奥数提高班第五讲 一元一次方程
初中七年级奥数课件：一元一次方程
• 解： 按未知数 x 整理方程得(k2-2k)x=k2-5k．
• 要使方程的解为正数，需要(k2-2k)(k2-5k)＞0．
• 看不等式的左端(k2-2k)(k2-5k)=k2(k-2)(k-5)．
• 因为 k2≥0，
• 所以，只要 k＞5 或 k＜2且k≠0时，上式大于零，
• 所以，当 k＜2且k≠0 或 k＞5 时，原方程的解是正 数，所以 k＞5 或 0＜k＜2 即为所求．
• 于是有：
• 2[2(x+3)-3(x-3)]=3×3，
•即
-2x=-21，
x = 21 2
• 例 4、 解关于 x 的方程
•
(mx-n)(m+n)=0．
• 分析：这个方程中未知数是x，m，n是可以 取不同实数值的常数，因此需要讨论m，n 取 不同值时，方程解的情况．
• 解 ：把原方程化为m2x+mnx-mn-n2=0，
x = - 22 9
• 例 2、 已知下面两个方程3(x+2)=5x， • ①4x-3(a-x)=6x-7(a-x) • ② 有相同的解，试求 a 的值 。
• 分析： 本题解题思路是从方程①中求出 x 的 值，代入方程②，求出 a 的值．
• 解：由方程①可求得 3x-5x=-6，
• 所以 x=3．由已知，x=3 也是方程②的解， 根据方程解的定义，把 x=3 代入方程②时， 应有4×3-3(a-3)=6×3-7(a-3)，
• 分析 ：当方程ax=b有唯一解 由不得a、b来确定：
x = b 时，此解的正负
a
• (1)若 b=0 时，方程的解是零；反之，若方程 ax=b 的解是零，则 b=0 成立．
• (2)若 ab＞0 时，则方程的解是正数；反之，若方 程 ax=b 的解是正数，则 ab＞0 成立．
北师大版初中数学七年级上册知识讲解,巩固练习(教学资料,补习资料)：第五章 一元一次方程(提高)
第五章一元一次方程（提高）方程的意义（提高）知识讲解【学习目标】1．正确理解方程的概念，并掌握方程、等式及算式的区别与联系；2. 正确理解一元一次方程的概念，并会判断方程是否是一元一次方程及一个数是否是方程的解；3. 理解并掌握等式的两个基本性质.【要点梳理】要点一、方程的有关概念1．定义：含有未知数的等式叫做方程.要点诠释：判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.要点诠释：判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中未知数的值；②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是．3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程.4．方程的两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（或未知数）.要点二、一元一次方程的有关概念定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.要点诠释：“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数．要点三、等式的性质1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式.2．等式的性质：等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：如果，那么 (c为一个数或一个式子) .等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：如果，那么；如果，那么.要点诠释：（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形； (2) 等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立，如x ＝0中，两边加上得x ＋，这个等式不成立;(3) 等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零．【典型例题】类型一、方程的概念1．（2018秋•盘锦校级月考）下列各式不是方程的是（ ）A.3B.m+2n=0C.x=-3 D.4y ＞3【思路点拨】根据方程的定义进行判断.【答案】D【解析】解：A 、含有未知数且是等式，故本选项是方程；B 、含有未知数且是等式，故本选项是方程；C 、含有未知数且是等式，故本选项是方程；D 、含有未知数但不是等式，故本选项错误．故答案为D.【总结升华】方程是含有未知数的等式，方程和等式的关系是从属关系，方程一定是等式，但等式不一定是方程． 2．下列各方程后面括号里的数都是方程的解的是( )．A ．2x-1＝3 (2，-1)B ． (3，-3) C. (x-1)(x-2)＝0 (1,2) D ．2(y-2)-1＝5 (5，4)【答案】C.【解析】把方程后面括号里的数分别代入方程的左、右两边，使左边＝右边的是方程的解，若左边≠右边的，则不是方程的解．【总结升华】检验一个数是否为方程的解，只要把这个值分别代入方程的左边和右边：若代入后使左边和右边的值相等，则这个数是方程的解；若代入后使方程左右两边的值不相等，则这个数不是方程的解．举一反三：【变式】若是关于的方程的解，则的值为__________.【答案】-1． 类型二、一元一次方程的相关概念3．已知下列方程：①；②x ＝0；③；④x+y ＝0；⑤；⑥0.2x ＝4．其中一元一次方程的个数是( )．A ．2B ．3C ．4D ． 5245x +=5118x x +=-210x +=13x x +=623x x =-【答案】B【解析】方程①中未知数x 的最高次数是2，所以不是一元一次方程；方程③中的分母含有未知数x ，所以它也不是；方程④中含有两个未知数，所以也不是一元一次方程.方程②⑤⑥满足一元一次方程的条件，所以是一元一次方程．【总结升华】方程中的未知数叫做元，只含有一个未知数称为“一元”，“次”是指含有未知数的项中次数最高项的次数，判断一个方程是不是一元一次方程，看它是否具备三个条件：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是1；③含未知数的代数式必须是整式（即整式方程）．举一反三：【变式】(1)已知关于x 的一元一次方程，求得m ＝________． (2)已知方程(m-4)x+2＝2009是关于x 的一元一次方程，则m 的取值范围是________．(3)若是关于x 的一元一次方程，则m 的值为( )A ．±2B ．-2C ．2D ．4【答案】(1) (2)m ≠4 (3)B 类型三、等式的性质4．（2019春•建湖县校级月考）下列各式中，变形正确的是（ ）A ．若a=b ，则a+c=b+cB ．若2x=a ，则x=a ﹣2C ．若6a=2b ，则a=3bD ．若a=b+2，则3a=3b+2【思路点拨】根据等式的性质对各选项进行进行逐一判断即可．【答案】A.【解析】解：A 、正确，符合等式的基本性质（1）；B 、错误，若2x=a ，则x=；C 、错误，若6a=2b ，则a=b ；D 、错误，若a=b+2，则3a=3b+6．故选A ．【总结升华】本题主要考查了等式的基本性质．（1）等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；（2）等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．举一反三：【变式】（2018•河北模拟）已知x=y≠﹣，且xy≠0，下列各式：①x﹣3=y ﹣3； ②=；③=；④2x+2y=0，其中一定正确的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B解：①③正正确；32105m x +=||1(2)5m m x --=13m =-类型四、等式或方程的应用5．观察下面的点阵图形(如图所示)和与之相对应的等式，探究其中的规律：(1)请你在④和⑤后面的横线上分别写出相对应的等式．……(2)通过猜想，写出与第n 个图形相对应的等式．【答案与解析】解：通过观察图像可得：图形呈放射状，四条线上每变化一次各增加一个点，第n 个图形每条线上应该是n 个点；再观察对应的等式：等式的左右两边都是表示对应图形中点的个数，等式的左边是从1个点开始的，第2个图形增加4个点表示为4×1+1，第3个图形又增加4个点，表示为4×2+1，…，第n 个图形共增加(n-1)个4个点，表示为4(n-1)+1;等式的右边，把第一个图形看作4点重合为一个点，表示为4×1-3，第2个图形增加4个点，表示为4×2-3，第3个图形又增加4个点，表示为4×3-3，…，第n 个图形看作n 个4个点少3个点，表示为4n-3，所以有4(n-1)+1＝4n-3．(1) ④4×3+1＝4×4-3 ⑤4×4+1＝4×5-3 (2)4(n-1)+1＝4n-3【总结升华】设出未知量并用此未知量表示出题中的数量关系．举一反三：【变式】某商品原售价289元,经过连续两次降价后售价为256元,设平均每次降价的百分率为x,则下面所列方程中正确的是( )A. B.C.289(1-2x)=256D.256(1-2x)=289【答案】A.方程的意义（提高）巩固练习【巩固练习】一、选择题1．下列各式是方程的是( )()22891256x -=()22561289x -=A ．B ．2m-3＞1C ．25+7＝18+14D ． 2. 若x ＝1是方程2x-a ＝0的解，则a 为( )．A ．1B ．-1C ．2D ．-23．（2019春•卧龙区期中）已知（3﹣2a ）x+2=0是关于x 的一元一次方程，则|a ﹣|一定（ ）A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．不确定4．（2018•秦淮区一模）如果用“a=b”表示一个等式，c 表示一个整式，d 表示一个数，那么等式的第一条性质就可以表示为“a±c=b±c”，以下借助符号正确的表示出等式的第二条性质的是（ ）A. a•c=b•d，a÷c=b÷dB. a•d=b÷d，a÷d=b•dC. a•d=b•d，a÷d=b÷dD. a•d=b•d，a÷d=b÷d （d≠0）5．有一养殖专业户，饲养的鸡的只数与猪的头数之和是70，而鸡与猪的腿数之和是196，问该专业户饲养多少只鸡和多少头猪？设鸡的只数为x ，则列出的方程应是( )．A ．2x+(70-x)＝196B ．2x+4(70-x)＝196C ．4x+2(70-x)＝196D ．2x+4(70-x)＝ 6.已知关于的方程与的解相同，则的值是 （ ）A ．9B ．-9C ．7D ．-87. 一件商品按成本价提高40%后标价，再打8折（标价的）销售，售价为240元，设这件商品的成本价为元，根据题意，下面所列的方程正确的是（ ）A ．x ·40%×=240B ．x （1+40%）×=240C ．240×40%×=x D ．x ·40%=240× 8. 将的分母化为整数，得( )． A ． B ． C ． D ． 二、填空题533x y +73852t t -=+1962y 324y m +=41y +=m 108x 108108108108103.001.05.02.0=+-x x 1301.05.02=+-x x 1003505=+-x x 100301.05.020=+-x x 13505=+-x x9.（2019春•浦东新区期中）若关于（k ﹣2）x|k ﹣1|+5=0是一元一次方程，那么k= ． 10．(2018春.山西期中)已知方程2x m-3+3=5是一元一次方程，则m=________.11.若，则 . 12.将方程的两边同乘以 ______得到3(x+2) =2(2x －3)这种变形的根据是_____ _.13.一个个位数是4的三位数，如果把4换到左边，所得数比原数的3倍还多98，若这个三位数去掉尾数4，剩下的两位数是，求原数，则可列方程为____________________.14. 观察等式：9-1＝8， 16-4＝12，25-9＝16，36-16＝20，……这些等式反映自然数间的某种规律，设n(n ≥1)表示自然数，用关于n 的等式表示这个规律为________．三、解答题15.（1）若关于的方程是一元一次方程，求的值. （2）若关于的方程是一元一次方程，求的值. 16. （2018秋•忠县校级月考）下列方程的变形是否正确？为什么？（1）由3+x=5，得x=5+3．（2）由7x=﹣4，得x=．（3）由，得y=2． （4）由3=x ﹣2，得x=﹣2﹣3．17.某市为鼓励节约用水，对自来水的收费标准作如下规定：每月每户用水不超过10吨部分按0.45元/吨收费，超过10吨而不超过20吨部分按0.80元/吨收费，超过20吨部分按1.5元/吨收费，现已知老李家六月份缴水费14元，问老李家六月份用水多少吨？ 请你为解决此题建立方程模型．18.观察下面的图形(如图所示)(每个正方形的边长均为1)和相应的等式，探究其中的规律：(1)写出第五个等式，并在下图给出的五个正方形上画出与之对应的图示；0)2(432=-+-y x =+y x 63242-=+x x x x 22(2)10()a a x x ---+=a x 5413524n x -+=n(2)猜想并写出与第n个图形相对应的等式．【答案与解析】一、选择题1.【答案】D.【解析】判断一个式子是不是方程，首先看它是不是等式，若是等式，再看它是否含有未知数，两条都满足了就是方程．A、B不是等式；C中没有未知数．2.【答案】C.【解析】把x＝1代入方程得2×1-a＝0，解得a＝2．3.【答案】A.【解析】解：由题意得，3﹣2a≠0，解得，a≠，则|a﹣|＞0，故选：A．4.【答案】D .5.【答案】B【解析】本题的相等关系为：鸡的腿数+猪的腿数＝196．6.【答案】A【解析】由得，将其代入可得：．7.【答案】B【解析】标价＝成本(进价)×(1＋利润率)；实际售价＝标价×打折率．8.【答案】D【解析】将分母变为整数用的是分数的基本性质而非等式的性质．二、填空题9. 【答案】0【解析】解：由关于（k﹣2）x|k﹣1|+5=0是一元一次方程，得|k﹣1|=1且k﹣2≠0．解得k=0．故答案为：0．10.【答案】4 .11.【答案】【解析】考查平方和绝对值的非负性，由题意得：，，即可求出．12.【答案】12, 等式的性质2；13.【答案】41y+=3y=-324y m+=9m=41143=-x02=-yxx+=++40098)410(3【解析】 原数应表示为：，再根据题意即可得出答案 ．14.【答案】 (n+2)2-n 2＝4(n+1)【解析】通过观察可以看出：题中各等式左边的数字都是完全平方数，右边的数字都是4的倍数．即：32-12＝4×2，42-22＝4×3，52-32＝4×4，62-42＝4×5，…．设n(n ≥1)表示自然数，把第一个等式中的l 换成n ，3换成(n+2)，2换成(n+1)，得(n+2)2-n 2＝4(n+1)，就是第n 个等式．三、解答题15.【解析】（1）∵ 是一元一次方程 ∴ ，且，可得：∴ 的值为．（2）∵ 是一元一次方程 ∴ 可得：∴ 的值为．16.【解析】解：（1）由3+x=5，得x=5+3，变形不正确，∵方程左边减3，方程的右边加3，∴变形不正确；（2）由7x=﹣4，得x=，变形不正确， ∵左边除以7，右边乘，∴变形不正确；（3）由，得y=2，变形不正确， ∵左边乘2，右边加2，∴变形不正确；（4）由3=x ﹣2，得x=﹣2﹣3，变形不正确，∵左边加x 减3，右边减x 减3，∴变形不正确．17.【解析】∵ 0.45×10+0.80×(20-10)＝12.5，12.5＜14，∴ 老李家六月份用水超过了20吨．设老李家六月份用水x 吨，根据题意得0.45×10+0.80×(20-10)+1.5(x-20)＝14．18.【解析】 (1) 通过观察可以看出：第n 个等式，首起数字是n ，第2个数的分子是n ，分母比分子大1，等式的右边与左边不同的是，左边两数之间是乘号，右边两数之间是减号，同时，有几个小正方形，就把每个小正方形平分为几加1份，其中空白1份．如图所示：104x +22(2)10()a a x x ---+=20a -=(2)0a --≠2a =-a 2-5413524n x -+=541n -=1n =n1． (2) 一元一次方程的解法（提高）知识讲解【学习目标】1. 熟悉解一元一次方程的一般步骤，理解每步变形的依据；2. 掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想；3. 进一步熟练掌握在列方程时确定等量关系的方法.【要点梳理】要点一、解一元一次方程的一般步骤变形名称 具体做法 注意事项去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 (1)不要漏乘不含分母的项 (2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 (1)不要漏乘括号里的项 (2)不要弄错符号移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)(1)移项要变号 (2)不要丢项 合并同类项把方程化成ax ＝b(a ≠0)的形式 字母及其指数不变 系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解． 不要把分子、分母写颠倒 要点诠释：（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．(2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.（3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆． 要点二、解特殊的一元一次方程1.含绝对值的一元一次方程解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．要点诠释：此类问题一般先把方程化为的形式，再分类讨论：(1)当时，无解；（2）当时，原方程化为：；（3）当时，原方程可化为：或.2.含字母的一元一次方程555566⨯=-11n n n n n n ⨯=-++b x a =ax b c +=0c <0c =0ax b +=0c >ax b c +=ax b c +=-此类方程一般先化为最简形式ax ＝b ，再分三种情况分类讨论：（1）当a ≠0时，；（2）当a ＝0，b ＝0时，x 为任意有理数；（3）当a ＝0，b ≠0时，方程无解．【典型例题】 类型一、解较简单的一元一次方程1．（2018秋•新洲区期末）关于x 的方程2x ﹣4=3m 和x+2=m 有相同的解，则m 的值是（ ）A.10B.-8C.-10D.8【答案】B ．【解析】解：由2x ﹣4=3m 得：x=；由x+2=m 得：x=m ﹣2 由题意知=m ﹣2 解之得：m=﹣8．【总结升华】根据题目给出的条件，列出方程组，便可求出未知数．举一反三：【变式】下列方程的解法对不对?如果不对，错在哪里?应当怎样改正?3x+2＝7x+5解：移项得3x+7x ＝2+5，合并得10x ＝7．，系数化为1得． 【答案】以上的解法是错误的，其错误的原因是在移项时没有变号，也就是说将方程中右边的7x 移到方程左边应变为-7x ，方程左边的2移到方程右边应变为-2．正确解法：解：移项得3x-7x ＝5-2， 合并得-4x ＝3，系数化为1得． 类型二、去括号解一元一次方程2. 解方程：． 【答案与解析】解法1：先去小括号得：． 再去中括号得：． b x a =710x =34x =-112[(1)](1)223x x x --=-11122[]22233x x x -+=-1112224433x x x -+=-移项，合并得：． 系数化为1，得：． 解法2：两边均乘以2，去中括号得：． 去小括号，并移项合并得：，解得：． 解法3：原方程可化为： ． 去中括号，得． 移项、合并，得． 解得． 【总结升华】解含有括号的一元一次方程时，一般方法是由内到外或由外到内逐层去括号，但有时根据方程的结构特点，灵活恰当地去括号，以使计算简便．例如本题的方法3：方程左、右两边都含(x-1)，因此将方程左边括号内的一项x 变为(x-1)后，把(x-1)视为一个整体运算．3．解方程：．【答案与解析】解法1：(层层去括号) 去小括号． 去中括号． 去大括号． 移项、合并同类项，得，系数化为1，得x ＝30． 5111212x -=-115x =14(1)(1)23x x x --=-51166x -=-115x =112[(1)1(1)](1)223x x x -+--=-1112(1)(1)(1)2243x x x -+--=-51(1)122x --=-115x =1111111102222x ⎧⎫⎡⎤⎛⎫----=⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭111111102242x ⎧⎫⎡⎤----=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭11111102842x ⎧⎫----=⎨⎬⎩⎭11111016842x ----=115168x =解法2：(层层去分母) 移项，得．两边都乘2，得．移项，得． 两边都乘2，得． 移项，得，两边都乘2，得．移项，得，系数化为1，得x ＝30． 【总结升华】此题既可以按去括号的思路做，也可以按去分母的思路做． 举一反三： 【变式】解方程．【答案】解：方程两边同乘2，得．移项、合并同类项，得．两边同乘以3，得． 移项、合并同类项，得．两边同乘以4，得． 移项，得，系数化为1，得x ＝5． 类型三、解含分母的一元一次方程111111112222x ⎧⎫⎡⎤⎛⎫---=⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭1111112222x ⎡⎤⎛⎫---= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦111113222x ⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1111622x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭111722x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭11142x -=1152x =111116412345x ⎧⎫⎡⎤⎛⎫--+=⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭1111642345x ⎡⎤⎛⎫--+=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦111162345x ⎡⎤⎛⎫--=-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1116645x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭111045x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭1105x -=115x =4．（2019春•淅川县期中）解方程﹣=．【思路点拨】方程整理后，去分母，去括号，移项合并同类项，把x 系数化为1，即可求出解．【答案与解析】 解：原方程可化为6x ﹣=，两边同乘以6，得36x ﹣21x=5x ﹣7， 移项合并，得10x=-7 解得：x=﹣0.7．【总结升华】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．举一反三： 【变式】解方程．【答案】 解：原方程可化为． 去分母，得3(4y+9)-5(3+2y)＝15．去括号，得12y+27-15-10y ＝15． 移项、合并同类项，得2y ＝3．系数化为1，得． 类型四、解含绝对值的方程5．解方程：3|2x|-2＝0 ．【思路点拨】将绝对值里面的式子看作整体，先求出整体的值，再求x 的值． 【答案与解析】解：原方程可化为： ． 当x ≥0时，得，解得：， 当x ＜0时，得，解得：， 所以原方程的解是x ＝或x ＝． 0.40.90.30.210.50.3y y++-=4932153y y++-=32y =223x =223x =13x =223x -=13x =-1313-【总结升华】此类问题一般先把方程化为的形式，再根据（）的正负分类讨论，注意不要漏解． 举一反三：【变式】（2018秋•故城县期末）已知关于x 的方程mx+2=2（m ﹣x ）的解满足方程|x ﹣|=0，则m 的值为（ ）A. B. 2 C.D.3【答案】B解：∵|x﹣|=0，∴x=，把x 代入方程mx+2=2（m ﹣x ）得：m+2=2（m ﹣）， 解之得：m=2.类型五、解含字母系数的方程6. 解关于的方程： 【答案与解析】解：原方程可化为：当，即时，方程有唯一解为：； 当，即时，方程无解．【总结升华】解含字母系数的方程时，先化为最简形式，再根据系数是否为零进行分类讨论． 举一反三：【变式】若关于x 的方程(k-4)x =6有正整数解，求自然数k 的值. 【答案】解：∵原方程有解，∴ 原方程的解为：为正整数，∴应为6的正约数，即可为：1，2，3，6 ∴为：5，6，7，10答：自然数k 的值为：5，6，7，10.【巩固练习】一、选择题 1．（2018秋•榆阳区校级期末）关于x 的方程3x+5=0与3x+3k=1的解相同，则k=（ ）ax b c +=ax b +x 1mx nx -=()1m n x -=0m n -≠m n ≠1x m n=-0m n -=m n =ax b =x a 40k -≠64x k =-4k -4k -kA.-2B.C.2D. 2．下列说法正确的是( ) ．A ．由7x ＝4x-3移项得7x-4x ＝-3B ．由去分母得2(2x-1)＝1+3(x-3) C ．由2(2x-1)-3(x-3)＝1去括号得4x-2-3x-9＝4D ．由2(x-1)＝x+7移项合并同类项得x ＝5 3．将方程去分母得到方程6x-3-2x-2＝6，其错误的原因是( ) ． A ．分母的最小公倍数找错B ．去分母时，漏乘了分母为1的项C ．去分母时，分子部分的多项式未添括号，造成符号错误D ．去分母时，分子未乘相应的数 4．解方程，较简便的是( )． A ．先去分母 B ．先去括号 C ．先两边都除以D ．先两边都乘以 5．小明在做解方程作业时，不小心将方程中一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是：■，怎么办呢?小明想了想，便翻看了书后的答案，此方程的解是，于是小明很快补上了这个常数，并迅速完成了作业．同学们，你们能补出这个常数吗?它应是( )．A ．1B ．2C ．3D ．46.（2019春•龙海市期中）已知a ≠1，则关于x 的方程（a ﹣1）x=1﹣a 的解是（ ） A ．x=0 B ．x=1 C ．x=﹣1 D ．无解7. “△”表示一种运算符号，其意义是，若，则等于（ ）．A ．1B ．C ．D ．2 8.关于的方程无解，则是（ ）． A ．正数 B ．非正数 C ．负数 D ．非负数 二、填空题9.已知方程，那么方程的解是 .4343-213132x x --=+211123x x ---=4530754x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭454511222y y -=+53y =2a b a b ∆=-(13)2x ∆∆=x 1232x (38)70m n x ++=mn ||x 2=10. 当x= _____ 时，x －的值等于2． 11．已知关于x 的方程的解是4，则________． 12．若关于x 的方程ax+3=4x+1的解为正整数，则整数a 的值是 ．13．（2018秋•高新区校级期末）如果5x+3与﹣2x+9是互为相反数，则x ﹣2的值是 ． 14．a 、b 、c 、d 为有理数，现规定一种新的运算：，那么当时，则x ＝______． 三、解答题 15．（2019春•宜宾校级月考）解方程： （1）5x+3（2﹣x ）=8 （2）=1﹣（3）+=（4）[x ﹣（x ﹣1）]=（x ﹣1） 16. 解关于的方程：；（2） （3） 17.（2018•裕华区模拟）定义一种新运算“⊕”：a⊕b=a﹣2b ，比如：2⊕（﹣3）=2﹣2×（﹣3）=2+6=8．（1）求（﹣3）⊕2的值；（2）若（x ﹣3）⊕（x+1）=1，求x 的值．【答案与解析】 一、选择题1.【答案】C ．【解析】解第一个方程得：x=﹣，解第二个方程得：x=∴=﹣解得：k=2.2.【答案】A【解析】由7x ＝4x-3移项得7x-4x ＝-3；B ．去分母得2(2x-1)＝6+3(x-3)；C ．把2(2x-1)-3(x-3)＝1去括号得4x-2-3x+9＝1；D ．2(x-1)＝x+7，2x-2＝x+7，2x-x ＝7+2，x ＝931x+3322xa x -=+2()2a a --=ab ad bc c d=-241815x =-x ()148x b ax +=-(1)(1)(2)m x m m -=--(1)(2)1m m x m --=-213132x x --=+【解析】把方程去分母，得3(2x-1)-2(x-1)＝6，6x-3-2x+2＝6与6x-3-2x-2＝6相比较，很显然是符号上的错误．4．【答案】B 【解析】 因为与互为倒数，所以去括号它们的积为1. 5．【答案】B【解析】设被污染的方程的常数为k ，则方程为，把代入方程得，移项得，合并同类项得-k ＝-2，系数化为1得k ＝2，故选B ．6．【答案】C【解析】解：∵a ≠1，∴在（a ﹣1）x=1﹣a 中，x=，又∵a ﹣1和1﹣a 互为相反数， ∴x=﹣1． 故选C ．7．【答案】B【解析】由题意可得：“△”表示2倍的第一个数减去第二个数，由此可得：，而，解得： 8．【答案】B【解析】原方程可化为：，将“”看作整体，只有时原方程才无解，由此可得均为零或一正一负，所以的值应为非正数．二、填空9．【答案】 10．【答案】 11．【答案】24【解析】把x ＝4代入方程，得，解得a ＝6，从而(-a)2-2a ＝24． 211123x x ---=455411222y y k -=+53y =1015326k -=+5110623k -=+-132131∆=⨯-=-(13)(1)212x x x ∆∆=∆-=+=12x =(38)7m n x +=-38m n +380m n +=,m n mn 1222x x ==-，213=x 344322a -=+【解析】由题意，求出方程的解为：,,，因为解为正整数，所以，即或． 13.【答案】-6.【解析】由题意得：5x+3+（﹣2x+9）=0，解得：x=﹣4， ∴x﹣2=﹣6．14．【答案】3【解析】由题意，得2×5-4(1-x)＝18，解得x ＝3． 三、解答题 15. 【解析】 解：（1）去括号得：5x+6﹣3x=8， 移项合并得：2x=2， 解得：x=1；（2）去分母得：3（2x ﹣1）=12﹣4（x+2）， 去括号得：6x ﹣3=12﹣4x ﹣8， 移项合并得：10x=7， 解得：x=0.7； （3）方程整理得：+=，去分母得：15x+27+5x ﹣25=5+10x ， 移项合并得：10x=3， 解得：x=0.3；（4）去括号得：x ﹣（x ﹣1）=（x ﹣1）， 去分母得：6x ﹣3（x ﹣1）=8（x ﹣1）， 去括号得：6x ﹣3x+3=8x ﹣8， 移项合并得：5x=11， 解得：x=2.2．16. 【解析】解：(1)原方程可化为： 当时，方程有唯一解：； 当，时，方程无解；当，时，原方程的解为任意有理数，即有无穷多解． (2)当，即时，方程有唯一的解：．314-=-x ax 2)4(-=-x a 42--=a x 214a --=-或2a =3(4)8a x b -=+4a ≠84b x a +=-4a =8b ≠-4a =8b =-(1)(1)(2)m x m m -=--10m -≠1m ≠2x m =-当，即时，原方程变为．原方程的解为任意有理数，即有无穷多解．(3)当时，原方程有唯一解：； 当时，原方程的解为任意有理数，即有无穷多解； 当时，原方程无解． 17.【解析】 解：（1）根据题中的新定义得：原式=﹣3﹣4=﹣7； （2）已知等式变形得：x ﹣3﹣2（x+1）=1， 去括号得：x ﹣3﹣2x ﹣2=1， 移项合并得：﹣x=6， 解得：x=﹣6．一元一次方程应用（一）--水箱变高了与打折销售（提高）知识讲解【学习目标】1.能分析简单问题中的数量关系，并建立方程解决问题；体会利用方程解决问题的关键是寻找等量关系．2.进一步经历运用方程解决实际问题的过程，体会数学的应用价值. 【要点梳理】要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类 题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．要点诠释： （1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系； （2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数； （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一； （4）“解”就是解方程，求出未知数的值． （5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可； （6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 要点二、水箱变高了（等积变形问题） “等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常见类型：①形状面积变了，周长没变；②原体积＝变化后体积. 常用的面积、体积公式：10m -=1m =00x ⋅=(1)(2)1m m x m --=-1,2m m ≠≠12x m =-1m =2m =−−−→分析抽象−−−→求解检验长方形的周长公式：(长+宽)×2；面积公式：长×宽 长方体的体积公式：长×宽×高正方形的周长公式：边长×4； 面积公式：边长×边长 正方体体积公式：边长×边长×边长圆的周长公式：C=；面积公式：；圆柱的体积公式：V 柱=底面积×高；圆锥的体积公式：V 锥=×底面积×高 要点诠释：寻找等量关系的方法，抓住两个等量关系：第一，形变体积不变；第二，形变体积也变，但重量不变.要点三、打折销售（利润问题） (1) (2) 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) (3) 实际售价＝标价×打折率(4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售．要点诠释：寻找等量关系的方法，抓住价格升降对利润的影响来考虑． 要点四、方案问题选择设计方案的一般步骤：（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论． 【典型例题】类型一、水箱变高了（等积变形问题）1．（2018•厦门校级一模）据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1：2，现要把一块长100米，宽50米的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物，是否存在一种划分这块土地的方法，使甲乙两种作物的总产量的比是3：4？请说明理由．【思路点拨】可设种植作物甲的面积是x 平方米，则种植农作物乙的面积是（100×50﹣x ）平方米，根据甲、乙两种作物的总产量的比为3：4，列出方程求解即可． 【答案与解析】解：设种植作物甲的面积是x 平方米，则种植农作物乙的面积是（100×50﹣x ）平方米，依题意有x ：[2（100×50﹣x ）]=3：4， 解得x=3000， 100×50﹣x =5000﹣3000 =2000．故种植作物甲的面积是3000平方米，种植作物乙的面积是2000平方米，使甲、乙两种作物2d r ππ=2S r π=13-=100%=100%⨯⨯利润售价成本利润率成本成本的总产量的比为3：4．【总结升华】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，得出两部分面积之比．类型二、打折销售（利润问题）2．（2019春•盐城校级月考）某商店在一笔交易中卖了两个进价不同的随身听，售价都为132元，按成本计算，其中一个盈利20%，另一个盈利10%，则该商店在这笔交易中共赚了 元． 【思路点拨】根据题意分别求出两个随身听的进价，进而求出答案．【答案】34．【解析】解：设一个的进价为x 元，根据题意可得：x （1+20%）=132，解得：x=110，设另一个的进价为y 元，根据题意可得：y （1+10%）=132，解得：x=120，故该商店在这笔交易中共赚了：132+132﹣120﹣110=34（元）．故答案为：34．【总结升华】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确理清进价与利润之间的关系是解题关键．举一反三：【变式】某种商品的标价为900元，为了适应市场竞争，店主打出广告：该商品九折出售，并返100元现金.这样他仍可获得10%的利润率（相对于进货价），问此商品的进货价是多少？（用四舍五入法精确到个位）【答案】解：设此商品的进货价为x 元，依题意，得：(900×0.9-100)-x=10%x ，得：x= ∴ x≈645. 答：此商品的进价约为645元.3．商场出售的A 型冰箱每台售价2190元，每日耗电量为1度，而B 型节能冰箱每台售价比A 型冰箱高出10%，但每日耗电量却为0.55度．现将A 型冰箱打折出售(打一折后的售价为原价的)，问商场将A 型冰箱打几折，消费者买A 型冰箱10年的总费用与B 型冰箱10年的总费用相当(每年365天，每度电按0.40元计算)．【思路点拨】本题主要是根据两种电冰箱使用10年所耗电量的费用相同来列方程.【答案与解析】解：设商场A 型冰箱打x 折，依题意，买A 型冰箱需2190×元，10年的电费是365×10×1×0.4元；买B 型冰箱需2190×(1+10%)元，10年的电费是365×10×0.55×0.4元，依题意，得：56451111010x。
第5讲 一元一次方程—提高班
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让进步看得见
例题精讲
【例 4】解方程：（1） 6(1 x) 5(x 2) 2(2x 3)
（2） 1 (3 3 x) 3(2 5 x) 36
52
4
【巩固】解方程： （1） 3(x 3) 5 2(2 5x) ；
（2） 24x 3 5 63x 2 2 x 1 ；
⑴任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一 元一次方程，可以通过变形（必须为恒等变换）为最简形式或标准形式来验证．如方程 x2 2x 1 x2 6 是一元一次方程．如果不变形，直接判断就出会现错误．
⑵方程 ax b 与方程 ax b a 0 是不同的，方程 ax b 的解需要分类讨论完成
x
2009
1 2 23
2009 2010
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让进步看得见
【巩固】解方程： x x ...
x
x
2006
13 35
2003 2005 2005 2007
【例 11】解方程： x 20 x 18 x 16 x 14 x 12 5
3
5
7
9
11
【巩固】解方程： x 2 x 3 x 2 x 5 x 1 18 3 5 7 9 11
例题精讲
【例 1】下列方程是一元一次方程的是（ ）（多选）
A． xy 1
B． 2 2 5 x
C． x 0
D． ax 1 3
E． 2x 3 5
F． 2πR 6.28
【例 2】若 (k 1)x2 (k 2)x (k 3) 0 是关于 x 的一元一次方程，求 k 。
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奥数辅导资料一元一次方程
奥数辅导资料一元一次方程【内容综述】一元一次方程是最简单的方程，它是进一步学习方程、不等式和函数的基础，许多方程都是通过变形后转化为一元一次方程来解的。
本期主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧。
只含有一个未知数（又称为一元），且其次数是1的方程叫做一元一次方程，任何一个一元一次方程总可以化为的形式，这是一元一次方程的标准形式（最简形式）。
解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项，化为最简形式；（5）方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解。
【要点讲解】§1 含参量的一元一次方程含有参变量的方程在求解时往往需分类讨论，关于的方程。
因为未注明，所以它的解有下面三种情况：（1）当时，方程有唯一解；（2）当时，方程的解为任意数；（3）当，时，方程无解。
★例1解关于χ的方程。
思路这是含参量的一元一次方程，需分类讨论。
解：把原方程变形为即当，即且时，方程有唯一解；当且，即且时，方程无解；当且，即时，方程的解为任意数。
★★例2若a，b，c是正数，解方程。
解法一：原方程两边乘以abc，得到方程,移项合并同类项得即由，，知,即。
解法2：对原方程左端的每一项减去1，得即∵由，，知∴∴说明通过细心观察方程的自身特点，巧妙地分析为3个，为3个，使原方程易于求解。
★★例3k为何正数时，方程的解是正数？思路当方程有唯一解时，此解的正负可由a，b的取值确定：（1）若b=0时，方程的解是零；反之，若方程的解是零，b=0成立。
（2）若时，则方程的解是正数；反之，若方程的解是正数，则成立。
（3）若时，则方程的解是负数；反之，若方程的解是负数，则成立。
解：按未知数χ整理方程得要使方程的解为正数，需要不等式的左端因为，所以只要或时上式大于零，所以当或时，原方程的解是正数，因此或，即为所求。
§2 含有绝对值符号的一次方程解含有绝对值符号的一次方程时，可利用绝对值的定义脱去绝对值符号，转化为普通的一元一次方程。
一元一次方程综合提高讲义
一元一次方程综合提高讲义一元一次方程根的存在性一元一次方程最终都可化成ax=b 的形式，显然当a ≠0时，方程有唯一的根ab ；当a=0且b=0时，方程有无数根；当a=0且b ≠0时，方程无根；例1、当b=1时，关于x 的方程a （3x-2）+b （2x-3）=8x-7有无数多个解，求a 的值。
例2、如果a 、b 为定值，关于x 的方程6232bk x a kx -+=+，无论k 为何值，它的根总是1，求a 、b 的值。
例3、 解关于x 的方程a b a b x b a x =---，其中a ≠0，b ≠0。
例4、已知3=--+--+--ba c x a cb xc b a x ，且0111≠++c b a ，求x-a-b-c 的值。
一元一次方程的整数解例1、若k 为整数，则使得方程（k-1999）x=2001-2000x 的解也是整数的k 值有几个？例2、已知p 、q 都是质数，则以x 为未知数的一元一次方程px+5q=97的解是1，求代数式p 2-q 的值。
含绝对值的一元一次方程例1、解方程312=+-x x 例2、解方程532=+++x x【针对练习】1.若关于x 的方程x+2=a 和2x －4=3a 有相同的解,则 a= .2.一个三位数,三个数位上的数字和是17,百位上的数比十位上的数大7,个位上的数是十位上数的3倍,这个三位数是 ．3．关于ｘ的方程19x －a=0的解为19－a,则a=__________.4.若关于x 的方程5x+1=a(2x+3)无解,则a=__________5.若关于x 的方程 ︳2x －1 ︳+m=0无解,则m=____________.6.若2a 与1－a 互为相反数,则a 等于( )A. 0B. －1C. 1D. －27.当3＜a ＜8时,关于x 的方程3x －8=a(x －1)的解是( )A. 无解B.正数C. 零D.负数8.要使方程ax=a 的解为1,则( )A.a 可取任何有理数B.a ＞0C. a ＜0D.a≠09.关于x 的方程ax+3=4x+1的解为正整数,则a 的值为( )A. 2B. 3C.1或2D.2或310.关于x 的方程3x －4=a －bx 有无穷多个解,则a. b 的值应是( )A. a=4, b=－3B.a=－4, b=－3C. a=4 , b=3D.a .b 可取任意数11.解关于x 的方程 (1) k(x －2)=3x －1 (2)ax －b=cx ＋d12.已知y=1是方程2－ (m －y)=2y 的解,解关于x 的方程:m(x+4)=2mx －4.作业1.已知方程2ax=(a ＋1)x+6,求a 为何整数时,方程的解是正整数.2.若(3a+2b)x2+ax+b=0是关于x 的一元一次方程,且x 有唯一解,求这个解.3．当k 取何值时，关于x 的方程3(x+1)=5-kx ，分别有：(1)正数解；(2)负数解；(3)不大于1的解．13。
一元一次方程 的解法(提高)__一元一次方程的解法(提高)知识讲解
一元一次方程的解法（提高）知识讲解责编：康红梅【学习目标】1.熟悉解一元一次方程的一般步骤，理解每步变形的依据；2.掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想；3.进一步熟练掌握在列方程时确定等量关系的方法.【要点梳理】要点一、解一元一次方程的一般步骤变形名称具体做法注意事项去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数(1)不要漏乘不含分母的项(2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号(1)不要漏乘括号里的项(2)不要弄错符号移项把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)(1)移项要变号(2)不要丢项合并同类项把方程化成ax ＝b (a ≠0)的形式字母及其指数不变系数化成1在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解．b x a=不要把分子、分母写颠倒要点诠释：（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．(2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.（3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．要点二、解特殊的一元一次方程1.含绝对值的一元一次方程解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．要点诠释：此类问题一般先把方程化为的形式，再分类讨论：ax b c +=(1)当时，无解；（2）当时，原方程化为：；（3）当时，原0c <0c =0ax b +=0c >方程可化为：或.ax b c +=ax b c +=-2.含字母的一元一次方程此类方程一般先化为最简形式ax ＝b ，再分三种情况分类讨论：（1）当a ≠0时，；（2）当a ＝0，b ＝0时，x 为任意有理数；（3）当a ＝0，b ≠0bx a=时，方程无解．【典型例题】类型一、解较简单的一元一次方程1．（2014秋•新洲区期末）关于x 的方程2x ﹣4=3m 和x+2=m 有相同的解，则m 的值是（ ）A.10 B.-8 C.-10 D.8【答案】B ．【解析】解：由2x ﹣4=3m 得：x=；由x+2=m 得：x=m ﹣2由题意知=m ﹣2解之得：m=﹣8．【总结升华】根据题目给出的条件，列出方程组，便可求出未知数．举一反三：【变式】下列方程的解法对不对?如果不对，错在哪里?应当怎样改正? 3x+2＝7x+5解：移项得3x+7x ＝2+5，合并得10x ＝7．，系数化为1得．710x =【答案】以上的解法是错误的，其错误的原因是在移项时没有变号，也就是说将方程中右边的7x 移到方程左边应变为-7x ，方程左边的2移到方程右边应变为-2．正确解法：解：移项得3x -7x ＝5-2， 合并得-4x ＝3，系数化为1得．34x =-类型二、去括号解一元一次方程2. 解方程：．112[(1)](1)223x x x --=-【答案与解析】解法1：先去小括号得：．11122[]22233x x x -+=- 再去中括号得：．1112224433x x x -+=-移项，合并得：．5111212x -=- 系数化为1，得：．115x =解法2：两边均乘以2，去中括号得：．14(1)(1)23x x x --=- 去小括号，并移项合并得：，解得：．51166x -=-115x =解法3：原方程可化为： ．112[(1)1(1)](1)223x x x -+--=-去中括号，得．1112(1)(1)(1)2243x x x -+--=- 移项、合并，得．51(1)122x --=- 解得．115x =【总结升华】解含有括号的一元一次方程时，一般方法是由内到外或由外到内逐层去括号，但有时根据方程的结构特点，灵活恰当地去括号，以使计算简便．例如本题的方法3：方程左、右两边都含(x -1)，因此将方程左边括号内的一项x 变为(x -1)后，把(x -1)视为一个整体运算．3．解方程：．1111111102222x ⎧⎫⎡⎤⎛⎫----=⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭【答案与解析】解法1：(层层去括号)去小括号．111111102242x ⎧⎫⎡⎤----=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭去中括号．11111102842x ⎧⎫----=⎨⎬⎩⎭去大括号．11111016842x ----= 移项、合并同类项，得，系数化为1，得x ＝30．115168x =解法2：(层层去分母)移项，得．111111112222x ⎧⎫⎡⎤⎛⎫---=⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭两边都乘2，得．1111112222x ⎡⎤⎛⎫---= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦移项，得．111113222x ⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 两边都乘2，得．1111622x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭移项，得，两边都乘2，得．111722x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭11142x -=移项，得，系数化为1，得x ＝30．1152x =【总结升华】此题既可以按去括号的思路做，也可以按去分母的思路做．举一反三：【变式】解方程．111116412345x ⎧⎫⎡⎤⎛⎫--+=⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭【答案】解：方程两边同乘2，得．1111642345x ⎡⎤⎛⎫--+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦移项、合并同类项，得．111162345x ⎡⎤⎛⎫--=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦两边同乘以3，得．1116645x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭移项、合并同类项，得．111045x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭两边同乘以4，得．1105x -=移项，得，系数化为1，得x ＝5．115x =类型三、解含分母的一元一次方程【高清课堂：一元一次方程的解法388407解较复杂的一元一次方程】4．解方程：．4 1.550.8 1.20.50.20.1x x x----=【思路点拨】先将方程中的小数化成整数，再去分母，这样可避免小数运算带来的失误．【答案与解析】解法1：将分母化为整数得：．40155081210521x x x----=约分，得：8x -3-25x+4＝12-10x ．移项，合并得：．117x =-解法2：方程两边同乘以1，去分母得： 8x -3-25x+4＝12-10x ．移项，合并得：．117x =-【总结升华】解此题一般是先将分母变为整数，再去分母，如解法1；但有时直接去分母更简便一些，如解法2．举一反三：【变式】解方程．0.40.90.30.210.50.3y y++-=【答案】解：原方程可化为．4932153y y++-= 去分母，得3(4y+9)-5(3+2y )＝15．去括号，得12y+27-15-10y ＝15．移项、合并同类项，得2y ＝3．系数化为1，得．32y =类型四、解含绝对值的方程5．解方程：3|2x |-2＝0 ．【思路点拨】将绝对值里面的式子看作整体，先求出整体的值，再求x 的值．【答案与解析】解：原方程可化为： ．223x =当x ≥0时，得，解得：，223x =13x = 当x ＜0时，得，解得：，223x -=13x =-所以原方程的解是x ＝或x ＝．1313-【总结升华】此类问题一般先把方程化为的形式，再根据（）的正负分ax b c +=ax b +类讨论，注意不要漏解．举一反三：【变式】（2014秋•故城县期末）已知关于x 的方程mx+2=2（m ﹣x ）的解满足方程|x ﹣|=0，则m 的值为（ ）A.B. 2C.D.3【答案】B解：∵|x ﹣|=0，∴x=，把x 代入方程mx+2=2（m ﹣x ）得：m+2=2（m ﹣），解之得：m=2.类型五、解含字母系数的方程6. 解关于的方程： x 1mx nx -=【答案与解析】解：原方程可化为：()1m n x -=当，即时，方程有唯一解为：；0m n -≠m n ≠1x m n=-当，即时，方程无解．0m n -=m n =【总结升华】解含字母系数的方程时，先化为最简形式，再根据系数是否为零ax b =x a 进行分类讨论．【高清课堂：一元一次方程的解法388407解含字母系数的方程】举一反三：【变式】若关于x 的方程(k-4)x =6有正整数解，求自然数k 的值.【答案】解：∵原方程有解，∴ 40k -≠原方程的解为：为正整数，∴应为6的正约数，即可为：1，2，3，64x k =-4k -4k -6∴为：5，6，7，10k 答：自然数k 的值为：5，6，7，10.。
(小学奥数)一元一次方程解法综合
一元一次方程解法綜合教學目標1、認識瞭解方程及方程命名2、移項、係數、解方程、方程的解等名詞的意思一定要讓學生瞭解3、運用等式性質解方程4、會解簡單的方程知識點撥一、方程的起源方程這個名詞，最早見於我國古代算書《九章算術》。
《九章算術》是在我國東漢初年編定的一部現有傳本的、最古老的中國數學經典著作．書中收集了246個應用問題和其他問題的解法，分為九章，“方程”是其中的一章。
在這一章裏的所謂“方程”，是指一次方程和方程組。
例如其中的第一個問題實際上就是求解三元一次方程組。
古代解方程的方法是利用算籌。
我國古代數學家劉徽注釋《九章算術》說，“程，課程也。
二物者二程，三物者三程，皆如物數程之，並列為行，故謂之方程”這裏所謂“如物數程之”，是指有幾個未知數就必須列出幾個等式。
一次方程組各未知數的係數用算籌表示時好比方陣，所以叫做方程。
《九章算術》中解方程組的方法，不但是我國古代數學中的偉大成就，而且是世界數學史上一份非常寶貴的遺產。
同學們也要好好學習數學，將來爭取為數學研究做出新的貢獻！二、方程的重要性方程作為一個小學數學的重要工具，是小學向初中過渡的重點也是難點。
滲透方程思想，讓學生能用字母表示數字，解決一些比較抽象的數學關係，所以學好方能對於學生以後學習數論等較難專題有很大幫助。
三、相關名詞解釋1、算式：把數用運算符號與運算順序符號連接起來是算式2、等式：表示相等關係的式子3、方程：含有未知數的等式4、方程命名：未知數的個數代表元，未知數的次數：n 元a 次方程就是含有n 個未知數，且含未知數項最高次數是a 的方程例如：一元一次方程：含有一個未知數，並且未知數的指數是1的方程； 如：37x +=，71539q +=，222468m ⨯+=（），一元一次方程的能使一元一次方程左右兩邊相等的未知數的值；如：4x =是方程37x +=的解，3q =是方程81539q +=的解，5、解方程：求方程的解的過程叫解方程。
初一奥数知识点：一元一次方程
奥数体现了数学与奥林匹克体育运动精神的共通性更快、更高、 更强。
国际数学奥林匹克作为一项国际性赛事，由国际数学教育专家命 题，出题范围超出了所有国家的义务教育水平，难度大大超过大学入 学考试。
奥数对青少年的脑力锻炼有着一定的作用，可以通过奥数对思维 和逻辑进行锻炼，对学生起到的并不仅仅是数学方面的作用，通常比 普通数学要深奥一些。
下面是 1．等式与等量用"="号连接而成的式子叫等式注意"等量就能代 入"！ 2．等式的性质 等式性质 1 等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，所得 结果仍是等式； 等式性质 2 等式两边都乘以或除以同一个不为零的数，所得结果 仍是等式 3．方程含未知数的等式，叫方程 4．方程的解使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注 意"方程的解就能代入"！ 5．移项改变符号后，把方程的项从一边移到另一边叫移项移项 的依据是等式性质 1 6．一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程 7．一元一次方程的标准形式+=0 是未知数，、是已知数，且≠0 8．一元一次方程的最简形式=是未知数，、是已知数，且≠0 9．一元一次方程解法的一般步骤整理方程……去分母……去括号……移项……合并同类项……系数化为 1……检验方程的解 10．列一元一次方程解应用题 1 读题分析法…………多用于"和，差，倍，分问题" 仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如"大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套-----"，利用这些关键字 列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的 关系填入代数式，得到方程2 画图分析法…………多用于"行程问题" 利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读 题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图 形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利 用量与量之间的关系可把未知数看做已知量，填入有关的代数式是获 得方程的基础 11．列方程解应用题的常用公式 1 行程问题距离=速度·时间； 2 工程问题工作量=工效·工时； 3 比率问题部分=全体·比率； 4 顺逆流问题顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度； 5 商品价格问题售价=定价·折·，利润=售价-成本，； 6 周长、面积、体积问题圆=2π，圆=π2，长方形=2+，长方形=，正方形=4， 正方形=2，环形=π2-2,长方体=，正方体=3，圆柱=π2，圆锥=π2【初一奥数知识点一元一次方程】。
初一数学竞赛讲义(一元一次方程)
第1讲 一元一次方程一、一元一次方程的解法一元一次方程的解法一般有去分母，去括号，移项，合并同类项等步骤，但在解题过程中不要生搬硬套，往往需要我们活用所学方法，灵活解决问题。
例1、解方程200620072005275253212=⨯++⨯+⨯+⨯xxxx x二、一元一次方程根的存在性一元一次方程最终都可化成ax=b 的形式，显然当a ≠0时，方程有唯一的根a b；当a=0且b=0时，方程有无数根；当a=0且b ≠0时，方程无根；例2、当b=1时，关于x 的方程a （3x-2）+b （2x-3）=8x-7有无数多个解，求a 的值。
例3、如果a 、b 为定值，关于x 的方程6232bk x a kx -+=+，无论k 为何值，它的根总是1，求a 、b 的值。
例4、 解关于x 的方程a b a b x b a x =---，其中a ≠0，b ≠0。
例5、已知3=--+--+--b ac x a cb xc ba x ，且0111≠++c b a ，求x-a-b-c 的值。
三、一元一次方程的整数解例6、若k 为整数，则使得方程（k-1999）x=2001-2000x 的解也是整数的k 值有几个？例7、已知p 、q 都是质数，则以x 为未知数的一元一次方程px+5q=97的解是1，求代数式p 2-q 的值。
四、含绝对值的一元一次方程例8、解方程312=+-x x例9、解方程532=+++x x练习1、已知ax 2+5x+14=2x 2-2x+3a 是关于x 的一元一次方程，则其解是多少？2、已知方程5x-2m=mx-4-x 的解在2与10之间（不包括2和10），求m 。
3、一个六位数左端的数字是1，如果把左端的数字移到右端，那么所得的六位数等于原数的3倍，则原数是什么？4、求自然数n a a a 21，使得122121122121n n a a a a a a ⨯=⨯。
5、关于x 的方程mx+4=3x-n ，分别求m 、n 为何值时，原方程（1）有惟一解（2）有无数解（3）无解6、方程1-x+x的解有哪些？2=-37、已知关于x的方程2a（x-1）=（5-a）x+3b有无数多解，试求a、b的值。
1.1小学必学奥数 一元一次方程解法综合
1、认识了解方程及方程命名2、移项、系数、解方程、方程的解等名词的意思一定要让学生了解3、运用等式性质解方程4、会解简单的方程一、方程的起源方程这个名词，最早见于我国古代算书《九章算术》。
《九章算术》是在我国东汉初年编定的一部现有传本的、最古老的中国数学经典著作．书中收集了246个应用问题和其他问题的解法，分为九章，“方程”是其中的一章。
在这一章里的所谓“方程”，是指一次方程和方程组。
例如其中的第一个问题实际上就是求解三元一次方程组。
古代解方程的方法是利用算筹。
我国古代数学家刘徽注释《九章算术》说，“程，课程也。
二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这里所谓“如物数程之”，是指有几个未知数就必须列出几个等式。
一次方程组各未知数的系数用算筹表示时好比方阵，所以叫做方程。
《九章算术》中解方程组的方法，不但是我国古代数学中的伟大成就，而且是世界数学史上一份非常宝贵的遗产。
同学们也要好好学习数学，将来争取为数学研究做出新的贡献！二、方程的重要性方程作为一个小学数学的重要工具，是小学向初中过渡的重点也是难点。
渗透方程思想，让学生能用字母表示数字，解决一些比较抽象的数学关系，所以学好方能对于学生以后学习数论等较难专题有很大帮助。
三、相关名词解释1、算式：把数用运算符号与运算顺序符号连接起来是算式2、等式：表示相等关系的式子3、方程：含有未知数的等式4、方程命名：未知数的个数代表元，未知数的次数：n 元a 次方程就是含有n 个未知数，且含未知数项最高次数是a 的方程例如：一元一次方程：含有一个未知数，并且未知数的指数是1的方程；如：37x +=，71539q +=，222468m ⨯+=（），一元一次方程的能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值；如：4x =是方程37x +=的解，3q =是方程81539q +=的解，5、解方程：求方程的解的过程叫解方程。
所以我们做方程的题时要先写“解”字，表示求方程的解的过程开始，也就是开始“解方程”。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第五讲一元一次方程
第五讲一元一次方程趣面引路】观察下列演算过程，判断运算过程是否正确，若不正确，请指出错在哪里？ 解方程：x+2=2x+4.解原方程可化为x+2=2 （x+2）, ① 两边同时除以（x+2）得1二2.②解析 1=2显然不正确，问题出在从第①步到第②步的变形，方程两边同时除以一个代数式，要对 （x+2）的值进行讨论，当x+2二0时，两边不能除。
一般地，在等式的两边同时除以一个代数式的时候要 对其分等于零和不等于零两种情况进行讨论。
知识延伸】一、一元一次方程的解法一元一次方程的解法一般有去分母，去扌舌号，移项，合并同类项等步骤，但在解题过程中不要生搬硬 套，往往需要我们活用所学方法，灵活地解决问题.例 1•解方程：（1） 2003X2004X （x+」一）X2005X2006=0：20052x 2x 2x 2x------ 1 ------------1 -- -------------------------- • • +1x3 3x5 5x7 2003x2005解析（1）依题意得x+」一=0,2005・r = __1_2005（2）原方程可化为2004XX ----------- 2005 x = 2005点评点评（1）本题的关键是：发现要使左边二0,必有X+」—=0,若按常规去括号可麻烦了；20052 2 2 2（2） —— + —— +——+•••+ --------------------- = 2004是我们熟悉的式子，于是左边反用乘法分配律,1x3 3x5 5x72003x2005提出一个X,剩下的就可以用裂项法进行化简.一般的，一-—=丄-一—n{n + a ） n n + a(2) = 2004x(l ——+ ------ --- --------3 3 5 2003 ^)= 2°04= 2004二、一元一次方程根的存在性讨论 一元一次方程最终都可化成ax 二b 的形式 显然，当aHO 时，方程有唯一的实数根； 当a 二0且b 二0时，方程有无数根； 当a 二0且1>工0时，方程无根。
小学奥数一元一次方程解法综合
1、认识了解方程及方程命名2、移项、系数、解方程、方程的解等名词的意思一定要让学生了解3、运用等式性质解方程4、会解简单的方程一、方程的起源 方程这个名词，最早见于我国古代算书《九章算术》。
《九章算术》是在我国东汉初年编定的一部现有传本的、最古老的中国数学经典著作．书中收集了246个应用问题和其他问题的解法，分为九章，“方程”是其中的一章。
在这一章里的所谓“方程”，是指一次方程和方程组。
例如其中的第一个问题实际上就是求解三元一次方程组。
古代解方程的方法是利用算筹。
我国古代数学家刘徽注释《九章算术》说，“程，课程也。
二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这里所谓“如物数程之”，是指有几个未知数就必须列出几个等式。
一次方程组各未知数的系数用算筹表示时好比方阵，所以叫做方程。
《九章算术》中解方程组的方法，不但是我国古代数学中的伟大成就，而且是世界数学史上一份非常宝贵的遗产。
同学们也要好好学习数学，将来争取为数学研究做出新的贡献！二、方程的重要性方程作为一个小学数学的重要工具，是小学向初中过渡的重点也是难点。
渗透方程思想，让学生能用字母表示数字，解决一些比较抽象的数学关系，所以学好方能对于学生以后学习数论等较难专题有很大帮助。
三、相关名词解释1、算式：把数用运算符号与运算顺序符号连接起来是算式2、等式：表示相等关系的式子3、方程：含有未知数的等式4、方程命名：未知数的个数代表元，未知数的次数：n 元a 次方程就是含有n 个未知数，且含未知数项最高次数是a 的方程例如：一元一次方程：含有一个未知数，并且未知数的指数是1的方程；如：37x +=，71539q +=，222468m ⨯+=（），L一元一次方程的解：能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值；如：4x =是方程37x +=的解，3q =是方程81539q +=的解，L5、解方程：求方程的解的过程叫解方程。
所以我们做方程的题时要先写“解”字，表示求方程的解的过程开始，也就是开始“解方程”。
第五章 一元一次方程 方法技巧 特殊一元一次方程的解题技巧 (课件)人教版(2024)数学七年级上册
例6 解方程：x3＋ x－5 2=337－6－153 x . 思路引导：
满分题溯源
解：原方程可化为3x＋ x－5 2=274＋x－5 2. 化简，得x3=274. 解得x=772.
满分题溯源
技巧 6 巧通分
解各项都含有分母的方程时，可将方程两边各自通 分，再去分母解方程.
满分题溯源
含有未知数的项与常数项. 按照解一元一次方程的一
般方法解方程，得到答案.
满分题溯源
解：原方程可变形为23x＋13－53x－16=1 .
移项，得23x－ 53x=1 －13＋16. 逆用同分母分数的加
合并同类项，得－x=56.
减法运算法则，将分 数化为含有未知数的 项与常数项.
两边都除以－1，得x=56.
第五章 一元一次方程
方法技巧 特殊一元一次方程的解题技巧
满分题溯源
荣老师告诉你 关于一元一次方程有很多解题技巧，特别是对于一些
具有特殊结构的一元一次方程，在解题过程中要注重对其 结构特征及规律的分析，巧妙运用分数、等式的基本性质 以及一些运算法则，往往会达到事半功倍的效果.
满分题溯源
技巧 1 巧移项
解题秘方：把分母由小数化为整数，按照解一元一次方程的一
般方法解方程，得到答案.
解：原方程可以化为5
x－10 2
－x＋320
=－1.
去分母，得3(5x－10)－2(x＋20)=－6.
去括号，得15x－30－2x－40=－6.
移项，得1 5x－2x=－6 ＋30 ＋40 .
合并同类项，得1 3x=64 .系数化为1，得x=6143．
满分题溯源
技巧 3 巧拆分
有些方程的某些项含有分母，且将含分母的项拆分 后，所得含未知数的项合并后的系数为整数. 解这类方程 时，要逆用同分母分数的加减法运算法则，将含分母的 项拆分成几个分数的和，再解拆分所得的方程.
小升初《一元一次方程的应用》奥数课件
树坑10x1190植树 x119
女生人数：170-119=51（人）
答：该年级的男生有119人，女生有51人。
星海历练
5. 某进货价为100元的商品标价150元，老板要求以不低于 5%的利润率出售，售货员最低可以优惠打几折出售该商品？
答：三年前哥哥的年龄是弟弟年龄的两倍。
星海历练
7. 一辆客车以30千米/小时的速度从甲地出发驶向乙地，经
过45分钟后，一辆货车以每小时比客车快10千米的速度从乙
地出发驶向甲地。若两车刚好在甲乙两地的中点相遇，求甲
乙两地的距离。 45分钟 3小时
解：设货车行驶的时间为x小时，4则客车行驶的时间为（ x 3 ）小时。
原有人数各多少人？
解：设乙队原有 x人， 则甲队原有2 x人。 2x121x15 2 3x54 x 18
甲队人：2×18=36（人）
答：甲队原有人数36人，乙队原有人数18人。
星海历练
4. 七年级170名学生去植树，男生平均一天挖树坑3个，女 生平均一天种树7棵，若正好每个树坑种一棵树，则该年级 的男、女生各有多少人？
星海历练
1. 商品按进价增加20%出售，因积压需降价处理，如果仍想 获得8%的利润，则出售价需打（ A ）。 A、9折 B、5折 C、8折 D、7.5折
星海历练
2. 一个两位数，十位上的数字比个位上的数字2倍少3，若
此两位数的两个数字位置交换，得一新两位数，那么新两位
数比原两位数大9，求新两位数与原两位数的积是多少？
答：此商品是按七折销售的。
例题五
某位运动员询问教练今年有多少岁，教练说：“当我
《一元一次方程》全章复习与巩固（提高）知识讲解
《⼀元⼀次⽅程》全章复习与巩固（提⾼）知识讲解《⼀元⼀次⽅程》全章复习与巩固（提⾼）知识讲解撰稿：孙景艳审稿：赵炜【学习⽬标】1．理解⽅程，等式及⼀元⼀次⽅程的概念，并掌握它们的区别和联系；2．会解⼀元⼀次⽅程，并理解每步变形的依据；3．会根据实际问题列⽅程解应⽤题．【知识⽹络】【要点梳理】知识点⼀、⼀元⼀次⽅程的概念1．⽅程：含有未知数的等式叫做⽅程．2．⼀元⼀次⽅程：只含有⼀个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的⽅程叫做⼀元⼀次⽅程．要点诠释：（1）⼀元⼀次⽅程变形后总可以化为ax+b＝0(a≠0)的形式，它是⼀元⼀次⽅程的标准形式．（2）判断是否为⼀元⼀次⽅程，应看是否满⾜：①只含有⼀个未知数，未知数的次数为1；②未知数所在的式⼦是整式，即分母中不含未知数．3．⽅程的解：使⽅程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个⽅程的解．4．解⽅程：求⽅程的解的过程叫做解⽅程．知识点⼆、等式的性质与去括号法则1．等式的性质：等式的性质1：等式两边加(或减)同⼀个数(或式⼦)，结果仍相等．等式的性质2：等式两边乘同⼀个数，或除以同⼀个不为0的数，结果仍相等．2．合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变．3．去括号法则：（1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．（2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反．知识点三、⼀元⼀次⽅程的解法解⼀元⼀次⽅程的⼀般步骤：(1)去分母：在⽅程两边同乘以各分母的最⼩公倍数．(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去⼩括号，再去中括号，最后去⼤括号．(3)移项：把含有未知数的项移到⽅程⼀边，常数项移到⽅程另⼀边．(4)合并：逆⽤乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把⽅程化为ax ＝b (a ≠0)的形式．(5)系数化为1：⽅程两边同除以未知数的系数得到⽅程的解b x a=(a ≠0)． (6)检验：把⽅程的解代⼊原⽅程，若⽅程左右两边的值相等，则是⽅程的解；若⽅程左右两边的值不相等，则不是⽅程的解．知识点四、⽤⼀元⼀次⽅程解决实际问题的常见类型1.⾏程问题：路程＝速度×时间2.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价4.⼯程问题：⼯作量＝⼯作效率×⼯作时间，各部分劳动量之和＝总量5.银⾏存贷款问题：本息和＝本⾦+利息，利息＝本⾦×利率×期数6.数字问题：多位数的表⽰⽅法：例如：32101010abcd a b c d =?+?+?+.【典型例题】类型⼀、⼀元⼀次⽅程的相关概念1．已知⽅程(3m -4)x 2-(5-3m )x -4m ＝-2m 是关于x 的⼀元⼀次⽅程，求m 和x 的值．【思路点拨】若⼀个整式⽅程经过化简变形后，只含有⼀个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，则这个⽅程是⼀元⼀次⽅程．【答案与解析】解：因为⽅程(3m -4)x 2-(5-3m )x -4m ＝-2m 是关于x 的⼀元⼀次⽅程，所以3m -4＝0且5-3m ≠0．由3m -4＝0解得43m =，⼜43m =能使5-3m ≠0，所以m 的值是43．将43m =代⼊原⽅程，则原⽅程变为485333x ??--?= ??，解得83x =-．所以43m =，83x =-．【总结升华】解答这类问题，⼀定要严格按照⼀元⼀次⽅程的定义．⽅程(3m -4)x 2-(5-3m )x -4m ＝-2m 2是关于x 的⼀元⼀次⽅程，就是说x 的⼆次项系数3m -4＝0，⽽x的⼀次项系数5-3m≠0，m的值必须同时符合这两个条件．举⼀反三：【⾼清课堂：⼀元⼀次⽅程复习393349 等式和⽅程例3】【变式】下⾯⽅程变形中，错在哪⾥：(1)⽅程2x=2y两边都减去x+y，得2x-(x+y)=2y-(x+y), 即x-y=-(x-y).⽅程 x-y=-(x-y)两边都除以x-y, 得1=-1.（2）3721223x xx-+=+，去分母，得3(3-7x)=2(2x+1)+2x，去括号得：9-21x=4x+2+2x.【答案】（1）答：错在第⼆步，⽅程两边都除以x-y.（2）答：错在第⼀步，去分母时2x项没乘以公分母6.2.如果5(x+2)＝2a+3与(31)(53)35a x a x+-=的解相同，那么a的值是________．【答案】7 11【解析】由5(x+2)＝2a+3，解得275ax-=．由(31)(53)35a x a x+-=，解得95x a=-．所以27955aa-=-，解得711a=．【总结升华】因为两⽅程的解相同，可把a看做已知数，分别求出它们的解，令其相等，转化为求关于a的⼀元⼀次⽅程．举⼀反三：【变式】已知|x+1|+(y+2x)2＝0，则y x=________．【答案】1类型⼆、⼀元⼀次⽅程的解法3．解⽅程：4621132x x-+-=．【答案与解析】解：去分母，得：2(4-6x)-6＝3(2x+1)．去括号，得：8-12x-6＝6x+3．移项，合并同类项，得：-18x＝1．系数化为1，得：118x=-．【总结升华】转化思想是初中数学中⼀种常见的思想⽅法，它能将复杂的问题转化为简单的问题，将⽣疏的问题转化为熟悉的问题，将未知转化为已知．事实上解⼀元⼀次⽅程就是利⽤⽅程的同解原理，将复杂的⽅程转化为简单的⽅程直⾄求出它的解．举⼀反三：【变式1】解⽅程26752254436z z z zz+---++=-【答案】解：把⽅程两边含有分母的项化整为零，得267522544443366z z z z z +++-=--+．移项，合并同类项得：1122z =，系数化为1得：z ＝1．【⾼清课堂：⼀元⼀次⽅程复习 393349 解⽅程例1（2）】【变式2】解⽅程：0.10.050.20.05500.20.54x x +--+=. 【答案】解：把⽅程可化为：0.520.550254x x +--+=，再去分母得：232x =-解得：16x =-4．解⽅程3{2x -1-[3(2x -1)+3]}＝5．【答案与解析】解：把2x -1看做⼀个整体．去括号，得：3(2x -1)-9(2x -1)-9＝5．合并同类项，得-6(2x -1)＝14．系数化为1得：7213x -=-，解得23x =-．【总结升华】把题⽬中的2x -1看作⼀个整体，从⽽简化了计算过程．本题也可以考虑换元法：设2x -1＝a ，则原⽅程化为3[a -(3a+3)]＝5．类型三、特殊的⼀元⼀次⽅程的解法1．解含字母系数的⽅程5.解关于x 的⽅程：11()(2)34m x n x m -=+ 【思路点拨】这个⽅程化为标准形式后，未知数x 的系数和常数都是以字母形式出现的，所以⽅程的解的情况与x 的系数和常数的取值都有关系．【答案与解析】解：原⽅程可化为：(43)462(23)m x mn m m n -=+=+当34m ≠时，原⽅程有唯⼀解：4643mn m x m +=-；当33,42m n ==-时，原⽅程⽆数个解；当33,42m n =≠-时，原⽅程⽆解；【总结升华】解含字母系数的⽅程时，⼀般化为最简形式ax b =，再分类讨论进⾏求解，注意最后的解不能合并，只能分情况说明．2．解含绝对值的⽅程6. 解⽅程|x -2|＝3．【答案与解析】解：当x -2≥0时，原⽅程可化为x -2＝3，得x ＝5．当x -2＜0时，原⽅程可化为-(x -2)＝3，得 x ＝-1．所以x ＝5和x ＝-1都是⽅程|x -2|＝3的解．【总结升华】如图所⽰，可以看出点-1与5到点2的距离均为3，所以|x -2|＝3的意义为在数轴上到点2的距离等于3的点对应的数，即⽅程|x -2|＝3的解为x ＝-1和x ＝5．举⼀反三：【变式1】若关于x 的⽅程230x m -+=⽆解，340x n -+=只有⼀个解，450x k -+=有两个解，则,,m n k 的⼤⼩关系为： ( )A . m n k >> B.n k m >> C.k m n >> D.m k n >>【答案】A【变式2】若9x =是⽅程123x m -=的解，则__m =；⼜若当1n =时，则⽅程123x n -=的解是．【答案】1； 9或3．类型四、⼀元⼀次⽅程的应⽤7．李伟从家⾥骑摩托车到⽕车站，如果每⼩时⾏30千⽶，那么⽐⽕车开车时间早到15分钟；若每⼩时⾏18千⽶，则⽐⽕车开车时间迟到15分钟，现在李伟打算在⽕车开车前10分钟到达⽕车站，求李伟此时骑摩托车的速度应是多少?【思路点拨】本题中的两个不变量为：⽕车开出的时间和李伟从家到⽕车站的路程不变．【答案与解析】解：设李伟从家到⽕车站的路程为y 千⽶，则有：151530601860y y +=-，解得：452y = 由此得到李伟从家出发到⽕车站正点开车的时间为4515213060+=(⼩时)．李伟打算在⽕车开车前10分钟到达⽕车站时，设李伟骑摩托车的速度为x 千⽶/时, 则有：452271010116060y x ===--(千⽶/时) 答：李伟此时骑摩托车的速度应是27千⽶/时．【总结升华】在解决问题时，当发现某种⽅法不能解决问题时，应该及时变换思维⾓度，如本题直接设未知数较难时，应迅速变换思维的⾓度，合理地设置间接未知数以寻求新的解决问题的途径和⽅法．8. 黄冈某地“杜鹃节”期间，某公司70名职⼯组团前往参观欣赏，旅游景点规定：①门票每⼈60元，⽆优惠；②上⼭游玩可坐景点观光车，观光车有四座和⼗⼀座车，四座车每辆60元，⼗⼀座车每⼈10元．公司职⼯正好坐满每辆车且总费⽤刚好为4920元时，问公司租⽤的四座车和⼗⼀座车各多少辆?【答案与解析】解：设四座车租x 辆，⼗⼀座车租70411x -辆，依题意得： 7047060601110492011x x -?++??= 解得：x ＝1，704611x -= 答：公司租⽤的四座车和⼗⼀座车分别是1辆和6辆。
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第5讲 一元一次方程
一、重要知识点回顾
方程是中学数学中最重要的内容．最简单的方程是一元一次方程，它是进一步学习代数方程的基础，很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决．本讲主要介绍一些一元一次方程的解的情况．
1）只含有一个未知数(又称为一元)，且其次数是1的方程叫作一元一次方程．任何一个一元一次方程总可以化为ax=b(a≠0)的形式，这是一元一次方程的标准形式(最简形式)．
2）解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式ax=b；(5)方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解．
3） 一元一次方程ax=b的解由a，b的取值来确定：
(2)若a=0，且b=0，方程变为0·x=0，则方程有无数多个解；
(3)若a=0，且b≠0，方程变为0·x=b，则方程无解．
二、典型例题分析:
例1解关于x的方程(mx-n)(m+n)=0．
例2： 已知(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程，求代数式199(m+x)(x-2m)+m的值．
例3： 已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解，试求a的值．
例4 已知关于x的方程 且a为某些自然数时，方程的解
为自然数，试求自然数a的最小值．
三、拓展练习
(一)填空题
1.若关于x的方程x+2=a和2x－4=3a有相同的解,则 a=
.
2.一个三位数,三个数位上的数字和是17,百位上的数比十位上的数大7,
个位上的数是十位上数的3倍,这个三位数是 ．
3．关于ｘ的方程19x－a=0的解为19－a,则a=__________.
4.若关于x的方程5x+1=a(2x+3)无解,则a=__________
5.若关于x的方程 ︳2x－1 ︳+m=0无解,则m=____________.
(二)选择题
6.若2a与1－a互为相反数,则a等于( )
A. 0
B. －1
C. 1
D. －2
7.当3＜a＜8时,关于x的方程3x－8=a(x－1)的解是( )
A. 无解
B.正数
C. 零
D.负数
8.要使方程ax=a的解为1,则( )
A.a可取任何有理数
B.a＞0
C. a＜0
D.a≠0
9.关于x的方程ax+3=4x+1的解为正整数,则a的值为( )
A. 2
B. 3
C.1或2
D.2或3
10.关于x的方程3x－4=a－bx有无穷多个解,则a. b的值应是( )
A. a=4, b=－3
B.a=－4, b=－3
C. a=4 , b=3
D.a .b可取任意数
(三)解答题
11.解关于x的方程
(1) k(x－2)=3x－1 (2)ax－b=cx＋d
12.已知y=1是方程2－ (m－y)=2y的解,解关于x的方程:m(x+4)=2mx－4.
13.已知方程2ax=(a＋1)x+6,求a为何整数时,方程的解是正整数.
14.若(3a+2b)x2+ax+b=0是关于x的一元一次方程,且x有唯一解,求这个解.
15．当k取何值时，关于x的方程3(x+1)=5-kx，分别有：
(1)正数解；(2)负数解；(3)不大于1的解．
四、课后作业
1.解关于x的方程:ax=1+x
2.已知关于x的方程a(2x－1)=4x+3b,当a、b为何值时:
(1)方程有唯一解? (2)方程有无数解? (3)方程没有解?
3.(1)关于x的方程4k(x+2)－1=2x无解,求k的值;
(2)关于x的方程kx－k=2x－5的解为正数,求k的取值范围.。