2.2-最常见的随机过程或随机模型

最常见的随机过程或随机模型
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主要内容
Brown运动或 运动或Wiener过程 运动或 过程 二项过程 Poission过程 过程 白噪声过程 自回归过程 移动平均过程 混合自回归移动平均过程 利率期限结构或均值回复模型 ARCH类模型与 类模型与GARCH类模型 类模型与 类模型
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Brown运动或 运动或Wiener过程 过程 运动或
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应用举例 ——股票期权定价的基本思路 股票期权定价的基本思路
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我们为了给股票期权定价， 我们为了给股票期权定价，必须先了解股票本 身的走势。因为股票期权是其标的资产（即股票） 身的走势。因为股票期权是其标的资产（即股票） 的衍生工具，在已知执行价格、期权有效期、 的衍生工具，在已知执行价格、期权有效期、无 风险利率和标的资产收益的情况下， 风险利率和标的资产收益的情况下，期权价格变 化的唯一来源就是股票价格的变化， 化的唯一来源就是股票价格的变化，股票价格是 影响期权价格的最根本因素。 影响期权价格的最根本因素。 因此，要研究期权的价格， 因此，要研究期权的价格，首先必须研究股票 价格的变化规律。在了解了股票价格的规律后， 价格的变化规律。在了解了股票价格的规律后， 我们试图通过股票来复制期权， 我们试图通过股票来复制期权，并以此为依据给 期权定价。 期权定价。 在下面几节中我们会用数学的语言来描述这种 定价的思想。 定价的思想。 9 9
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标准布朗运动两大特征： 特征1 正态分布) 特征 ∆z = ε ∆t (正态分布 正态分布 特征2： 特征 ：对于任何两个不同时间间 隔 ， z 的值相互独立。(独立增量 独立增量） 独立增量 ∆
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考虑Brown运动 考虑 运动{wt}在一个很短的时间间 在一个很短的时间间 运动 之间的变化∆ ＝ 隔∆t之间的变化∆w＝wt+∆t —wt。 之间的变化 ∆ 显然， 服从均值为0、方差为∆ 显然，∆w 服从均值为 、方差为∆t 的正态 分布， 分布，即∆w∼N(0,∆t)， ∼ ∆ ， 也可以写作。 也可以写作。当∆t→0时， → 时
引言
Brown运动是 运动是1827年英国生物学家 年英国生物学家Brown在研究 运动是 年英国生物学家 在研究 花粉运动时被发现的。 花粉运动时被发现的。 1918年，Wiener给出 年 给出Brown运动的严格的数学描 给出 运动的严格的数学描 所以Brown运动也被称为 运动也被称为Wiener过程。 过程。 述，所以 运动也被称为 过程 目前，在经济金融研究中， 目前，在经济金融研究中，Brown运动被广泛用 运动被广泛用 以描述股票价格的变化过程， 以描述股票价格的变化过程，并成为描述随机现象 的基石。 的基石。
维纳过程的性质
z(T ) − z(0) = ∑ εi ∆t
n i=1
[z (T ) – z (0)]也是正态分布 均值等于 0 方差等于T 标准差等于 T 方差可加性
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为何使用布朗运动？ 为何使用布朗运动？
正态分布的使用：经验事实证明，股票价格 的连续复利收益率近似地服从正态分布 数学上可以证明，具备特征1 和特征2的维 纳过程是一个马尔可夫随机过程 维纳过程在数学上对时间处处不可导和二次 Quadratic Variation 变分（Quadratic Variation）不为零的性质， 与股票收益率在时间上存在转折尖点等性质 也是相符的
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σ
:
1、证券价格的年波动率，又是股票价格对数收益率的年 标准差 2、一般从历史的证券价格数据中计算出样本对数收益 率的标准差，再对时间标准化，得到年标准差，即为波 动率的估计值。在计算中，一般来说时间距离计算时越 近越好；时间窗口太短也不好；一般来说采用交易天数 计算波动率而不采用日历天数。
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µ:
1、几何布朗运动中的期望收益率。
µ 2、根据资本资产定价原理， 取决于该证券的系统性风险、 无风险利率水平、以及市场的风险收益偏好。由于后者涉 及主观因素，因此其决定本身就较复杂。然而幸运的是， 我们将在下文证明，衍生证券的定价与标的资产的预期收 益率 µ 是无关的。
3 、较长时间段后的连续复利收益率的期望值等于µ − σ 2 / 2 < µ ，这是因为较长时间段后的连续复利收益率的期望值 是较短时间内收益率几何平均的结果，而较短时间内的收 益率则是算术平均的结果。
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一般来说，金融研究者认为证券价格的变化过 程可以用漂移率为μS、方差率为 σ 2 S2的伊藤过程 （即几何布朗运动）来表示：
dS = µ Sdt + σ Sdz
之所以采用几何布朗运动其主要原因有两个： 一是可以避免股票价格为负从而与有限责任相矛盾 的问题，二是几何布朗运动意味着股票连续复利收 益率服从正态分布，这与实际较为吻合。
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1965年，法玛 （Fama）提出了著名 的效率市场假说。该 假说认为，证券价格 对新的市场信息的反 应是迅速而准确的， 证券价格能完全反应 全部信息。
有效 市场 三个 层次 1、弱式效率市场假说 2、半强式效率市场假说 3、强式效率市场假说
根据众多学者的 实证研究，发达国 家的证券市场大体 符合弱式效率市场 假说。一般认为， 一般认为， 一般认为 弱式效率市场假说 与马尔可夫随机过 程（Markov Stochastic Process） Process）是内在一 致的。 致的。因此我们可 以用数学来刻画股 票的这种特征。
特别地， 特别地，当a(S,t)=Su， b(S,t)=Sσ 时， ， σ (3.1)式变为 式变为
dS = udt + σ dw S
(3.2)
其中，u， σ为常数，此时的随机过程称为 其中， ， 为常数， 几何Brown运动，经常用以描述股票收益 运动， 几何 运动 率的变化情况。 率的变化情况。
∆w = ε ∆t , ε ~ N (0,1)
就得到极限形式
dw = ε
dt
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若随机过程{ 若随机过程 St}t≥0遵循 ≥ dS =a(S,t)dt+b(S,t)dw (3.1) 称为一般Itô过程。 过程。 称为一般 过程 其中， 是变量S,t的函数 其中，设a(S,t)、b(S,t)是变量 的函数， 、 是变量 的函数， {wt}t≥0为标准 运动。 运动 右边有二项组 ≥ 为标准Brown运动。(3.1)右边有二项组 第一项a(S,t)dt称为漂移项，a(S,t)称为漂移 称为漂移项， 成，第一项 称为漂移项 称为漂移 第二项b(S,t)dw称为扩散项，b(S,t)称为扩 称为扩散项， 率，第二项 称为扩散项 称为扩 散率或波动率，所以Itô过程也称为扩散过程。 过程也称为扩散过程。 散率或波动率，所以 过程也称为扩散过程 当用Itô过程描述股票价格的变化时，第一项 过程描述股票价格的变化时， 当用 过程描述股票价格的变化时 a(S,t)dt表示股票价格瞬时变化的期望值， 表示股票价格瞬时变化的期望值， 表示股票价格瞬时变化的期望值 b(S,t)dw表示股票价格的瞬时波动值，反映股票 表示股票价格的瞬时波动值， 表示股票价格的瞬时波动值 价格变化中由不确定性造成的随机冲击， 价格变化中由不确定性造成的随机冲击，随机冲击 6 通过波动率的放大或缩小传导给股票价格。 通过波动率的放大或缩小传导给股票价格。