立体几何知识点复习.ppt

另一个平面
两 个 平
3、两个平行平面同时和第三个平面 相交，它们的交线平行
面
4、一直线垂直于两个平行平面中的一
平
个，则它也垂直于另一个平面
行
5、夹在两个平行平面间的平行线段
相等
线面垂直的判定方法
（1）定义——如果一条直线和一个平面内的 任意一条直线都垂直，则直线与平面垂直。
（2）判定定理1——如果两条平行线中的一 条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个 平面。
(3)如果一条直线与一个平面平行，经 过这条直线的平面和这个平面相交， 则这条直线与交线平行。
一、两个平面平行的判定方法
1、两个平面没有公共点
2、一个平面内有两条相交
两 个
直线都平行于另一个平面
平 面
3、都垂直于同一条直线的
平 行
两个平面
二、两个平面平行的性质
1、两个平面没有公共点
2、其中一个平面内的直线平行于
垂线法
射影法 A
B
O
D
C
解析2：空间距离
两点之间的距离 点到直线的距离、 点到平面的距离 两条平行线间的距离、 两条异面直线间的距离、 平面的平行直线与平面之间的距离 两个平行平面之间的距离
点—点 点—线 点—面 线—线 线—面
点—面
从平面外一点引这个平面的垂线 垂足叫做点在这个平面内的射影
线共有 8 条。
B
（2）线面角
斜线与平面所成的角
平面的一条斜线 和它在这个平面内的射影 所成的锐角
A
O
B
当直线与平面垂直时，直
线与平面所成的角是90°
当直线在平面内或
与平面平行时，
直线与平面所成的角
是0°
斜线与平面所成的角 （ 0°, 90°）
直线与平面所成的角
[ 0°, 90°]
异面直线所成的角
a 无
(1) 定义——直线与平面没有公共点
(2) 定理——如果平面外一条直线和 这个平面内的一条直线平行，那么 这条直线和这个平面平行。
线面平行的性质
(1)如果一条直线与一个平面平行， 则这条直线与这个平面无公共点
(2)如果一条直线与一个平面平行， 则这条直线与这个平面内的直线 成异面直线或平行直线
二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点， 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线， 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角
O
二二面面角角的的求求法法
(1)垂线法——利用三垂线定理作出平 面角，通过解直角三角形求角的大小
(2)垂面法——通过做二面角的棱的垂 面，两条交线所成的角即为平面角
(3)射影法——若多边形的面积是S， 它在一个平面上的射影图形面积是S`， 则二面角的大小为COS = S`÷ S
P
截面和底面相似，并 且它们面积的比等于
截得的棱锥的高与已
D` O C` 知棱锥的高的平方比
A`
B`
A
D H
C B
2
S A`B`C `D`
2
S ABC D
PO2 PH 2
正棱锥
如果一个棱锥 的底面是正多 边形，并且顶 点在底面的射 影是底面中心 这样的棱锥叫 做正棱锥
在下列条件下，判断正三棱锥P-ABC 的顶点P在底面ABC内的射影位置
这个点和垂足间的距离叫做
A
点到平面的距离
H
线面垂直
点的射影 点面距离
线—面
一条直线和一个平面平行时，直线上任意一点 到这个平面的距离叫做直线到平面的距离
Al
A`
Al B
A`
Al
A`
点—面 线—面
点到平面的距离的求法：
（1）直接法 即直接由点作垂线，求垂线段的长.wk.baidu.com
（2）转移法 转化成求另一点到该平面的距离.
一、知识结构
二、空间的直线与平面
1：空间的角 2：空间的距离 3：平行与垂直
解析：1
异面直线所成的角 直线与平面所成角 平面与平面所成角
（1）异面直线所成的角
如：在正方体AC1中，求异面直线 A1B和B1C所成的角？
D1 A1
C1 A1B和B1C所
B1
成的角为 60°
D A
和A1B成角为 C 60°的面对角
1、三条侧棱相等 2、侧棱与底面所成的角相等 3、侧面与底面所成的角相等 4、顶点P到⊿ABC的三边距离相等 5、三条侧棱两两垂直 6、相对棱互相垂直 7、三个侧面两两垂直
（3）体积法.
解析3：平行与垂直
线面位置关系
直线在平面内 直线和平面相交 直线和平面平行
有无数个公共点
有且仅有一个公 共点
没有公共点
位置关系
图示
直线在平
面内
αa
直 线
直 线 与
斜 交
α
在 平 面
平 面 相 交
垂直 相交
α
A a
A a
外 直线与平
a
面平行
α
表示方法 公共点个数
a 无数个
a 一个
a 一个
几何体，逐块求积，然后求和。
3、变换法
如果一个三棱锥的体积直接用体积公式 计算用困难，可转换为等积的另一三棱 锥，而这一三棱锥的底面面积和高都是 容易求得
棱锥基本概念
P
D
C
A
H B
棱锥的底面 棱锥的侧面 棱锥的侧棱 棱锥的顶点 棱锥的高 棱锥的斜高
棱锥基本性质 如果棱锥被平行于底
面的平面所截，那么
（3）判定定理2——如果一条直线和一个平 面内的两条相交直线都垂直，则直线与平面 垂直。
线面垂直的性质
（1）定义——如果一条直线和一个平面垂直 则这条直线垂直于平面内的任意一条直线
（2）性质定理——如果两条直线同垂直于一 个平面，则这两条直线平行。
如果两个平面所成的二面角是 直二面角，则这两个平面垂直
如如果果一一个个平平面面经经过过另另一一个个平平面面的的一一 条条垂垂线线，，则则这这两两个个平平面面互互相相垂垂直直
A
D
B
E
C
线面垂直 面面垂直
如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直 于它们的交线的直线垂直于另一个平面
A
D
B
E
C
面面垂直 线面垂直
三、简单几何体
1：常用的体积公式 2：棱锥的有关概念与性质 3：球的有关概念与性质
常用体积公式
c
a
b
V长方体 = a b c
常用体积公式
h s
s s V V 棱柱 = 底 ·h
棱柱 = 直 ·l
常用体积公式
V s 棱锥=
1 3
底·
h
求多面体的体积时常用的方法
1、直接法 根据条件直接用柱体或锥体的体积公式
如果一个多面体的体积直接用体积公式
2、割补法 计算用困难，可将其分割成易求体积的
（ 0°, 90°]
求直线与平面所成的角时,应注意的问题:
(1)先判断直线与平面的位置关系 (2)当直线与平面斜交时，常采用以下步骤： ①作出或找出斜线上的点到平面的垂线 ②作出或找出斜线在平面上的射影 ③求出斜线段，射影，垂线段的长度 ④解此直角三角形，求出所成角的相应函数值
（3）二面角
从一条直线出发的两个半平面所形成 的图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的棱