第2讲 逻辑函数的公式化简法

A+ B + C = A• B •C
A + AB = A + B AB + AB = A
AB + AC + BCD··· = AB + AC
AB + AC + BC = AB + AC
同一律
A+A=A
A • A=A
还原律 A=A
减法、除法， 移项规则 注：无减法、除法，无移项规则
[例 1. 1. 1] 证明公式 A+ BC = ( A+ B)( A+ C) ] 方法二： [解] 方法二：真值表法 A B C B ⋅ C A+ BC A+ B A+ C ( A+ B)(A+ C) + + + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
[例] Y = A + AB+ AB + ABC B C
解
[例] 例
F = B + AB + AB CD 解 F = B + AB = B + A [例] F = AC + ABC D( E + F ) 例
解
F = AC
四、配项消项法：利用 AB+ A + BC = AB+ A 配项消项法： C C [例 1. 2. 10] Y = BC + A + A + B + AB ] C C C
= A⋅ B⊕C + A(B⊕C)
=A
消去AB。 二、吸收法：利用 A+ AB = A 消去 。 吸收法： [例 1. 2. 8] Y = AB+ AD+ BE ]
+ = A+ B+ AD+ BE = A+ B
[ 例]
Y = AB+ A + B CD CD
= AB+ ( A+ B) CD
+ = AB+ ABCD= AB = A+ B
1. 2 逻辑函数的化简方法 知识体系： 知识体系： 逻辑函数的公式法化简
用公式法化简得到最简与或式 五种逻辑函数形式之间的转换 1.2.2 1.2.1二 二
逻辑函数的图形法化简
卡诺图的构成原理——最小项、标准与或式 最小项、 卡诺图的构成原理 最小项 与或式的卡诺图法化简 五种逻辑函数的卡诺图法化简 具有约束关系的逻辑函数的卡诺图化简 1.2.1一 一 1.2.3 补充 1.2.4
= AB + A C
四、基本法则
1、代入法则 、 将任何变量A用另一函数 代替，等式仍然成立。 将任何变量 用另一函数Z代替，等式仍然成立。 用另一函数 代替 例 1 证明 A + B + C 解：
_________
____________ ____________
= A ⋅ B ⋅CBiblioteka Baidu
_______
= E BC D+ AE + BC D
E = E + A + BC D
= E + BC D
五、逻辑函数的最简表达式 1. 最简与或式： 最简与或式： 2. 最简与非 – 与非式： 与非式： 3. 最简与或非式： 最简与或非式：
Y = AB+ A C
Y = AB⋅ A C
Y = AB + AC Y = ( A+ B) ( A+ C)
1.1.2
公式和定理
一、常量之间的关系 0+0=0 0 +1= 1 0·0=0 0·1 = 0 二、变量和常量的关系 A+0 =A A·0 =0 A+1 = 1 A·1 =A
1+1=1 1·1=1
0=1
1=0
A+A=1 A·A=0
三、定律 交换律 A+B=B+A， A• B=B • A A• 结合律 A+(B+C)=(A+B)+C， (B • C)=(A • B) • C ， 分配律 A(B+C)=A B+A C， A+B • C=(A+B)(A+C) ， 摩根律 A • B • C = A + B + C 吸收律 A+AB=A
将等式两边的B用 A + B = A ⋅ B ，将等式两边的 用B+C 代入得到
A+ B + C = A ⋅ B + C = A ⋅ B ⋅C
2. 反演法则（口诀：12个字） 反演法则（口诀： 个字 个字） 原变反， “＋变•，•变＋，原变反，反变原”。 ， 变＋，原变反 反变原” 例2
求
F = A + B + C + D + E 的反函数
基本公式应用 1. 证明等式 2. 逻辑函数不同形式的转换 逻辑函数不同形式的转换 逻辑函数的表达式通常分为五种： 逻辑函数的表达式通常分为五种： 与或式、 与或式、 或与式、 或与式、 与非-与非式、 与非 与非式、 与非式 或非-或非式。 或非 或非式。 或非式 与或非式
小结： 小结：
1.数制及其转换； 数制及其转换； 数制及其转换 2.三种基本逻辑运算真值表、表达式、逻辑 三种基本逻辑运算真值表、 三种基本逻辑运算真值表 表达式、 符号； 符号； 3.常用复合逻辑运算及逻辑符号； 常用复合逻辑运算及逻辑符号； 常用复合逻辑运算及逻辑符号 4.逻辑代数公式与定理。 逻辑代数公式与定理。 逻辑代数公式与定理
练习： 练习： 例
解
F = AB + A CD + BCDE
F = AB + A CD
例
解
F = ABC + ( A + C ) D + BD
F = ABC + AC D + BD = ABC + AC D
Y = ACE+ A + BC D+ BEC + DEC + A BE E
B = E ( AC + A + BC + DC + A) + BC D = E ( C + B + D+ A ) + B C D = E (B+ C + D) + AE + BC D
F = A+ D F = AB C + AB C
F = AB
解：
解：
例
解
F = A BC + ABC
F=A 例 F = A B C + ABC + AB C + ABC
解
F = AC + A C = C
[ 例]
解
Y = ABC + ABC + ABC + AB C
C = A (BC + B C) + A (BC + B )
相等
[例 1. 1. 2] 证明：A ⋅ B = A + B , ] 证明： 列真值表证明： 列真值表证明： 证明
A + B = A⋅ B
证明吸收律： 证明吸收律： + AC + BC = AB + AC AB
AB + A C + BC = AB + A C + ( A + A ) BC = AB + A C + ABC + A BC = AB(1 + C ) + A C (1 + B )
公式法
卡诺图法
与或式两次求反,展开一层 与或式两次求反 展开一层 F 的与或式加非号 与或非式展开 或与式两次求反,展开一层 或与式两次求反 展开一层 缺点： 缺点：不直观
公式法化简的优点： 公式法化简的优点：方便快捷 优点
三、消因子法：利用 A+ AB = A+ B消去多余因子 A 消因子法： 。 [例 1. 2. 9] Y = AB+ AC + BD ]
解
= A+ B+ AC + BD = A+ B+C + D
= A (B+ B C) + A (B+ BC) = A (B+ C) + A (B+ C) B B C = A + AB+ A + AC = A + AB+C
例如： 例如： A(B+C) AB+AC 因为 所以
对偶 A+BC, 对偶 (A+B)(A+C), A(B+C)=AB+AC成立 成立, 成立 A+BC=(A+B)(A+C)亦成立。 亦成立。 亦成立
注意：为保持原式的逻辑优先关系， 应正确使用括号。 注意：为保持原式的逻辑优先关系， 应正确使用括号。
C = BC + A + AB
冗余项
B 或 = BC + A + A + B + A C C C
= A + A +B B C C
结果不唯一！ 结果不唯一！ [例 1. 2. 11] Y = A + AC + BC + AB+ AC + BC ] B
B = A + AC + BC 或 = A + AC + BC + AB+ AC + BC B = AB+ AC + BC 注意：结果不唯一！ 注意：结果不唯一！
注意：为了保持原函数逻辑优先顺序，应正确使用括号。 注意：为了保持原函数逻辑优先顺序，应正确使用括号。
3. 对偶法则 对偶法则 将逻辑式F中的“ 可得对偶式G。 将逻辑式 中的“＋变•，•变＋” 可得对偶式 。 中的 ，变 若原式F成立，则其对偶式G也一定成立 若原式 成立，则其对偶式 也一定成立。 成立 对偶式 也一定成立。
Y = A+ B + A+ C
[证] Y = AB+ A = AB + A C ∴Y = AB + AC C 4. 最简或与式： 最简或与式： 5. 最简或非 – 或非式： 或非式： [ 证]
Y = (A+ B) (A+ C) = A+ B + A+ C
表达式 与或式 与非式 与或非式 或与式 或非式
1. 2 逻辑函数的化简方法
1. 2. 2 逻辑函数的公式化简法 （与或式
公式 定理
最简与或式） 最简与或式）
一、并项法: AB+ AB = A 并项法: [例 1. 2. 7] Y = ABC+ AB + A ] C B
解：
例 例
= AB+ AB = B + F = AB + CD + AB + C D