第十一章 长面板与动态面板

在以上的固定效应或随机效应模型中，要么全部解 释变量与个体效应u i相关（固定效应），要么全部 解释变量都与u i不相关（随机效应）。介于二者之 间的混合情形是，某些解释变量与u i相关，而其他 解释变量与u i不相关。在这种情况下，有可能使用 工具变量法得到对不随时间变化的变量系数的一致 估计。
假设成立，则根据残差计算的个体扰动项之间的 相关系数应接近于0。如果将这些相关系数排成一 个矩阵，即残差相关系数矩阵，则该矩阵非主对 角线元素应离0不远。
根据残差相关系数矩阵，可以设计以下几种检验： Breusch-Pagan LM检验，该检验适用于长面板； Pesaran检验，统计量服从标准正态分布； Friedman检验，统计量服从 2分布。后两个检验对 短面板也适合
i＝ i＝1， ，n ，则所有个体的扰动项都服从自
回归系数相同的AR 1 过程。 使用PW估计法（参见第六章）对原模型进行广义差 分变换，就可以得到FGLS估计量。
如果T并不比n大很多，则约束每个面板（个体）的 自回归系数均相等，因为时间维度T可能无法提供 足够的信息来分别估计每个面板自己的i。
第十一章 长面板与动态面板
一、长面板
上一章主要关注短面板。对于短面板，由于时间维 度T较小，每个个体的信息较少，无法讨论扰动项
it 是否存在自相关，故一般假设 it 为独立同分布
的。对于长面板（long panel），由于T较大，信息 较多，故可以放松这个假定，对 it 自相关的具体形 式进行估计，然后使用可行广义最小平方法（FGLS） 进行估计。
对于z 2i，则可以使用x1作为工具变量，即用随时间 变化的外生变量的平均值作为不随时间变化的内生 变量的工具变量。一般来说，z 2i 会与x1相关（二者 同为yi的解释变量）；另一方面，根据定义， Cov x1i，u i ＝0。因此，x1为有效工具变量。


显然，为了使用工具变量法，必须要求x1i中所包含 的外生变量个数比z 2i中所包含的内生变量个数更多 使用以上工具变量进行2SLS估计，就得到 豪斯曼－泰勒估计量。有人提出将 x1，i1－x1，i ， x1，i2－x1，i ， ，x1，iT－x1，i 也作为工具变量使用， 以增加估计的效率。
三、变系数模型
对于长面板数据，由于样本容量大，除了可以让每 个个体拥有自己的截距项外，还可以允许每个个体 的回归方程斜率也不同，称为变系数模型。变系数 模型分为两大类，取决于将可变系数视为常数还是 随机变量
1、将可变系数视为常数
假设yit＝x i＋ it，其中i为第i个个体对应的系数。 it 此时，可以对每个个体方程进行分别回归。但如果 不同个体的扰动项相关，则分别回归效率不高，因 为它忽略了不同方程扰动项相关性的可用信息。有 效率的做法是，把所有个体回归方程叠放（stack）， 然后使用似不相关回归（SUR）对整个方程系统进 行系统估计（system estimation）。
Cov it， i，t－1 ＝Cov it－ i，t－1， i，t－1－ i，t－2 ＝－Cov i，t－1， i，t－1 ＝－Var i，t－1 ＝－
故自相关系数为 Corr it， i，t－1 ＝ Cov it， i，t－1 Var it ＝－0.5
使用这个方法的缺点是，可能需要估计较多参数， 从而损失自由度。
作为一种折中，可以考虑“部分变系数模型”，即 允许i中的部分系数（比如，研究者感兴趣的系数） 随个体而变，而其余系数则不变。在这种情况下， 不再适用SUR，因为各个体方程除了扰动项相关外， 还拥有部分相同的系数（跨方程约束）。此时，可 以使用LSDV法（虚拟变量最小平方法），即在回归 方程中，引入个体虚拟变量，以及虚拟变量与x it中可 变系数之解释变量的互动项。
考虑一阶差分模型 yit＝x ＋ it 在不存在组内 it （autocovariance）分别为Var it ＝Var it－ i，t－1 ＝Var it ＋Var i，t－1 ＝2
2
自相关的原假设下，扰动项 it的方差与自协方差
2ຫໍສະໝຸດ Baidu
记 it的样本值为e（即一阶差分回归的残差），对 it eit 进行一阶自回归： eit＝ ei，t－1＋errorit i=1， ，n；t=3， ，T） （ 然后对原假设“H 0：＝－0.5 Wald （t或F检验） 3、组间截面相关的检验 考虑原假设“不存在组间截面相关”。如果此原
异方差或自相关，故有必要对此进行检验。
1、组间异方差的检验
对于原假设“不同个体的扰动项方差均相等”，即
2 “H0： i2＝（i＝1， ，n）”，可以考虑进行似然 2 2 比检验（LR）。共有n-1个约束，即 12＝ 2， 2＝ 32
， ， ＝ 。故该似然比统计量服从自由度为n-1
不相关），条件协方差矩阵Var vi x i ＝（对角矩 阵）。因此， yit＝x i＋ it＝x ＋vi ＋ it＝x ＋ x vi＋ it it it it it
由于E vi x i ＝0，通过使用迭代期望定律，可以证 明复合扰动项 x vi＋ it 与解释变量x i不相关。因此 it OLS是一致的。然而，复合扰动项 x vi＋ it 的协方 it 差矩阵为分块对角矩阵，并非单位矩阵（类似于随 机效应模型的情形，参见第10章）。Swamy提出用 FGLS来估计此模型，即利用OLS残差来估计协方差 矩阵中的参数，然后再使用GLS。
2、同时处理组内自相关与组间同期相关的FGLS
在某些情况下，不同个体之间的扰动项可能存在组 间同期相关（也称空间相关（spatial correlation）或 截面相关（cross-sectional correlation）），比如对于 省际面板数据，相邻省份之间的同期经济活动可能 互相影响。
如果没有个体虚拟变量，则为随机效应模型；如果 加上个体虚拟变量，则为固定效应模型。 二、对长面板数据进行异方差与自相关的检验 由于在对长面板进行FGLS估计时，要确定是否存在
2 n-1 2 n
的 2分布。
加上n-1个同方差约束之后，必然降低似然函数的最 大值。如果降低很多，根据似然比检验原理，则倾 向于拒绝同方差的原假设。在存在组间异方差 （groupwise heteroskedasticity）的情况下，迭代FGLS 估计法等价于最大似然估计法。
2、组内自相关的检验
更一般地，考虑以下动态面板模型： yit＝＋ yi,t-1＋x ＋z ＋u i＋ it （t=2， ，T） it i 先作一阶差分以消去个体效应u i，可得 yit＝yi,t-1＋x ＋ it （t=2， ，T） 然而 it yi,t-1 yi,t-1－yi,t-2依然与 it it－ i，t－1相关，因为 yi,t-1与 i，t－1相关。因此，yi,t-1为内生变量，需要寻 找适当的工具变量才能得到一致估计。为此 Anderson and Hsiao提出使用yi,t-2作为yi,t-1的工具 变量，称为Anderson-Hsiao估计量。
显然，yi,t-2与yi,t-1 yi,t-1－yi,t-2相关。如果 it 不存在 自相关，则yi,t-2与 it it－ i，t－1不相关（虽然yi,t-2 依赖于 i，t－2，但 it， i，t－1均与 i，t－2不相关）。因此
使用豪斯曼－泰勒估计量的重要前提是，所有解释 变量均与 it不相关，而且部分解释变量与u i不相关。 在实证研究中，需要说明这些条件为何能够满足， 否则，将导致不一致的估计。
五、动态面板
面板数据的一个优点是可以对个体的动态行为进行 建模。有些经济理论认为，由于惯性或部分调整， 个体的当前行为取决于过去行为，比如资本存量的 调整。如果在面板模型中，解释变量包含了被解释 变量的滞后值，则称之为动态面板数据（Dynamic Panel Data，DPD）。
在长面板中，由于n相对于T较小，对于可能存在的 固定效应，只要加入个体虚拟变量即可（即LSDV法） 对于时间效应，可以通过加上时间趋势项或其平方项 来控制。
总之，对于长面板数据，关注的焦点在于设定扰动 项相关的具体形式，以提高估计的效率。可以分为 以下两种情形：一为，仅解决组内自相关的FGLS 二为，同时处理组内自相关与组间同期相关的FGLS
显然，由于Lyi中包含 yi2， ，yi,T-1的信息，而
i2 i,T-1 it i i it


y ， ，y 与 － 相关，故Ly 肯定与 －
i
相关。因此，FE是不一致的，称之为动态面板偏差。 对于长面板数据（n小T大），动态面板偏差较小， 可以直接使用组内估计量（FE）。本节主要针对短 面板数据（n大T小）。
2、随机系数模型（Random Coefficient Model）
回归系数反映的是经济变量间的一种关系。这种关 系可能随时间而变，故可以看作是受随机因素的影 响。如果将系数i视为随机变量（好像是从某个总 体中抽取的样本），可以假设i＝＋vi，其中 为 常数向量，而vi为随机向量，且满足条件期望 E vi x i ＝（故影响斜率的随机因素vi与解释变量x i 0
1、仅解决组内自相关的FGLS
考虑以下模型： yit＝x ＋ it it 其中，x it 可以包括常数项、时间趋势项（或其平方 项）、个体虚拟变量、以及不随时间变化的解释变 量zi。扰动项 it 服从AR 1 过程，即 it＝i i,t-1＋vit 其中， i <1，vit 为独立同分布且期望为0。如果
量。显然，x 2，it与 x 2，it－x 2，i 相关；接着证明
变量。对于x 2，it，可以使用 x 2，it－x 2，i 作为工具变
x 2，it－x 2，i 与与u i不相关：
根据迭代期望定律，E x 2，it－x 2，i u i ＝E ui E x 2，it－x 2，i u i u i ＝E ui u i E x 2，it－x 2，i u i ＝E ui u i 0＝0
四、豪斯曼－泰勒估计量
固定效应模型的主要缺点是无法估计不随时间而变 的变量系数。而这些不随时间变化的变量可能恰恰 是我们感兴趣的，比如性别、受教育程度对工资的 作用等。如果有足够的工具变量，可以对方程 yit＝x ＋z ＋u i＋（i=1， ，n；t=1,，T）直接 it i it 用工具变量法进行估计，即需要找到与内生解释变 量相关，但与个体效应u i无关的有效工具变量。
考虑以下面板模型： yit＝x1，it 1＋x ，it 2＋z1i1＋z 2＋u i＋ it 2 2i 其中，解释变量x随时间变化，而z不随时间变化。 带下标1的变量（即x1与z1）为外生变量（与u i不相 关），而带下标2的变量（即x 2与z 2）为内生变量 （与u i相关）。所有解释变量均与 it不相关。 由于x1，it与z1i外生，故可以用自己作为自己的工具
对于动态面板数据，即使组内估计量（FE）也是不 一致的。比如，假设yit＝＋ yi,t-1＋u i＋（t=2， ，T） it
则其离差形式为yit－yi＝ yi,t-1－Lyi ＋ it－ i （t=2， ，T） 1 T 1 T 1 T 其中，yi＝ Ly yit， i＝ T-1 yi，t－1， i＝ T-1 it T-1 t=2 t=2 t=2 为时间平均值。