分段函数在生活中的应用 (1)

分段函数在生活中的应用

安徽省马鞍山市学大教育培训学校花良平分段函数在生活中的应用既能很好地考查学生对一些基本函数、基础知识的掌握情况, 又能考查学生灵活运用知识解决实际问题的能力, 同时又能考查学生是否能运用运动与静止、变化与不变、特殊与一般的辩证思想. 解答这类问题的关键是要紧扣题设条件( 分段函数) , 根据自变量的不同取值范围, 实施分类解答, 做到不重

不漏, 分层讨论求解.

一、生活中的用水用电问题

例1 为了鼓励节能降耗, 某市规定如下用电收费标准: 每户每月的用电量不超过120 度时, 电价为a 元/ 度; 超过120 度时, 不超过部分仍为a元/ 度, 超过部分为b元/ 度. 已知某用户五月份用电115 度, 交电费69 元, 六月份用电140 度, 交电费94 元.

(1)求a , b 的值;

(2)设该用户每月用电量为x ( 度) , 应付电费为y ( 元) .

①分别求出0 ≤x ≤120 和x > 120 时, y

与x 之间的函数关系式;

②若该用户计划七月份所付电费不超过83 元, 问该用户七月份最多可用电多少度?

( 2007 年福建省三明市)

解: ( 1) 根据题意, 得

115 a = 69 ,

120 a + 20 b = 94 .

a = 0 . 6

解这个方程组, 得

b = 1 . 1 .

(2) ①当0 ≤x ≤120 时, y = 0 . 6 x .

当x > 120 时, y = 120 ×0 . 6 + 1 . 1 ( x2120) ,

即y = 1 . 1 x260 .

②∵83 > 120 ×0 . 6 = 72 , ∴y 与x 之间的函数关系式为y = 1 . 1 x260 .

由题意, 得1 . 1 x260 ≤83 , x ≤130 .

∴该用户七月份最多可用电130 度.

二、生活中的通讯网络问题

例2 某电信部门为了鼓励固定电话消费,

推出新的优惠套餐:月租每10 元;每月拔打市内电话在120 分钟内时, 每分钟收费0 . 2 元, 超过

120 分钟的每分钟收费0 . 1 元; 不足1 分钟时按1 分钟计费. 则某用户一个月的市内电话费用y ( 元) 与拔打时间t ( 分钟) 的函数关系用图象表示正确的是( )

解: ∵固定电话需月租费10 元, ∴排除 A , 又∵每月拔打市内电话在120 分钟内时, 每分钟收费0 . 2 元, 则可排除C ,

再根据: 在120 分钟内时, 每分钟收费0 . 2 元, 超过120 分钟的每分钟收费0 . 1 元, 也可排除D , ∴本题应选B .

三、生活中的医疗保险问题

例3 为了增强农民抵御大病风险的能力, 政府积极推行农村医疗保险制度. 我市某县根据本地的实际情况, 制定了纳入医疗保险的农民住院医疗费用的报销规定: 享受医保的农民可在定点医院住院治疗, 由患者先垫付医疗费用, 住院治疗结束后凭发票到县医保中心报销.

住院医疗费用的报销比例标准如下表:

(1)设某位享受医保的农民在一次住院治疗中的医疗费用为x 元( x > 100) , 按规定报销

的医疗费用为y 元, 试写出y 与x 的函数关系式;

(2)若该农民在这次住院治疗中的医疗费用为1000 元, 则他在这次住院治疗中报销的

医疗费用和自付的医疗费用各为多少元. ( 2007 年邵阳市)

解: ( 1) y = ( x-100) ×60 % = 0 . 6 x-60 ( x

> 100)

(2) 当x = 1000 元时, y = 0 . 6 ×1000 260 =

600 260 = 540 ( 元)

1000 2540 = 460 ( 元)

答: 他在这次住院治疗中报销的医疗费用和自付的医疗费用各为540 元和460 元.

四、生活中的义务纳税问题

例4 新《个人所得税》规定, 公民全月工薪不超1600 元的部分不必纳税, 超过1600 元的部分为全月应纳税所得税额, 此项税款按下表分段累进计算:

1600 < x < 2100,

范围内?

解( 1) ( 1800 21600) ×5 % = 200 ×5 % =

10 ( 元)

(2) y = ( x21600) ×5 % = 0 . 05 x280 ( 1600

< x < 2100)

(3) 160 ≤500 ×0 . 05 + ( x22100) ×10 % ≤175

3450 ≤x ≤3600

答: ( 1) 他应缴纳税金为10 元.

(2)y 与x 的函数关系式为y = 0 . 05 x -

80 (1600 < x < 2100)

(3)费先生该月的工薪在不少于3450 元,

也不多于3600 元范围之内.

五、生活中的营销盈利问题

例5 化工商店销售某种新型化工原料, 其市场指导价是每千克160 元( 化工商店的售价还可以在

市场指导价的基础上进行浮动) , 这种原料的进货价是市场指导价的75 %.

(1) 为了扩大销售量, 化工商店决定适当调整价格, 调整后的价格按八折销售, 仍可获得实际售价的20 % 的利润. 求化工商店调整价格后的标价是多少元?打折后的实际售价是多少元?

(2) 化工商店为了解这种原料的月销售量y ( 千克) 与实际售价x ( 元/ 千克) 之间的关系, 每个月调整一次实际售价, 试销一段时间后, 部门负责人把试销情况列成下表:

①请你在所给的平面直角坐标系中, 以实际售价x ( 元/ 千克) 为横坐标, 月销售量y ( 千克) 为纵坐标描出各点, 观察这些点的发展趋势, 猜想y 与x 之间可能存在怎样的函数关系;

②请你用所学过的函数知识确定一个满足这些数据的y 与x 之间的函数表达式, 并验证

你在①中的猜想;

③若化工商店某月按同一实际售价共卖出这种原料450 千克, 请你求出化工商店这个月

销售这种原料的利润是多少元? ( 2007 年沈阳市)

解: ( 1) 依题意, 每千克原料的进货价为

160 ×75 % = 120 ( 元)

设化工商店调整价格后的标价为x 元, 则

0 . 8 x2120 = 0 . 8 x ×20 % 解得x = 187 . 5

187 . 5 ×0 . 8 = 150 ( 元)

∴调整价格后的标价是187 . 5 元, 打折后的实际售价是150 元.

(2) ①描点画图, 观察图象, 可知这些点的发展趋势近似是一条直线, 所以猜想y 与x 之

间存在着一次函数关系.