合肥工业大学2016-2017年第二学期高等数学A卷答案

一、填空题（每题3分，共15分）
1. 1 ．
2.
19
5
． 3. 8． 4. 4π 5. 2 二、选择题（每题3分，共15分）
1. D ． 2． C ． 3. B ． 4. A ． 5. A ． 三、（本题满分10分）
解：在方程两边关于x 求偏导数得1z
z z
e x x
∂∂-
=∂∂， (1) 当(,)(1,0)x y =时，0z =，代入上式，得
(1,0)1
2
z x ∂=∂．类似可得
(1,0)12z y ∂=∂． 在(1)式两边关于y 求偏导数得22
z z z z z z e e x y x y x y ∂∂∂∂-=⋅+∂∂∂∂∂∂，代入1,0,0x y z ===，(1,0)12
z x ∂=∂及(1,0)1
2
z y ∂=∂，解得
(1,02)18z x y ∂=-∂∂． 或者：计算得1
1z
z z x y e ∂∂==∂∂+，23(1)z z z e x y e ∂-=∂∂+，同理可得(1,02)18z x y ∂=-∂∂． 四、（本题满分12分）
解：令2
(,)260,
(,)3120,x y
f x y x f x y y '=-+=⎧⎪⎨'=-=⎪⎩得驻点(3,2),(3,2)-．又 (,)2,(,)0,(,)6xx
xy yy
f x y f x y f x y y ''''''=-==．
在驻点(3,2)处，(3,2)2,(3,2)0,(3,2)12xx
xy yy A f B f C f ''''''==-====， 2240AC B -=-<，故(3,2)不是极值点；
在驻点(3,2)-处，(3,2)2,(3,2)0,(3,2)12xx
xy yy A f B f C f ''''''=-=-=-==-=-， 2240AC B -=>，且0A <，故(3,2)-是极大值点，且极大值为(3,2)18.f -=-
五、（本题满分12分）
解：记1{(,)1}D x y x y x =≤≤≤，则
1
222
1
(,)x D
D f x y dxdy x ydxdy dx ydy ==⎰⎰
⎰⎰⎰ 2
431
49()20
x x dx =-=
⎰． 六、（本题满分12分）
解 补充曲面1∑：2
2
2(4)z x y =+≤，取上侧．
设Ω为1∑+∑所围成的立体区域，则2
2,02,022
r z r θπΩ≤≤≤≤≤≤：，由Gauss 公式可得
21
222
20
2
4d d 2d d (1)d d (42)2r zx y z z z x z x y z z dv d rdr zdz
πθ∑+∑Ω
-+-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
42
0322(4)43
r r dr π
π=-=
⎰; 221
2
4
4d d 2d d (1)d d (3)12x y zx y z z z x z x y dxdy π∑+≤-+-=-=-⎰⎰
⎰⎰, 所以
1
1
224d d 2d d (1)d d 4d d 2d d (1)d d I zx y z z z x z x y zx y z z z x z x y ∑+∑∑=
-+---+-⎰⎰⎰
3268
(12)33
πππ=
--=．
七、（本题满分12分）求幂级数
(31)n
n n x
∞
=+∑的收敛域及和函数()s x ．
解：34
lim
131
n n n ρ→∞
+==+，所以收敛半径为1R =，收敛区间为(1,1)-．
当1x =±时，lim(31)0n
n n x →∞
+≠，所以原级数均发散，故收敛域为(1,1)-．
()(31)3(1)2n
n
n n n n s x n x n x x ∞∞∞
====+=+-∑∑∑
122
1232123()2
3()111(1)1(1)n n x x
x x x x x x x ∞
+=+''=-=-=-=
------∑，(1,1)x ∈-．
八、（本题满分12分）
解：⑴ 令2,2x
x
P y e Q ye ==，则
2x P Q ye y x
∂∂==∂∂，所以积分22x x
L y e dx ye dy +⎰与路径无关．
下面求(,)u x y ．由题意知2(,)2x x du x y y e dx ye dy =+．
解法一：取00(,)(0,0)x y =，则20
(,)02x
y
x x x u x y e dx ye dy y e =⋅+=⎰⎰；
解法二：2222(,)2()()()x x x x x du x y y e dx ye dy y d e e d y d y e =+=+=，取2(,)x u x y y e =， 解法三：由
2x u
y e x
∂=∂得22()x x u y e dx y e c y ==+⎰，从而2()2x x u ye c y Q ye y ∂'=+==∂，即()0c y '=，取()0c y =，则2(,)x u x y y e =．
⑵ 解法一：
22()(21)2x x x x L
L
L
I y e y dx ye dy y e dx ye dy ydx dy =-+-=+-+⎰⎰⎰
(1,1)
22,0)
1(x L
y e
ydx dy e I =-+=-⎰．
L 的参数方程为1cos ,:sin x t L y t =+⎧⎨=⎩，
:02t π→．则2210(sin cos )14L I ydx dy t t dt π
π
=+=-+=-+⎰⎰．
故(1,1)(2,0)
214
x
L
I y e ydx dy e π
=-+=+
-⎰．
解法二：补充曲线1:2L y x =-+，:12x →，L 与1L 所围平面区域记为D ，故
11
22()(21)()(21)x x x x
L L L I y e y dx ye dy y e y dx ye dy +=
-+---+-⎰⎰．
1
21()(21)(221)14
2
x x x x L L D
D
y e y dx ye dy ye ye dxdy dxdy π
+-+-=-+==
-
⎰⎰⎰⎰⎰1
2
221
()(21){(2)2[2(2)1](1)}x x x x L y e y dx ye dy x e x x e dx -+-=-++-+-+--⎰
⎰
2
21
1(21)2
x x x e xe x dx e =-+-=-+
⎰， 所以 11(
)()14224
I e e π
π
=---+=+-． x。