正交矩阵的性质及其应用 2
正交矩阵及其在数学建模中的应用
正交矩阵及其在数学建模中的应用正交矩阵是一种特殊的方阵，其每一行（或每一列）互相垂直且归一化。
其数学特性和应用十分广泛，在数学建模中也有重要的应用。
首先，我们来看一下正交矩阵的基本概念和性质。
正交矩阵的定义是满足 $A A^T = A^T A = I$ 的方阵$A$，其中 $I$ 是单位矩阵。
其中 $A^T$ 表示 $A$ 的转置矩阵。
这里需要注意的是，正交矩阵不一定是方阵，但是一定是列满秩的。
正交矩阵有一个重要的性质是保持向量的模长和内积不变。
具体来说，设 $A$ 是一个 $n \times n$ 的正交矩阵，$x$ 和 $y$ 是$n$ 维向量，则有 $||Ax|| = ||x||$ 和 $<Ax, Ay> = <x, y>$。
这个性质在数学和物理中有广泛的应用。
正交矩阵在数学中有很多重要的应用。
其中一个是它可以用来描述旋转操作。
具体来说，设 $A$ 是一个 $n \times n$ 的正交矩阵，$x$ 是 $n$ 维向量，则 $Ax$ 可以看做将向量 $x$ 绕某个轴旋转一个角度后得到的向量。
这个在三维几何中有着非常广泛的应用。
另一个重要的应用是在信号处理中。
通常情况下，我们需要对信号进行傅里叶变换以提取频率信息。
然而，傅里叶变换只适用于周期性信号，而实际上很多信号并不是周期性的。
因此，我们需要寻找一种方法将非周期性信号转化为周期性信号来进行傅里叶变换。
正交矩阵可以作为一种有效的转换方式，在信号处理中得到广泛的应用。
除此之外，正交矩阵还在机器学习和图像处理中有不少应用。
例如，PCA算法（主成分分析）中利用的就是正交矩阵的性质。
在图像处理中，通过对图像进行奇异值分解并将其分解为正交矩阵和奇异值矩阵，我们可以实现对图像的压缩和降噪等效果。
综上所述，正交矩阵作为一种重要的数学工具，在不同领域中都有广泛的应用。
不仅能够描述旋转操作，还能够用来处理非周期性信号、实现图像压缩和降噪等效果。
正交矩阵运算法则
正交矩阵运算法则正交矩阵是线性代数中的一种重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
在本文中，我们将介绍正交矩阵的定义和性质，并探讨如何使用正交矩阵进行运算。
一、正交矩阵的定义正交矩阵是指满足以下条件的方阵：其转置矩阵等于其逆矩阵。
换句话说，对于一个n阶正交矩阵A，有A^T * A = I，其中I是单位矩阵。
二、正交矩阵的性质1. 正交矩阵的行列式的绝对值等于1。
这是由于行列式的性质以及正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵。
2. 正交矩阵的行（列）向量是单位向量且两两正交。
这是由于正交矩阵的定义以及其转置矩阵等于其逆矩阵。
3. 正交矩阵的行（列）向量构成一组正交归一基。
这是由于正交矩阵的定义以及其行（列）向量是单位向量且两两正交。
4. 正交矩阵的转置矩阵也是正交矩阵。
这是由于正交矩阵的定义以及转置矩阵的转置等于原矩阵。
5. 两个正交矩阵的乘积仍然是正交矩阵。
这是由于正交矩阵的定义以及矩阵乘法的性质。
三、正交矩阵的运算法则1. 正交矩阵与向量的乘积对于一个n阶正交矩阵A和一个n维列向量x，它们的乘积Ax表示将向量x绕原点进行旋转和伸缩的变换。
由于正交矩阵的行（列）向量是单位向量且两两正交，所以乘积Ax后的向量也是单位向量。
同时，由于正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，所以可以通过A^T * Ax = x来恢复原始向量x。
2. 正交矩阵的乘法两个正交矩阵的乘积仍然是正交矩阵。
这是由于正交矩阵的定义以及矩阵乘法的性质。
例如，设A和B都是n阶正交矩阵，则有(A * B)^T * (A * B) = B^T * A^T * A * B = B^T * B = I。
这说明了两个正交矩阵的乘积仍然是正交矩阵。
3. 正交矩阵的转置正交矩阵的转置矩阵也是正交矩阵。
这是由于正交矩阵的定义以及转置矩阵的转置等于原矩阵。
例如，设A是一个n阶正交矩阵，则有(A^T)^T * A^T = A * A^T = I。
这说明了正交矩阵的转置矩阵也是正交矩阵。
正交矩阵与正交变换
正交矩阵与正交变换正交矩阵和正交变换在数学和物理学领域具有重要的地位和应用。
它们被广泛用于描述旋转、镜像、对称性等问题。
本文将介绍正交矩阵和正交变换的概念、性质和应用。
一、正交矩阵的概念和性质正交矩阵是一个实矩阵，其列向量两两正交且长度为1。
简言之，正交矩阵的转置与逆矩阵相等。
正交矩阵的定义可以表示为：若矩阵A的转置与逆矩阵相等，则A为正交矩阵。
由正交矩阵的性质可知，正交矩阵的行向量也是两两正交且长度为1。
正交矩阵的性质还包括以下几点：1. 正交矩阵的行列式等于1或-1；2. 正交矩阵的任意两列（行）满足内积等于0，任意一列（行）的长度为1；3. 正交矩阵的转置等于逆矩阵。
正交矩阵的一个重要应用是在旋转变换中。
将一个向量乘以一个正交矩阵，相当于对该向量进行了旋转变换。
这是因为正交矩阵的列向量构成了一个正交基，可以用于表示旋转方向和角度。
二、正交变换的概念和性质正交变换是指在二维或多维空间中，保持长度和角度不变的线性变换。
正交变换可以由正交矩阵表示，应用于几何学、物理学、图形学等领域。
正交变换的一个典型例子是旋转变换。
通过定义旋转角度和旋转轴，可以得到对应的正交矩阵，然后将该矩阵应用于向量，实现向量的旋转。
正交变换的性质包括：1. 正交变换保持向量长度不变。
即对于向量x，有 ||Tx|| = ||x||，其中T表示正交变换。
2. 正交变换保持向量之间的夹角不变。
即对于向量x和y，有cos(θ) = cos(Tx, Ty)，其中θ表示向量x和y之间的夹角，Tx和Ty表示应用正交变换T后的向量。
三、正交矩阵与正交变换的应用正交矩阵和正交变换在众多学科和领域中具有广泛应用，以下列举几个常见的应用领域：1. 几何学中的坐标变换：正交变换可以实现向量在不同坐标系之间的转换，例如平移、旋转和缩放等操作。
2. 物理学中的对称性：正交矩阵和正交变换被用于描述物理系统的对称性，如空间反演、时间反演等。
3. 图形学中的变换：正交变换被广泛应用于图形学中的三维模型变换和视图变换，实现图形的旋转、缩放和投影等操作。
正交矩阵的一些有用性质及应用
，A A ， 若存在正交矩阵 Q R
T
nn
， 使得 B Q AQ ， 则有 B
T
F
AF
证明：因为 A 为 n 阶实对称矩阵，所以 A 有 n 个实特征值，设其特征值为 1 , 2 , , n ， 则 A
2 F 2 aij tr ( AT A) tr ( A2 ) i 1 j 1 n n
正交矩阵的一些有用性质及应用
定义：设 P R
nn
，且 PP I （ I 为 n 阶单位矩阵） ，则称 P 为正交矩阵
T n
设正交矩阵 P [ P （ Pi R ， i 1,2, , n ） 1, P 2 , , P n ]， 则有 Pi Pj
T
1，i j ， i, j 1,2, , n 0，i j
因为 A 为实对称矩阵，所以 A 可正交对角化，即存在正交矩阵 P R
nn
， P P ，使得
T
1
P T AP diag (1 , 2 , , n ) ，所以 A PP T ， A2 P2 P T
设 P [P 1, P 2 , , P n ] ，则
T P 1 T n 2 2 2 P 2 A2 P2 P T [ P i2 Pi Pi T 1, P 2 , , P n ]diag (1 , 2 , , n ) i 1 T Pn
由此得 tr ( P 1P 1 ) p11 p21 pn1 1 ，而 tr ( P 1 P 1) 1
T 2 2 2 T
这也验证了关于矩阵秩的一条重要性质： 设矩阵 A R
mn
， BR
nm
，则 tr ( AB ) tr ( BA)
线性代数中的正交矩阵与正交变换
线性代数中的正交矩阵与正交变换线性代数是现代数学的基础理论之一，它在各个领域中起到了重要的作用。
其中，正交矩阵和正交变换是线性代数中的重要概念之一。
本文将深入探讨正交矩阵和正交变换的定义、性质以及在实际问题中的应用。
一、正交矩阵的定义与性质首先，我们来了解正交矩阵的定义。
在线性代数中，一个方阵A称为正交矩阵，当且仅当满足以下条件：1. A的转置矩阵A^T等于它的逆矩阵A^(-1)。
2. A的所有列向量互为正交向量。
3. A的所有列向量的模长都等于1。
基于上述定义，我们可以推导出正交矩阵的一些重要性质。
1. 正交矩阵的行向量以及列向量都是单位向量，即长度为1的向量。
2. 正交矩阵的行向量两两正交，列向量两两正交。
3. 正交矩阵的转置矩阵就是它的逆矩阵。
二、正交变换的概念与性质正交变换是指保持向量的长度和夹角不变的线性变换。
在线性代数中，我们可以通过正交矩阵进行正交变换。
具体而言，设A是一个正交矩阵，x是一个向量，那么正交变换可以表示为Ax。
正交变换具有以下重要性质：1. 正交变换可以将一个向量映射为另一个向量，同时保持向量的长度和夹角不变。
2. 正交变换的矩阵一定是正交矩阵，即正交矩阵其实就是表示正交变换的矩阵。
3. 正交变换是线性变换的一种特殊情况，其满足线性变换的加法和数乘运算。
三、正交矩阵与正交变换在实际问题中的应用正交矩阵与正交变换在实际问题中有广泛的应用。
以下举例说明：1. 三维图形的旋转在三维计算机图形学中，我们经常需要对三维图形进行旋转操作。
而正交矩阵正好可以用来表示三维空间中的旋转。
通过构造一个特定的正交矩阵，我们可以实现对三维图形的旋转变换。
2. 傅里叶变换傅里叶变换是一种在信号处理和图像处理中广泛应用的方法。
正交矩阵在傅里叶变换中起到了重要作用，通过将输入信号与正交矩阵相乘，可以实现频域上的变换，提取信号的频谱信息。
3. 数据压缩与图像处理正交矩阵和正交变换也被广泛应用于数据压缩和图像处理领域。
正交矩阵知识点总结
正交矩阵知识点总结正交矩阵是线性代数中的重要概念，它具有许多特殊的性质和应用。
本文将从定义、性质和应用三个方面对正交矩阵进行总结。
一、定义正交矩阵是指满足以下条件的方阵：它的转置等于它的逆矩阵。
换句话说，设A是一个n阶方阵，若满足AT·A=AA·T=I（其中I是单位矩阵），则称A为正交矩阵。
二、性质1. 正交矩阵的行（列）向量是单位向量且两两正交。
具体来说，设A是一个n阶正交矩阵，其第i行（列）向量记作ai（aiT），则有ai·aiT=1，ai·ajT=0（i≠j）。
这意味着正交矩阵的行（列）向量长度为1且彼此垂直。
2. 正交矩阵的行列式的值只能是±1。
这是由于正交矩阵的行（列）向量长度为1，所以它们的行列式值为1或-1，从而整个矩阵的行列式值也只能是这两个值。
3. 正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵。
设A是一个n阶正交矩阵，则A的逆矩阵A-1也是正交矩阵。
这是因为(A-1)T·(A-1)=A-1·AT=I，满足正交矩阵的定义。
4. 两个正交矩阵的乘积仍然是正交矩阵。
设A和B分别是n阶和m阶正交矩阵，它们的乘积AB是一个n阶正交矩阵。
这是由于(AB)T·(AB)=BTA·AB=BT·(A·A)·B=BT·IB=B·B=I。
5. 正交矩阵的转置也是正交矩阵。
设A是一个n阶正交矩阵，则它的转置AT也是正交矩阵。
这是因为(AT)T·(AT)=A·A=I。
三、应用1. 坐标系变换：正交矩阵可以用于坐标系的旋转和变换。
设A是一个二维正交矩阵，它的列向量表示一个坐标系的基向量，那么对于一个向量x，通过矩阵乘法Ax即可得到它在新坐标系下的表示。
2. 正交变换：正交矩阵可以保持向量的长度和夹角不变。
例如，对于一个二维向量x，若A是一个正交矩阵，那么||Ax||=||x||，且x·y=(Ax)·(Ay)，其中||·||表示向量的长度，·表示向量的内积。
线性代数中的正交变换与正交矩阵
线性代数中的正交变换与正交矩阵线性代数是一门研究向量空间及其运算规律的数学学科，正交变换和正交矩阵是其中重要的概念之一。
本文将介绍正交变换和正交矩阵的定义、性质以及其在线性代数中的应用。
一、正交变换的定义与性质正交变换是指一种保持向量内积不变的线性变换。
设V是一个n维向量空间，线性变换A:V→V是一个正交变换，当且仅当满足以下条件：1. 对于V中任意两个向量u、v，有(Au)·(Av) = u·v，其中·表示两个向量的内积；2. A是一个满秩的矩阵，即A的行与列都线性无关。
正交变换具有以下重要性质：1. 正交变换保持向量的长度不变，即对于任意向量v，有||Av|| = ||v||，其中||v||表示向量的长度；2. 正交变换保持向量之间的夹角不变，即对于任意向量u、v，有夹角(Au, Av) = 夹角(u, v)，其中夹角(u, v)表示向量u和v之间的夹角；3. 正交变换的逆变换也是正交变换，即如果A是一个正交变换，则存在一个矩阵B，使得AB = BA = I，其中I是单位矩阵；4. 正交变换的矩阵表示是一个正交矩阵。
二、正交矩阵的定义与性质正交矩阵是指行列式的值为1或-1的实矩阵。
设A是一个n×n的矩阵，如果A满足以下条件，则称A是一个正交矩阵：1. A的转置矩阵A^T与A的乘积等于单位矩阵，即A^T × A = I；2. A的行（或列）向量构成一组标准正交基。
正交矩阵具有以下重要性质：1. 正交矩阵乘积依然是一个正交矩阵，即如果A和B都是正交矩阵，则AB也是正交矩阵；2. 正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，即如果A是一个正交矩阵，则A^T是其逆矩阵；3. 正交矩阵的行（或列）向量是一组标准正交基，即正交矩阵的行（或列）向量互相正交且长度为1；4. 正交矩阵的行列式的值为1或-1，即|A| = 1或|A| = -1。
三、正交变换与正交矩阵的应用正交变换和正交矩阵在线性代数中有着广泛的应用。
正交矩阵的性质以及在物理中的应用
正交矩阵的性质以及在物理中的应用正交矩阵被广泛地应用在数学和物理学中。
正交矩阵是一种特殊的矩阵，它可以用来表示旋转或变形。
这种特殊的矩阵在多个领域中都有着重要的应用。
正交矩阵在旋转、变换、编码、谱分析等领域中都有广泛的应用。
特别是在物理学中，正交矩阵的应用非常广泛，下文就探讨正交矩阵的性质以及在物理中的应用。
正交矩阵的性质正交矩阵是一种特殊的矩阵，它有很多重要的性质。
首先，正交矩阵中的所有列和行都是单位向量。
其次，正交矩阵的行和列都是正交的。
另外，正交矩阵的行列式的值为 1 或 -1，这意味着对于任何一个正交矩阵，其行列式的值一定是 ±1。
正交矩阵还具有下面的性质：1. 正交矩阵的逆矩阵等于它的转置矩阵。
2. 任何两个相同大小的正交矩阵的乘积也是正交矩阵。
3. 对于任何一个正交矩阵，它的每个元素的平方加起来等于1。
正交矩阵在物理中的应用正交矩阵在物理中有着广泛的应用。
下面将介绍正交矩阵在物理中的应用。
1. 旋转变换正交矩阵最常见的应用是进行旋转变换。
在三维空间中，我们可以用一个 3x3 的正交矩阵来表示一个旋转变换。
对于任何一个旋转矩阵 Q，可以使用它来将一个向量 x 旋转一定的角度θ，公式如下：y = Qx其中，y 是旋转变换之后的向量，x 是原始向量，Q 是旋转矩阵。
2. 相对论物理学中的洛伦兹变换在相对论物理学中，一个参考系可以被视为是在另一个参考系下运动的坐标系。
当两个参考系的相对速度不同时，它们之间的关系可以用洛伦兹变换来描述。
洛伦兹变换可以被表示为一个特殊的正交矩阵。
3. 量子力学中的波函数量子力学中的波函数也可以用正交矩阵来表示。
在量子力学中，波函数是描述粒子在空间中的概率分布的函数。
为了计算波函数，我们需要将一个三维空间中的向量投影到一个称为 Hilbert 空间的无限维向量空间中。
这个过程可以用一个正交矩阵来实现。
4. 编码与解码在数字通信中，为了保证通信的可靠性和隐私性，我们需要对数据进行编码和解码。
正交矩阵和单位正交矩阵
正交矩阵和单位正交矩阵正交矩阵和单位正交矩阵是线性代数中常用的概念，它们在许多领域中都有广泛的应用。
本文将详细介绍正交矩阵和单位正交矩阵的定义、性质、以及它们在实际问题中的应用。
一、正交矩阵的定义和性质正交矩阵是指满足下列条件的方阵：1. 该矩阵的转置与其逆矩阵相等，即A^T = A^(-1)。
2. 矩阵A的列向量两两正交，即列向量之间的内积等于零。
这两个条件可以合并为一个条件，即正交矩阵的转置等于其逆矩阵，即A^T = A^(-1)。
正交矩阵的性质：1. 正交矩阵的行向量和列向量长度都为1，即||A_i|| = ||A^T_j|| = 1。
2. 相乘的两个正交矩阵的结果仍然是正交矩阵。
3. 正交矩阵的行列式的绝对值等于1或-1。
二、单位正交矩阵的定义和性质单位正交矩阵是一种满足下列条件的正交矩阵：1. 单位正交矩阵的转置等于其逆矩阵，即Q^T = Q^(-1)。
2. 单位正交矩阵的行向量和列向量长度都为1，即||Q_i|| = ||Q^T_j|| = 1。
单位正交矩阵的性质：1. 单位正交矩阵的行向量和列向量两两正交，即行向量和列向量之间的内积等于零。
2. 单位正交矩阵的行列式的值为1或-1。
3. 单位正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，即Q^(-1) = Q^T。
三、正交矩阵和单位正交矩阵的应用正交矩阵和单位正交矩阵在许多领域中都有广泛的应用，下面以几个典型的应用来说明：1. 坐标变换：正交矩阵可以用于坐标变换，例如二维或三维图形的旋转、缩放和平移等操作。
利用单位正交矩阵进行坐标变换可以简化计算，并且保持图形的形状和大小不变。
2. 特征值问题：在矩阵的特征值问题中，正交矩阵经常出现。
特征向量对应的单位正交矩阵可以用来描述旋转或反射操作，在图像处理和计算机图形学中有广泛应用。
3. 信号处理：正交矩阵在信号处理中起到了重要的作用，例如傅里叶变换中的正交性质可以用正交矩阵来解释，正交矩阵还可以用于信号的压缩和降噪等操作。
线性代数中的正交矩阵性质与使用注意事项
线性代数中的正交矩阵性质与使用注意事项线性代数是数学的一个重要分支，研究向量空间和线性映射的性质与结构。
在线性代数中，正交矩阵是一个非常重要的概念，它具有许多独特的性质和应用。
本文将探讨正交矩阵的性质以及在实际应用中的注意事项。
首先，正交矩阵是指一个方阵，其列向量两两正交且长度为1。
这意味着正交矩阵的转置等于其逆，即Q^T = Q^(-1)。
这个性质非常重要，因为它保证了正交矩阵的行列式值为1或-1。
这一性质在许多应用中起到了关键作用，例如在旋转变换中，正交矩阵可以用来保持向量的长度和夹角不变。
其次，正交矩阵的行向量和列向量都构成一个标准正交基。
标准正交基是指向量之间两两正交且长度为1的向量组。
正交矩阵的行向量和列向量都满足这一条件，因此它们可以作为一个标准正交基来表示向量空间中的向量。
这个性质在计算机图形学和信号处理等领域中得到了广泛应用，例如在三维空间中，可以使用正交矩阵来表示旋转和变换操作。
此外，正交矩阵具有保持向量长度和夹角不变的性质。
当一个向量与一个正交矩阵相乘时，其长度和夹角都不会发生改变。
这一性质在许多实际问题中非常有用，例如在图像处理中，可以使用正交矩阵来进行图像的旋转和缩放操作，而不会改变图像中物体的形状和大小。
然而，在使用正交矩阵时，也需要注意一些问题。
首先，正交矩阵的计算可能会涉及到复杂的数学运算，特别是在高维空间中。
因此，在实际应用中，需要使用适当的数值方法来计算正交矩阵，以避免计算误差和数值不稳定性。
其次，正交矩阵的乘法不满足交换律，即AB不一定等于BA。
这一性质需要在使用正交矩阵时予以注意，特别是在矩阵相乘的顺序对结果产生影响的情况下。
例如，在图像处理中，如果先进行旋转再进行缩放，与先进行缩放再进行旋转得到的结果可能会不同。
最后，正交矩阵的逆等于其转置，因此正交矩阵是可逆的。
这一性质在求解线性方程组和计算矩阵的特征值和特征向量时非常有用。
然而，需要注意的是，正交矩阵的逆可能会导致数值不稳定性，特别是在接近奇异矩阵的情况下。
正交矩阵的概念
正交矩阵的概念正交矩阵是在数学领域中一种非常常见的概念。
它是一种矩阵，可以表示一系列线性变换。
正交矩阵可以把一个多维空间中的一组向量投影到另一个多维空间中，使得这组向量之间的点积和方向向量中的夹角均为90°。
正交矩阵的性质正交矩阵有以下几个性质：1、正交矩阵是一种方阵，即矩阵的行数和列数相同，行列式的值为1或-1。
2、正交矩阵是对角矩阵的特殊情况，对角线上的元素均为1或-1，其余元素均为0。
3、正交矩阵的元素乘积等于元素的乘积的逆矩阵，即A * A^(-1) = I，其中I为单位矩阵。
4、正交矩阵的转置等于其逆矩阵，即A = A^(-1)。
正交矩阵的应用正交矩阵在数据处理和矩阵运算中有着广泛的应用，其优点包括： 1、可以有效地简化矩阵运算，因为正交矩阵的乘积也是一个正交矩阵；2、可以有效地把一个多维空间中的一组向量投影到另一个多维空间中，使得这组向量之间的点积和方向向量中的夹角均为90°，从而提高数据分析的精度和计算效率；3、正交矩阵可以有效地处理稀疏数据，从而提高算法的性能；4、正交矩阵可用于消去系统中的噪声，可以有效地提高信号/图像的质量。
正交矩阵的定义正交矩阵是一种特殊的矩阵，它的元素满足特定的条件：1、对角线上的元素必须为1或-1；2、对角线之外的元素必须为0；3、对角线外的元素之间的乘积必须相等（其乘积一定为0）；4、元素的乘积等于元素的乘积的逆矩阵，即A * A^(-1) = I，其中I为单位矩阵；5、正交矩阵的转置等于其逆矩阵，即A = A^(-1)。
总结正交矩阵是数学中一种非常常见的概念。
它具有对角线为1或-1、对角线之外的元素为0、元素乘积等于元素的乘积的逆矩阵、正交矩阵的转置等于其逆矩阵等特殊性质，广泛应用于数据处理和矩阵运算中，可以提高算法的性能，有效地消除系统中的噪声，提高信号/图像的质量。
正交矩阵的性质及其应用
正交矩阵的性质及其应用正交矩阵是矩阵理论中一类非常重要的矩阵，它拥有许多优良的性质，并且在实际应用中也有着广泛的应用。
本文将针对正交矩阵的性质及其应用展开详细的讨论。
正交矩阵的定义正交矩阵是指一个方阵，满足其转置矩阵和其自身的乘积等于单位矩阵。
即：$A^TA=I$其中，A为正交矩阵，I为单位矩阵。
正交矩阵的性质正交矩阵作为一个特殊的矩阵，具有许多优良的性质：1、正交矩阵的列是一个规范正交基对于一个正交矩阵A，其列向量构成了一个规范正交基。
即，每个列向量都是一个长度为1的向量，且任意两个列向量之间的内积为0。
由于正交矩阵的列是一个规范正交基，因此可以将其用于线性变换。
例如，如果一个向量v乘以一个正交矩阵A，那么就相当于对v进行了一次线性变换，将v从一个坐标系转换到了另一个坐标系。
由于A的列是一个规范正交基，因此该变换可以保持向量的长度和夹角不变。
2、正交矩阵的行也是一个规范正交基和列向量类似，正交矩阵的行向量也构成了一个规范正交基。
具体来说，正交矩阵的每一行都是一个长度为1的向量，且任意两行向量之间的内积为0。
3、正交矩阵是一个保角映射由于正交矩阵会保持向量的长度和夹角不变，因此它是一个保角映射。
即，它保持任意两个向量的夹角不变。
4、正交矩阵的逆等于其转置正交矩阵的逆等于其转置矩阵。
即：$A^{-1}=A^T$这个公式也可以表示为：$AA^T=I$这个公式可以理解为，正交矩阵的行和列构成了一个完整的规范正交基，因此它的逆矩阵和转置矩阵相等。
正交矩阵的应用由于正交矩阵具有这些优良的性质，因此在许多实际应用中都有着广泛的应用。
1、理解相关矩阵的内积对于一个矩阵A和B，可以通过它们的内积来度量它们的相关性。
具体来说，它们的内积等于它们的元素对应相乘后的和。
例如：$A·B=\sum_{i,j}{A_{i,j}B_{i,j}}$如果A和B都是正交矩阵，那么它们的内积就非常有用了。
由于正交矩阵的列都是一个规范正交基，因此它们之间的内积都等于0或1。
正交矩阵概念
正交矩阵概念正交矩阵概念正交矩阵是线性代数中的一个重要概念，它具有许多重要的性质和应用。
本文将从定义、性质、构造和应用四个方面详细介绍正交矩阵的概念。
一、定义1.1 矩阵的定义在线性代数中，矩阵是由一组数排成若干行若干列的表格形式表示的数学对象。
一个$m\times n$的矩阵$A$可以写成如下形式：$$A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{bmatrix}$$其中$a_{ij}$表示第$i$行第$j$列元素。
1.2 正交矩阵的定义正交矩阵是指满足以下条件的方阵：(1) 所有列向量互相垂直；(2) 所有列向量模长为1。
即对于一个$n\times n$的矩阵$Q$，满足以下条件：$$Q^TQ=QQ^T=I_n$$其中$I_n$表示$n$阶单位矩阵。
二、性质2.1 正交矩阵的性质正交矩阵具有以下性质：(1) 正交矩阵的行向量和列向量都是单位向量，并且互相垂直；(2) 正交矩阵的逆矩阵等于它的转置矩阵；(3) 正交矩阵的行列式为$\pm 1$，即$\det(Q)=\pm 1$；(4) 正交矩阵保持向量长度和角度不变，即对于任意向量$x$，有$\|Qx\|=\|x\|$且$\angle(Qx,Qy)=\angle(x,y)$。
2.2 正交矩阵的乘积仍是正交矩阵如果$Q_1$和$Q_2$都是正交矩阵，则它们的乘积$Q=Q_1Q_2$也是正交矩阵。
证明：由于$Q_1$和$Q_2$都是正交矩阵，所以有：$$Q^T=Q_2^TQ_1^T=(QQ)^T=I_n$$因此，乘积$Q=Q_1Q_2$也是正交矩阵。
线性代数中的正交变换与正交矩阵
线性代数中的正交变换与正交矩阵线性代数是数学的一个重要分支，其中的正交变换与正交矩阵是其核心概念之一。
本文将详细探讨正交变换与正交矩阵的定义、性质以及应用。
一、正交变换的定义和性质在线性代数中，正交变换指的是在向量空间中保持向量长度和夹角不变的线性变换。
具体而言，给定一个向量空间V和其上的内积，一个线性变换T称为正交变换，如果对于任意的向量x和y，其满足内积不变性：⟨Tx, Ty⟩ = ⟨x, y⟩正交变换具有以下性质：1. 正交变换保持向量的长度不变，即对于向量x，有∥Tx∥ =∥x∥。
2. 正交变换保持向量之间的夹角，即对于向量x和y，有⟨Tx, Ty⟩= ⟨x, y⟩。
3. 若正交变换T将向量x映射为零向量，则原向量x也为零向量。
二、正交矩阵的定义和性质正交矩阵是一个满足以下条件的方阵：1. 矩阵的每一列都是单位向量。
2. 任意两列之间的内积等于零，即矩阵的列向量两两正交。
3. 矩阵的每一行都是单位向量。
4. 矩阵的转置等于其逆矩阵，即A^T A = AA^T = I。
正交矩阵具有以下性质：1. 正交矩阵的行向量组也为正交向量组。
2. 正交矩阵的列向量组也为正交向量组。
3. 正交矩阵的转置矩阵也是正交矩阵。
4. 正交矩阵的行列式的值为±1。
三、正交变换与正交矩阵的应用正交变换和正交矩阵在许多领域中都有广泛的应用，以下列举其中的几个重要应用：1. 几何变换：正交变换可以用来进行平移、旋转和镜像等几何变换操作。
例如，二维平面上的旋转可以通过乘以一个旋转矩阵实现。
2. 物体建模：在计算机图形学中，正交矩阵常用于表示物体的旋转和缩放变换，用来实现物体模型的变换和渲染。
3. 信号处理：正交矩阵可以用来对信号进行变换和分析，如傅里叶变换和卡拉OK变换。
4. 数据压缩：正交矩阵可以用于数据压缩领域，例如JPEG图像压缩中的离散余弦变换。
5. 特征值问题：正交变换与正交矩阵在求解特征值问题中起到关键作用，例如用于主成分分析和奇异值分解等。
线性代数中的正交矩阵与正交变换
线性代数中的正交矩阵与正交变换线性代数是研究向量空间及其上的线性变换的数学分支。
在线性代数的学习中，正交矩阵与正交变换是重要概念。
本文将介绍正交矩阵与正交变换的基本定义、性质以及应用，并探讨它们在实际问题中的重要性。
一、正交矩阵的定义与性质在线性代数中，一个方阵称为正交矩阵，如果它的转置矩阵等于它的逆矩阵。
也就是说，对于一个n阶方阵A，如果满足A^T * A = I （单位矩阵），则称A为正交矩阵。
正交矩阵具有一些重要的性质：1. 正交矩阵的行（列）向量是单位向量：对于正交矩阵A的每一行（列）向量，它们的模长都为1，即 ||A_i|| = 1，其中A_i表示矩阵A 的第i行（列）向量。
2. 正交矩阵的行（列）向量两两正交：对于正交矩阵A的任意不同的两个行（列）向量A_i和A_j，它们的内积为0，即 A_i * A_j = 0。
3. 正交矩阵的行（列）向量构成一组正交基：正交矩阵的行（列）向量线性无关且构成一组正交基。
这意味着用正交矩阵的行（列）向量作为基向量，可以表示出整个向量空间中的任意向量。
二、正交变换的定义与性质正交变换是指在n维欧几里德空间中，通过一个正交矩阵A对向量进行变换的线性变换。
正交变换的具体定义是：对于一个n维向量x，经过正交矩阵A的变换，得到变换后的向量y=A*x。
正交变换的一些重要性质如下：1. 正交变换保持向量的模长：对于任意向量x，经过正交变换后得到的向量y，它们的模长是相等的，即 ||y|| = ||x||。
2. 正交变换保持向量的夹角：对于两个向量x和y，它们的夹角在经过正交变换后保持不变，即 <x, y> = <A*x, A*y>。
3. 正交变换保持向量的正交关系：对于两个正交向量x和y，经过正交变换后它们仍然是正交的，即 <A*x, A*y> = 0。
正交变换在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，正交变换可以用于实现物体的旋转、缩放和平移等操作。
正交矩阵与正交变换的性质与应用
正交矩阵与正交变换的性质与应用正交矩阵是线性代数中一个重要的概念，它在几何和物理学等领域中具有广泛的应用。
正交矩阵的性质及其在正交变换中的应用使其成为了相关领域中必不可少的工具。
本文将从正交矩阵的定义开始，详细介绍正交矩阵的性质，并讨论其在几何变换以及信号处理领域中的应用。
正交矩阵是一个方阵，其列向量两两正交且长度为1。
用数学符号表示，如果一个方阵A满足A^T * A = I，那么A就是一个正交矩阵，其中A^T表示A的转置，I表示单位矩阵。
正交矩阵具有许多重要的性质。
首先，正交矩阵的逆矩阵是它的转置。
也就是说，对于一个正交矩阵A，A^T * A = A * A^T = I，则A的逆矩阵A^(-1) = A^T。
这一性质使得正交矩阵在求解线性方程组和计算矩阵的逆等问题中非常有用。
其次，正交矩阵的行向量和列向量都构成一组标准正交基。
这就意味着正交矩阵可以用来描述坐标系的旋转和反射变换。
正交变换是一种保持向量长度和角度不变的变换，它在几何学中有着广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，正交矩阵被用来进行三维物体的旋转和放缩操作。
通过将对象的顶点坐标与正交矩阵相乘，可以得到旋转后的新坐标。
正交矩阵在信号处理领域也有着重要的应用。
例如，离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）的计算通常使用快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）算法来加速运算。
而FFT算法的核心思想就是利用正交矩阵的性质，将O(n^2)的计算复杂度降低到O(nlogn)。
此外，正交矩阵还可以用于编码和解码的错误检测和纠正。
在通信系统中，为了保证传输的数据能够正确无误地到达接收端，常常需要使用一些冗余的编码技术。
而正交矩阵的性质使得其在错误检测和纠正方面有着良好的效果。
综上所述，正交矩阵具有重要的性质和广泛的应用。
它不仅可以用来进行几何变换和信号处理，还可以应用于编码和解码等领域。
正交矩阵知识点总结
正交矩阵知识点总结1. 正交矩阵概念正交矩阵是一个方阵，其列向量是单位正交的，即矩阵$Q$满足$Q^TQ=I$，其中$I$是单位矩阵。
也就是说，正交矩阵的每一列都是单位向量，而且不同列向量之间是正交的。
正交矩阵的转置等于其逆，即$Q^TQ=I$。
简单来说，正交矩阵就是一个方阵，其列向量是标准正交（单位长度且正交）的。
2. 正交矩阵性质正交矩阵具有许多重要的性质，包括但不限于：a. 正交矩阵的逆是其转置，即$Q^TQ=QQ^T=I$。
b. 正交矩阵的行和列是标准正交的，即$Q^TQ=QQ^T=I$。
c. 正交矩阵的行列式的绝对值为1，即$|Q|=1$。
d. 正交矩阵的特征值的模长为1。
e. 正交矩阵的特征向量是单位正交的，即属于不同特征值的特征向量是正交的。
3. 正交矩阵特征正交矩阵具有许多重要的特征，包括但不限于：a. 正交矩阵的行和列是标准正交的。
b. 正交矩阵的逆是其转置。
c. 正交矩阵的行列式的绝对值为1。
d. 正交矩阵的特征值的模长为1。
e. 正交矩阵的特征向量是单位正交的。
f. 正交矩阵是一个正交群上的矩阵。
4. 正交矩阵应用正交矩阵在数学和工程领域有着广泛的应用，包括但不限于：a. 矢量旋转：正交矩阵可以表示坐标系之间的旋转关系，因此在图形学和计算机图像处理中有着重要的应用，如3D建模、CAD等。
b. 正交化：在数值计算和线性代数中，正交矩阵可以用于线性方程组求解、矩阵近似、数据压缩和特征值分解等方面的问题。
c. 信号处理：在数字信号处理中，正交矩阵可以用于信号编码、解码和数字通信系统中。
d. 量子力学：在量子力学中，正交矩阵可以用于描述自旋、角动量、波函数等量子系统中的运动和相互作用。
e. 多元统计分析：在多元统计分析中，正交矩阵可以用于数据降维、多元正态分布、主成分分析等方面的问题。
通过以上的讨论，我们可以看出正交矩阵在数学和工程中具有着重要的地位和应用价值。
因此，深入了解正交矩阵的概念、性质、特征和应用对于理解和运用线性代数和矩阵理论都是很重要的。
正交矩阵和标准正交矩阵
正交矩阵和标准正交矩阵正交矩阵和标准正交矩阵是线性代数中重要的概念。
它们在许多数学和工程领域中都有广泛的应用。
本文将介绍正交矩阵和标准正交矩阵的定义、性质以及它们的应用。
首先，我们来定义正交矩阵。
一个n×n的实矩阵A被称为正交矩阵，如果它满足下列条件：1. A的每一列都是单位向量；2. A的每一行都是单位向量；3. A的每一列都与其他列正交（即内积为0）；4. A的每一行都与其他行正交。
接下来，我们来定义标准正交矩阵。
一个n×n的实矩阵Q被称为标准正交矩阵，如果它满足下列条件：1. Q的每一列都是单位向量；2. Q的每一列都与其他列正交。
可以看出，标准正交矩阵是正交矩阵的一种特殊情况。
标准正交矩阵的特点是其转置矩阵等于其逆矩阵，即Q^T = Q^(-1)。
正交矩阵和标准正交矩阵有许多重要的性质。
首先，正交矩阵的行列式的绝对值为1，即|det(A)| = 1。
这意味着正交矩阵的行列式不为0，因此它是可逆的。
其次，正交矩阵的转置矩阵等于其逆矩阵，即A^T= A^(-1)。
这个性质使得正交矩阵在求解线性方程组和矩阵的逆等问题中非常有用。
标准正交矩阵的性质更加简洁明了。
首先，标准正交矩阵的转置矩阵等于其逆矩阵，即Q^T = Q^(-1)。
这个性质使得标准正交矩阵在求解线性方程组和矩阵的逆等问题中非常方便。
其次，标准正交矩阵的每一列都是单位向量，因此它们可以用来构造坐标系。
在计算机图形学和机器学习等领域中，标准正交矩阵常常用于旋转和变换操作。
正交矩阵和标准正交矩阵在许多数学和工程领域中都有广泛的应用。
在物理学中，正交矩阵常用于描述旋转和对称性。
在信号处理中，正交矩阵常用于正交变换，如傅里叶变换和离散余弦变换。
在计算机科学中，正交矩阵和标准正交矩阵常用于图像处理、数据压缩和机器学习等领域。
总结起来，正交矩阵和标准正交矩阵是线性代数中重要的概念。
它们具有许多重要的性质，可以用于求解线性方程组、矩阵的逆以及旋转和变换操作等问题。
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学号 20090501050227密级兰州城市学院本科毕业论文正交矩阵的性质及应用学院名称：数学学院专业名称：数学与应用数学学生姓名：苏志升指导教师：宋雪梅二○一三年五月BACHELOR’S DEGREE THESISOF LANZHOU CITY UNIVERSITYProperties and Applications of OrthogonalMatrixCollege ：Mathematics CollegeSubject ：Mathematics and Applied MathematicsName ：Su ZhishengDirected by ：S ong XuemeiMay 2013郑重声明本人呈交的学位论文，是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，所有数据、资料真实可靠。
尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含他人享有著作权的内容对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确的方式标明。
本学位论文的知识产权归属于培养单位。
本人签名：日期：摘要本文给出了正交矩阵的性质并列举了正交矩阵的多个性质。
研究正交矩阵在空间坐标旋转中的作用。
关键词：正交矩阵；性质；标准正交基；特征多项式；应用ABSTRACTOrthogonal matrix is made up of inner product lead. This paper illustrates several properties of orthogonal matrix and to give the proof. Study the role of orthogonal matrix in space coordinate rotation, and the matrix analysis of typical cases, and illustrates the application of matrix.Key words:orthogonal matrix; Rotation matrix; Orthonormal basis; Characteristic value; The application.目录第一章引言 (1)第二章正交矩阵及其性质 (2)2.1 正交矩阵的定义 (2)2.2 正交矩阵的性质 (2)2.3 正交矩阵的判定 (7)第三章正交矩阵的应用 (12)结论......................................................................................................... 错误！未定义书签。
参考文献 . (17)致谢 (18)第一章引言矩阵是数学中的一个重要的基本概念,是代数学的一个主要研究对象,也是数学研究和应用的一个重要工具．“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的,他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语．而实际上,矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了．从行列式的大量工作中明显的表现出来,为了很多目的,不管行列式的值是否与问题有关,方阵本身都可以研究和使用,矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的．在逻辑上,矩阵的概念应先于行列式的概念,然而在历史上次序正好相反．凯莱先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来,同研究线性变换下的不变量相结合,首先引进矩阵以简化记号并发表了关于这个题目的一系列文章．1858年,他发表了关于这一课题的第一篇论文矩阵论的研究报告,系统地阐述了关于矩阵的理论．文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念,指出了矩阵加法的可交换性与可结合性．另外,凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果．在矩阵论的发展史上,弗罗伯纽斯(G．Frobenius,1849～1917)的贡献是不可磨灭的．他讨论了最小多项式问题,引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念,以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论,并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质．1854年,约当研究了矩阵化为标准型的问题．1892年,梅茨勒(H．Metzler)引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式．傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题,这主要是适用方程发展的需要而开始的．在矩阵理论中,经常利用矩阵来描述变换．在实空间中正交变换保持度量不变,而正交变换中对应的变换矩阵就是正交矩阵,所以对正交矩阵的研究就显得格外重要．矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质,矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展,现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论．而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论．矩阵的应用是多方面的,不仅在数学领域里,而且在化学、力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用．第二章 正交矩阵及其性质本文中在没有特别说明的情况下,A 都表示为正交矩阵,记矩阵A 的秩为()r A ,i α与j α为矩阵A 的第i 列与第j 列,'i a 表示矩阵A 的第i 行.det A 表示行列式的值即det A =A ．2.1 正交矩阵的定义定义2.1.1[]1 设A 是n 阶实方阵，如果E AA =',则称A 是正交矩阵．例如 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--313232323132323231都是正交矩阵． 根据定义，易见正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵，()ij A a =为正交矩阵当且仅当A 可逆且1T A A -=,这也等价于⎩⎨⎧≠==+++.,0,,12211j i j i a a a a a a nj ni j i j i或⎩⎨⎧≠==+++.,0,,12211j i j i a a a a a a jn in j i j i2.2 正交矩阵的性质性质1 设A 为正交矩阵，则 ()1 1A =±；()2 A 可逆,且1-A 也是正交矩阵；证明 ()1由A AE '=,可知21A =,则1A =±．()2由E A A ='可知,A 可逆且.1A A '=-又111)()()(---==''='A A A A ,故1-A 是正交矩阵．对正交矩阵A ，当1A =时,我们称A 为第一类正交矩阵；当1-=A 时,则称A为第二类正交矩阵．性质2 设,A B 都是n 阶正交矩阵,则()1 AB ,m A (m 为自然数),B A ',B A ',B A 1-,1-AB ,BA A 1-等都是正交矩阵．()200A A A B A A ⎛⎫⎫⎪⎪-⎝⎭⎭也是正交矩阵．()3 准对角矩阵()s A A A ,,,diag 21 为正交矩阵sA A A ,,,21 ⇔均为正交阵． 证明 ()1由11,A A B B--''==可知111)()(---==''='AB A B A B AB ,所以AB 为正交矩阵．从而再由性质1可推知m A (m 为自然数),B A ','AB ,B A 1-,1-AB ,BA A 1-等均为正交矩阵． ()2因为11100000000A A A A B B B B ---''⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-'⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-A A A A A A A A 2121⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''-'=A A A A A A A A 2121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=E E A A AA 00200221''．所以00A A A B A A ⎛⎫⎫⎪⎪-⎝⎭⎭是正交矩阵． ()3准对角矩阵()sA A A ,,,diag 21 为正交矩阵 ⇔()()()E A A A A A A ss =',,,diag ,,,diag 2121 s i E A A i,,1, =='⇔ sA A A ,,,21 ⇔均为正交阵． 性质3 ()1设,AB 为n 阶正交矩阵,且A B =-,则A B +必不可逆,即0A B +=；()2设,A B 为奇数阶正交矩阵,且A B =,则B A -必不可逆,即0A B -=；()3设A 是第二类正交矩阵,则E A +必不可逆；()4设A 是奇数阶第一类正交矩阵,则E A -必不可逆． 证明 ()1因为A A B A B B B A '+'=+A A B B '+'=A B B '+'-=2()'+-=B A BA +-=所以得0AB +=,即A B +不可逆．()2AA B A B B B A '-'=- A A B B '-'=A B B '-'=2()'--=B A ()B A n--=1所以当n 为奇数时,AB A B -=-- ,即0A B -=．从而A B -不可逆．由于n 为奇数,且1=A ,于是AE A E A E --='--=-)(,故0=-A E ,即1为A 的一个特征值．性质6 设A 为n 阶正交矩阵． ()1当0<A 时,则1-是A 的特征值；()2当0<A 且n 为偶数时,则1是A 的特征值； ()3当0>A 且n 为奇数时,则1是A 的特征值．证明 ()1只需证.01=--A E n事实上,()n nn E A A E +-=--11， =+n E A ()n n E A A A E A A A A +='+='+,0)1(=+-⇒n E A A其中.01≠-A 从而0=+n E A ,得证1-是A 的特征值．()()3,2只需证.0=-A E n 事实上,A AA A E n -=-'()n E A A -= n E A A -= A E A n n --=)1(．故[])1(1=---A E A n n .当0<A 且n 为偶数时,()；0111≠-=--A A n当0>A 且n 为奇数时,(),0111≠+=--A A n,0=-A E n 从而得证1是A 的特征值．性质7 设A 为n 阶正交矩阵,()A xI x f A -=为A 的特征多项式,则 ()I 当1=A()i n为偶数时, (),111nn n n A b x b x b x A xI x f ++++=-=-- 其中.1),2,,2(11===+--nk n k b nk b b ()ii n为奇数时, (),111nn n n A b x b x b x A xI x f ++++=-=-- 其中.1),21,,21(11-=-=-=+--nk n k b n k b b ， ()II 当1-=A()i n为偶数时, (),111n n n n A b x b x b x A xI x f ++++=-=-- 其中.1),21,,21(1-=-=-=--nk n k b n k b b ， ()ii n为奇数时, (),111nn n n A b x b x b x A xI x f ++++=-=-- 其中.1),21,,21(=-==-nk n k b n k b b ， 证明 正交矩阵A 的特征多项式为(),111nn n n A b x b x b x A xI x f ++++=-=-- 其中k b 为A 的一切k 阶主子式的和乘以()k 1-，n k ,,2,1 =．令⎪⎪⎭⎫⎝⎛=k k k i i i i A M 11为A 的k 阶主子式,k A 为k 阶主子式k M 的代数余子式,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---k n k n k n i i i i A N 11为k M 的余子式．()I 若1=A,则()().112k n kn i i k k N N A M k--++=-== 因k M 为A 的k 阶主子式,所以k n N -为A 的k n -阶主子式,故A 的一切k 阶主子式之和等于A 的一切k n -阶主子式之和．()i n为偶数时,()x f 有奇数项,由,11+--=k n k N M 且1-k b 为所有的1-k M 之和乘以()11,1+---k n k b 为所有的1+-k n N 之和乘以(),11+--k n 其中()()().1111为偶数n k n k +---=-故().11),2,,2(11=-===+--A b n k b b nnk n k ()ii n为奇数时,()x f 有偶数项,由,,11k n k k n k N M N M -+--==且k b 为所有的kM 之和乘以()k n kb --,1为所有的k n -阶主子式之和乘以(),1k n --其中()()kn k ---11与相差一个符号．故.1)1(),21,,2,1(1-=-=-=-=--A b n k b b n nk n k 所以,若1=A ,当n 为偶数时,A 的特征多项式有奇数项,它以2n b 为中间项,左右对称项的系数相同,其中包括首项系数与常数项n b ；当n 为奇数时,A 的特征多项式有偶数项,处于对称位置的左右两端系数仅差一个符号,因首项系数为1,且n b 为-1,故也包括在内．()II 若1-=A ,则()().112kn k n i i k k N N A M k--++-=--=-= 故A 的一切k 阶主子式之和与A 的一切k n -阶主子式之和仅差一个符号．()i n为偶数时,()x f 有奇数项,由,11+---=k n k N M 且1-k b 为所有的1-k M 之和乘以()11,1+---k n k b 为所有的1+-k n N 之和乘以(),11+--k n 其中()()().1111为偶数n k n k +---=-故.1)1(),2,,2(11=-==-=+--A b n k b b n nk n k ()ii n为奇数时,()x f 有偶数项,由,,11k n k k n k N M N M -+---=-=且k b 为所有的k 阶主子式之和乘以()kn k b --,1为所有的k n -阶主子式之和乘以(),1k n --其中()()k n k ---11与相差一个符号．故.1)1(,21,,2,1-=-=-==-A b n k b b nnk n k ）（ 所以若1-=A ,当n 为偶数时,A 的特征多项式有奇数项,它以2n b 为中间项,左右两边对称项的系数相差一符号,因首项系数为1,n b 为1-,故也包括在内；当n为奇数时,A 的特征多项式有偶数项,处于对称位置的左右两端系数相同,其中包括首项系数与常数项n b 均为1,也包括在内．性质8 正交矩阵A 的一切k 阶主子式之和与一切相应k n -阶主子式之和或相等或仅差一符号．性质9 正交矩阵可以对角化,即存在复可逆阵T 使得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n T A λλ 11,其中1,...,n λλ为A 的全部特征值,即()11,2,...,i i n λ==．性质10 对称正交矩阵()nn ij a A ⨯=的行列式().12trAn A --=证明 由对称正交矩阵的特征值只有1或1-．设A 的n 个特征值中有k 个1-,则剩下的就是k n -个1．由()(),2111trA k n k n k ni i =-=-⨯+⨯-=∑=λ故.2trAn k -= 所以().)1(1121trAn kk i ni A -=-=-=∏=λ 例如对称正交阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=979494949198949891A 有()().111297919132-=-=-=⎪⎭⎫⎝⎛++--trA n A 性质11 当n 阶正交矩阵A 为基础循环矩阵时,则它的全部特征值为实根,且为n 个n 次单位根．证明 设⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0001100001000010 A 为基础循环矩阵．可知A 的特征多项式为(),1-=-=nx A xI x f 则其特征根为()n k nk i n k x k,,2,12sin 2cos =+=ππ．故n x 为n次单位根．2.3 正交矩阵的解法下面介绍矩阵的解法．因为正交矩阵是实矩阵，即元素全是实数的矩阵．所以以下提到的矩阵，向量及数都是实的． 先来看正交矩阵的元素之间有什么关系．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a aa a a a a a A 212222111211是一个正交矩阵，根据正交矩阵的定义：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='nn n n n n nn n n n n a a a a a a a a a a a aa a aa a a A A212221212111212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100000100001 , 推出⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++,0,1221122221jn in j i j i in i i a a a a a a a a a （当j i ≠时）， 即ij nk jk ik a a δ=∑=1),,2,1,(n j i =．式中的ij δ当j i =时，为1；当j i ≠时，为0．这组等式表明正交矩阵的行向量之间的重要关系,通常称为正交条件．同样地,正交矩阵的列向量也满足正交条件：ij nk kj ki a a δ=∑=1这组等式可以从E A A ='得到．为了进一步讨论有关正交矩阵的问题，引入下列定义： 定义2.3.1 两个n 维实向量()n a a a ,,,21 =α，()n b b b ,,,21 =β的内积βα,定义为n n b a b a b a ++=2211,βα．当0,=βα时，则称α与β正交．由定义可知，零向量与任何向量都是正交的．定义 2.3.2 如果向量组s ααα,,,21 中任意两个都正交，而且每个()s i i ,,2,1 =α都不是零向量，那么这个向量组就称为正交向量组．例如，n 个基本向量就是一个正交向量组． 如果A 是一个正交矩阵，那么正交条件01=∑=jk nk ika a),,2,1,;(n j i j i =≠说明了A 的n 个行向量是两两正交的．又由于A 可逆，所以它的行向量都不是零向量，这说明正交矩阵A 的行向量组成一个正交向量组．同样地，正交条件01=∑=jk nk ika a),,2,1,;(n j i j i =≠．说明了A 的列向量也组成一个正交向量组．为了刻划条件112=∑=nk kia ；112=∑=nk kja . 引入以下定义：定义2.3.3 设()n a a a ,,,21 =α是一个n 维实向量，令ααα,=． α称为α的长度．如果α=1，则α称为单位向量．因为()n a a a ,,,21 =α是实向量，所以αα,=022221≥+++n a a a ααα,= 总是有意义的．从定义可知：0=α的充分必要条件是0=α；α是单位向量的充分必要条件是1,=αα．例如基本向量以及正交矩阵的行向量与列向量都是单位向量．因此，n 级矩阵A 是正交矩阵的充分必要条件是：它的行（列）向量组是正交的单位向量组．从而只要找出n 个正交的n 维单位向量，以它们为行（或列）作成的矩阵一定是正交矩阵．下面介绍一种找正交向量组的方法——正交化方法．在介绍这个方法以前，先对向量的内积进行一些讨论．向量的内积具有下列性质： 1.βαβα,,=；2.βαβαβαα,,,2121+=+；3.βαβα,,k k =（k 是任意实数）．这些性质都可以直接从内积的定义推得．同时从这三个性质又可以推出:βαβαβαα,,,22112211k k k k +=+；22112211,,,βαβαββαl l l l +=+．下面证明关于正交向量组的一个重要性质． 定理2.3.4 正交向量组一定是线性无关的．证明: 设s ααα,,,21 是一个正交向量组．如果02211=++s s k k k ααα ，那么0,11=++s s i k k ααα ),,2,1(s i =．展开得0,,,2211=+++s i s i i k k k ααααα因为i α与s i i αααα,,,,,111 +-都正交，所以0,=i i i k αα),,2,1(s i =．又因0≠i α，所以0,≠i i αα．由此得0=i k ),,2,1(s i =．这就证明了s ααα,,,21 是线性无关的．定理2.3.5 设s ααα,,,21 是一组线性无关的向量．那么可以找到一组正交的向量s βββ,,,21 ，使得i ααα ,,21与i βββ,,,21 ),,2,1(s i =等价．证明：令11αβ=．再令122βαβk +=来决定k ，使得112112121,,,,ββαββαβββk k +=+=，所以取1121,,ββαβ-=k 即可． 再令221133ββαβk k ++=．因为21113131,,ββαβββk k ++=11131,,ββαβk +=;22113232,,ββαβββk k ++=22232,,ββαβk +=．所以取1131,,ββαβ-=k ，2232,,ββαβ-=k ．既有0,,3231==ββββ．这样，就找到了两两正交的向量,,,321βββ使得1α与1β；21,αα与21,ββ；321,,ααα与321,,βββ等价．把这个步骤继续进行下去，一般地，如果已经找到了t 个两两正交的向量t βββ,,,21 ，使得i ααα ,21,与);,,2,1(,,,21s t t i i <= βββ等价． 那么令t t t t l l ββαβ+++=++ 1111．取()()jjt jj l ββαβ,,1+-=),,2,1(t j =，就得一个正交向量组121,,,+t βββ ，使得i ααα,,,21 与i βββ,,,21 )1,,2,1(+=t i 等价．最后，当s t =+1时，就得到了所求的向量组．这个定理的证明给出了一个具体求与已知线性无关的向量组等价的正交向量組的方法，一般称为正交化方法．如果再将定理中所得的向量单位化，令iii ββγ=),,2,1(s i =， 那么s γγγ,,,21 就是一组正交的单位向量，使得i ααα,,,21 与i γγγ,,,21 等价．例1 已知)21,21,21,21(1=α，)21,21,21,21(2--=α．求43,αα，使得4321,,,αααα是正交单位向量组．解：首先，由于21,αα是线性无关的，所以可以取两个向量()1,0,0,13=β，)0,1,0,0(4=β使4321,,,ββαα线性无关．将4321,,,ββαα正交化，得一个正交向量组：)21,21,21,21(1=α，)21,21,21,21(2--=α22231111333,,,,αααβααααββγ--=2132121ααβ--=⎪⎭⎫⎝⎛-=0,0,21,21 33334222241111444,,,,,,γγγγβααααβααααββγ---=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21,21,0,0．再将这组向量单位化，既得到一个正交单位向量组：)21,21,21,21(1=α，)21,21,21,21(2--=α，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0,0,22,223α，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22,22,0,04α， 其中向量43,αα即为所求．从这个例题可以看出：正交单位向量1α与2α在正交化及单位化的过程中都不会改变．这说明：任意()n s s ≤个n 维正交的单位向量都可以作为某个n 级正交矩阵的s 个行（或列）．这是一个很重要的事实．第三章 正交矩阵的应用正交矩阵具有诸多特殊的性质，本文主要研究其在空间坐标变换中的应用．我们知道，若A 是行列式为1的正交矩阵，则变换()()TT z y x A z y x ,,,,='''代表空间的一个旋转变换．利用矩阵乘积分解的方法，这种变换的转轴、转角可以用矩阵的特征参数量化的表示出来． 1 任意旋转变换的矩阵表示形式引理[]2 设空间任意一个非零向量为()Tz y x x ,,= ，则以单位向量()Tc b a N O ,,1= 为旋转轴方向向量，旋转角度为θ的旋转变换矩阵为()()()()()()()()()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++------++-+----+=θθθθθθθθθθθθθθθcos 1sin cos 1sin cos 1sin cos 1cos 1sin cos 1sin cos 1sin cos 1cos 1222222c c a bc b ac a bc b b c ab b ac c ab a a T R （*） 证明: 设ON 为过原点的任意旋转轴方向的单位向量（图1），()Tc b a N O ,,= ,+2a 122=+c b ，方向余弦表示为γβαcos ,cos ,cos ===c b a ．下面将旋转过程分解为四步来讨论．(1) 将向量()Tz y x x ,,= 连同向量N O 绕x 轴顺时针旋转一个角度ϕ，使向量N O转至XOZ 平面上1N O位置，则有2222sin ,cos cb b cb c +=+=ϕϕ若记旋转变换的变换矩阵为1T，向量()Tz y x x ,,= 经此变换后的向量记为1x ，有x T x 11=，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ϕϕϕϕc o s s i n 0s i n c o s 00011T =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-++222222220001c b c c b b c b bc b c ． (2) 将向量1x连同1N O 绕y 轴顺时针旋转一个角度ϕ，使1N O 与Z 轴重合到z N O 位置，则有22122cos c b N O c b +=+=ϕ，a N O a==1sin ϕ．若记旋转变换的变换矩阵为2T ,向量1x 经此变换后的向量记为2x，则有122x T x =，其中()()()()⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=2222200100cos 0sin 010sin 0cos c b aac b T ϕϕϕϕ． (3) 将向量2x 绕2N O (即z 轴)旋转θ角，旋转后的向量233x T x =，其中变换矩阵3T 为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1000cos sin 0sin cos 3θθθθT ． (4) 类似地，将向量3x连同2N O 再绕y 轴顺时针旋转ϕ角，绕x 轴逆时针旋转ϕ角，使其连同2N O 回复到原来的位置，旋转后的向量3454x T T x=，其中变换矩阵⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2222400100cos 0sin 010sin 0cos c b a ac b T ϕϕϕϕ，=5T ()()()()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----ϕϕϕϕcos sin 0sin cos 0001=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++-+222222220001c b c c b b c b bc b c ． 因此，整个旋转变换过程等价于上述旋转变换的合成，其旋转矩阵可表示为12345T T T T T T R =()()()()()()()()()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++------++-+----+=θθθθθθθθθθθθθθθcos 1sin cos 1sin cos 1sin cos 1cos 1sin cos 1sin cos 1sin cos 1cos 1222222c c a bc b ac a bc b b c ab b ac c ab a a ． 向量x 经此旋转变换后即为x T R．至此，我们证明了空间任意的旋转变换可以用旋转的单位方向向量和旋转角唯一表示．特别地，当πθn 2=时，R T 为单位矩阵，此时任意方向单位向量均可作为此旋转变换的转轴．2 旋转角、旋转轴与矩阵特征属性之间的关系下面的定理阐述了空间中任意旋转变换的旋转轴，旋转角与变换矩阵的特征值之间的关系．定理1[]3 A 若为行列式等于1的3阶正交矩阵，则变换x A x '=' 旋转角的大小等于矩阵A 的一对共轭复特征值的辐角．证明: 由引理1知，可设任意旋转变换的变换矩阵为()()()()()()()()()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++------++-+----+=θθθθθθθθθθθθθθθcos 1sin cos 1sin cos 1sin cos 1cos 1sin cos 1sin cos 1sin cos 1cos 1222222c c a bc b ac a bc b b c ab b ac c ab a a A ． 若设其三个特征值分别为21,λλ和3λ，则有()()()θθθλλλcos 1cos 1cos 1222222321c c b b a a -++-++-+=++()+++=222c b a ()θθcos 21cos 3222+=---c b a ， 1321=λλλ． 因为A 是正交矩阵，所以A I I A I A A I A A A AA A I T T --=-=-=-=-=-．则必有0=-A I ,即A 必有特征值1，不妨设11=λ，这样⎩⎨⎧==+.1,cos 23232λλθλλ 解得θθλθθλsin cos ,sin cos 32i i -=+=．所以A 的两个共轭复数特征值的辐角即为旋转变换的旋转角．定理2 对空间中的旋转变换(*),旋转轴的方向向量是变换矩阵的特征值1对应的特征向量．证明 当πθn 2≠，()N n ∈，因为A 的特征值的几何重数大于其代数重数，所以11=λ的线性无关的特征向量只要1个，记为m ，m 满足m m A =，也就是说向量0m 在绕转轴0x 转了θ后保持不变，所以m 与0x 重合，m 为转轴．定理3 变换x A x ='所得新向量的终点都落在以o 为圆心，x 为半径的球面Ω上，且任取球面上的一点P ，存在正交矩阵p A ，使得向量x A P 与该点重合．事实上，任取P O P ,Ω∈与x 都可以确定一个平面，平面法向量n 可以表示如为：x P O x ⨯=，P O 与x 夹角的余弦 ()x P O ,cos 2,xx P O =． 取321,,n c n b n a ===，()x P O ,=θ,根据公式（*）就可以确定一个正交矩阵P A ,由θ,,,c b a 的几何意义知，左乘x 的作用相当于让x 以n 为轴时针转过θ角，得到的新向量x A P 的终点就是P 点． 3 行列式为1-的正交变换取A B -=．因为A 是奇数阶的，所以1-=-=A B ．()为奇数），为偶数），k k x A x A x A x B k k k k ((⎩⎨⎧-=-= )2,1,0( =k ．所以，记向量)2,1,0( =k x A k 对应的点为k A ，则x B k 所对应的点为k B ，则当k 为偶数时，k B 与k A 重合；当k 为奇数时，k B 与k A 关于原点对称．由几何性质可知， 3210,,,A A A A 分布在一个纬圆上，设为1C ．易知， 420,,B B B 也应分布在纬圆1C 上，而 531,,B B B 分布在另一个纬圆上，设为2C ，且21,C C 满足如下条件：1）2C 半径与1C 相同；2）2C 是1C 关于原点对称得到的；3) 1C ∥2C ；4) 两圆圆心连线过原点，且这条连线即为旋转变换的转轴所在直线． 通过以上的讨论，我们得出了正交矩阵所对应的空间旋转变换与矩阵自身性质的关系．这个空间旋转变换的转轴与转角将由矩阵的特征值和特征向量唯一确定．这些结论将为我们以后进一步研究正交矩阵的其他性质提供帮助．矩阵是线性代数中的核心内容，而正交矩阵是一种常用的矩阵，它在正交变换理论中起着十分重要的作用，正交矩阵不仅在线性代数中，而且在理工各学科领域的数学方法中，如优化理论、计算方法、信息分析中都有着举足轻重的位置．本文对正交矩阵进行了较为深入的研究，得到了正交矩阵的一系列常用性质，相关性质的概括、改进和推广，对矩阵的理论研究有重要意义．参考文献[1] 王萼芳,石生明．高等代数[M]．第三版．北京：高等教育出社,2007:162-392．[2] 蒋大为．空间解析几何及其应用[M]．北京：科学出版社，2004:195-196[3] 魏站线．线性代数与空间解析几何[M]．北京：高等教育出版社，2004:196-197[4] 刘钊南．正交矩阵的作用[J]．湘潭师范学院学报,1987．11．16[5] 程云鹏．矩阵论[M]．第二版．西北工业大学出版社,1999：94．99,196-215．致谢毕业论文暂告收尾，这也意味着我在兰州城市学院大学的四年的学习生活即将结束。