微分方程式(DifferentialEquation)一解读

1. 微分方程式 (Differential Equation)：一個含有未知函數與此函數的導數(常導數或偏導數)之方程式。

2. 常微分方程式 (Ordinary Differential Equation, ODE )：含有常導數的微分方程式稱為常微分方程式。

(例如, x y y cos 4=+'')
3. 偏微分方程式 (Partial Differential Equation, PDE)：含有偏導數的微分方程式
稱為偏微分方程式。

(例如, 0222222=∂∂+∂∂+∂∂z
u y u x u ) 4. 微分方程式的階(Order)：方程式中最高階(次)導數的階。

(例如,
x y y cos 4=+''因為最高階導數y ''為二階)
5. n 階常微分方程式：令dx
dy y =', 22dx y d y ='', …, n n n dx y d y =)(, 則n 階常微分方程式的一般式可寫成()0,,,,,)(='''n y y y y x F
6. 微分方程式的解 (Solution)：若一個函數)(x h y =及其導數)(x h ', )(x h '',
)()(x h n 代入方程式使得方程式變成一個恆等式, 則)(x h y =即為方程式的一個解。

(例如, 32-=x e y 是方程式62=-'y y 的一個解)
7. 微分方程式的解可分成三類：通解、特解與奇異解。

a. 通解 (General Solution)：當解含有任意常數的個數等於微分方程式的階數時, 即為通解。

(例如, 32-=x e c y 是方程式62=-'y y 的通解；x c x c y sin cos 21+=是方程式0=+''y y 的通解)
b. 特解 (Particular Solution)：通解中的任意常數如果全部或部分指定值, 即稱為特解。

(例如, 322-=x e y 是方程式62=-'y y 的一個特解；
x y cos =是方程式0=+''y y 的的一個特解)
c. 奇異解 (Singular Solution) ：不是透過指定通解的任意常數的值而得
到的解, 即為特解。

(例如, ()c x y +=sin 是方程式()0122=-+'y y 的通
解；1=y 是方程式()0122
=-+'y y 的一個奇異解，它不能經由指定c 的值而得到)。