高中数学空间中的垂直关系考点及例题讲解

空间中的垂直关系

考纲解读 1.以立体几何的定义、公理、定理为出发点，判定空间中的垂直关系；2.以常见几何体为模型，进行空间中垂直关系的转化与探索．

[基础梳理]

1．直线与平面垂直

(1)定义：直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直 (2)判定定理与性质定理：

2.(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角．

(2)范围：⎣⎡⎦⎤0，π

2 . 3．平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念：

①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；

②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫作二面角的平面角．

(2)平面和平面垂直的定义：

两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：

判定定理一个平面过另一个平面的

垂线，则这两个平面垂直

⎭⎪

⎬

⎪⎫

l⊥α

l⊂β

⇒α⊥β

性质定理两个平面垂直，则一个平面

内垂直于交线的直线与另

一个平面垂直

⎭⎪

⎬

⎪⎫

α⊥β

l⊂β

α∩β＝a

l⊥a

⇒l⊥α

[三基自测]

1．下列命题中不正确的是()

A．如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面β

B．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

C．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

D．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ

答案：A

2．已知直线a，b和平面α，且a⊥b，a⊥α，则b与α的位置关系为()

A．b⊂αB．b∥α

C．b⊂α或b∥αD．b与α相交

答案：C

3．(必修2·习题2.3A组改编) 如图，在三棱锥V ABC中，∠

VAB＝∠VAC＝∠ABC＝90°，则构成三棱锥的四个三角形中直角三角

形的个数为________．

答案：4

4．在正方体ABCD A1B1C1D1中，M、N、Q分别是AB、AD、AA1的中点，则AC1与面MNQ的关系为________．(垂直、不垂直)

答案：垂直

考点一线面垂直的判定与性质|方法突破

[例1]如图，三棱锥P ABC中，△ABC是正三角形，PC⊥平面ABC，PC＝AC＝2，E为AC中点，EF⊥AP，垂足为F.

(1)求证：AP ⊥FB ；

(2)求多面体PFBCE 的体积．

[解析] (1)证明：由题意得BE ⊥AC ，又PC ⊥平面ABC ， ∴PC ⊥BE .又AC ∩PC ＝C ，∴BE ⊥面P AC . ∴BE ⊥AP .

又EF ⊥AP ，EF ∩BE ＝E ，∴AP ⊥面BEF . ∴AP ⊥FB .

(2)在△ABC 中，AB ＝AC ＝BC ＝2，E 为AC 中点， ∴AE ＝1，BE ＝ 3.

在△PCA 中，∠PCA ＝90°，AC ＝PC ＝2，∴∠P AC ＝45°. 又EF ⊥P A ，∴EF ＝AF ＝22，S △AEF ＝12EF ·AF ＝1

4

.易知，BE ⊥平面AFE .∴V A BEF ＝V B

AFE

＝13BE ·S △AEF ＝312

， 又V P

ABC ＝

13PC ·S △ABC ＝23

3

， ∴多面体PFBCE 的体积为V P ABC －V A

BEF ＝

73

12

. [方法提升]

证明直线与平面垂直的常用方法

(1)利用线面垂直的判定定理：在平面内找两条相交直线与该直线垂直． (2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”． (3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂直”． (4)利用面面垂直的性质定理：在平面内找与两平面交线垂直的直线． [跟踪训练]

∠ACB ＝90°，PC ⊥平面ABC ，PC ＝AC ，D 为P A 的中点，求证：P A ⊥面BDC .

证明：∵PC ⊥面ABC ，∴BC ⊥PC ，又BC ⊥AC ，AC ∩PC ＝C . ∴BC ⊥面P AC ，∴BC ⊥P A .

由AC ＝PC ，D 为P A 的中点，∴CD ⊥P A ，CD ∩BC ＝C ， ∴P A ⊥面BCD .

考点二 平面与平面垂直的判定与性质|思维突破

[例2] (2017·高考全国卷Ⅰ)如图，在四棱锥P ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.

(1)证明：平面P AB ⊥平面P AD ；

(2)若P A ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，且四棱锥P ABCD 的体积为8

3，求该四棱锥的

侧面积．

[解析] (1)证明：由∠BAP ＝∠CDP ＝90°，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD . 由于AB ∥CD ，故AB ⊥PD ，又AP ∩PD ＝P ，从而AB ⊥平面P AD . 又AB ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面P AD . (2)如图所示，在平面P AD 内作PE ⊥AD ，垂足为E .

由(1)知，AB ⊥平面P AD ，故AB ⊥PE ，可得PE ⊥平面ABCD . 设AB ＝x ，则由已知可得AD ＝2x ，PE ＝2

2

x . 故四棱锥P ABCD 的体积V P ABCD ＝

13AB ·AD ·PE ＝13

x 3. 由题设得13x 3＝8

3

，故x ＝2.

从而P A ＝PD ＝2，AD ＝BC ＝22，PB ＝PC ＝2 2.

可得四棱锥P ABCD 的侧面积为12P A ·PD ＋12P A ·AB ＋12PD ·DC ＋1

2BC 2sin 60°＝6＋2 3.

[思维升华]

应用线面垂直的判定与性质定理的思维

(1)证明两个平面垂直，关键是选准其中一个平面内的一条直线，证明该直线与另一个平面垂直．