第五节 椭圆

=1(0<b<1)的左、右焦点,
过点F1的直线交椭圆E于A,B两点.若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x轴,则椭圆E的方程
为
.
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解析 (1)设圆M的半径为r,则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16,又|C1C2|=8<16,∴ 动圆圆心M的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆,且2a=16,2c=8,则a=8,c=4,∴b2=48, 故所求的轨迹方程为 x2 + y2 =1.
a
2 3 | PF2 | 3
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2-2
(2015福建,11,5分)已知椭圆E:
x2 a2
+
y2 b2
=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的
一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l
的距离不小于 4 ,则椭圆E的离心率的取值范围是 ( )
5
A. 0,
A1(0,-a),A2(0,a), B1(-b,0),B2(b,0)
长轴A1A2的长为⑦ 2a ;短轴B1B2的长为⑧ 2b
|F1F2|=⑨ 2c
e= c ,e∈ (0，1)
a
c2=
a2-b2
3.点P(x0,y0)和椭圆的位置关系
(1)P(x0,y0)在椭圆内⇔
x02 a2
+
y02 b2
<1;
(2)P(x0,y0)在椭圆上⇔
23 6
3
3
5.已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为 5 ,且过点P(-5,4),则椭圆
5
的标准方程为
.
答案 x2 + y2 =1
c
45 36
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5
x2 y2
解析 由e= 5 可得a2=5c2,所以b2=4c2,故椭圆的方程为 5c2 + 4c2 =1,将P(-5,
4)代入可得c2=9,故椭圆的方程为 x2 + y2 =1.
43
4t 3
而 1 <e2≤ 5 ,即 2 <e≤ 5 .
2
92
3
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求椭圆离心率的常用方法: (1)直接求出a,c,利用定义求解; (2)构造a,c的齐次式,解出e.由已知条件得出关于a,c的二元齐次方程,然后转化 为关于离心率e的一元二次方程求解; (3)通过特殊值或特殊位置求出离心率.
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又∵|AF1|=3|F1B|,∴由
uuur AF1
=3
uuur F1B
得B
5c 3
,
b2 3
,代入x2+
y2 b2
=1得
25c2 9
+
b4 9b2
=1,又c2
=1-b2,∴b2= 2 .
3
故椭圆E的方程为x2+ 3 y2=1.
2
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(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法,利用椭圆的定义定形状时,一定 要注意常数2a>|F1F2|这一条件. (2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法.具体过程是先定形,再定量,即首 先确定焦点所在位置,然后根据条件建立关于a,b的方程组.如果焦点位置不确 定,那么要考虑是否有两解.有时为了解题方便,也可把椭圆方程设成mx2+ny2=1 (m>0,n>0,m≠n)的形式.
32 (4)2 5
a2
a2
44
0,
3 2
,故选A.
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直线与椭圆的位置关系 典例3 (2013课标全国Ⅰ,21,12分)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动 圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程; (2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最 长时,求|AB|.
x a
2 2
+
y2 b2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别
为F1,F2,过F2的直线交椭圆于P,Q两点,且PQ⊥PF1.
(1)若|PF1|=2+ 2 ,|PF2|=2- 2 ,求椭圆的标准方程;
(2)若|PQ|=λ|PF1|,且 3≤λ< 4,试确定椭圆离心率e的取值范围.
43
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解析 (1)由椭圆的定义,2a=|PF1|+|PF2|=(2+ 2 )+(2- 2 )=4,故a=2. 设椭圆的半焦距为c,由已知PF1⊥PF2,因此 2c=|F1F2|= | PF1 |2 | PF2 |2 = (2 2)2 (2 2)2 =2 3 , 即c= 3 ,从而b= a2 c2 =1. 故所求椭圆的标准方程为 x2 +y2=1.
45 36
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考点突破
椭圆的定义及标准方程
典例1 (1)已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且和
圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为 ( )
A. x2 - y2 =1
64 48
B. x2 + y2 =1
48 64
C. x2 - y2 =1
3
2
B.
0,
3 4
C.
3 2
,1
D.
3 4
,1
答案 A 直线l:3x-4y=0过原点,从而A,B两点关于原点对称,于是|AF|+|
BF|=2a=4,所以a=2.不妨令M(0,b),则由点M(0,b)到直线l的距离不小于4 ,得
5
4b ≥ 4 ,即b≥1.所以e2= c2 = a2c b2 = 4 b2 ≤ 3 ,又0<e<1,所以e∈
两边除以4a2,得
4
+ (λ 1 λ2 1)2 =e2.
(1 λ 1 λ2 )2 (1 λ 1 λ2 )2
若记t=1+λ+ 1 λ2 ,则上式变成
e2=
4
(t t
2
2)2
=8
1 t
1 4
2
+
1 2
.
由 3 ≤λ< 4,并注意到t=1+λ+ 1 λ2 关于λ的单调性,得3≤t<4,即 1< 1≤ 1.进
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准 方程
图形
x 2 + y2 =1(a>b>0) a2 b2
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y2 + x 2 =1(a>b>0) a2 b2
性质 a、b、c间的关系
范围
对称性 顶点
轴 焦距 离心率
-a≤x≤a -b≤y≤b
-b≤x≤b -a≤y≤a
对称轴:坐标轴;对称中心:原点
A1(-a,0),A2(a,0), B1(0,-b),B2(0,b)
解得|PF1|=
4a
,
1 λ 1 λ2
故|PF2|=2a-|PF1|= 2a(λ 1 λ2 1) .
1 λ 1 λ2
由勾股定理得
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|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=4c2,
从而
1
λ
4a 1
λ2
2
+
2a(λ 1
λ
1
1
λ2 λ2
1)
2
=4c2,
c
因为∠PF1F2=30°,所以|PF1|=2|PF2|.
由勾股定理得|F1F2|= | PF1 |2 | PF2 |2 = 3 |PF2|,
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由椭圆定义得2a=|PF1|+|PF2|=3|PF2|⇒a=
3
|
PF2 2
|
,2c=|F1F2|=
3|PF2|⇒c=
3 | PF2 | ,
2
则e= c = 3 | PF2 | · 2 = 3 .
48 64
D. x2 + y2 =1
64 48
(2)(2014辽宁,15,5分)已知椭圆C: x2 + y2 =1,点M与C的焦点不重合.若M关于
94
C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=
.
(3)(2014安徽,14,5分)设F1、F2分别是椭圆E:x2+
y2 b2
∴(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|=4c2,
∴2|PF1||PF2|=4a2-4c2=4b2,
c
∴|PF1||PF2|=2b2,
∴
SVPF1F2
=
1 2
|PF1||PF2|
= 1 ×2b2=b2=9.
2
∴b=3.
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椭圆的几何性质
典例2
(2015重庆,21,12分)如图,椭圆
64 48
(2)解法一:由椭圆方程知椭圆C的左焦点为F1(- 5 ,0),右焦点为F2( 5 ,0).则M(m, n)关于F1的对称点为A(-2 5-m,-n),关于F2的对称点为B(2 5 -m,-n),设MN的中点 为(x,y),则N(2x-m,2y-n).所以|AN|+|BN|= (2x 2 5)2 (2 y)2 + (2x 2 5)2 (2 y)2 = 2[ (x 5)2 y2 + (x 5)2 y2 ], 故由椭圆定义可知|AN|+|BN|=2×6=12.
2.椭圆x2+my2=1(m>0)的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的2倍,则m等于 ( )
A. 1 B.2 C.4 D. 1
2
4
y2
1
1
答案
D
由x2+
1
=1(m>0)及题意知,2
c
m =2×2×1,解得m=4 ,故选D.
m
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3.(2015广东,8,5分)已知椭圆
x2 25
+
y2 m2
=1(m>0)的左焦点为F1(-4,0),则m=(
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解法二:根据已知条件画出图形,如图.设MN的中点为P,F1、F2为椭圆C的焦点, 连接PF1、PF2.显然PF1是△MAN的中位线,PF2是△MBN的中位线,∴|AN|+|BN| =2|PF1|+2|PF2|=2(|PF1|+|PF2|)=2×6=12.
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(3)不妨设点A在第一象限,∵AF2⊥x轴,∴A(c,b2)(其中c2=1-b2,0<b<1,c>0).
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课标版 文数
第五节 椭圆
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1.椭圆的定义 平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做 ① 椭圆 .这两个定点叫做椭圆的② 焦点 ,两焦点间的距离叫做椭圆的 ③ 焦距 . 集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数. (1)若④ a>c ,则集合P表示椭圆; (2)若⑤ a=c ,则集合P表示线段; (3)若⑥ a<c ,则集合P为空集.
x02 a2
+
y02 b2
=1;
(3)P(x0,y0)在椭圆外⇔
x02 a2
+ y02
b2
>1.
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1.已知F1,F2是椭圆
x2 16
+
y2 9
=1的两焦点,过点F2的直线交椭圆于A,B两点.在△AF1
B中,若有两边之和是10,则第三边的长度为 ( )
A.6 B.5 C.4 D.3
答案 A 根据椭圆的定义,知△AF1Bc的周长为4a=16,故所求的第三边的长 度为16-10=6.
2-1
设F1,F2分别是椭圆C:
x a
2 2
+
y2 b2
=1(a>b>0)的左,右焦点,点P在椭圆C上,线段
PF1的中点在y轴上,若∠PF1F2=30°,则椭圆C的离心率为
.
答案
3 3
解析 如图,设PF1的中点为M,连接PF2.
因为O为F1F2的中点,所以OM为△PF1F2的中位线.
所以OM∥PF2,所以∠PF2F1=∠MOF1=90°.
)
A.2 B.3 C.4 D.9
答案 B 依题意有25-m2=16,∵m>c0,∴m=3.选B.
4.已知椭圆的方程为2x2+3y2=m(m>0),则此椭圆的离心率为 ( )
A. 1 B. 3 C. 2 D. 1
3
3
2
2
答案
B
x2 y2
2x2+3y2=m(m>0)⇒ m + m =1,
2 3c
∴c2= m - m = m ,∴e2=1 ,∴e= 3 .故选B.
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1-1
已知F1、F2是椭圆C:
x a
2 2
+
y2 b2
=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上的一
uuur uuur
点,且 PF1 ⊥ PF2 .若△PF1F2的面积为9,则b=
.
答案 3
uuur uuur
解析 ∵|PF1|+|PF2|=2a, PF1 ⊥ PF2 ,
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,
4
(2)如图,由PF1⊥PQ,|PQ|=λ|PF1|,得 |QF1|= | PF1 |2 | PQ |2 = 1 λ2 |PF1|. 由椭圆的定义,|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a,进而 |PF1|+|PQ|+|QF1|=4a.
于是(1+λ+ 1 λ2 )|PF1|=4a,
解析 由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r 2=3. 设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.
c
(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以 |PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4.
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由椭圆的定义可知,曲线C是以M、N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长 为 3 的椭圆(左顶点除外),其方程为 x2 + y2 =1(x≠-2).
43
(2)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,所以R≤2,当且仅 当圆P的圆心为(2,0)时,R=2. 所以当圆P的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4. 若l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得|AB|=2 3. 若l的倾斜角不为90°,由r1≠R知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,