高中数学空间中的垂直关系考点及例题讲解

空间中的垂直关系
考纲解读 1.以立体几何的定义、公理、定理为出发点，判定空间中的垂直关系；2.以常见几何体为模型，进行空间中垂直关系的转化与探索．
[基础梳理]
1．直线与平面垂直
(1)定义：直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直 (2)判定定理与性质定理：
2.(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角．
(2)范围：⎣⎡⎦⎤0，π
2 . 3．平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念：
①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；
②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫作二面角的平面角．
(2)平面和平面垂直的定义：
两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：
判定定理一个平面过另一个平面的
垂线，则这两个平面垂直
⎭⎪
⎬
⎪⎫
l⊥α
l⊂β
⇒α⊥β
性质定理两个平面垂直，则一个平面
内垂直于交线的直线与另
一个平面垂直
⎭⎪
⎬
⎪⎫
α⊥β
l⊂β
α∩β＝a
l⊥a
⇒l⊥α
[三基自测]
1．下列命题中不正确的是()
A．如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面β
B．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
C．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
D．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ
答案：A
2．已知直线a，b和平面α，且a⊥b，a⊥α，则b与α的位置关系为()
A．b⊂αB．b∥α
C．b⊂α或b∥αD．b与α相交
答案：C
3．(必修2·习题2.3A组改编) 如图，在三棱锥V ABC中，∠
VAB＝∠VAC＝∠ABC＝90°，则构成三棱锥的四个三角形中直角三角
形的个数为________．
答案：4
4．在正方体ABCD A1B1C1D1中，M、N、Q分别是AB、AD、AA1的中点，则AC1与面MNQ的关系为________．(垂直、不垂直)
答案：垂直
考点一线面垂直的判定与性质|方法突破
[例1]如图，三棱锥P ABC中，△ABC是正三角形，PC⊥平面ABC，PC＝AC＝2，E为AC中点，EF⊥AP，垂足为F.
(1)求证：AP ⊥FB ；
(2)求多面体PFBCE 的体积．
[解析] (1)证明：由题意得BE ⊥AC ，又PC ⊥平面ABC ， ∴PC ⊥BE .又AC ∩PC ＝C ，∴BE ⊥面P AC . ∴BE ⊥AP .
又EF ⊥AP ，EF ∩BE ＝E ，∴AP ⊥面BEF . ∴AP ⊥FB .
(2)在△ABC 中，AB ＝AC ＝BC ＝2，E 为AC 中点， ∴AE ＝1，BE ＝ 3.
在△PCA 中，∠PCA ＝90°，AC ＝PC ＝2，∴∠P AC ＝45°. 又EF ⊥P A ，∴EF ＝AF ＝22，S △AEF ＝12EF ·AF ＝1
4
.易知，BE ⊥平面AFE .∴V A BEF ＝V B
AFE
＝13BE ·S △AEF ＝312
， 又V P
ABC ＝
13PC ·S △ABC ＝23
3
， ∴多面体PFBCE 的体积为V P ABC －V A
BEF ＝
73
12
. [方法提升]
证明直线与平面垂直的常用方法
(1)利用线面垂直的判定定理：在平面内找两条相交直线与该直线垂直． (2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”． (3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂直”． (4)利用面面垂直的性质定理：在平面内找与两平面交线垂直的直线． [跟踪训练]
∠ACB ＝90°，PC ⊥平面ABC ，PC ＝AC ，D 为P A 的中点，求证：P A ⊥面BDC .
证明：∵PC ⊥面ABC ，∴BC ⊥PC ，又BC ⊥AC ，AC ∩PC ＝C . ∴BC ⊥面P AC ，∴BC ⊥P A .
由AC ＝PC ，D 为P A 的中点，∴CD ⊥P A ，CD ∩BC ＝C ， ∴P A ⊥面BCD .
考点二 平面与平面垂直的判定与性质|思维突破
[例2] (2017·高考全国卷Ⅰ)如图，在四棱锥P ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.
(1)证明：平面P AB ⊥平面P AD ；
(2)若P A ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，且四棱锥P ABCD 的体积为8
3，求该四棱锥的
侧面积．
[解析] (1)证明：由∠BAP ＝∠CDP ＝90°，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD . 由于AB ∥CD ，故AB ⊥PD ，又AP ∩PD ＝P ，从而AB ⊥平面P AD . 又AB ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面P AD . (2)如图所示，在平面P AD 内作PE ⊥AD ，垂足为E .
由(1)知，AB ⊥平面P AD ，故AB ⊥PE ，可得PE ⊥平面ABCD . 设AB ＝x ，则由已知可得AD ＝2x ，PE ＝2
2
x . 故四棱锥P ABCD 的体积V P ABCD ＝
13AB ·AD ·PE ＝13
x 3. 由题设得13x 3＝8
3
，故x ＝2.
从而P A ＝PD ＝2，AD ＝BC ＝22，PB ＝PC ＝2 2.
可得四棱锥P ABCD 的侧面积为12P A ·PD ＋12P A ·AB ＋12PD ·DC ＋1
2BC 2sin 60°＝6＋2 3.
[思维升华]
应用线面垂直的判定与性质定理的思维
(1)证明两个平面垂直，关键是选准其中一个平面内的一条直线，证明该直线与另一个平面垂直．
(2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
(3)由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路．
[跟踪训练]
如图，在四棱锥P ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：
(1)P A⊥底面ABCD；
(2)BE∥平面P AD；
(3)平面BEF⊥平面PCD.
证明：(1)因为平面P AD⊥底面ABCD，且P A垂直于这两个平面的交线AD，所以P A⊥底面ABCD.
(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，
E为CD的中点，
所以AB∥DE，且AB＝DE.
所以四边形ABED为平行四边形．
所以BE∥AD.
又因为BE⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，
所以BE∥平面P AD.
(3)因为AB⊥AD，而且四边形ABED为平行四边形，
所以BE⊥CD，AD⊥CD.
由(1)知P A⊥底面ABCD，
所以P A⊥CD，P A∩DA＝A.
所以CD⊥平面P AD.
所以CD⊥PD.
因为E和F分别是CD和PC的中点，
所以PD∥EF.
所以CD⊥EF.
又因为CD⊥BE，EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.
所以平面BEF⊥平面PCD.
考点三空间垂直关系的探索与转化|思维突破
[例3]如图，在四棱锥S ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD.四边形ABCD为正方形，且P为AD的中点．
(1)求证：CD⊥平面SAD；
(2)若SA＝SD，M为BC的中点，在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面ABCD？并证明你的结论．
[解析](1)证明：因为四边形ABCD为正方形，所以CD⊥AD.
又平面SAD⊥平面ABCD，且平面SAD∩平面ABCD＝AD，所以CD⊥平面SAD.
(2)存在点N为SC的中点，使得平面DMN⊥平面ABCD.
证明：连接PC、DM交于点O，连接PM、SP、NM、ND、NO，
因为PD∥CM，且PD＝CM，
所以四边形PMCD为平行四边形，所以PO＝CO.
又因为N为SC的中点，
所以NO∥SP.易知SP⊥AD，
因为平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，并且SP⊥AD，所以SP⊥平面ABCD，所以NO⊥平面ABCD.
又因为NO⊂平面DMN，
所以平面DMN⊥平面ABCD.
[思维升华]
探索垂直关系，常采用逆向思维
一般假设存在线线垂直，所利用的关系常有：
(1)等腰三角形的高、中线与底边的垂直．
(2)矩形的相邻边垂直．
(3)直径所对的圆周角的两边垂直．
(4)菱形的对角线垂直．
(5)给出长度，满足勾股定理的两边垂直．
[跟踪训练]
(2018·安阳模拟)如图所示，平面ABDE ⊥平面ABC ，AC ＝BC ，四边形ABDE 是直角梯形，BD ∥AE ，BD ＝1
2
AE ，O ，M 分别为CE ，AB 的中点．
(1)求证：OD ∥平面ABC .
(2)能否在EM 上找一点N ，使得ON ⊥平面ABDE ？若能，请指出点N 的位置，并加以证明；若不能，请说明理由．
解析：(1)证明：取AC 中点F ，连接OF ，FB . ∵F 为AC 中点，O 为CE 中点， ∴OF ∥EA 且OF ＝1
2
EA .
又BD ∥AE 且BD ＝1
2AE ，
∴OF ∥DB ，OF ＝DB ， ∴四边形BDOF 是平行四边形， ∴OD ∥FB .
∵FB ⊂平面ABC ，OD ⊄平面ABC ， ∴OD ∥平面ABC .
(2)当N 是EM 中点时，ON ⊥平面ABDE . 取EM 中点N ，连接ON ，CM .
∵AC ＝BC ，M 为AB 中点，∴CM ⊥AB .
又∵平面ABDE ⊥平面ABC ，平面ABDE ∩平面ABC ＝AB ，CM ⊂平面ABC ， ∴CM ⊥平面ABDE .
∵N 是EM 中点，O 为CE 中点， ∴ON ∥CM ，∴ON ⊥平面ABDE .
1.[考点一、二](2014·高考浙江卷)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．( )
A ．若m ⊥n ，n ∥α，则m ⊥α
B ．若m ∥β，β⊥α，则m ⊥α
C ．若m ⊥β，n ⊥β，n ⊥α，则m ⊥α
D ．若m ⊥n ，n ⊥β，β⊥α，则m ⊥α
解析：对于选项A 、B 、D ，均能举出m ∥α的反例；对于选项C ，若m ⊥β，n ⊥β，则m ∥n ，又n ⊥α，∴m ⊥α，故选C.
答案：C
2.[考点三](2017·高考全国卷Ⅲ )如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD ＝CD .
(1)证明：AC ⊥BD ；
(2)已知△ACD 是直角三角形，AB ＝BD ，若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE ⊥EC ，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比．
解析：(1)证明：取AC 的中点O ，连接DO ，BO . 因为AD ＝CD ，所以AC ⊥DO .
又由于△ABC 是正三角形，所以AC ⊥BO . 又DO ∩BO ＝O ，
从而AC ⊥平面DOB ，故AC ⊥BD . (2)连接EO .
由(1)及题设知∠ADC ＝90°，所以DO ＝AO . 在Rt △AOB 中，BO 2＋AO 2＝AB 2. 又AB ＝BD ，
所以BO 2＋DO 2＝BO 2＋AO 2＝AB 2＝BD 2，故∠DOB ＝90°. 由题设知△AEC 为直角三角形，所以EO ＝12
AC .
又△ABC 是正三角形，且AB ＝BD ，所以EO ＝1
2BD .故E 为BD 的中点，从而E 到平面
ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的1
2，
即四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积之比为1∶1.。