正交矩阵的性质及其应用 2

学号 20090501050227

密级

兰州城市学院本科毕业论文正交矩阵的性质及应用

学院名称：数学学院

专业名称：数学与应用数学

学生姓名：苏志升

指导教师：宋雪梅

二○一三年五月

BACHELOR’S DEGREE THESIS

OF LANZHOU CITY UNIVERSITY

Properties and Applications of Orthogonal

Matrix

College ：Mathematics College

Subject ：Mathematics and Applied Mathematics

Name ：Su Zhisheng

Directed by ：S ong Xuemei

May 2013

郑重声明

本人呈交的学位论文，是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，所有数据、资料真实可靠。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含他人享有著作权的内容对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确的方式标明。本学位论文的知识产权归属于培养单位。

本人签名：日期：

摘要

本文给出了正交矩阵的性质并列举了正交矩阵的多个性质。研究正交矩阵在空间坐标旋转中的作用。

关键词：正交矩阵；性质；标准正交基；特征多项式；应用

ABSTRACT

Orthogonal matrix is made up of inner product lead. This paper illustrates several properties of orthogonal matrix and to give the proof. Study the role of orthogonal matrix in space coordinate rotation, and the matrix analysis of typical cases, and illustrates the application of matrix.

Key words:orthogonal matrix; Rotation matrix; Orthonormal basis; Characteristic value; The application.

目录

第一章引言 (1)

第二章正交矩阵及其性质 (2)

2.1 正交矩阵的定义 (2)

2.2 正交矩阵的性质 (2)

2.3 正交矩阵的判定 (7)

第三章正交矩阵的应用 (12)

结论......................................................................................................... 错误！未定义书签。参考文献 . (17)

致谢 (18)

第一章引言

矩阵是数学中的一个重要的基本概念,是代数学的一个主要研究对象,也是数学研究和应用的一个重要工具．“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的,他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语．而实际上,矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了．从行列式的大量工作中明显的表现出来,为了很多目的,不管行列式的值是否与问题有关,方阵本身都可以研究和使用,矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的．在逻辑上,矩阵的概念应先于行列式的概念,然而在历史上次序正好相反．

凯莱先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来,同研究线性变换下的不变量相结合,首先引进矩阵以简化记号并发表了关于这个题目的一系列文章．1858年,他发表了关于这一课题的第一篇论文矩阵论的研究报告,系统地阐述了关于矩阵的理论．文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念,指出了矩阵加法的可交换性与可结合性．另外,凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果．在矩阵论的发展史上,弗罗伯纽斯(G．Frobenius,1849～1917)的贡献是不可磨灭的．他讨论了最小多项式问题,引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念,以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论,并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质．1854年,约当研究了矩阵化为标准型的问题．1892年,梅茨勒(H．Metzler)引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式．傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题,这主要是适用方程发展的需要而开始的．

在矩阵理论中,经常利用矩阵来描述变换．在实空间中正交变换保持度量不变,而正交变换中对应的变换矩阵就是正交矩阵,所以对正交矩阵的研究就显得格外重要．矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质,矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展,现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论．而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论．矩阵的应用是多方面的,不仅在数学领域里,而且在化学、力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用．

第二章 正交矩阵及其性质

本文中在没有特别说明的情况下,A 都表示为正交矩阵,记矩阵A 的秩为

()r A ,i α与j α为矩阵A 的第i 列与第j 列,'i a 表示矩阵A 的第i 行.det A 表示行

列式的值即det A =A ．

2.1 正交矩阵的定义

定义2.1.1[]1 设A 是n 阶实方阵，如果E AA =',则称A 是正交矩阵．

例如 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001，⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-θθ

θθ

cos sin sin cos ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--313

23

232

313

2

32323

1都是正交矩阵． 根据定义，易见正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵，()ij A a =为正交矩阵当且仅当A 可逆且1T A A -=,这也等价于

⎩

⎨⎧≠==+++.,0,

,12211j i j i a a a a a a nj ni j i j i

或

⎩

⎨⎧≠==+++.,0,

,12211j i j i a a a a a a jn in j i j i

2.2 正交矩阵的性质

性质1 设A 为正交矩阵，则 ()1 1A =±；

()2 A 可逆,且1-A 也是正交矩阵；

证明 ()1由A A

E '=,可知2

1A =,则1A =±．

()2由E A A ='可知,A 可逆且.1

A A '=-又1

11

)()()(---==''='A A A A ,故1

-A 是正交

矩阵．

对正交矩阵A ，当1A =时,我们称A 为第一类正交矩阵；当1-=A 时,则称A

为第二类正交矩阵．

性质2 设,A B 都是n 阶正交矩阵,则