偏微分方程期末考试试题(07)

课程名称：偏微分方程数值解法 课程编号：24014110 适用专业（班级）：数学 共1页 命题人：潘晓丽 教研室主任： 第1页

一、（15分）求方程2220xx xy yy x y x u xyu y u xu yu -+++=的通解。

二、（10分）解固有值问题()

()()'''3001010

y y y x y y λ++=<<⎧⎪⎨

==⎪⎩

三、（10分）写出二阶线性偏微分方程的分类和标准式。

四、（15分）求半无界弦的自由振动问题

()()()()()()20,0,00

0,,0,tt xx t u a u t x u t u x x u x x ϕφ⎧=>>⎪

=⎨⎪

==⎩ 五、（15分）计算积分(),1

0dx x p n ⎰n 为偶数。

六、（15分）将函数()0

1121

1

x f x x x αα

α-<<⎧⎪⎪

==⎨

⎪<<⎪⎩按勒让德多项式展开。

七、（10分）截面为矩形的无穷长棱柱，内部无热源，两相对侧面与外界绝热，另

两相对侧面温度分别保持零度和与高度无关的稳恒分布，求此棱柱的温度分布。 八、（10分）写出Legendre 多项式的各种表示。

课程名称：偏微分方程数值解法 课程编号：24014110 适用专业（班级）：数学 共1页 命题人：潘晓丽 教研室主任： 第1页

一、解：首先判别方程的类型，

2

22221211220a a a x y x y ∆=-=-=

即此方程在整个全平面上都是抛物型的。 特征方程为：()()2

2

2220x dy xydxdy y dx ++= 只有一族特征曲线，()2

00xdy ydx xdy ydx +=⇒+= 有

ln ln dy dx

y x c xy c

y x

=-⇒+=⇒= 做变量替换，令xy y ξη=⎧⎨=⎩，其中0y ≠，001y x J y ==≠

由链式法则

x u yu ξ= y u xu u ξη=+

2xx u y u ξ=

xy u u xyu yu ξξξξη=++

22yy u x u xu u ξξξηηη=++ 代入原方程得

20u u ηηηηη+=，因为0y η=≠，有0u u ηηηη+=

令u v η=，则1

00v v v v ηηηη

+=⇒+

= 1

00v v v v ηηηη+=⇒+=dv v

dv d d v η

ηη

η

⇒=-

⇒

=-

有()()

ln ln c v c

v u ηξηξη

+=⇒==

即()ln v c

v u ηξη

+=⇒==

通解()()()()ln ln u c d c xy y d xy ξηξ=+=+

二、解：解：首先将方程化成S-L 型方程，方程两端同时乘以x e ，有

()''30x

x

e y e

y λ+=

此方程为S-L 型方程，所以0n λ≥，又因为两端出现的是第一类边界条件，所以无零

固有值。 设20k λ=>，

方程'''30y y y λ++=的特征方程为230k k λ++=，有12

k -=

当1

12

λ<时，方程通解为()x x y x Ce De

⎝

⎭

⎝

⎭

=+

而()()010y y ==，得0C D ==

当112λ=时，1

2

k =-，方程通解为()()12x y x C Dx e -=+

而()()010y y ==，得0C D ==

当112λ>时，方程通解为()1

2

cos sin 22x y x C x D x e -⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭

()00y c ==，()1210y D n π-==⇒= 得固有值为()221

4112

n n λπ=

+，1,2n =

相应的固有函数为()12

sin x n y x e

n x π-=

三、解：()()()[]()⎰+-+-++=

at x at x d a at x at x t x u ξξφϕϕ2121

, ……………………….5分 ()()()[]⎰+-+-++=at

x at

x d a at x at x t x u ξξcos 21sin sin 21,

()()[]at x at x a at x --++=sin sin 21

cos sin ……………………….10分 at x a

at x sin cos 1

cos sin += ……………………….15分

四、解：作辅助函数

()()()()()(),

0,

0,0,0

x x x x x x x x x x ϕψϕψ≥≥⎧⎧⎪⎪Φ=ψ=⎨

⎨

--<--<⎪⎪⎩⎩

由达朗贝尔公式得

()()()()11,22x at

x at u x t x at x at d a

ξξ+-=Φ++Φ-+ψ⎡⎤⎣⎦⎰ ()()()()()()1

1,2211,22x at x at x at at x

x

x at x at d t a a x x at at x d t a a

ϕϕψξξϕϕψξξ+-+-⎧++-+≤⎡⎤⎣⎦⎪⎪=⎨

⎪+--+>

⎡⎤⎣

⎦⎪⎩⎰⎰ 五、解：()()()1

111001

''21

n n n p x dx p x p x dx n +-=

-⎡⎤⎣⎦+⎰⎰ ()()1

110121n n p x p x n +-=-⎡⎤⎣⎦+ ()()111

0021n n p p n -+=-⎡⎤⎣

⎦+ 因为n 为偶数，所以1-n ，1+n 为奇数，有()()11000n n p p -+==

故

()01

=⎰dx x p n

六、解：解：()()()()000

1

n n n n n n f x c p x c p x c p x ∞

∞====+∑∑，计算系数有

()()()11001111

1222

c f x p x dx dx αα-=

==-⎰⎰