】 以线段A 1A 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝a 2，由原点到直线bx －ay ＋2ab ＝0的距离d ＝2abb 2＋a 2＝a ，得a 2＝3b 2，所以C 的离心率e ＝1－b 2a 2＝63，选A. 【答案】 A角度三 由椭圆的性质求参数的值(范围)已知椭圆mx 2＋4y 2＝1的离心率为22，则实数m 等于( ) A ．2 B ．2或83C ．2或6D ．2或8【解析】 显然m >0且m ≠4，当0<m <4时，椭圆长轴在x 轴上，则1m －141m＝22，解得m ＝2；当m >4时，椭圆长轴在y 轴上，则14－1m 14＝22，解得m ＝8. 【答案】 D(1)求椭圆离心率的方法①直接求出a ，c 的值，利用离心率公式e ＝ca＝1－b 2a2直接求解． ②列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解．(2)利用椭圆几何性质求值或范围的思路①将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系． ②将所求范围用a ，b ，c 表示，利用a ，b ，c 自身的范围、关系求范围．[通关练习]1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为( ) A ．(－3，0) B ．(－4，0) C ．(－10，0)D ．(－5，0)解析：选D.因为圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝1， 所以圆心坐标为(3，0)，所以c ＝3.又b ＝4， 所以a ＝b 2＋c 2＝5. 因为椭圆的焦点在x 轴上， 所以椭圆的左顶点为(－5，0)．2．(2018·新余模拟)椭圆C 的两个焦点分别是F 1，F 2，若C 上的点P 满足|PF 1|＝32|F 1F 2|，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是( ) A ．e ≤12B ．e ≥14C.14≤e ≤12D ．0<e ≤14或12≤e <1解析：选C.因为椭圆C 上的点P 满足|PF 1|＝32|F 1F 2|，所以|PF 1|＝32×2c ＝3c .由a －c ≤|PF 1|≤a ＋c ，解得14≤c a ≤12.所以椭圆C 的离心率e 的取值范围是⎣⎡⎦⎤14，12.3．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．6D ．8解析：选C.由椭圆x 24＋y 23＝1可得F (－1，0)，点O (0，0)，设P (x ，y )(－2≤x ≤2)，则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝⎛⎭⎫1－x 24 ＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，－2≤x ≤2， 当且仅当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6.直线与椭圆的位置关系[典例引领](2017·高考北京卷)已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2，0)，B (2，0)，焦点在x 轴上，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5. 【解】 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝32，解得c ＝ 3.所以b 2＝a 2－c 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (m ，n )，则D (m ，0)，N (m ，－n )． 由题设知m ≠±2，且n ≠0. 直线AM 的斜率k AM ＝nm ＋2，故直线DE 的斜率k DE ＝－m ＋2n .所以直线DE 的方程为y ＝－m ＋2n(x －m )． 直线BN 的方程为y ＝n2－m(x －2)．联立⎩⎨⎧y ＝－m ＋2n （x －m ），y ＝n2－m （x －2），解得点E 的纵坐标y E＝－n （4－m 2）4－m 2＋n 2.由点M 在椭圆C 上，得4－m 2＝4n 2， 所以y E ＝－45n .又S △BDE ＝12|BD |·|y E |＝25|BD |·|n |，S △BDN ＝12|BD |·|n |，所以△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.(1)直线与椭圆位置关系判断的步骤①联立直线方程与椭圆方程；②消元得出关于x (或y )的一元二次方程；③当Δ＞0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ＜0时，直线与椭圆相离．(2)直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则 |AB |＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2](k 为直线斜率，k ≠0)． 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点⎝⎛⎭⎫1，32，离心率为12，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点． (1)求椭圆C 的方程；(2)当△F 2AB 的面积为1227时，求直线的方程．解：(1)因为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点⎝⎛⎭⎫1，32， 所以1a 2＋94b 2＝1.①又因为离心率为12，所以c a ＝12，所以b 2a 2＝34.②解①②得a 2＝4，b 2＝3. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线的倾斜角为π2时，A ⎝⎛⎭⎫－1，32，B ⎝⎛⎭⎫－1，－32， S △ABF 2＝12|AB |·|F 1F 2|＝12×3×2＝3≠1227.当直线的倾斜角不为π2时，设直线方程为y ＝k (x ＋1)，代入x 24＋y 23＝1得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，所以S △ABF 2＝12|y 1－y 2|×|F 1F 2|＝|k |（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝|k |⎝⎛⎭⎫－8k 24k 2＋32－4·4k 2－124k 2＋3＝12|k |k 2＋14k 2＋3＝1227，所以17k 4＋k 2－18＝0，解得k 2＝1⎝⎛⎭⎫k 2＝－1817舍去， 所以k ＝±1，所以所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0.椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F 1F 2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况．求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系数法)．先“定位”，就是先确定椭圆和坐标系的相对位置，以椭圆的中心为原点的前提下，看焦点在哪条坐标轴上，确定标准方程的形式；再“定量”，就是根据已知条件，通过解方程(组)等手段，确定a 2，b 2的值，代入所设的方程，即可求出椭圆的标准方程．若不能确定焦点的位置，这时的标准方程常可设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0且m ≠n )与椭圆有关的最值问题，在转化为函数求最值时，一定注意函数的定义域． 易错防范(1)判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x 2与y 2的分母大小．(2)在解关于离心率e 的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e ∈(0，1)进行根的取舍，否则将产生增根．(3)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ，0<e <1等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．1．已知椭圆x 2m －2＋y 210－m ＝1的焦点在x 轴上，焦距为4，则m 等于( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：选A.因为椭圆x 2m －2＋y 210－m ＝1的焦点在x 轴上．所以⎩⎪⎨⎪⎧10－m >0，m －2>0，m －2>10－m ，解得6<m <10.因为焦距为4，所以c 2＝m －2－10＋m ＝4，解得m ＝8.2．(2018·湖北武汉模拟)已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是( ) A.x 216＋y 27＝1 B.x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1 C.x 216＋y 225＝1 D.x 216＋y 225＝1或x 225＋y 216＝1 解析：选B.因为a ＝4，e ＝34，所以c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.因为焦点的位置不确定，所以椭圆的标准方程是x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1.3．(2018·湖北八校联考)设F 1，F 2分别为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( )A.514B.513C.49D.59解析：选B.由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2.设线段PF 1的中点为M ，则有OM ∥PF 2，因为OM ⊥F 1F 2，所以PF 2⊥F 1F 2，所以|PF 2|＝b 2a ＝53.又因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，所以|PF 1|＝2a－|PF 2|＝133，所以|PF 2||PF 1|＝53×313＝513，故选B.4．(2018·湖南百校联盟联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点和上顶点分别为A 、B ，左焦点为F .以原点O 为圆心的圆与直线BF 相切，且该圆与y 轴的正半轴交于点C ，过点C 的直线交椭圆于M 、N 两点．若四边形F AMN 是平行四边形，则该椭圆的离心率为( )A.35B.12C.23D.34解析：选A.因为圆O 与直线BF 相切，所以圆O 的半径为bc a ，即OC ＝bca ，因为四边形F AMN是平行四边形，所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫a ＋c 2，bc a ，代入椭圆方程得（a ＋c ）24a 2＋c 2b 2a 2b 2＝1，所以5e 2＋2e －3＝0，又0<e <1，所以e ＝35.故选A.5．设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，22 B.⎝⎛⎦⎤0，33 C.⎣⎡⎭⎫22，1D.⎣⎡⎭⎫33，1解析：选D.由题意可设P ⎝⎛⎭⎫a2c ，y ，因为PF 1的中垂线过点F 2，所以|F 1F 2|＝|F 2P |，即2c ＝ ⎝⎛⎭⎫a 2c －c 2＋y 2，整理得y 2＝3c 2＋2a 2－a 4c 2. 因为y 2≥0，所以3c 2＋2a 2－a 4c 2≥0， 即3e 2－1e 2＋2≥0，解得e ≥33.所以e 的取值范围是⎣⎡⎭⎫33，1.6．(2018·贵阳模拟)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，短轴长为4，则椭圆的标准方程为________．解析：由题意可知e ＝c a ＝32，2b ＝4，得b ＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2＝4＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝4，c ＝23，所以椭圆的标准方程为x 216＋y 24＝1.答案：x 216＋y 24＝17．设F 1，F 2是椭圆x 249＋y 224＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，则△PF 1F 2的面积为________．解析：因为|PF 1|＋|PF 2|＝14， 又|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3， 所以|PF 1|＝8，|PF 2|＝6. 因为|F 1F 2|＝10，所以PF 1⊥PF 2.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×8×6＝24.答案：248．(2018·海南海口模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－c ，0)，右顶点为A ，上顶点为B ，现过A 点作直线F 1B 的垂线，垂足为T ，若直线OT (O 为坐标原点)的斜率为－3bc ，则该椭圆的离心率为________．解析：因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A ，B 和F 1点坐标分别为(a ，0)，(0，b )，(－c ，0)，所以直线BF 1的方程是y ＝b c x ＋b ，OT 的方程是y ＝－3bc x .联立解得T 点坐标为⎝⎛⎭⎫－c 4，3b 4，直线AT 的斜率为－3b 4a ＋c .由AT ⊥BF 1得，－3b 4a ＋c ·b c ＝－1，因为a 2＝b 2＋c 2，e ＝ca ，所以e ＝12.答案：129．分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)与椭圆x 24＋y 23＝1有相同的离心率且经过点(2，－3)；(2)已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5，3，过P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点．解：(1)由题意，设所求椭圆的方程为x 24＋y 23＝t 1或y 24＋x 23＝t 2(t 1，t 2＞0)，因为椭圆过点(2，－3)，所以t 1＝224＋（－3）23＝2，或t 2＝（－3）24＋223＝2512.故所求椭圆的标准方程为x 28＋y 26＝1或y 2253＋x 2254＝1.(2)由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b＞0)，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5＋3，（2c ）2＝52－32，解得a ＝4，c ＝2，所以b 2＝12. 故椭圆方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1.10．(2018·兰州市诊断考试)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(2，1)，且离心率为22.(1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N 是椭圆上的点，直线OM 与ON (O 为坐标原点)的斜率之积为－12.若动点P 满足OP→＝OM →＋2ON →，求点P 的轨迹方程． 解：(1)因为e ＝22，所以b 2a 2＝12，又椭圆C 经过点(2，1)，所以2a 2＋1b 2＝1，解得a 2＝4，b 2＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)设P (x ，y )，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由OP →＝OM →＋2ON →得x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2， 因为点M ，N 在椭圆x 24＋y 22＝1上，所以x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，故x 2＋2y 2＝(x 21＋4x 1x 2＋4x 22)＋2(y 21＋4y 1y 2＋4y 22)＝(x 21＋2y 21)＋4(x 22＋2y 22)＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)＝20＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)．设k OM ，k ON 分别为直线OM 与ON 的斜率，由题意知， k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝－12，因此x 1x 2＋2y 1y 2＝0，所以x 2＋2y 2＝20，故点P 的轨迹方程为x 220＋y 210＝1.1．(2017·高考全国卷Ⅰ)设A 、B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( ) A ．(0，1]∪[9，＋∞) B ．(0，3]∪[9，＋∞) C ．(0，1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞)解析：选A.依题意得，⎩⎪⎨⎪⎧3m≥tan∠AMB 20<m <3或 ⎩⎪⎨⎪⎧m 3≥tan ∠AMB 2m >3，所以⎩⎪⎨⎪⎧3m ≥tan 60°0<m <3 或⎩⎪⎨⎪⎧m 3≥tan 60°m >3，解得0<m ≤1或m ≥9.故选A. 2．已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1，1)是一定点．则|P A |＋|PF |的最大值为________，最小值为________． 解析：如图所示，设椭圆右焦点为F 1，则|PF |＋|PF 1|＝6. 所以|P A |＋|PF |＝|P A |－|PF 1|＋6.利用－|AF 1|≤|P A |－|PF 1|≤|AF 1|(当P ，A ，F 1共线时等号成立)． 所以|P A |＋|PF |≤6＋2，|P A |＋|PF |≥6－ 2. 故|P A |＋|PF |的最大值为6＋2，最小值为6－ 2. 答案：6＋2 6－ 23．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N . (1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b . 解：(1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，b 2a 2c ＝34，2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，ca ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴， 所以直线MF 1与y 轴的交点D (0，2)是线段MF 1的中点， 故b 2a ＝4，即b 2＝4a .① 由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2（－c －x 1）＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9（a 2－4a ）4a 2＋14a＝1.解得a ＝7，b 2＝4a ＝28， 故a ＝7，b ＝27.4．已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴端点为(0，2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝2PB →. (1)求椭圆的方程； (2)求m 的取值范围．解：(1)由题意知椭圆的焦点在y 轴上，可设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，由题意知a ＝2，b ＝c ， 又a 2＝b 2＋c 2， 则b ＝2，所以椭圆的方程为y 24＋x 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知，直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋2x 2＝4，y ＝kx ＋m . 则(2＋k 2)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0，Δ＝(2mk )2－4(2＋k 2)(m 2－4)>0.由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2mk 2＋k 2x 1x 2＝m 2－42＋k2，又由AP →＝2PB →，即(－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m )，得－x 1＝2x 2，故⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－x 2，x 1x 2＝－2x 22，可得m 2－42＋k 2＝－2⎝⎛⎭⎫2mk 2＋k 22， 整理得(9m 2－4)k 2＝8－2m 2，又9m 2－4＝0时不符合题意， 所以k 2＝8－2m 29m 2－4>0，解得49<m 2<4，此时Δ>0，解不等式49<m 2<4，得23<m <2或－2<m <－23， 所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－2，－23∪⎝⎛⎭⎫23，2.。
第八章平面几何 第五节 椭圆
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第八章 平面解析几何
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[答案及提示] (1)× 只有当距离之和大于|F1F2|时才是椭圆． (2)√ (3)√ (4)√
(5)× 由于 e＝ac＝ a2－a2b2＝ 越小，从而椭圆越扁．
1－ba2，故当 e 越大时，b
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3．(2013·四川高考)从椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)上一点 P 向 x 轴作垂线，垂足恰为左焦点 F1，A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点， B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点，且 AB∥OP(O 是坐标原点)，则
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2．已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点为 F1、F2，
离心率为 33，过 F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点．若△AF1B 的周
长为 4 3，则椭圆 C 的方程为( A.x32＋y22＝1
) B.x32＋y2＝1
C.1x22 ＋y82＝1
D.1x22 ＋y42＝1
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解析：选 A 由椭圆的定义知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2| ＝2a，∴△AF1B 的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4 3，∴a ＝ 3.又 e＝ 33，∴c＝1，∴b2＝a2－c2＝2，∴椭圆的方程为x32＋ y22＝1.故选 A.
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第五节 椭圆-高考状元之路
第五节 椭 圆预习设计 基础备考知识梳理 1．椭圆的概念平面内与两定点21F F 、的距离的和等于常数（ ||21F F ）的点的轨迹叫椭圆，这两定点叫做椭圆的 两焦点间的距离叫做集合,2||,2||||}{2121c F F a MF MF M P ==+=其中>a ,0,0>c 且a ，c 为常数）． (1)若 ,则集合P 为椭圆； (2)若 ,则集合P 为线段； (3若 ,则集合P 为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质典题热身1．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆1322=+y x 上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是 ( )32.A 6.B 34.C 12.D答案：C2.如果方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( ))1,0.(A )2,1.(B )2,0.(C ⋅ )1,0.(⋅D答案：A3．椭圆1422=+y m x 的焦距等于2，则m 的值为 ( ) 35.或A 8.B 5.c 16.D答案：A4．已知椭圆C 的短轴长为6，离心率为,54则椭圆C 的焦点F 到长轴的一个端点的距离为( ) 9.A 1.B 91.或C D ．以上都不对答案：C5．（2011．．郑州模拟）如图，A 、B 、C 分别为椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的顶点与焦点，若,90 =∠ABC则该椭圆的离心率为( )251.+-A 221.-B 12.-C 22.D 答案：A课堂设计 方法备考题型一 椭圆的定义及其应用【例1】一动圆与已知圆1)3(:221=++y x O 外切，与圆:2O 81)3(22=+-y x 内切，试求动圆圆心的轨迹方程．题型二 求椭圆的标准方程【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是（-12，O ），(12，O)，椭圆上一点P 到两焦点的距离的和等于26； (2)焦点在坐标轴上，且经过点)2,3(-A 和);1,32(-B (3)焦距是2，且过点).0,5(-p题型三 椭圆的几何性质及其应用【例3】已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长、短轴端点分别为A.B ，从此椭圆上一点M(在x 轴上方)向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点.//,1OM AB F (1)求椭圆的离心率e ；(2)设Q 是椭圆上任意一点，21F F 、分别是左、右焦点，求21QF F ∠的取值范围，题型四 直线与椭圆的位置关系【例4】在直角坐标系xOy 中，点P 到两点)3,0()3,0(、-的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ，直线1+=kx y 与C 交于A 、B 两点． (1)写出C 的方程； (2)若,⊥求k 的值，技法巧点(1)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：①中心是否在原点，②对称轴是否为坐标轴，运用待定系数法求椭圆标准方程，即设法建立关于a 、b 的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为122=+ny mx),,0,0(n m n m =/>>由题目所给条件求出m 、n 即可．(2)椭圆的焦点三角形问题：①椭圆上一点P 与两焦点21F F 、构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、,2||||21a PF PF =+得到a 、c 的关系．设 ,21θ=∠PF F 则当点P 为短轴端点时，θ最大，②对21PF F ∆的处理方法⎪⎩⎪⎨⎧⇔面积公式余弦定理定义式的平方⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+==+∆)(2tan sin ||||21cos ||||2||||4)2(|)||(|22121222122221为短半轴长b b PF PF s PF PF PF PF c a PF PF θθθ(3)椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为,C a +最小距离为.c a -(4)求椭圆离心率e 时，只要求出a ，b ，c 的一个齐次方程，再结合222c a b -=就可求得).10(<<e e失误防范1．求椭圆的标准方程时，必须优先考虑焦点位置，当焦点位置不确定时，要进行分类讨论，以防丢解．2．注意椭圆的范围，在设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上点的坐标为P(x ，y)时，则,||a x ≤这往往在求与点P 有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．随堂反馈1．(2011．课标全国卷)椭圆18.1622=+y x 的离心率为 ( ) 31.A 21.B 33.c 22.D答案：D2．(2011．吉林质检)设21F F 、分别是椭圆1162522=+y x 的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是P F 1的中点， ,3||=OM 则P 点到椭圆左焦点距离为( ) 4.A 3.B 2.c 5.D答案：A3．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点)0,4(-A 和),0,4(C 顶点B 在椭圆192522=+y x 上，则 =+BCA sin sin sin答案：454．已知P 是椭圆16410022=+y x 上的一点，21.F F 是焦点，若,6021 =∠PF F 则21F PF ∆的面积为 答案：x33645．在△ABC 中，⋅-==187cos .B BC AB 若以A 、B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率=e 答案：83高效作业 技能备考一、选择题1．（2011．浙江台州调研）已知点),0,3(M 椭圆1422=+y x 与直线)3(+=x k y 交于点A 、B ，则△ABM 的周长为( )4.A 8.B 12.C 16.D 答案：B2．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P ．若,2=则椭圆的离心率是 ( )23.A 22.B 31.C 21.D 答案：D3．（2011．滨州模拟）若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴的最小值为 ( )1.A2.B 2.C 22.D答案：D4．(2011．广东茂名模拟)已知21,F F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若2ABF ∆是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是( )23.A 22.B 12.-C 2.D 答案：C5．(2011．浙江温州模拟)设椭圆).0(12222>>=+b a by a x 的离心率为e ，右焦点),0,(c F 方程02=-+c bx ax 的两个实数根分别为,,21x x 则点),(21x x P （ ）A ．必在圆122=+y x 外B ．必在圆122=+y x 上C ．必在圆122=+y x 内D ．与122=+y x的位置关系与e 有关 答案：A6．(2011．辽宁沈阳二中模拟)过椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C于另一个点B,且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若,2131<<k 则椭圆离心率的取值范围是( ))49,41(⋅A )1,32(⋅B )32,21(⋅c )21,0(⋅D答案：C二、填空题7．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为,23且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为答案：193622=+y x8．椭圆1292=+rx 的焦点为,,21F F 点P 在椭圆上．若=||1PF ,4则=||2PF 21;PF F ∠的大小为 答案：21209．如图，在平面直角坐标系xOy 中，2121,,,B B A A 为椭圆122=+by a x )0(>>b a 的四个顶点，F 为其右焦点，直线21B A 与直线F B 1相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 答案：572-三、解答题10．(2011．北京高考)已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x G 的离心率为,36右焦点为).0,22(斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为).2,3(-P (1)求椭圆G 的方程；(2)求△PAB 的面积．11．(2011．天津高考)设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为⋅21F F 、点),(b a P 满足.||||212F F PF =(1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线2PF 与椭圆相交于A ，B 两点，若直线2PF 与圆16)3()1(22=-++y x 相交于M ，N 两点，且|,|85||AM MN =求椭圆的方程．12．(2011．上海高考)已知椭圆1:222=+y mx C （常数),1>m P 是曲线C 上的动点，M 是曲线C 的右顶点，定点A 的坐标为(2，O)．(1)若M 与A 重合，求曲线C 的焦点坐标； (2)若,3=m 求∣PA ∣的最大值与最小值； (3)若|PA ∣的最小值为∣MA ∣，求m 的取值范围．。
第五节 椭 圆
第五节椭圆1．椭圆的定义平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆．两定点F1，F2叫椭圆的焦点．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．(1)当2a>|F1F2|时，P点的轨迹是椭圆；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是线段；(3)当2a<|F1F2|时，P点不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．()(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．()(4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2．(2015·广东卷)已知椭圆x225＋y2m2＝1(m>0)的左焦点为F1(－4，0)，则m＝()A ．2B ．3C ．4D ．9解析：由左焦点为F 1(－4，0)知c ＝4.又a ＝5，∴25－m 2＝16，解得m ＝3或－3.又m>0，故m ＝3.答案：B3．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F(1，0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A.x 23＋y 24＝1B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝1 解析：椭圆的焦点在x 轴上；c ＝1.又离心率为c a ＝12，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.答案：D4．(2014·大纲全国卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 解析：∵x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为33，∴c a ＝33.又∵过F 2的直线l 交椭圆于A ，B 两点，△AF 1B 的周长为43， ∴4a ＝43，∴a ＝ 3.∴b ＝2， ∴椭圆方程为x 23＋y 22＝1.答案：A5．(2016·课标全国Ⅰ卷)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13B.12C.23D.34【解析】 利用椭圆的几何性质列方程求离心率．不妨设直线l 经过椭圆的一个顶点B (0，b )和一个焦点F (c ，0)，则直线l 的方程为x c ＋yb ＝1，即bx ＋cy －bc ＝0.由题意知|－bc |b 2＋c 2＝14×2b ，解得c a ＝12，即e ＝12.故选B.【答案】 B一条规律椭圆焦点位置与x2，y2系数之间的关系:给出椭圆方程x2m＋y2n＝1时，椭圆的焦点在x轴上⇔m>n>0；椭圆的焦点在y轴上⇔0<m<n.两种方法求椭圆标准方程的方法:1．定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程．2．待定系数法：设出椭圆的标准方程，运用方程思想求出a2，b2.三种技巧与椭圆性质、方程相关的三种技巧:1．求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2＝a2－c2就可求得e(0<e<1)．2．待定系数法求椭圆方程，应首先判定是否为标准方程，判断的依据是：(1)中心是否在原点；(2)对称轴是否为坐标轴．若题目涉及直线与椭圆相交，注意整体代入、设而不求的思想方法运用．3．椭圆上任意一点M到焦点F的最大距离为a＋c，最小距离为a－c.A级基础巩固一、选择题1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM|＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( )A ．4B ．3C ．2D ．5 解析：由题意知，在△PF 1F 2中，|OM|＝12|PF 2|＝3，∴|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4. 答案：A2．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F(1，0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A.x 23＋y 24＝1B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 24＋y 2＝1 解析：依题意，所求椭圆的焦点位于x 轴上，且c ＝1，e ＝c a ＝12⇒a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，因此其方程是x 24＋y 23＝1.答案：C3．已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为( )A.13B.33C.22D.12解析：由x 2m 2＋y 2m 3＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝m 2，b 2＝m 3⇒c 2＝a 2－b 2＝m 6.∴e 2＝13，e ＝33.答案：B4．已知圆M ：x 2＋y 2＋2mx －3＝0(m<0)的半径为2，椭圆C ：x 2a2＋y 23＝1的左焦点为F(－c ，0)，若垂直于x 轴且经过F 点的直线l 与圆M 相切，则a 的值为( )A.34B ．1C ．2D ．4 解析：圆M 的方程可化为(x ＋m)2＋y 2＝3＋m 2， 则由题意得m 2＋3＝4，即m 2＝1(m<0)， ∴m ＝－1，则圆心M 的坐标为(1，0)． 由题意知直线l 的方程为x ＝－c ， 又∵直线l 与圆M 相切， ∴c ＝1，∴a 2－3＝1，∴a ＝2. 答案：C5．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP→·FP →的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．8解析：由题意知，O(0，0)，F(－1，0)，设P(x ，y)，则OP→＝(x ，y)，FP→＝(x ＋1，y)，∴OP →·FP →＝x(x ＋1)＋y 2＝x 2＋y 2＋x ，又∵x 24＋y 23＝1，∴y 2＝3－34x 2，∴OP →·FP →＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2， ∵－2≤x ≤2，∴当x ＝2时，OP →·FP →有最大值6. 答案：C 二、填空题6．已知椭圆的方程是x 2a 2＋y 225＝1(a>5)，它的两个焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝8，弦AB(椭圆上任意两点的线段)过点F 1，则△ABF 2的周长为________．解析：∵a>5，∴椭圆的焦点在x 轴上， ∵|F 1F 2|＝8，∴c ＝4， ∴a 2＝25＋c 2＝41，则a ＝41.由椭圆定义，|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 2|＋|BF 1|＝2a ， ∴△ABF 2的周长为4a ＝441. 答案：4417．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的两焦点F 1(－4，0)，F 2(4，0)，点P 在椭圆C 上．若PF 1→·PF 2→＝0，△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________．解析：设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ， 由PF 1→·PF 2→＝0知PF 1⊥PF 2， ∴m 2＋n 2＝|F 1F 2|2＝64.①又S △PF 1F 2＝12mn ＝9，则mn ＝18.②由①②，得(m ＋n)2＝100，2a ＝m ＋n ＝10，所以a ＝5. 又c ＝4，得b ＝3. 答案：38．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F 2，若13<k<12，则椭圆的离心率的取值范围是________．解析：如图所示，|AF 2|＝a ＋c ， |BF 2|＝a 2－c 2a，∴k ＝tan ∠BAF 2＝|BF 2||AF 2|＝a 2－c 2a a ＋c ＝a －c a ＝1－e.又∵13<k<12，∴13<1－e<12.解得12<e<23. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23三、解答题9．(2017·广州一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且过点A (2，1)． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若P ，Q 是椭圆C 上的两个动点，且使∠PAQ 的角平分线总垂直于x 轴，试判断直线PQ 的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．解：(1)因为椭圆C 的离心率为32，且过点A (2，1)，所以4a 2＋1b 2＝1，ca ＝32.因为a 2＝b 2＋c 2， 解得a 2＝8，b 2＝2，所以椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1.(2)法一 因为∠PAQ 的角平分线总垂直于x 轴，所以PA 与AQ 所在直线关于直线x ＝2对称．设直线PA 的斜率为k ，则直线AQ 的斜率为－k .所以直线PA 的方程为y －1＝k (x －2)，直线AQ 的方程为y －1＝－k (x －2)．设点P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k （x －2），x 28＋y 22＝1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2－(16k 2－8k )x ＋16k 2－16k －4＝0.①因为点A (2，1)在椭圆C 上，所以x ＝2是方程①的一个根，则2x P ＝16k 2－16k －41＋4k2， 所以x P ＝8k 2－8k －21＋4k 2. 同理x Q ＝8k 2＋8k －21＋4k 2. 所以x P －x Q ＝－16k1＋4k2. 又y P －y Q ＝k (x P ＋x Q －4)＝－8k1＋4k2. 所以直线PQ 的斜率为k PQ ＝y P －y Q x P －x Q ＝12. 所以直线PQ 的斜率为定值，该值为12.法二 设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则直线PA 的斜率k PA ＝y 1－1x 1－2，直线QA 的斜率k QA ＝y 2－1x 2－2.因为∠PAQ 的角平分线总垂直于x 轴．所以PA 与AQ 所在直线关于直线x ＝2对称．所以k PA ＝－k QA ，即y 1－1x 1－2＋y 2－1x 2－2＝0，①因为点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)在椭圆C 上，所以x 218＋y 212＝1，②x 228＋y 222＝1.③ 由②得(x 21－4)＋4(y 21－1)＝0，得y 1－1x 1－2＝－x 1＋24（y 1＋1），④同理由③得y 2－1x 2－2＝－x 2＋24（y 2＋1），⑤由①④⑤得x 1＋24（y 1＋1）＋x 2＋24（y 2＋1）＝0， 化简得x 1y 2＋x 2y 1＋(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)＋4＝0，⑥ 由①得x 1y 2＋x 2y 1－(x 1＋x 2)－2(y 1＋y 2)＋4＝0，⑦ ⑥－⑦得x 1＋x 2＝－2(y 1＋y 2)．②－③得x 21－x 228＋y 21－y 222＝0，得y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24（y 1＋y 2）＝12.所以直线PQ 的斜率为k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12为定值．10．(2015·安徽卷)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A 的坐标为(a ，0)，点B 的坐标为(0，b)，点M 在线段AB 上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM 的斜率为510.(1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b)，N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB.解：(1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b ，又k OM ＝510，从而b 2a ＝510.进而a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)证明：由N 是AC 的中点知，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－b 2，可得NM→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 6，5b 6. 又AB→＝(－a ，b)， 从而有AB→·NM →＝－16a 2＋56b 2＝16(5b 2－a 2)． 由(1)的计算结果可知a 2＝5b 2， 所以AB→·NM →＝0，故MN ⊥AB. B 级 能力提升1．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等差数列，则|AB|＝( )A.103 B ．3 C.83D ．2 解析：依题意得|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|BF 1|)＋(|AF 2|＋|BF 2|)＝|AB|＋(|AF 2|＋|BF 2|)＝3|AB|＝4×2，|AB|＝83，故选C.答案：C3．(2015·陕西卷)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)经过点A(0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1，1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q(均异于点A)，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.(1)解：由题设知c a ＝22，b ＝1，结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝ 2. 所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k(x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k(k －1)x ＋2k(k －2)＝0.由已知Δ>0，设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，x 1x 2≠0， 则x 1＋x 2＝4k （k －1）1＋2k2，x 1x 2＝2k （k －2）1＋2k2.从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k)x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k)4k （k －1）2k （k －2）＝2k －2(k －1)＝2.。
第五节 椭圆
圆圆心M的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆,且2a=16,2c=8,则a=8,c=4,∴b2
=48,故所求的轨迹方程为 x2 + y2 =1. 64 48
(3)由题意得a=3,b= 7 ,c= 2 , ∴|F1F2|=2 2 ,|AF1|+|AF2|=6.
典例2 (1)已知椭圆 ax22 + by22 =1(a>b>0)的一个焦点是圆x2+y2-6x+8=0的圆
心,且短轴长为8,则椭圆的左顶点为 ( )
A.(-3,0) B.(-4,0) C.(-10,0) D.(-5,0)
(2)(2016课标全国Ⅲ,11,5分)已知O为坐标原点,F是椭圆C: ax22 + by22 =1
ka
OE的中点为N,则N 0, k2a
,由于B,M,N三点共线,所以(a c) ,所以 1 = a c ,即a=3c,所以e= 1 .故选A.
c a
2 ac
3
方法技巧 求椭圆离心率的常用方法: (1)直接求出a,c,利用定义求解; (2)构造a,c的齐次式,解出e.由已知条件得出关于a,c的二元齐次方程,然 后转化为关于离心率e的一元二次方程求解; (3)通过特殊值或特殊位置求出离心率.
∵|AF2|2=|AF1|2+|F1F2|2-2|AF1|·|F1F2|cos 45°=|AF1|2-4|AF1|+8,
∴(6-|AF1|)2=|AF1|2-4|AF1|+8.
∴|AF1|= 72 .
∴ S
2020年高考数学《三维设计》第九章 解析几何第五节 椭圆 第一课时 椭圆及其性质
1＋k12|y1－y2|；
(2)直线 AB 的斜率 kAB＝－ba22xy00.
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)平面内与两个定点 F1，F2 的距离之和等于常数的点的轨迹
是椭圆．
( ×)
(2)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆．
(×)
(3)方程 mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆．
4．已知椭圆2x52＋my22＝1(m＞0)的左焦点为 F1(－4,0)，则 m＝ ___3_____.
解析：依题意有 25－m2＝16，∴m2＝9，∵m＞0，∴m＝3.
5．若方程5－x2k＋k－y2 3＝1 表示椭圆，则 k 的取值范围是 _(_3_,4_)_∪__(4_,_5_)____．
解析：由已知得5k－－k3＞＞00，， 5－k≠k－3.
(√ )
(4)ay22＋xb22＝1(a≠b)表示焦点在 y 轴上的椭圆．
(× )
二、选填题
1．椭圆 C：2x52＋1y62 ＝1 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2
的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，则△F1AB 的周长为( C )
A．12
B．16
C．20
D．24
解析：△F1AB 的周长为|F1A|＋|F1B|＋|AB|＝|F1A|＋|F2A|＋
[熟记常用结论]
1．焦半径：椭圆上的点 P(x0，y0)与左(下)焦点 F1 与右(上)焦点 F2 之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作 r1＝|PF1|， r2＝|PF2|. (1)xa22＋by22＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0； (2)ay22＋xb22＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0； (3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．
第五节椭圆课件高三数学一轮复习
（） A. ＋ y 2＝1
B. ＝1
C. ＝1
D. ＝1
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A. F 1， F 2的坐标分别为（－2，0），（2，0） B. 椭圆的离心率为 C. ｜ PF 1｜的最小值为1 D. 当 P 是椭圆的短轴端点时，∠ F 1 PF 2取到最大值
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第五节 了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中 的作用.
2. 经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程 及简单几何性质.
3. 通过椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想. 4. 了解椭圆的简单应用.
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2. 焦点三角形：椭圆上的点 P （ x 0， y 0）与两焦点 F 1， F 2构成的△ PF 1 F 2叫做焦点三角形，如图所示，设∠ F 1 PF 2＝θ.
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（4）焦点三角形的周长为2（ a ＋ c ）.
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1. 已知 F 1（－1，0）， F 2（1，0）是椭圆 C 的焦点，过 F 2且垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 于 A ， B 两点，且｜ AB ｜＝3，则 C 的方程为
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PART 1
知识 体系构建
必备知识 系统梳理 基础重落实
课前自修
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A. 2
B. 3
C. 5
D. 7
解析： 由椭圆的定义｜ PF 1｜＋｜ PF 2｜＝2 a ＝10，所以｜ PF 2｜＝7.
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解析几何知识点
第五节椭圆1. 椭圆的定义(1)满足以下条件的点的轨迹是椭圆:①在平面内；②与两个定点F1.F2的距离之和等于常数；③常数大于|F1F2|.(2)焦点: 两定点.(3)焦距: 两焦点间的距离.2. 椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴: x轴、y轴对称中心: (0,0)对称中心：(0,0)顶点A1(－a,0), A2(a,0)B1(0, －b), B2(0, b)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0, －a), A2(0, a)B1(－b,0), B2(b,0)B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长轴A1A2的长为2a短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝, e∈(0,1)a, b, c的关系c2＝a2－b21. 椭圆的定义中易忽视2a＞|F1F2|这一条件, 当2a＝|F1F2|其轨迹为线段F1F2, 当2a＜|F1F2|不存在轨迹.2. 求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置, 而直接设方程为＋＝1(a＞b＞0).3．注意椭圆的范围, 在设椭圆＋＝1(a＞b＞0)上点的坐标为P(x, y)时, 则|x|≤a, 这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用, 也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．第六节双曲线1. 双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3)这一定值一定要小于两定点的距离.2. 双曲线的标准方程和几何性质标准方程－＝1(a>0, b>0) －＝1(a>0, b>0) 图形性质范围x≥a或x≤－a, y∈R x∈R, y≤－a或y≥a对称性对称轴: 坐标轴对称中心: 原点顶点A1(－a,0), A2(a,0) A1(0, －a), A2(0, a)渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝, e∈(1, ＋∞), 其中c＝实虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴, 它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴, 它的长|B1B2|＝2b；a叫作双曲线的实半轴长, b叫作双曲线的虚半轴长．a、b、c的关系c2＝a2＋b2(c>a>0, c>b>0)1. 双曲线的定义中易忽视2a＜|F1F2|这一条件. 若2a＝|F1F2|, 则轨迹是以F1, F2为端点的两条射线, 若2a＞|F1F2|则轨迹不存在.2. 双曲线的标准方程中对a、b的要求只是a＞0, b＞0易误认为与椭圆标准方程中a, b的要求相同.若a＞b＞0, 则双曲线的离心率e∈(1, )；若a＝b＞0, 则双曲线的离心率e＝；若0＜a＜b, 则双曲线的离心率e＞.3. 注意区分双曲线中的a, b, c大小关系与椭圆a、b、c关系, 在椭圆中a2＝b2＋c2, 而在双曲线中c2＝a2＋b2.4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x 轴上, 渐近线斜率为± , 焦点在y 轴上, 渐近线斜率为± .1. 待定系数法求双曲线方程的常用方法(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；(2)若渐近线方程为y ＝± x, 则可设为 － ＝λ(λ≠0)； (3)若过两个已知点则设为 ＋ ＝1(mn<0). 2. 等轴双曲线的离心率与渐近线关系双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝ ⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系). 3. 双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b 4. 渐近线与离心率－ ＝1(a>0, b>0)的一条渐近线的斜率为 ＝ ＝ ＝ .可以看出, 双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．第七节抛物线 1. 抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线: (1)在平面内；(2)动点到定点F 距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上.2. 抛物线的标准方程和几何性质 标准方程y 2＝2px (p ＞0)y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)p 的几何意义: 焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F( , 0)F(－ , 0)F(0, )F(0, － )离心率 e ＝1准线方程 x ＝－p2x ＝p 2 y ＝－p 2y ＝p 2 范围 x ≥0, y ∈Rx ≤0, y ∈Ry ≥0, x ∈Ry ≤0, x ∈R开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P(x0, y0)|PF |＝x 0＋p2|PF |＝－x 0＋p2|PF |＝y 0＋p2|PF |＝－y 0＋p21. 转化思想在定义中应用抛物线上点到焦点距离常用定义转化为点到准线的距离.2. 与焦点弦有关的常用结论(以下图为依据)(1)y1y2＝－p2, x1x2＝.(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角).(3)1|AF|＋1|BF|为定值2p.(4)以AB为直径的圆与准线相切.(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切.第九节圆锥曲线的综合问题1. 直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时, 通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A, B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x, y)＝0, 消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程.即消去y, 得ax2＋bx＋c＝0.(1)当a≠0时, 设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ, 则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离.(2)当a＝0, b≠0时, 即得到一个一次方程, 则直线l与圆锥曲线C相交, 且只有一个交点, 此时, 若C为双曲线, 则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线, 则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2. 弦长公式设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A, B两点, A(x1, y1), B(x2, y2), 则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2·|y1－y2|。
第八章 第五节 椭圆
x2 y2 x2 y2 (2)设方程：根据上述判断设方程 2＋ 2＝1(a>b>0)或 2＋ 2＝ 设方程： 设方程 或 a b b a 1(a>b>0)． ． (3)找关系：根据已知条件，建立关于 a、b、c 的方程组． 找关系：根据已知条件， 找关系 、 、 的方程组． (4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求． 得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求． 得方程 注意：当椭圆焦点位置不明确而无法确定标准方程时， 注意：当椭圆焦点位置不明确而无法确定标准方程时， x2 y2 可设为 m ＋ n ＝1(m>0，n>0，m≠n)，也可设为 Ax2＋By2＝ ， ， ≠ ， 1(A>0，B>0 且 A≠B)． ， ≠ ．
[归纳领悟 归纳领悟] 归纳领悟 x2 y2 1．椭圆的几何性质常涉及一些不等关系，例如对椭圆 2＋ 2＝ ．椭圆的几何性质常涉及一些不等关系， a b 1，有－a≤x≤a，－ ≤y≤b,0<e<1 等，在求与椭圆有关的 ， ，－b≤ ≤ ≤ ≤ ，－ 一些量的范围， 或者求这些量的最大值或最小值时， 经常用 一些量的范围， 或者求这些量的最大值或最小值时， 到这些不等关系． 到这些不等关系． 2． ． 求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析， 即 求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析， 使不画出图形，思考时也要联想到图形．当涉及到顶点、 使不画出图形，思考时也要联想到图形．当涉及到顶点、焦 长轴、 短轴等椭圆的基本量时， 要理清它们之间的关系， 点、 长轴、 短轴等椭圆的基本量时， 要理清它们之间的关系， 挖掘出它们之间的内在联系． 挖掘出它们之间的内在联系．
解析：由题意知， 则有a 解析：由题意知，a1＝2a2，c1>2c2，则有 1c2<a2c1， 故不正确的结论为D. 故不正确的结论为 答案：D 答案：
第8章 第5节 第1课时 椭圆及其性质-2023届高三一轮复习数学精品备课(新高考人教A版2019)
A．13
B．12
C．
2 2
D．2 3 2
解析 不妨设 a>0.因为椭圆 C 的一个焦点为(2，0)，
所以焦点在 x 轴上，且 c＝2， 所以 a2＝4＋4＝8，所以 a＝2 2，所以椭圆 C 的离心
率
e＝ac＝
2 2.
5．已知点
F1，F2
分别为椭圆
C：x2＋y2＝1 43
的左、右焦
点，若点 P 在椭圆 C 上，且∠F1PF2＝60°，则
解析 由 AM＝1，可知点 M 的轨迹为以 A(5，0)为圆心， l 为半径的圆过 P 作该圆的切线 PM，M 为切点，则|PM|2＋ |AM|2＝|PA|2，|PM|2＝|PA|2－1.要使|PM|最小，则|PA|应最小．
由图可知，当点 P 为椭圆右顶点时，|PA|＝a－c＝3 时 取最小值，|PM|＝ 32－1＝2 2.
(4)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆．
( ×)
(5)方程 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．
(√ )
◇教材改编
2．若直线 x－2y＋2＝0 经过椭圆的一个焦点和一个顶
点，则该椭圆的标准方程为( C )
A．x2＋y2＝1 5
B．x2＋y2＝1 45
C．x2＋y2＝1 或x2＋y2＝1
离心 性质
率
c
e＝__a__且 e∈(0，1)
a，b，c 的 关系
c2＝a2－b2
教材拓展
与椭圆定义有关的结论
以椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)上一点 P(x0，y0)(y0≠0)和焦点 F1(－ c，0)，F2(c，0)为顶点的△PF1F2 中，若∠F1PF2＝θ，则
第5节 第1课时 椭圆的定义、标准方程及其简单几何性质--2025年高考数学复习讲义及练习解析
第五节椭圆第1课时椭圆的定义、标准方程及其简单几何性质1．椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于01常数(大于|F 1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的02焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的03焦距．2．椭圆的标准方程及简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)范围04－a≤x≤a且－b≤y≤b05－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点06A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)07A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)轴长短轴长为082b，长轴长为092a焦点10F1(－c，0)，F2(c，0)11F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝122c对称性对称轴：13x轴和y轴，对称中心：14原点离心率e＝ca(0<e<1)a，b，c的关系15a2＝b2＋c2椭圆的焦点三角形椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.(1)当P为短轴端点时，θ最大，S△F1PF2最大．(2)S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|sinθ＝b2tanθ2＝c|y0|.(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.(4)|PF1|·|PF2|＝a2.(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cosθ.1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．()(3)y2 m2＋x2n2＝1(m≠n)表示焦点在y轴上的椭圆．()(4)x2 a2＋y2b2＝1(a>b>0)与y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)的焦距相等．()答案(1)×(2)√(3)×(4)√2．小题热身(1)(人教A选择性必修第一册习题3.1T3改编)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是()A．长轴长为12B．焦距为34C ．短轴长为14D ．离心率为32答案D解析把椭圆方程16x 2＋4y 2＝1化为标准方程可得y 214＋x 2116＝1，所以a ＝12，b ＝14，c ＝34，则长轴长2a ＝1，焦距2c ＝32，短轴长2b ＝12，离心率e ＝c a ＝32.故选D.(2)(人教A 选择性必修第一册习题3.1T5改编)已知点P 为椭圆x 216＋y 29＝1上的一点，B 1，B 2分别为椭圆的上、下顶点，若△PB 1B 2的面积为6，则满足条件的点P 的个数为()A ．0B ．2C ．4D ．6答案C解析在椭圆x 216＋y 29＝1中，a ＝4，b ＝3，则短轴|B 1B 2|＝2b ＝6，设椭圆上点P 的坐标为(m ，n )，由△PB 1B 2的面积为6，得12|B 1B 2|·|m |＝6，解得m ＝±2，将m ＝±2代入椭圆方程，得n ＝±332，所以符合题意的点P ，22，共4个满足条件的点P .故选C.(3)(人教A 选择性必修第一册习题3.1T1改编)已知点M (x ，y )在运动过程中，总满足关系式x 2＋（y －2）2＋x 2＋（y ＋2）2＝8，则点M 的轨迹方程为________________．答案x 212＋y 216＝1解析因为x 2＋（y －2）2＋x 2＋（y ＋2）2＝8>4，所以点M 的轨迹是以(0，2)，(0，－2)为焦点的椭圆，设椭圆方程为x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)，由题意得2a ＝8，即a ＝4，则b 2＝a 2－c 2＝12，所以点M 的轨迹方程为x 212＋y 216＝1.(4)(人教A 选择性必修第一册习题3.1T4改编)已知椭圆C 的焦点在x 轴上，且离心率为12，则椭圆C 的方程可以为________________(写出满足题意的一个椭圆方程即可)．答案x 24＋y 23＝1(答案不唯一)解析因为焦点在x 轴上，所以设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，a >b >0，因为离心率为12，所以ca＝12，所以c 2a 2＝a 2－b 2a2＝14，则b 2a 2＝34.所以椭圆C 的方程可以为x 24＋y 23＝1(答案不唯一)．考点探究——提素养考点一椭圆的定义及其应用(多考向探究)考向1利用椭圆的定义求轨迹方程例1(2024·山东烟台一中质检)已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 是圆上任意一点，N (2，0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹方程为________．答案x 29＋y 25＝1解析点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA |＝|PN |.又AM 是圆的半径，所以|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PA |＝|AM |＝6>|MN |.由椭圆的定义知，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，且2a ＝6，2c ＝4，故所求的轨迹方程为x 29＋y 25＝1.【通性通法】在求动点的轨迹时，如果能够判断动点的轨迹满足椭圆的定义，那么可以直接求解其轨迹方程．【巩固迁移】1．△ABC 的两个顶点为A (－3，0)，B (3，0)，△ABC 的周长为16，则顶点C 的轨迹方程为()A ．x 225＋y 216＝1(y ≠0)B ．y 225＋x 216＝1(y ≠0)C ．x 216＋y 29＝1(y ≠0)D ．y 216＋x 29＝1(y ≠0)答案A解析由题意，知点C 到A ，B 两点的距离之和为10，故顶点C 的轨迹为以A (－3，0)，B (3，0)为焦点，长轴长为10的椭圆，故2a ＝10，c ＝3，b 2＝a 2－c 2＝16.其方程为x 225＋y 216＝1.又A ，B ，C 三点不能共线，所以x 225＋y 216＝1(y ≠0)．故选A.考向2利用椭圆的定义解决焦点三角形问题例2(1)如图，△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是________．答案43解析因为a 2＝3，所以a ＝ 3.△ABC 的周长为|AC |＋|AB |＋|BC |＝|AC |＋|CF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝2a ＋2a ＝4a ＝43.(2)设点P 为椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1(a >2)上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，且∠F 1PF 2＝60°，则△PF 1F 2的面积为________．答案433解析解法一：由题意，知c ＝a 2－4.又∠F 1PF 2＝60°，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2a 2－4，∴|F 1F 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|－2|PF 1||PF 2|cos60°＝4a 2－3|PF 1||PF 2|＝4a 2－16，∴|PF 1||PF 2|＝163，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin60°＝12×163×32＝433解法二：S △PF 1F 2＝b 2tan ∠F 1PF 22＝4tan30°＝433.【通性通法】将定义和余弦定理结合使用可以解决焦点三角形的周长和面积问题．【巩固迁移】2．(2023·全国甲卷)已知椭圆x 29＋y 26＝1，F 1，F 2为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，cos∠F 1PF 2＝35，则|PO |＝()A ．25B ．302C ．35D ．352答案B解析解法一：因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6①，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1PF 2＝|F 1F 2|2，即|PF 1|2＋|PF 2|2－65|PF 1||PF 2|＝12②，联立①②，解得|PF 1||PF 2|＝152，|PF 1|2＋|PF 2|2＝21，而PO →＝12(PF 1→＋PF 2→)，所以|PO |＝|PO →|＝12|PF 1→＋PF 2→|，即|PO →|＝12|PF 1→＋PF 2→|＝12|PF 1→|2＋2PF 1→·PF 2→＋|PF 2→|2＝1221＋2×152×35＝302.故选B.解法二：设∠F 1PF 2＝2θ，0＜θ＜π2，所以S △PF 1F 2＝b 2tan∠F 1PF 22＝b 2tan θ，由cos ∠F 1PF 2＝cos2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝35，解得tan θ＝12.由椭圆的方程可知，a 2＝9，b 2＝6，c 2＝a 2－b 2＝3，所以S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|×|y P |＝12×23×|y P |＝6×12，解得y 2P ＝3，所以x 2P ＝＝92，因此|PO |＝x 2P ＋y 2P ＝3＋92＝302.故选B.解法三：因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6①，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1PF 2＝|F 1F 2|2，即|PF 1|2＋|PF 2|2－65|PF 1||PF 2|＝12②，联立①②，解得|PF 1|2＋|PF 2|2＝21，由中线定理可知，(2|PO |)2＋|F 1F 2|2＝2(|PF 1|2＋|PF 2|2)＝42，易知|F 1F 2|＝23，解得|PO |＝302.故选B.考向3利用椭圆的定义求最值例3已知F 1，F 2是椭圆C ：x 216＋y 212＝1的两个焦点，点M ，N 在C 上，若|MF 2|＋|NF 2|＝6，则|MF 1|·|NF 1|的最大值为()A ．9B ．20C ．25D ．30答案C解析根据椭圆的定义，得|MF 1|＋|MF 2|＝8，|NF 1|＋|NF 2|＝8，因为|MF 2|＋|NF 2|＝6，所以8－|MF 1|＋8－|NF 1|＝6，即|MF 1|＋|NF 1|＝10≥2|MF 1|·|NF 1|，当且仅当|MF 1|＝|NF 1|＝5时，等号成立，所以|MF 1|·|NF 1|≤25，则|MF 1|·|NF 1|的最大值为25.故选C.【通性通法】在椭圆中，结合|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，运用基本不等式或三角形任意两边之和大于第三边可求最值．【巩固迁移】3．(2024·河北邯郸模拟)已知F 是椭圆x 29＋y 25＝1的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1，1)是一定点，则|PA |＋|PF |的最大值为________，最小值为________．答案6＋26－2解析由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2，F (－2，0)．设椭圆的右焦点为F ′，则|PF |＋|PF ′|＝6，所以|PA |＋|PF |＝|PA |－|PF ′|＋6.当P ，A ，F ′三点共线时，|PA |－|PF ′|取到最大值|AF ′|＝2或最小值－|AF ′|＝－ 2.所以|PA |＋|PF |的最大值为6＋2，最小值为6－ 2.考点二椭圆的标准方程例4(1)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则椭圆C 的方程为()A ．x 22＋y 2＝1B ．x 23＋y 22＝1C ．x 29＋y 26＝1D ．x 25＋y 24＝1答案B解析设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由椭圆的定义，得|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝4a .∵|AB |＝|BF 1|，∴|AF 1|＋2|AB |＝4a .又|AF 2|＝2|F 2B |，∴|AB |＝32|AF 2|，∴|AF 1|＋3|AF 2|＝4a .又|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，∴|AF 2|＝a ，∴A 为椭圆的短轴端点．如图，不妨设A (0，b )，又F 2(1，0)，AF 2→＝2F 2B →，∴将B 点坐标代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94a 2＋b 24b 2＝1，∴a 2＝3，b 2＝a 2－c 2＝2.∴椭圆C 的方程为x 23＋y 221.故选B.(2)(2024·山西大同模拟)过点(2，－3)，且与椭圆x 24＋y 23＝1有相同离心率的椭圆的标准方程为________________．答案x 28＋y 26＝1或y 2253＋x 2254＝1解析椭圆x 24＋y 23＝1的离心率是e ＝12，当焦点在x 轴上时，设所求椭圆的标准方程是x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)＝12，b 2＋c 2，＋3b 2＝1，2＝8，2＝6，∴所求椭圆的标准方程为x 28＋y 26＝1；当焦点在y 轴上时，设所求椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)＝12，b 2＋c 2，＋4b 2＝1，2＝253，2＝254，∴所求椭圆的标准方程为y 2253＋x 2254＝1.故所求椭圆的标准方程为x 28＋y 26＝1或y 2253＋x 2254＝1.【通性通法】1．求椭圆方程的常用方法(1)定义法：根据椭圆的定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置写出椭圆方程．(2)待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤注意：一定先判断椭圆的焦点位置，即先定型后定量．2．椭圆标准方程的两个应用(1)方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2a 2＋y 2b2＝λ(a >0，b >0，λ>0)有相同的离心率．(2)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)共焦点的椭圆系方程为x 2a 2＋k ＋y 2b 2＋k ＝1(a >b >0，k ＋b 2>0)．恰当选用椭圆系方程，可使运算更简便．【巩固迁移】4．已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b>0)的两个焦点，若P |PF 1|＋|PF 2|＝4，则椭圆C 的方程为________________．答案x 24＋y 23＝1解析由|PF 1|＋|PF 2|＝4得2a ＝4，解得a＝2.又P C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上，所以1222＋1，解得b＝3，所以椭圆C的方程为x24＋y23＝1.5．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过P1(6，1)，P2(－3，－2)两点，则该椭圆的方程为________________．答案x29＋y23＝1解析设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)．因为椭圆经过P1，P2两点，所以点P1，P2的坐标满足椭圆方程，m＋n＝1，m＋2n＝1，＝19，＝13.所以所求椭圆的方程为x29＋y23＝1.考点三椭圆的简单几何性质(多考向探究)考向1椭圆的长轴、短轴、焦距例5已知椭圆x225＋y29＝1与椭圆x225－k＋y29－k＝1(k<9，且k≠0)，则两椭圆必定() A．有相等的长轴长B．有相等的焦距C．有相等的短轴长D．有相同的离心率答案B解析由椭圆x225＋y29＝1，知a＝5，b＝3，c＝4，所以长轴长是10，短轴长是6，焦距是8.在椭圆x225－k＋y29－k1(k<9，且k≠0)中，因为a1＝25－k，b1＝9－k，c1＝4，所以其长轴长是225－k，短轴长是29－k，焦距是8.所以两椭圆有相等的焦距．故选B.【通性通法】求解与椭圆几何性质有关的问题时，要理清顶点、焦点、长轴长、短轴长、焦距等基本量的内在联系．【巩固迁移】6．若连接椭圆短轴的一个顶点与两焦点的三角形是等边三角形，则长轴长与短轴长之比为()A．2B．23C．233D．4答案C解析因为连接椭圆短轴的一个顶点与两焦点的三角形是等边三角形，所以a＝2c，所以b2＝a 2－c 2＝3c 2，所以b ＝3c ，故2a 2b ＝a b ＝2c 3c ＝233，所以长轴长与短轴长之比为233.故选C.7．(2024·河北沧州统考期末)焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 23＝1的长轴长为43，则其焦距为________．答案6解析由题意，得2a ＝43，所以a 2＝12，c 2＝a 2－b 2＝12－3＝9，解得c ＝3，故焦距2c ＝6.考向2椭圆的离心率例6(1)(2024·江苏镇江模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率为________．答案33解析由题意知F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝a 2－b 2，因为过F 2且与x 轴垂直的直线为x＝c ，由椭圆的对称性，可设它与椭圆的交点为，因为AB 平行于y 轴，且|F 1O |＝|OF 2|，所以|F 1D |＝|DB |，即D 为线段F 1B 的中点，又|AF 1|＝|BF 1|，则△AF 1B 为等边三角形．解法一：由|F 1F 2|＝3|AF 2|，可知2c ＝3·b 2a ，即3b 2＝2ac ，所以3(a 2－c 2)＝2ac ，即3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝33(e ＝－3舍去)．解法二：由|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝4a ，可知|AF 1|＝|BF 1|＝|AB |＝43a ，又|AF 1|sin60°＝|F 1F 2|，所以43a ×322c ，解得c a ＝33，即e ＝33.解法三：由|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝4a ，可知|AB |＝|AF 1|＝|BF 1|＝43a ，即2b 2a ＝43a ，即2a 2＝3b 2，所以e ＝c 2a 2＝1－b 2a 2＝33.(2)(2024·广东七校联考)已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．答案解析根据椭圆的对称性，不妨设焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．解法一：设M (x 0，y 0)，MF 1→·MF 2→＝0⇒(－c －x 0，－y 0)·(c －x 0，－y 0)＝0⇒x 20－c 2＋y 20＝0⇒y 20＝c2－x 20，点M (x 0，y 0)在椭圆内部，有x 20a 2＋y 20b 2<1⇒b 2x 20＋a 2(c 2－x 20)－a 2b 2<0⇒x 20>2a 2－a 4c2，要想该不等式恒成立，只需2a 2－a 4c 2<0⇒2a 2c 2<a 4⇒2c 2<a 2⇒e ＝c a <22，而e >0⇒0<e <22，即椭圆离心解法二：由MF 1→·MF 2→＝0，可知点M 在以F 1F 2为直径的圆上，即圆x 2＋y 2＝c 2在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)内部，所以c <b ，则c 2<b 2，即c 2<a 2－c 2，所以2c 2<a 2，即e 2<12，又e >0，所以0<e <22，【通性通法】求椭圆离心率的方法方法一直接求出a ，c ，利用离心率公式e ＝ca求解方法二由a 与b 的关系求离心率，利用变形公式e ＝1－b 2a2求解方法三构造a ，c 的齐次式，可以不求出a ，c 的具体值，而是得出a 与c 的关系，从而求得e注意：解题的关键是借助图形建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，转化为e 的关系式．【巩固迁移】8．(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2＝1(a >1)，C 2：x 24＋y 2＝1的离心率分别为e 1，e 2.若e 2＝3e 1，则a ＝()A ．233B ．2C ．3D ．6答案A解析由e 2＝3e 1，得e 22＝3e 21，因此4－14＝3×a 2－1a 2，而a >1，所以a ＝233.故选A.9．(2024·广东六校联考)设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是________．答案33，解析设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，由线段PF 1的中垂线过点F 2，得|PF 2|＝|F 1F 2|，即2c ，得m 2＝4c 2＝－a 4c2＋2a 2＋3c 2≥0，即3c 4＋2a 2c 2－a 4≥0，得3e 4＋2e 2－1≥0，解得e 2≥13，又0<e <1，故33≤e <1，即椭圆离心率的取值范围是33，考向3与椭圆几何性质有关的最值(范围)问题例7(2024·石家庄质检)设点M 是椭圆C ：x 29＋y 28＝1上的动点，点N 是圆E ：(x －1)2＋y 2＝1上的动点，且直线MN 与圆E 相切，则|MN |的最小值是________．答案3解析由题意知，圆E 的圆心为E (1，0)，半径为1.因为直线MN 与圆E 相切于点N ，所以NE ⊥MN ，且|NE |＝1.又E (1，0)为椭圆C 的右焦点，所以2≤|ME |≤4，所以当|ME |＝2时，|MN |取得最小值，又|MN |＝|ME |2－|NE |2，所以|MN |min ＝22－12＝ 3.【通性通法】与椭圆有关的最值(范围)问题的求解策略【巩固迁移】10．如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1(b >0)的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的左焦点和右顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·PA →的最大值为________．答案4解析由题意，知a ＝2，因为e ＝c a ＝12，所以c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.设点P 的坐标为(x 0，y 0)，所以－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤3.因为F (－1，0)，A (2，0)，所以PF →＝(－1－x 0，－y 0)，PA →＝(2－x 0，－y 0)，所以PF →·PA →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2，所以当x 0＝－2时，PF →·PA →取得最大值4.课时作业一、单项选择题1．已知动点M 到两个定点A (－2，0)，B (2，0)的距离之和为6，则动点M 的轨迹方程为()A ．x 29＋y 2＝1B ．y 29＋x 25＝1C ．y 29＋x 2＝1D ．x 29＋y 25＝1答案D解析由题意有6>2＋2＝4，故点M 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆，则2a ＝6，c ＝2，故a 2＝9，所以b 2＝a 2－c 2＝5，故椭圆的方程为x 29＋y 25＝1.故选D.2．(2024·九省联考)椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a >1)的离心率为12，则a ＝()A ．233B ．2C ．3D ．2答案A解析由题意得e ＝a 2－1a＝12，解得a ＝233.故选A ．3．(2024·河南信阳模拟)与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且满足短半轴长为25的椭圆方程是()A ．x 225＋y 220＝1B ．x 220＋y 225＝1C ．x 220＋y 245＝1D ．x 280＋y 285＝1答案B解析由9x 2＋4y 2＝36，可得x 24＋y 29＝1，所以所求椭圆的焦点在y 轴上，且c 2＝9－4＝5，b＝25，a 2＝25，所以所求椭圆方程为x 220＋y 225＝1.4．设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e k 的取值范围是()A ．(0，3)BC ．(0，3)D ．(0，2)答案C解析当k >4时，c ＝k －4，由条件，知14<k －4k <1，解得k >163；当0<k <4时，c ＝4－k ，由条件，知14<4－k4<1，解得0<k <3.故选C.5．已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9.动圆M 在圆C 1内部，且与圆C 1内切，与圆C 2外切，则动圆的圆心M 的轨迹方程是()A ．x 264－y 248＝1B ．x 248＋y 264＝1C ．x 248－y 264＝1D ．x 264＋y 248＝1答案D解析设动圆的圆心M (x ，y )，半径为r ，因为圆M 与圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169内切，与圆C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9外切，所以|MC 1|＝13－r ，|MC 2|＝3＋r .因为|MC 1|＋|MC 2|＝16>|C 1C 2|＝8，由椭圆的定义，知M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点，长轴长为16的椭圆，则a ＝8，c ＝4，所以b 2＝82－42＝48，动圆的圆心M 的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.故选D.6．(2023·全国甲卷)设F 1，F 2为椭圆C ：x 25＋y 2＝1的两个焦点，点P 在C 上，若PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1|·|PF 2|＝()A ．1B ．2C ．4D ．5答案B解析解法一：因为PF 1→·PF 2→＝0，所以∠F 1PF 2＝90°，从而S △F 1PF 2＝b 2tan45°＝1＝12|PF 1|·|PF 2|，所以|PF 1|·|PF 2|＝2.故选B.解法二：因为PF 1→·PF 2→＝0，所以∠F 1PF 2＝90°，由椭圆方程可知，c 2＝5－1＝4⇒c ＝2，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝42＝16，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝25，平方得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝16＋2|PF 1|·|PF 2|＝20，所以|PF 1|·|PF 2|＝2.故选B.7．(2023·甘肃兰州三模)设椭圆x 24＋y 23＝1的一个焦点为F ，则对于椭圆上两动点A ，B ，△ABF周长的最大值为()A ．4＋5B ．6C ．25＋2D ．8答案D解析设F 1为椭圆的另外一个焦点，则由椭圆的定义可得|AF |＋|BF |＋|AB |＝2a －|AF 1|＋2a －|BF 1|＋|AB |＝4a ＋|AB |－|BF 1|－|AF 1|＝8＋|AB |－|BF 1|－|AF 1|，当A ，B ，F 1三点共线时，|AB |－|BF 1|－|AF 1|＝0，当A ，B ，F 1三点不共线时，|AB |－|BF 1|－|AF 1|<0，所以当A ，B ，F 1三点共线时，△ABF 的周长取得最大值8.8．(2024·安徽三市联考)已知椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，P ，Q 为C 上两点，2PF 2→＝3F 2Q →，若PF 1→⊥PF 2→，则C 的离心率为()A ．35B ．45C ．135D ．175答案D解析设|PF 2→|＝3m ，则|QF 2→|＝2m ，|PF 1→|＝2a －3m ，|QF 1→|＝2a －2m ，|PQ |＝5m ，在△PQF 1中，得(2a －3m )2＋25m 2＝(2a －2m )2，即m ＝215a .因此|PF 2→|＝25a ，|PF 1→|＝85a ，|F 2F 1→|＝2c ，在△PF 1F 2中，得6425a 2＋425a 2＝4c 2，故17a 2＝25c 2，所以e ＝175.故选D.二、多项选择题9．对于曲线C ：x 24－k ＋y 2k －1＝1，下列说法中正确的是()A ．曲线C 不可能是椭圆B ．“1＜k ＜4”是“曲线C 是椭圆”的充分不必要条件C ．“曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆”是“3＜k ＜4”的必要不充分条件D ．“曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆”是“1＜k ＜2.5”的充要条件答案CD解析对于A ，当1＜k ＜4且k ≠2.5时，曲线C 是椭圆，A 错误；对于B ，当k ＝2.5时，4－k ＝k －1，此时曲线C 是圆，B 错误；对于C ，若曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，－k >0，－1>0，－1>4－k ，解得2.5＜k ＜4，所以“曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆”是“3＜k ＜4”的必要不充分条件，C 正确；对于D ，若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，－1>0，－k >0，－k >k －1，解得1＜k ＜2.5，D 正确．故选CD.10．(2024·海口模拟)设椭圆x 29＋y 23＝1的右焦点为F ，直线y ＝m (0＜m ＜3)与椭圆交于A ，B两点，则()A ．|AF |＋|BF |为定值B ．△ABF 周长的取值范围是[6，12]C ．当m ＝32时，△ABF 为直角三角形D ．当m ＝1时，△ABF 的面积为6答案ACD解析设椭圆的左焦点为F ′，则|AF ′|＝|BF |，∴|AF |＋|BF |＝|AF |＋|AF ′|＝6，为定值，A 正确；△ABF 的周长为|AB |＋|AF |＋|BF |，∵|AF |＋|BF |为定值6，|AB |的取值范围是6)，∴△周长的取值范围是(6，12)，B 错误；将y ＝32与椭圆方程联立，解得－332，又F (6，0)，∴AF →·BF →＝0，∴AF ⊥BF ，∴△ABF 为直角三角形，C 正确；将y ＝1与椭圆方程联立，解得A (－6，1)，B (6，1)，∴S △ABF＝12×26×1＝6，D 正确．故选ACD.三、填空题11．(2023·四川南充三诊)若椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为________．答案14解析将原方程变形为x 2＋y 21m＝1.由题意知a 2＝1m，b 2＝1，所以a ＝1m ，b ＝1，所以1m＝2，m ＝14.12．(2024·南昌模拟)已知椭圆E 的中心为原点，焦点在x 轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为22－2，离心率为22，则椭圆E 的方程为________．答案x 28＋y 24＝1解析椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为22－2，离心率为22，c ＝22－2，＝22，＝22，＝2，从而a 2＝8，b 2＝4，所以椭圆E 的方程为x 28＋y 24＝1.13．(2024·河南名校教研联盟押题)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，下顶点为A ，AF 的延长线交C 于点B ，若|AF |∶|BF |＝2∶1，则C 的离心率为________．答案33解析解法一：如图，设椭圆C 的右焦点为F ′，则|AF |＝|AF ′|＝a ，因为|AF |∶|BF |＝2∶1，所以|BF |＝a 2，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝3a 2，又|BF |＋|BF ′|＝2a ，所以|BF ′|＝2a －|BF |＝3a2，由余弦定理可知cos ∠BAF ′＝|AB |2＋|AF ′|2－|BF ′|22|AB ||AF ′|＝13，设O 为坐标原点，椭圆C 的焦距为2c ，则离心率e ＝ca ＝sin ∠OAF ′，因为∠BAF ′＝2∠OAF ′，故cos ∠BAF ′＝1－2sin 2∠OAF ′＝1－2e 2，所以e ＝33.解法二：设B 在x 轴上的射影为D ，由于|AF |∶|BF |＝2∶1，所以|BD |＝|OA |2＝b 2，|FD |＝|OF |2＝c 2，即－3c 2，将B 的坐标代入C 的方程，得9c 24a 2＋b 24b 2＝1，得e ＝33.14．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，左、右焦点分别为F 1，F 2，且△F 1AB 的面积为2－32，若点P 为椭圆上任意一点，则1|PF 1|＋1|PF 2|的取值范围是________．答案[1，4]解析由已知，得2b ＝2，故b ＝1.∵△F 1AB 的面积为2－32，∴12(a －c )b ＝2－32，∴a －c＝2－3，又a 2－c 2＝(a －c )(a ＋c )＝b 2＝1，∴a ＝2，c ＝3，∴1|PF 1|＋1|PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2||PF 1|·|PF 2|＝2a|PF 1|（2a －|PF 1|）＝4－|PF 1|2＋4|PF 1|.又2－3≤|PF 1|≤2＋3，∴1≤－|PF 1|2＋4|PF 1|≤4，∴1≤1|PF 1|＋1|PF 2|≤4，即1|PF 1|＋1|PF 2|的取值范围为[1，4]．四、解答题15．(2024·辽宁阜新校考期末)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1，1)，P 2(0，1)，P 1P C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设点A (0，－1)，点M 是椭圆C 上任意一点，求|MA |的最大值．解(1)因为P 3，P 4关于坐标轴对称，所以P 3，P 4必在椭圆C 上，有1a 2＋34b 2＝1，将点P 1(1，1)代入椭圆方程得1a 2＋1b 2>1a 2＋34b 2＝1，所以P 1(1，1)不在椭圆C 上，P 2(0，1)在椭圆C 上，所以b 2＝1，a 2＝4，即椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)点A (0，－1)是椭圆C 的下顶点，设椭圆上的点M (x 0，y 0)(－1≤y 0≤1)，则x 204＋y 20＝1，即x 20＝4－4y 20，所以|MA |2＝x 20＋(y 0＋1)2＝4－4y 20＋(y 0＋1)2＝－3y 20＋2y 0＋5＝－0＋163，又函数y ＝－＋163在∞，＋，所以当y 0＝13时，|MA |2取到最大值，为163，故|MA |的最大值为433.16．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，左顶点为A ，点E 的坐标为(0，c )，A 到直线EF 2的距离为62b .(1)求椭圆C 的离心率；(2)若P 为椭圆C 上的一点，∠F 1PF 2＝60°，△PF 1F 2的面积为3，求椭圆C 的标准方程．解(1)由题意，得A (－a ，0)，直线EF 2的方程为x ＋y ＝c ，因为A 到直线EF 2的距离为62b ，即|－a －c |12＋12＝62b ，所以a ＋c ＝3b ，即(a ＋c )2＝3b 2，又b 2＝a 2－c 2，所以(a ＋c )2＝3(a 2－c 2)，所以2c 2＋ac －a 2＝0，因为离心率e ＝ca ，所以2e 2＋e －1＝0，解得e ＝12或e ＝－1(舍去)，所以椭圆C 的离心率为12.(2)由(1)知离心率e ＝c a ＝12，即a ＝2c ，①因为∠F 1PF 2＝60°，△PF 1F 2的面积为3，所以12|PF 1|·|PF 2|sin60°＝3，所以|PF 1|·|PF 2|＝4，1|＋|PF 2|＝2a ，1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos60°＝（2c ）2，所以a 2－c 2＝3，②联立①②，得a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.17．(多选)(2023·山东济南模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2，点P (1，1)在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是()A ．|QF 1|＋|QP |的最小值为2a －1B ．椭圆C 的短轴长可能为2C ．椭圆CD ．若PF 1→＝F 1Q →，则椭圆C 的长轴长为5＋17答案ACD解析由题意知2c ＝2，则c ＝1，因为点Q 在椭圆上，所以|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QP |＝2a －|QF 2|＋|QP |，又－1≤－|QF 2|＋|QP |≤1，所以A 正确；因为点P (1，1)在椭圆内部，所以b ＞1，2b ＞2，所以B 错误；因为点P (1，1)在椭圆内部，所以1a 2＋1b 2＜1，即b 2＋a 2－a 2b 2＜0，又c ＝1，b 2＝a 2－c 2，所以(a 2－1)＋a 2－a 2(a 2－1)＜0，化简可得a 4－3a 2＋1＞0(a >1)，解得a 2＞3＋52或a 2＜3－52(舍去)，则椭圆C 的离心率e ＝ca＜13＋52＝15＋12＝5－12，又0<e <1，所以椭圆C 所以C 正确；由PF 1→＝F 1Q →可得，F 1为PQ 的中点，而P (1，1)，F 1(－1，0)，所以Q (－3，－1)，|QF 1|＋|QF 2|＝（－3＋1）2＋（－1－0）2＋（－3－1）2＋（－1－0）2＝5＋17＝2a ，所以D 正确．故选ACD.18．(多选)(2023·辽宁大连模拟)已知椭圆C ：x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别是F 1，F 2，左、右顶点分别是A 1，A 2，点P 是椭圆C 上异于A 1，A 2的任意一点，则下列说法正确的是()A ．|PF 1|＋|PF 2|＝4B ．存在点P 满足∠F 1PF 2＝90°C ．直线PA 1与直线PA 2的斜率之积为－916D ．若△F 1PF 2的面积为27，则点P 的横坐标为±453答案CD解析由椭圆方程，知a ＝4，b ＝3，c ＝7，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8，A 错误；当P 在椭圆上、下顶点时，cos ∠F 1PF 2＝2a 2－4c 22a 2＝18>0，即∠F 1PF 2的最大值小于π2，B 错误；若P (x ′，y ′)，则k P A 1＝y ′x ′＋4，k P A 2＝y ′x ′－4，有k P A 1·k P A 2＝y ′2x ′2－16，而x ′216＋y ′29＝1，所以－16y ′2＝9(x ′2－16)，即有k P A 1·k P A 2＝－916，C 正确；若P (x ′，y ′)，△F 1PF 2的面积为27，即2c ·|y ′|2＝27，故y ′＝±2，代入椭圆方程得x ′＝±453，D 正确．故选CD.19．(2023·河北邯郸二模)已知O 为坐标原点，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，上顶点为B ，线段BF 的中垂线交C 于M ，N 两点，交y 轴于点P ，BP →＝2PO →，△BMN 的周长为16，求椭圆C 的标准方程．解如图，由题意可得|BP |＝23b ，|PO |＝13b ，连接PF .由题意可知|BP |＝|PF |，在Rt △POF 中，由勾股定理，得|PO |2＋|OF |2＝|PF |2，＋c 2，整理得b 2＝3c 2，所以a 2－c 2＝3c 2，即a 2＝4c 2，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝12.在Rt △BOF 中，cos ∠BFO ＝|OF ||BF |＝c a ＝12，所以∠BFO ＝60°.设直线MN 交x 轴于点F ′，交BF 于点H ，在Rt △HFF ′中，有|FF ′|＝|HF |cos ∠BFO ＝a ＝2c ，所以F ′为椭圆C 的左焦点，又|MB |＝|MF |，|NB |＝|NF |，所以△BMN 的周长等于△FMN 的周长，又△FMN 的周长为4a ，所以4a ＝16，解得a ＝4.所以c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝12.故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.20．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.(1)求椭圆的离心率的取值范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．解(1)不妨设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，焦距为2c .在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝（|PF 1|＋|PF 2|）2－2|PF 1|·|PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|，即4a 2－2|PF 1|·|PF 2|－4c 22|PF 1|·|PF 2|＝12，所以|PF 1|·|PF 2|＝4a 2－2|PF 1|·|PF 2|－4c 2，所以3|PF 1|·|PF 2|＝4b 2，所以|PF 1|·|PF 2|＝4b 23.又因为|PF 1|·|PF 2|＝a 2，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时，等号成立，所以3a 2≥4(a 2－c 2)，所以c a ≥12，所以e ≥12.又因为0<e <1，所以椭圆的离心率的取值范围是12，(2)证明：由(1)可知|PF 1|·|PF 2|＝43b 2，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin60°＝12×43b 2×32＝33b 2，所以△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．。
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解法二:根据已知条件画出图形,如图.设MN的中点为P,F1、F2为椭圆C的焦点, 连接PF1、PF2.显然PF1是△MAN的中位线,PF2是△MBN的中位线,∴|AN|+|BN| =2|PF1|+2|PF2|=2(|PF1|+|PF2|)=2×6=12.
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(3)不妨设点A在第一象限,∵AF2⊥x轴,∴A(c,b2)(其中c2=1-b2,0<b<1,c>0).
又∵|AF1|=3|F1B|,∴由
uuur AF1
=3
uuur F1B
得B
5c 3
,
b2 3
,代入x2+
y2 b2
=1得
25c2 9
+
b4 9b2
=1,又c2
=1-b2,∴b2= 2 .
3
故椭圆E的方程为x2+ 3 y2=1.
2
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(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法,利用椭圆的定义定形状时,一定 要注意常数2a>|F1F2|这一条件. (2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法.具体过程是先定形,再定量,即首 先确定焦点所在位置,然后根据条件建立关于a,b的方程组.如果焦点位置不确 定,那么要考虑是否有两解.有时为了解题方便,也可把椭圆方程设成mx2+ny2=1 (m>0,n>0,m≠n)的形式.
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准 方程
图形
x 2 + y2 =1(a>b>0) a2 b2
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y2 + x 2 =1(a>b>0) a2 b2
性质 a、b、c间的关系
范围
对称性 顶点
轴 焦距 离心率
-a≤x≤a -b≤y≤b
-b≤x≤b -a≤y≤a
对称轴:坐标轴;对称中心:原点
A1(-a,0),A2(a,0), B1(0,-b),B2(0,b)
45 36
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考点突破
椭圆的定义及标准方程
典例1 (1)已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且和
圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为 ( )
A. x2 - y2 =1
64 48
B. x2 + y2 =1
48 64
C. x2 - y2 =1
64 48
(2)解法一:由椭圆方程知椭圆C的左焦点为F1(- 5 ,0),右焦点为F2( 5 ,0).则M(m, n)关于F1的对称点为A(-2 5-m,-n),关于F2的对称点为B(2 5 -m,-n),设MN的中点 为(x,y),则N(2x-m,2y-n).所以|AN|+|BN|= (2x 2 5)2 (2 y)2 + (2x 2 5)2 (2 y)2 = 2[ (x 5)2 y2 + (x 5)2 y2 ], 故由椭圆定义可知|AN|+|BN|=2×6=12.
43
(2)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,所以R≤2,当且仅 当圆P的圆心为(2,0)时,R=2. 所以当圆P的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4. 若l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得|AB|=2 3. 若l的倾斜角不为90°,由r1≠R知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,
c
因为∠PF1F2=30°,所以|PF1|=2|PF2|.
由勾股定理得|F1F2|= | PF1 |2 | PF2 |2 = 3 |PF2|,
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由椭圆定义得2a=|PF1|+|PF2|=3|PF2|⇒a=
3
|
PF2 2
|
,2c=|F1F2|=
3|PF2|⇒c=
3 | PF2 | ,
2
则e= c = 3 | PF2 | · 2 = 3 .
a
2 3 | PF2 | 3
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2-2
(2015福建,11,5分)已知椭圆E:
x2 a2
+
y2 b2
=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的
一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l
的距离不小于 4 ,则椭圆E的离心率的取值范围是 ( )
5
A. 0,
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1-1
已知F1、F2是椭圆C:
x a
2 2
+
y2 b2
=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上的一
uuur uuur
点,且 PF1 ⊥ PF2 .若△PF1F2的面积为9,则b=
.
答案 3
uuur uuur
解析 ∵|PF1|+|PF2|=2a, PF1 ⊥ PF2 ,
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,
2.椭圆x2+my2=1(m>0)的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的2倍,则m等于 ( )
A. 1 B.2 C.4 D. 1
2
4
y2
1
1
答案
D
由x2+
1
=1(m>0)及题意知,2
c
m =2×2×1,解得m=4 ,故选D.
m
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3.(2015广东,8,5分)已知椭圆
x2 25
为F1(-4,0),则m=(
x a
2 2
+
y2 b2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别
为F1,F2,过F2的直线交椭圆于P,Q两点,且PQ⊥PF1.
(1)若|PF1|=2+ 2 ,|PF2|=2- 2 ,求椭圆的标准方程;
(2)若|PQ|=λ|PF1|,且 3≤λ< 4,试确定椭圆离心率e的取值范围.
43
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解析 (1)由椭圆的定义,2a=|PF1|+|PF2|=(2+ 2 )+(2- 2 )=4,故a=2. 设椭圆的半焦距为c,由已知PF1⊥PF2,因此 2c=|F1F2|= | PF1 |2 | PF2 |2 = (2 2)2 (2 2)2 =2 3 , 即c= 3 ,从而b= a2 c2 =1. 故所求椭圆的标准方程为 x2 +y2=1.
32 (4)2 5
a2
a2
44
0,
3 2
,故选A.
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直线与椭圆的位置关系 典例3 (2013课标全国Ⅰ,21,12分)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动 圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程; (2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最 长时,求|AB|.
∴(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|=4c2,
∴2|PF1||PF2|=4a2-4c2=4b2,
c
∴|PF1||PF2|=2b2,
∴
SVPF1F2
=
1 2
|PF1||PF2|
= 1 ×2b2=b2=9.
2
∴b=3.
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椭圆的几何性质
典例2
(2015重庆,21,12分)如图,椭圆
43
4t 3
而 1 <e2≤ 5 ,即 2 <e≤ 5 .
2
92
3
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求椭圆离心率的常用方法: (1)直接求出a,c,利用定义求解; (2)构造a,c的齐次式,解出e.由已知条件得出关于a,c的二元齐次方程,然后转化 为关于离心率e的一元二次方程求解; (3)通过特殊值或特殊位置求出离心率.
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4
(2)如图,由PF1⊥PQ,|PQ|=λ|PF1|,得 |QF1|= | PF1 |2 | PQ |2 = 1 λ2 |PF1|. 由椭圆的定义,|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a,进而 |PF1|+|PQ|+|QF1|=4a.
于是(1+λ+ 1 λ2 )|PF1|=4a,
)
A.2 B.3 C.4 D.9
答案 B 依题意有25-m2=16,∵m>c0,∴m=3.选B.
4.已知椭圆的方程为2x2+3y2=m(m>0),则此椭圆的离心率为 ( )
A. 1 B. 3 C. 2 D. 1
3
3
2
2
答案
B
x2 y2
2x2+3y2=m(m>0)⇒ m + m =1,
2 3c
∴c2= m - m = m ,∴e2=1 ,∴e= 3 .故选B.
=1(0<b<1)的左、右焦点,
过点F1的直线交椭圆E于A,B两点.若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x轴,则椭圆E的方程
为
.
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解析 (1)设圆M的半径为r,则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16,又|C1C2|=8<16,∴ 动圆圆心M的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆,且2a=16,2c=8,则a=8,c=4,∴b2=48, 故所求的轨迹方程为 x2 + y2 =1.
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课标版 文数
第五节 椭圆
教材研读
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1.椭圆的定义 平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做 ① 椭圆 .这两个定点叫做椭圆的② 焦点 ,两焦点间的距离叫做椭圆的 ③ 焦距 . 集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数. (1)若④ a>c ,则集合P表示椭圆; (2)若⑤ a=c ,则集合P表示线段; (3)若⑥ a<c ,则集合P为空集.