2019版中考数学复习第15课时一次函数和反比例函数的综合应用

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中考数学复习《一次函数与反比例函数的综合运用》教学课件

同一坐标系中的图象可能是图 14－4 中的
(C )
图14－4
[变式训练] (2010·青岛)函数 y＝ax－a 与 y＝ax(a≠0)在同一直角
坐标系中的图象可能是图 14－5 中的
( D)
图14－5
题组三交点问题与不等式
【例 3】 (2012·阜新)如图 14－6 所示，反比例函数 y1＝kx1的图象
(D)
A．2
B．4
图14－2 C．6
D．8
题组一函数图象的对称性
【例 1】如图 14－3 所示，正比例函数 y
＝k1x 与反比例函数 y＝kx2的图象相交于
点 A、B 两点，若点 A 的坐标为(2，1)，
则点 B 的坐标是
(D )
A．(1，2)
B．(－2，1)
图14－3
C．(－1，－2)
D．(－2，－1)
∵6x＝－3，x＝－2， ∴点C坐标(－2，－3)．
设直线CD的解析式为y＝kx＋b.
∴6－k＋2k＋ b＝b＝ 1，－3，∴k＝12，b＝2. ∴直线 CD 的解析式为 y＝12x－2. (3)AB∥CD.理由如下：∵CA⊥x轴，DB⊥y轴，点C(－2，－3)，点(6，1)．∴A(－2，0)，B(0，1)．设直线AB解析式为y＝mx＋n， ∴－ n＝2m1，＋n＝0，∴mn＝＝112，， ∴yAB＝12x＋1，
D．第四象限
解析：由反比例函数y随x增大而增大，可知k＜0，而一次函
数在k＜0，b＜0时，经过二三四象限，从而可得答案．
5．(2013·孝感)如图 14－2 所示，函数 y＝－x 与函数 y＝－4x的图
象相交于 A，B 两点，过 A，B 两点分别作 y 轴的垂线，垂足

(完整版)反比例函数与一次函数的综合应用

例题讲解：
反比例函数的图象和性质：
（1）写出一个反比例函数，使它的图象经过第二、四象限．
（2）若反比例函数的图象在第二、四象限，则的值是（）
A、－1或1; B、小于的任意实数; C、－1; Ｄ、不能确定
（3）下列函数中，当时，随的增大而增大的是（）
A． B． C． D．．
（4）已知反比例函数的图象上有两点A（，），B（，），且，
（1）如图3，在反比例函数（x＜0）的图象上任取一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为M、N，那么四边形的面积为．
（2）反比例函数的图象如图4所示，点M是该函数图象上一点，MN⊥x轴，垂足为N.如果S△MON=2，这个反比例函数的解析式为______________
(3)如图5，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，
（6）已知y与2x－3成反比例，且时，y＝－2，求y与x的函数关系式．
（7）已知函数，其中与成正比例, 与成反比例，且当＝1时，＝1；
＝3时，＝5．求：（1）求关于的函数解析式；（2）当＝2时，的值．
(二)反比例函数的图象和性质：
知识要点：
1、形状：图象是双曲线。
2、位置：（1）当k>0时,双曲线分别位于第________象限内；（2）当k<0时,双曲线分别位于第________象限内。
2.已知正比例函数和反比例函授的图像都经过点（2，1），则、的值分别为（）
A = ， = B =2， = C =2， =2 D = ， =2
3.反比例函数与正比例函数图像的一个交点的横坐标为1，则反比例函数的图像大致为（）
A B C D
4.已知关于x的一次函数y=kx+1和反比例函数y= 的图象都经过点（2，m），则一次函数的解析式是________．

一次函数与反比例函数的综合运用ppt课件

y
A
D
EO
x
C
B
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小结4：看到求函数的关系式，想到利用待定系数法；看到交点坐标，想到是两个函数关系式组成方程组的解；看到面积，想到三角形面积公式，不规则图形的面积要转化为和它有关的规则图形的面积来求解.
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点 ③k>0时，y随的x增大 ③k>0时，y随的x增大
而_减__小（在每个象限
而_增__大_
内）
k<0时，y随的x增大而增__大_ （在每个
k<0时，y随的x增大而_减__小_
象限内）
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知识考点•对应精练
【知识考点】（1）正比例函数与反比例函数图象交点的对称性（2）一次函数与反比例函数图象的特点（3）一次函数与反比例函数图像交点问题及不等式（4）一次函数、反比例函数的图象与几何综合题
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4．如图所示，函数 y＝－x 与函数 y＝－4x的图象相交于 A，B 两
点，过 A，B 两点分别作 y 轴的垂线，垂足分别为点 C，D.则
四边形 ACBD 的面积为
( D)
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题组二函数图象的共存
【例 2】当 a≠0 时，函数 y＝-ax＋1 与函数 y＝ax在同一坐
标系中的图象可能是图中的
(B )
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初三一次函数与反比例函数综合应用教案

【方法归纳】
点坐标线段长三角形面积
拓展提高：当直线AB绕点A顺时针旋转与反比例函数（x<0）的图象交于B点，且与x轴交于点C，且AB＝2BC，求点B、C的坐标和直线AB表达式．
过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，这两条直线交于点F，若反比例函数的图象与△ABE有公共点，请直接写出的取值范围．
教
学
过
程
教师活动
学生活动
设计意图
一、知识梳理.
【知识点1】一次函数与反比例函数图象的交点.
1.交点坐标：
一次函数与反比例函数的交点坐标是方程组的解.
2.交点个数：
（1）从图象上看：
一次函数与反比例函数的交点个数由值的符号来决定.
① 值同号，两函数图象必有两个交点（当时，正比例函数与反比例函数图象两交点关于原
若y轴上有一点P，且S△PAB=14，
求P点坐标；
若坐标轴上有一点P，且S△PAB=14，
求P点坐标．
【方法归纳】
三角形面积点坐标
变式二：在例2的已知条件下，过点A作AE⊥x轴与E，当直线AB绕着点A转动时,与轴的交点为D(b,0)，并与反比例函数图象的另一支还有一个交点的情形下,求△AED的面积S与b之间的函数关系式.并写出自变量b的取值范围．
学生总结，理解.
学生思考，求解.
对一次函数和反比例函数的交点与原点连线围成的三角形面积情况进行总结.
从函数表达式求点坐标，再由点坐标求函数表达式.
教
学
过
程
教师活动
学生活动
设计意图
【方法归纳】
表达式点坐标表达式点坐标
例2：已知：如图，已知A（-1,6），B(n,-1)是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点．

中考数学专题复习7反比例函数及其运用(解析版)

反比例函数及其运用复习考点攻略考点一反比例函数的概念1．反比例函数的概念：一般地.函数ky x=（k 是常数.k ≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成1y kx -=的形式．自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数.函数的取值范围也是一切非零实数． 2．反比例函数k y x =（k 是常数.k ≠0）中x .y 的取值范围：反比例函数ky x=（k 是常数.k ≠0）的自变量x 的取值范围是不等于0的任意实数.函数值y 的取值范围也是非零实数．【例1】下列函数中.y 与x 之间是反比例函数关系的是 A ．xyB ．3x +2y =0C ．y =D ．y =【答案】A考点二反比例函数的图象和性质1．反比例函数的图象与性质（1）图象：反比例函数的图象是双曲线.它有两个分支.这两个分支分别位于第一、三象限.或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x ≠0.函数y ≠0.所以.它的图象与x 轴、y 轴都没有交点.即双曲线的两个分支无限接近坐标轴.但永远达不到坐标轴．（2）性质：当k >0时.函数图象的两个分支分别在第一、三象限.在每个象限内.y 随x 的增大而减小．当k <0时.函数图象的两个分支分别在第二、四象限.在每个象限内.y 随x 的增大而增大．2kx 21x +表达式 ky x=（k 是常数.k ≠0） kk >0k <0大致图象所在象限第一、三象限第二、四象限增减性在每个象限内.y 随x 的增大而减小在每个象限内.y 随x 的增大而增大反比例函数的图象既是轴对称图形.又是中心对称图形.其对称轴为直线y =x 和y =-x .对称中心为原点．【注意】（1）画反比例函数图象应多取一些点.描点越多.图象越准确.连线时.要注意用平滑的曲线连接各点．（2）随着|x |的增大.双曲线逐渐向坐标轴靠近.但永远不与坐标轴相交.因为反比例函数ky x=中x ≠0且y ≠0．（3）反比例函数的图象不是连续的.因此在谈到反比例函数的增减性时.都是在各自象限内的增减情况．当k >0时.在每一象限（第一、三象限）内y 随x 的增大而减小.但不能笼统地说当k >0时.y 随x 的增大而减小．同样.当k <0时.也不能笼统地说y 随x 的增大而增大．【例2】一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（） A ． B ．C ．D ．y ax a =-(0)ay a x=≠【答案】D【解析】当时..则一次函数经过一、三、四象限.反比例函数经过一、三象限.故排除A.C 选项；当时..则一次函数经过一、二、四象限.反比例函数经过二、四象限.故排除B 选项.故选：D ．【例3】若点.在反比例函数的图象上.且.则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．或【答案】B【解析】解：∵反比例函数.∴图象经过第二、四象限.在每个象限内.y 随x 的增大而增大.①若点A 、点B 同在第二或第四象限.∵.∴a -1＞a+1.此不等式无解；②若点A 在第二象限且点B 在第四象限.∵.∴.解得：； ③由y 1＞y 2.可知点A 在第四象限且点B 在第二象限这种情况不可能．综上.的取值范围是．故选：B ．考点三反比例函数解析式的确定1．待定系数法：确定解析式的方法仍是待定系数法.由于在反比例函数ky x=中.只有一个待定系数.因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标.即可求出k 的值.从而确定其解析式．2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤（1）设反比例函数解析式为ky x=（k ≠0）；（2）把已知一对x .y 的值代入解析式.得到一个关于待定系数k 的方程；（3）解这个方程求出待定系数k ；（4）将所求得的待定系数k 的值代回所设的函数解析式．【例4】点A 为反比例函数图象上一点.它到原点的距离为5.到x 轴的距离为3.若点A 在第二象限内.则这个函数的解析式为（）0a >0a -<y ax a =-(0)ay a x=≠0a <0a ->y ax a =-(0)ay a x=≠()11,A a y -()21,B a y +(0)ky k x=<12y y >a 1a <-11a -<<1a >1a <-1a >(0)ky k x=<12y y >12y y >1010a a -⎧⎨+⎩＜＞11a -<<a 11a -<<A．y=12xB．y=-12xC．y=112xD．y=-112x【答案】B【解析】设A点坐标为（x.y）．∵A点到x轴的距离为3.∴|y|=3.y=±3．∵A点到原点的距离为5.∴x2＋y2=52.解得x=±4.∵点A在第二象限.∴x=-4.y=3.∴点A的坐标为（-4.3）.设反比例函数的解析式为y=.∴k=-4×3=-12.∴反比例函数的解析式为y=.故选B．考点四反比例函数中|k|的几何意义1．反比例函数图象中有关图形的面积2．涉及三角形的面积型当一次函数与反比例函数结合时.可通过面积作和或作差的形式来求解．（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①.S△ABC=2S△ACO=|k|；（2）如图②.已知一次函数与反比例函数kyx=交于A、B两点.且一次函数与x轴交于点C.则S△AOB=S△AOC+S△BOC=1||2AOC y⋅+1||2BOC y⋅=1(||||)2A BOC y y⋅+；（3）如图③.已知反比例函数kyx=的图象上的两点.其坐标分别为()A Ax y，.k x 12 x-()B B x y ，.C 为AB 延长线与x 轴的交点.则S △AOB =S △AOC –S △BOC =1||2A OC y ⋅–1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅-．【例5】如图.已知双曲线经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D .与直角边AB 相交于点C .若△OBC 的面积为9.则k =__________．【答案】6【解析】如图.过点D 作x 轴的垂线交x 轴于点E .∵△ODE 的面积和△OAC 的面积相等．∴△OBC 的面积和四边形DEAB 的面积相等且为9．设点D 的横坐标为x .纵坐标就为. ∵D 为OB 的中点．∴EA =x .AB =. ∴四边形DEAB 的面积可表示为：（+）x =9；k =6．故答案为：6．【例6】如图.A 、B 两点在双曲线y x=的图象上.分别经过A 、B 两点向轴作垂线段.已知1S =阴影.则12S S +=ky x=k x 2k x12k x 2k xA ．8B ．6C ．5D ．4【答案】B【解析】∵点A 、B 是双曲线y =上的点.分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段.则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k |=4.∴S 1+S 2=4+4-1×2=6.故选B ．考点五反比例函数与一次函数的综合1．涉及自变量取值范围型当一次函数11y k x b =+与反比例函数22k y x=相交时.联立两个解析式.构造方程组.然后求出交点坐标．针对12y y >时自变量x 的取值范围.只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x 的范围.例如.如下图.当12y y >时.x 的取值范围为A x x >或0B x x <<；同理.当12y y <时.x 的取值范围为0A x x <<或B x x <．2．求一次函数与反比例函数的交点坐标（1）从几何角度看.一次函数与反比例函数的交点由k 值的符号来决定. ①k 值同号.两个函数必有两个交点；②k 值异号.两个函数可能无交点.可能有一个交点.也可能有两个交点；（2）从代数角度看.一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．【例7】已知抛物线y ＝x 2+2x +k +1与x 轴有两个不同的交点.则一次函数y ＝kx ﹣k 与反比例函数y ＝在同一坐标系内的大致图象是（）4xA．B．C．D．【解析】∵抛物线y＝x2+2x+k+1与x轴有两个不同的交点.∴△＝4﹣4（k+1）＞0.解得k＜0.∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过第一二四象限.反比例函数y＝的图象在第二四象限.故选：D．考点六反比例函数的实际应用解决反比例函数的实际问题时.先确定函数解析式.再利用图象找出解决问题的方案.特别注意自变量的取值范围．【例8】如图.△OAC和△BAD都是等腰直角三角形.∠ACO=∠ADB=90°.反比例函数y=k在第一象限的图象经过点B.若xOA2−AB2=12.则k的值为______．【解析】设B点坐标为(a,b).∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形.∴OA=√2AC.AB=√2AD.OC=AC.AD=BD.∵OA2−AB2=12.∴2AC2−2AD2=12.即AC2−AD2=6.∴(AC+AD)(AC−AD)=6.∴(OC+BD)⋅CD=6.∴a⋅b=6.∴k=6．故答案为：6．.(其中mk≠0)图象交于【例9】如图.一次函数y=kx+b与反比例函数y=mxA(−4,2).B(2,n)两点．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)求△ABO的面积；(3)请直接写出当一次函数值大于反比例函数值时x 的取值范围．【解析】(1)∵一次函数y =kx +b 与反比例函数y =m x(mk ≠0)图象交于A(−4,2).B(2,n)两点．根据反比例函数图象的对称性可知.n =−4. ∴{2=−4k +b−4=2k +b .解得{k =−1b =−2.故一次函数的解析式为y =−x −2. 又知A 点在反比例函数的图象上.故m =−8. 故反比例函数的解析式为y =−8x ； (2)在y =−x −2中.令y =0.则x =−2. ∴OC =2.∴S △AOB =12×2×2+12×2×4=6； (3)根据两函数的图象可知：当x <−4或0<x <2时.一次函数值大于反比例函数值．第一部分选择题一、选择题（本题有10小题.每题4分.共40分）1．下列函数：①2x y =；②2y x =；③12y x=-；④12y x -=中.是反比例函数的有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个【答案】C【解析】①不是正比例函数.②③④是反比例函数.故选C ．2.点A 为反比例函数图象上一点.它到原点的距离为5.则x 轴的距离为3.若点A 在第二象限内.则这个函数的解析式为（）A ．y =12xB ．y =-12xC ．y =112xD ．y =-112x【答案】C【解析】∵反比例函数y =-中.k =-6.∴只需把各点横纵坐标相乘.结果为-6的点在函数图象上.四个选项中只有C 选项符合.故选C ． 3. 已知点A （1.m ）.B （2.n ）在反比例函数(0)ky k x=<的图象上.则（） A ．0m n << B ．0n m << C ．0m n >>D ．0n m >>【答案】A【解析】∵反比例函数(0)k y k x =<.它的图象经过A （1.m ）.B （2.n ）两点.∴m =k <0.n =2k<0.∴0m n <<.故选A ．4. 如图.等腰三角形ABC 的顶点A 在原点.顶点B 在x 轴的正半轴上.顶点C 在函数y =kx（x >0）的图象上运动.且AC =BC .则△ABC 的面积大小变化情况是（）A ．一直不变B ．先增大后减小C ．先减小后增大D ．先增大后不变【答案】A【解析】如图.作CD ⊥AB 交AB 于点D .则S △ACD =.∵AC =BC .∴AD =BD .∴S △ACD =S △BCD . ∴S △ABC =2S △ACD =2×=k .∴△ABC 的面积不变.故选A ．6x 2k2k5.如图.点.点都在反比例函数的图象上.过点分别向轴、轴作垂线.垂足分别为点.．连接..．若四边形的面积记作.的面积记作.则（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】解：点P （m.1）.点Q （−2.n ）都在反比例函数y ＝的图象上. ∴m×1＝−2n ＝4.∴m ＝4.n ＝−2.∵P （4.1）.Q （−2.−2）.∵过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线.垂足分别为点M.N.∴S 1＝4.作QK ⊥PN.交PN 的延长线于K.则PN ＝4.ON ＝1.PK ＝6.KQ ＝3. ∴S 2＝S △PQK −S △PON −S 梯形ONKQ ＝×6×3−×4×1−（1＋3）×2＝3.∴S 1：S 2＝4：3.故选：C ．6. 已知一次函数y 1=kx +b 与反比例函数y 2=kx在同一直角坐标系中的图象如图所示.则当y 1<y 2时.x 的取值范围是（）(,1)P m (-2,)Q n 4y x=P x y M N OP OQ PQ OMPN 1S POQ △2S 12:2:3S S =12:1:1S S =12:4:3S S =12:5:3S S =4x121212A ．x <-1或0<x <3B ．-1<x <0或x >3C ．-1<x <0D ．x >3【答案】B【解析】根据图象知.一次函数y 1=kx +b 与反比例函数y 2=kx的交点是（-1.3）.（3.-1）.∴当y 1<y 2时.-1<x <0或x >3.故选B ．7.如图.在平面直角坐标系xOy 中.函数()0y kx b k =+≠与()0my m x=≠的图象相交于点()()2,3,6,1A B --.则不等式mkx b x+>的解集为（）A ．6x <-B 60x -<<．或2x >C ．2x >D 6x <-．或02x <<8. 如图.直线l ⊥x 轴于点P .且与反比例函数y 1=1k x（x >0）及y 2=2k x （x >0）的图象分别交于点A .B .连接OA .OB .已知△OAB 的面积为2.则k 1-k 2的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．-4【答案】C【解析】根据反比例函数k 的几何意义可知：△AOP 的面积为12k .△BOP 的面积为22k. ∴△AOB 的面积为12k −22k . ∴12k −22k =2.∴k 1–k 2=4.故选C ． 9. 一次函数y =ax +b 与反比例函数a by x-=.其中ab <0.a 、b 为常数.它们在同一坐标系中的图象可以是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】A ．由一次函数图象过一、三象限.得a >0.交y 轴负半轴.则b <0.满足ab <0. ∴a −b >0.∴反比例函数y =a bx-的图象过一、三象限.所以此选项不正确； B ．由一次函数图象过二、四象限.得a <0.交y 轴正半轴.则b >0.满足ab <0. ∴a −b <0.∴反比例函数y =a bx-的图象过二、四象限.所以此选项不正确； C ．由一次函数图象过一、三象限.得a >0.交y 轴负半轴.则b <0.满足ab <0.∴a −b >0.∴反比例函数y =a bx的图象过一、三象限.所以此选项正确； D ．由一次函数图象过二、四象限.得a <0.交y 轴负半轴.则b <0.满足ab >0.与已知相矛盾. 所以此选项不正确.故选C ．10. 如图.一次函数与x 轴.y 轴的交点分别是A(−4,0).B(0,2).与反比例函数的图象交于点Q .反比例函数图象上有一点P 满足：①PA ⊥x 轴；②PO =√17(O 为坐标原点).则四边形PAQO 的面积为( )A. 7B. 10C. 4+2√3D. 4−2√3【答案】C【解析】∵一次函数y =ax +b 与x 轴.y 轴的交点分别是A(−4,0).B(0,2). ∴−4a +b =0.b =2. ∴a =12.∴一次函数的关系式为：y =12x +2. 设P(−4,n).∴√(−4)2+n 2=√17. 解得：n =±1.由题意知n =−1.n =1(舍去). ∴把P(−4,−1)代入反比例函数y =mx . ∴m =4.反比例函数的关系式为：y =4x .解{y =12x +2y =4x 得.{x =−2+2√3y =√3+1.{x =−2−2√3y =1−√3. ∴Q(−2+2√3,√3+1).∴四边形PAQO 的面积=12×4×1+124×2+12×2×(−2+2√3)=4+2√3. 故选：C ．第二部分填空题二、填空题（本题有6小题.每题4分.共24分）11.若正比例函数的图象与某反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2.则该反比例函数的解析式为________．【答案】【解析】令y=2x 中y=2.得到2x=2.解得x=1.∴正比例函数的图象与某反比例函数的图象交点的坐标是（1,2）. 设反比例函数解析式为.将点（1,2）代入.得. ∴反比例函数的解析式为.故答案为：. 12.如图.直线y =x 与双曲线()0ky k x=>的一个交点为A .且OA =2.则k 的值为__________．【答案】2【解析】∵点A 在直线y =x 上.且OA =2.∴点A的坐标为把得.∴k=2.故答案为：2． 13. 已知(),3A m 、()2,B n -在同一个反比例函数图像上.则m n =__________．【答案】23-【解析】设反比例函数解析式为()0ky k x=≠.将(),3A m 、()2,B n -分别代入.得 3k m =.2k n =-. 2y x =2y x=2y x =ky x=122k =⨯=2y x =2y x=(22)，(22)，ky x=22=∴2332k m k n ==--. 故答案为：23-． 14.平面直角坐标系xOy 中.点A （a .b ）（a >0.b >0）在双曲线y =上.点A 关于x 轴的对称点B 在双曲线y =.则k 1+k 2的值为__________．【答案】0【解析】∵点A （a .b ）（a >0.b >0）在双曲线y =上.∴k 1=ab ；又∵点A 与点B 关于x 轴对称.∴B （a .–b ）.∵点B 在双曲线y =上.∴k 2=–ab ；∴k 1+k 2=ab +（–ab ）=0.故答案为：0． 15.如图.点A 是反比例函数图象上的一点.过点A 作轴.垂足为点C .D 为AC 的中点.若的面积为1.则k 的值是【答案】4【解析】点A 的坐标为（m.2n ）.∴.∵D 为AC 的中点.∴D （m.n ）. ∵AC ⊥轴.△ADO 的面积为1.∴. ∴.∴ 16. 如图.反比例函数y =24x(x >0)的图象与直线y =32x 相交于点A .与直线y =kx(k ≠0)相交于点B .若△OAB 的面积为18.则k 的值为______．【答案】41k x2k x1k x2k x y x=AC x ⊥AOD ∆2mn k =x ()ADO11121222S AD OC n n m mn =⋅=-⋅==2mn =24k mn ==【解析】：由题意得.{y =24xy =32x .解得：{x 1=4y 1=6.{x 2=−4y 2=−6(舍去). ∴点A(4,6).(1)如图1.当y =kx 与反比例函数的交点B 在点A 的下方. 过点A 、B 分别作AM ⊥x 轴.BN ⊥x 轴.垂足分别为M 、N . 设点B 坐标为(b,24b ).则ON =b .BN =24b.∴点A(4,6).∴OM =4.AM =6；∵S △AOB =S △AOM +S 梯形AMNB −S △BON =S 梯形AMNB . ∴18=12(6+24b)(b −4).解得.b 1=8.b 2=−2(舍去) ∴点B(8,3).代入y =kx 得. k =38； (2)如图2.当y =kx 与反比例函数的交点B 在点A 的上方. 过点A 、B 分别作AM ⊥y 轴.BN ⊥y 轴.垂足分别为M 、N . 设点B 坐标为(b,24b ).则ON =24b.BN =b .∴点A(4,6).∴OM =6.AM =4；∵S △AOB =S △AOM +S 梯形AMNB −S △BON =S 梯形AMNB . ∴18=12(b +4)(24b −6). 解得.b 1=2.b 2=−8(舍去) ∴点B(2,12).代入y =kx 得. k =6；故答案为：6或38．第三部分解答题三、解答题（本题有6小题.共56分）17. 如图.已知A （–4.n ）.B （2.–4）是一次函数y =kx +b 和反比例函数y =的图象的两个交点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△AOB 的面积．【答案】（1）y =–x –2.y =–；（2）6【解析】（1）∵B （2.–4）在y =图象上. ∴m =–8．∴反比例函数的解析式为y =–． ∵点A （–4.n ）在y =–图象上. ∴n =2. ∴A （–4.2）．∵一次函数y =kx +b 图象经过A （–4.2）.B （2.–4）.∴.解得．∴一次函数的解析式为y =–x –2；（2）如图.令一次函数y =–x –2的图象与y 轴交于C 点.mx8xmx 8x8x4224k b k b -+=+=-⎧⎨⎩12k b =-=-⎧⎨⎩当x=0时.y =–2. ∴点C （0.–2）． ∴OC =2.∴S △AOB =S △ACO +S △BCO =×2×4+×2×2=6． 18.如图.已知反比例函数y x=与一次函数y =x +b 的图象在第一象限相交于点A （1.-k +4）．（1）试确定这两个函数的表达式；（2）求出这两个函数图象的另一个交点B 的坐标.并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围．【答案】（1）.y =x +1；（2）B 的坐标为（-2.-1）.x <-2或0<x <1 【解析】（1）∵已知反比例函数经过点A （1.-k +4）. ∴.即-k +4=k . ∴k =2.∴A （1.2）．∵一次函数y =x +b 的图象经过点A （1.2）. ∴2=1+b .∴b =1.∴反比例函数的表达式为. 一次函数的表达式为y =x +1．12122y x=ky x=41kk -+=2y x=（2）由.消去y .得x 2+x -2=0. 即（x +2）（x -1）=0. ∴x =-2或x =1． ∴y =-1或y =2．∴或．∵点B 在第三象限. ∴点B 的坐标为（-2.-1）.由图象可知.当反比例函数的值大于一次函数的值时.x 的取值范围是x <-2或0<x <1． 19.如图.一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象相交于.两点．（1）求反比例函数的表达式；（2）将一次函数的图象沿轴向下平移个单位.使平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点.求的值．【答案】（1）；（2）b 的值为1或9．【解析】（1）由题意.将点代入一次函数得：将点代入得：.解得则反比例函数的表达式为；（2）将一次函数的图象沿轴向下平移个单位得到的一次函数的解析式为联立整理得： 12y x y x ⎧=+⎪⎨=⎪⎩21x y ⎧=-⎨=-⎩12x y ⎧=⎨=⎩5y x =+ky x=k 0k ≠(1,)A m -B 5y x =+y b (0)b >ky x=b 4y x=-(1,)A m -5y x =+154m =-+=(1,4)A -∴(1,4)A -ky x=41k =-4k =-4y x =-5y x =+y b 5y x b =+-54y x by x =+-⎧⎪⎨=-⎪⎩2(5)40x b x +-+=一次函数的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点关于x 的一元二次方程只有一个实数根此方程的根的判别式解得则b 的值为1或9．20.如图.一次函数y =kx +b （k 、b 为常数.k ≠0）的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点.且与反比例函数y =（n 为常数.且n ≠0）的图象在第二象限交于点C ．CD ⊥x 轴.垂足为D .若OB =2OA =3OD =12．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）记两函数图象的另一个交点为E .求△CDE 的面积；（3）直接写出不等式kx +b ≤的解集．【答案】（1）y =–2x +12；（2）140；（3）x ≥10.或–4≤x ＜0 【解析】（1）由已知.OA =6.OB =12.OD =4.∵CD ⊥x 轴.∴OB ∥CD .∴△ABO ∽△ACD . ∴=.∴=.∴CD =20. ∴点C 坐标为（–4.20）.∴n =xy =–80. ∴反比例函数解析式为：y =–. 把点A （6.0）.B （0.12）代入y =kx +b 得：.解得.∴一次函数解析式为：y =–2x +12；（2）当–=–2x +12时.解得x 1=10.x 2=–4；当x =10时.y =–8.∴点E 坐标为（10.–8）. ∴S △CDE =S △CDA +S △EDA =×20×10+×8×10=140； 5y x b =+-4y x=-∴2(5)40x b x +-+=∴2(5)440b ∆=--⨯=121,9b b ==nxnxOA AD OBCD 61012CD80x0612k b b =+=⎧⎨⎩212k b =-=⎧⎨⎩80x1212（3）不等式kx +b ≤.从函数图象上看.表示一次函数图象不高于反比例函数图象； ∴由图象得.x ≥10.或–4≤x ＜0． 21.如图.一次函数y =k 1x +b 的图象与反比例函数y=的图象相交于A 、B 两点.其中点A 的坐标为（–1.4）.点B 的坐标为（4.n ）．（1）根据图象.直接写出满足k 1x +b >的x 的取值范围；（2）求这两个函数的表达式；（3）点P 在线段AB 上.且S △AOP ∶S △BOP =1∶2.求点P 的坐标．【答案】（1）x <–1或0<x <4；（2）y =–（3）P （.）【解析】（1）∵点A 的坐标为（–1.4）.点B 的坐标为（4.n ）．由图象可得：k 1x +b >的x 的取值范围是x <–1或0<x <4；（2）∵反比例函数y =的图象过点A （–1.4）.B （4.n ）. ∴k 2=–1×4=–4.k 2=4n .∴n =–1.∴B （4.–1）. ∵一次函数y =k 1x +b 的图象过点A .点B .∴. 解得k =–1.b =3.∴直线解析式y =–x +3.反比例函数的解析式为y =–；（3）设直线AB 与y 轴的交点为C .∴C （0.3）.∵S △AOC =×3×1=. ∴S △AOB =S △AOC +S △BOC =×3×1+×3×4=. n x2k x 2k xx 332k x2k x 11441k b k b -+=+=-⎧⎨⎩4x 12321212152∵S△AOP ：S △BOP =1：2.∴S △AOP =×=. ∴S △COP =–=1.∴×3x P =1.∴x P =. ∵点P 在线段AB 上.∴y =–+3=.∴P （.）．22.如图.反比例函数1k y x=和一次函数2y mx n =+相交于点()1,3A .()3,B a -．（1）求一次函数和反比例函数解析式；（2）连接OA.试问在x 轴上是否存在点P.使得OAP ∆为以OA 为腰的等腰三角形.若存在.直接写出满足题意的点P 的坐标；若不存在.说明理由．【答案】（1）22y x =+（2）见解析【解析】（1）∵反比例函数1k y x =和一次函数2y mx n =+相交于点()1,3A .()3,B a -. ∴k=1×3=3.∴13y x=. ∴-3a=3.解得：a=-1.∴B(-3.-1).∴331m n m n +=⎧⎨-+=-⎩.解得：12m n =⎧⎨=⎩. ∴22y x =+；（2）设P(t.0).∵()1,3A .∴222(1)(03)(1)9t t -+-=-+t 221310+. 15213525232122323732373∵OAP ∆为以OA 为腰的等腰三角形.∴OA=AP 或OA=OP.当OA=AP 时.22(1)9(10)t -+=.解得：1220t t ==，（不符合题意.舍去）. ∴P(2.0)；当OA=OP 时.t 10解得：10.∴10.0)或P(10.0).综上所述：存在点P.使OAP ∆为以OA 为腰的等腰三角形.点P 坐标为：(2.0) 或10.0)或(10.0)．。

初中反比例函数一次函数相结合做题方法

初中反比例函数一次函数相结合做题方法【原创版4篇】目录（篇1）一、初中反比例函数一次函数相结合做题方法1.反比例函数与一次函数的定义2.反比例函数与一次函数的关系3.反比例函数与一次函数的应用4.反比例函数与一次函数的解题方法二、反比例函数与一次函数的应用1.反比例函数与一次函数的图像2.反比例函数与一次函数的应用案例3.反比例函数与一次函数的应用技巧4.反比例函数与一次函数的应用总结正文（篇1）初中反比例函数一次函数相结合做题方法1.反比例函数与一次函数的定义反比例函数和一次函数是初中数学中重要的函数模型。

反比例函数是指形如y=k/x(k为常数，k≠0)的函数，当ku003e0时，反比例函数图像分别位于第一、三象限，在每一象限内，y值随x值的增大而减小；当ku003c0时，反比例函数图像分别位于第二、四象限，在每一象限内，y 值随x值的增大而增大。

一次函数是指形如y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的函数，其中x是自变量，y是因变量。

2.反比例函数与一次函数的关系反比例函数和一次函数是相互关联的，可以通过相互转换来解决问题。

反比例函数的一次项系数k可以转化为斜率，当ku003e0时，反比例函数图像的四个象限中，第一、三象限的分界线为y=x；第四、二象限的分界线为y=-x；当ku003c0时，反比例函数图像的四个象限中，第二、四象限的分界线为y=x；第一、三象限的分界线为y=-x。

3.反比例函数与一次函数的应用反比例函数和一次函数在生活中的应用非常广泛。

目录（篇2）一、初中反比例函数一次函数相结合做题方法1.反比例函数与一次函数的定义2.反比例函数与一次函数的关系3.反比例函数与一次函数的应用4.反比例函数与一次函数的解题方法二、反比例函数与一次函数的应用1.反比例函数与一次函数的图像2.反比例函数与一次函数的应用案例3.反比例函数与一次函数的应用技巧4.反比例函数与一次函数的应用拓展正文（篇2）初中反比例函数一次函数相结合做题方法1.反比例函数与一次函数的定义反比例函数和一次函数是初中数学中的两个重要概念。

中考复习——平面直角坐标系、一次函数、反比例函数及其图象知识点汇总及典例分析

中考复习——平面直角坐标系、一次函数、反比例函数【知识梳理】一、平面直角坐标系1. 坐标平面上的点与有序实数对构成一一对应；2. 各象限点的坐标的符号；3. 坐标轴上的点的坐标特征．4. 点P （a ，b ）关于x 轴对称的点的坐标为；关于y 轴对称的点的坐标为；关于原点对称的点的坐标为5.两点之间的距离二、函数的概念1.概念：在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.2.自变量的取值范围：（1）使解析式（2）实际问题具有意义3.函数的表示方法；（1）（2）（3）三、一次函数的概念、图象、性质1．正比例函数的一般形式是（），一次函数的一般形式是 (k≠0). 2. 一次函数y kx b =+的图象是经过（，）和（，）两点的一条直线.4.若两个一次函数解析式中，k 相等，表示两直线；若两直线垂直，则。

5.的大小决定直线的倾斜程度，越大，直线越；四、反比例函数的概念、图象、性质1．反比例函数：一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y ＝或或（k 为常数，k≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数． 2. 反比例函数的图象和性质k ＞0，b ＞0k ＞0，b ＜0k ＜0，b ＞0k ＜0，21212211P P )0()0()2(y y y P y P -＝，　，，，21212211P P )0()0()1(x x x P x P -＝，　，　，，　3．k 的几何含义：反比例函数y ＝k x(k≠0)中比例系数k 的几何意义，即过双曲线y ＝k x(k≠0)上任意一点P 作x 轴、y 轴垂线，设垂足分别为A 、B ，则所得矩形OAPB 的面积为。

【例题精讲】例1.函数22y x =-中自变量x 的取值范围是 ;函数y =x 的取值范围是．例2.已知点(13)A m -，与点(21)B n +，关于x 轴对称，则m = ，n = ．例3.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（10，0），点B 的坐标为（8，0）,点C 、D 在以OA 为直径的半圆M 上,且四边形OCDB 是平行四边形，点C 的坐标为例4．一次函数y=(3a+2)x －(4－b),求满足下列条件的a 、b 的取值范围。

2019秋九年级数学上册考点综合专题反比例函数与一次函数、几何图形的综合(新版)湘教版

考点综合专题：反比例函数与一次函数、几何图形的综合◆类型一同一坐标系中判断图象1．函数y ＝ax (a ≠0)与y ＝a x在同一坐标系中的大致图象是( )2．(2016·杭州中考)设函数y ＝k x(k ≠0，x ＞0)的图象如图所示，若z ＝1y，则z 关于x的函数图象可能为( )◆类型二求交点坐标或根据交点求(取)值3．正比例函数y ＝kx 的图象与反比例函数y ＝mx的图象有一个交点的坐标是(－1，－2)，则另一个交点的坐标是____________．【方法4①】4．(2016·岳阳中考)如图，一次函数y ＝kx ＋b (k ，b 为常数，且k ≠0)和反比例函数y ＝4x (x ＞0)的图象交于A ，B 两点，利用函数图象直接写出不等式4x＜kx ＋b 的解集是____________．【方法5】5．★(2016－2017·张家界市桑植县期中)如果一个正比例函数的图象与反比例函数y ＝－5x的图象交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，那么(x 2－x 1)(y 2－y 1)的值为________．【方法4②】6．如图，反比例函数y ＝kx的图象经过点A (－1，4)，直线y ＝－x ＋b (b ≠0)与双曲线y ＝k x在第二、四象限分别相交于P ，Q 两点，与x 轴、y 轴分别相交于C ，D 两点．(1)求k 的值；(2)当b ＝－2时，求△OCD 的面积；(3)连接OQ ，是否存在实数b ，使得S △ODQ ＝S △OCD ？若存在，请求出b 的值；若不存在，请说明理由．7．如图，正比例函数y 1＝mx (m ＞0)的图象与反比例函数y 2＝k x(k ＞0)的图象交于点A (n ，4)和点B ，AM ⊥y 轴，垂足为M .若△AMB 的面积为8，若y 1＞y 2，求实数x 的取值范围．【方法5】◆类型三与面积相关的问题(含k 的几何意义)8．如图，矩形AOCB 的面积为4，反比例函数y ＝k x的图象的一支经过矩形对角线的交点P ，则该反比例函数的解析式是( )A ．y ＝4xB ．y ＝2xC ．y ＝1xD ．y ＝12x第8题图第9题图9．如图，直线y ＝x －2与y 轴交于点C ，与x 轴交于点B ，与反比例函数y ＝k x的图象在第一象限交于点A ，连接OA .若S △AOB ∶S △BOC ＝1∶2，则k 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．610．(2016－2017·常德市澧县期中)如图，已知平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴交于点A (3，0)，与某反比例函数的图象在第三象限交于点B (－1，a )，连接BO ，若S △AOB ＝3.(1)求该反比例函数的解析式和直线AB 的解析式； (2)若直线AB 与y 轴的交点为C 点，求S △OCB .◆类型四与几何图形的综合11．如图，点A 的坐标是(2，0)，△ABO 是等边三角形，点B 在第一象限．若反比例函数y ＝k x的图象经过点B ，则k 的值是__________.【方法3】第11题图第12题图第13题图12．如图，A (4，0)，B (3，3)，以AO ，AB 为边作平行四边形OABC ，则经过C 点的反比例函数的解析式为____________.13．★(2016·菏泽中考)如图，△OAC 和△BAD 都是等腰直角三角形，∠ACO ＝∠ADB ＝90°，反比例函数y ＝6x在第一象限的图象经过点B ，则△OAC 与△BAD 的面积之差为( )A ．36B ．12C ．6D ．314．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点C 与原点O 重合，点B 在y 轴的正半轴上，点A 在反比例函数y ＝k x(x ＞0)的图象上，点D 的坐标为(4，3)．(1)求k 的值；(2)将这个菱形沿x 轴正方向平移，当顶点D 落在反比例函数y ＝k x(x >0)的图象上时，求菱形平移的距离．考点综合专题：反比例函数与一次函数、几何图形的综合 1．D 2.D3．(1，2) 4.1<x <45．－20 解析：∵正比例函数的图象与反比例函数y ＝－5x的图象交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，∴点A ，B 关于原点对称，∴x 1＝－x 2，y 1＝－y 2，∴(x 2－x 1)(y 2－y 1)＝2x 2·2y 2＝4x 2y 2＝－5×4＝－20.6．解：(1)∵反比例函数y ＝kx的图象经过点A (－1，4)，∴k ＝－1×4＝－4；(2)当b ＝－2时，直线解析式为y ＝－x －2.∵当y ＝0时，－x －2＝0，解得x ＝－2，∴C (－2，0)．∵当x ＝0时，y ＝－x －2＝－2，∴D (0，－2)，∴S △OCD ＝12×2×2＝2；(3)存在．当y ＝0时，－x ＋b ＝0，解得x ＝b .则C (b ，0)，∵S △ODQ ＝S △OCD ，∴点Q 和点C 到OD 的距离相等，而Q 点在第四象限，∴Q 的横坐标为－b ，当x ＝－b 时，y ＝－x ＋b ＝2b ，则Q (－b ，2b )，∵点Q 在反比例函数y ＝－4x的图象上，∴－b ·2b ＝－4，解得b ＝－2或b ＝2(舍去)，∴b 的值为－ 2.7．解：∵正比例函数y 1＝mx (m ＞0)的图象与反比例函数y 2＝k x(k ≠0)的图象交于点A (n ，4)和点B ，∴B (－n ，－4)．∵△AMB 的面积为8，AM ⊥y 轴，∴12×8×n ＝8，解得n ＝2.∴A (2，4)，B (－2，－4)．由图形可知，当－2＜x ＜0或x ＞2时，正比例函数y 1＝mx (m ＞0)的图象在反比例函数y 2＝k x(k ≠0)图象的上方，即y 1＞y 2.8．C 9.B10．解：(1)由题意知AO ＝3，a ＜0.∵S △AOB ＝12AO ·|y B |＝12×3×|a |＝3，∴a ＝－2.即点B 的坐标为(－1，－2)．设该反比例函数的解析式为y ＝k x，将点B (－1，－2)代入得k ＝2，∴该反比例函数的解析式为y ＝2x.设直线AB 的解析式为y ＝ax ＋b ，将点A (3，0)，B (－1，－2)代入得⎩⎪⎨⎪⎧0＝3a ＋b ，－2＝－a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－32.∴直线AB 的解析式为y ＝12x －32； (2)由题意得C 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－32，∴OC ＝32，∴S △OCB ＝12OC ·|x B |＝12×32×|－1|＝34. 11. 3 12.y ＝－3x13．D 解析：设△OAC 和△BAD 的直角边长分别为a ，b ，则点B 的坐标为(a ＋b ，a －b )．∵点B 在反比例函数y ＝6x的第一象限图象上，∴(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2＝6.∴S △OAC －S △BAD＝12a 2－12b 2＝12(a 2－b 2)＝12×6＝3.故选D.14．解：(1)如图，过点D 作DE ⊥y 轴于点E ，DF ⊥x 轴于点F ，∵点D 的坐标为(4，3)，∴FO ＝4，DF ＝3，∴DO ＝5.∵四边形ABCD 为菱形，∴AD ＝DO ＝5，∴A 点坐标为(4，8)．又∵点A (4，8)在反比例函数y ＝k x(x >0)的图象上，∴k ＝4×8＝32；(2)将菱形ABCD 向右平移，使点D 落在反比例函数y ＝32x(x ＞0)的图象上的D ′点，过点D ′作D ′F ′⊥x 轴于F ′.∵DF ＝3，∴D ′F ′＝3，∴D ′点的纵坐标为3，∴OF ′＝323，∴FF ′＝OF ′－OF ＝323－4＝203，∴菱形ABCD 向右平移的距离为203.。

中考数学复习查补重难点反比例函数与一次函数的综合运用(原卷版)

查补重难点03反比例函数与一次函数的综合运用考点一：反比例函数与一次函数综合反比例函数与一次函数进行综合考查的题型是江苏历年中考数学对于函数考查的重点内容，那么关于反比例函数与一次函数的综合专题当中，我们主要涉及到函数共存问题，交点和不等式（比大小）问题、最值问题以及与几何综合压轴类的题型。

无论是哪一类型的题型，在综合的考察过程当中都是对于反比例函数与一次函数的图像和性质有充分的了解，借助数形结合思想、方程思想、化归思想等。

通过函数的图像来得到我们所需要的求解问题。

在这过程当中，如果对于这两类函数没有全面的了解，那么在解题过程当中就要花费大家很多的时间而导致其解题效率的降低，那么在解决这三大类型的提醒过程当中，该如何利用这些函数的性质来进行解题，该专题可供大家在备考阶段能够进行专项的突破。

题型1.反比例函数和一次函数图像共存问题函数图象共存问题是一次函数和反比例函数当中含有共同的参数，根据分类讨论的形式，由函数的图像特点来判定符合两个函数参数的图形。

解决这类型的题不仅是反比例函数和一次函数进行综合考查，连同二次函数在内的题型进行考查也是比较常见的，所以解决这类型的问题时，我们先要根据一次函数或反比例函数中参数的共性，通过分别进行讨论的形式逐一进行排除，最终确定满足要求的函数图像。

．B ．．．变式1.（2023年湖北省襄阳市中考数学真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数y kx =k x的图象可能是（）．B ．C ．D ．变式2.（2022·广西·中考真题）已知反比例函数(0)b y b x=≠的图象如图所示，则一次函数()0y cx a c =-≠和二次函数2(0)y ax bx c a =++≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．题型2.反比例函数和一次函数的交点问题一次函数图像与反比例函数相关问题，牵扯到的知识点比较多，如求它们的函数解析式，或是通过两者的图像相交，需要考生结合两个函数解析式转化成一元二次方程，从而求得交点坐标等。

中考数学滚动小专题三一次函数与反比例函数的综合运用

一次函数与反比例函数的综合运用本专题是对一次函数与反比例函数的综合问题进行复习与深化，这类综合题考查的知识点多，能力要求强.试题呈现形式活泼多样，既有一次函数、反比例函数与代数的综合又有与空间几何的综合.解决这类问题首先要理清头绪，挖掘题目中的已知条件和隐含条件，根据实际问题情境或图象列出相应关系式，从而建立函数模型.例 (2014·成都)如图，一次函数y=kx+5(k 为常数，且k ≠0)的图象与反比例函数y=-8x的图象交于A(-2,b)，B 两点.(1)求一次函数的表达式；(2)若将直线AB 向下平移m(m>0)个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m 的值.【思路点拨】(1)将点A 坐标代入反比例函数解析式得b ，将A 坐标代入一次函数解析式得k ； (2)联立两函数解析式，得一元二次方程，有一个公共解则Δ=0，即可求出m 的值. 【解答】（1）∵A(-2,b)在y=-8x上， ∴-2b=-8，b=4.∴A(-2,4). ∵A(-2,4)在y=kx+5上， ∴k ＝12， ∴一次函数为y ＝12x ＋5. (2)向下平移m 个单位长度后，直线为y=12x+5-m ，由题意，得 15.82y y x m x =-=+⎧⎪⎨⎪-⎪⎪⎩，整理得12x 2+(5-m)x+8=0， ∵平移后直线与双曲线有且只有一个公共点， ∴Δ=(5-m)2-4×12×8＝0，解得m ＝1或9. 方法归纳：解决一次函数和反比例函数的问题常常从反比例函数突破，求两函数的交点问题通常联立成方程组，转化为方程解决.若两函数图象有两个交点，则对应的一元二次方程的Δ>0;若两函数图象有1个交点，则对应的一元二次方程的Δ=0;若两函数图象没有交点，则对应的一元二次方程的Δ<0.1.(2014·菏泽)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知一次函数y ＝kx+b 的图象经过点A(1，0)，与反比例函数 y ＝mx(x ＞0)的图象相交于点B(2，1).(1)求m的值和一次函数的解析式；(2)结合图象直接写出：当x>0时，不等式kx+b>mx的解集.2.(2014·广州)已知一次函数y=kx-6的图象与反比例函数y=-2kx的图象交于A、B两点，点A的横坐标为2.(1)求k的值和点A的坐标；(2)判断点B的象限，并说明理由.3.(2014·白银)如图，在直角坐标系xOy中，直线y=mx与双曲线y=nx相交于A(-1，a)、B两点，BC⊥x轴，垂足为C，△AOC的面积是1.(1)求m、n的值；(2)求直线AC的解析式.4.(2014·宜宾)如图，一次函数y=-x+2的图象与反比例函数y=-3x的图象交于A、B两点，与x轴交于D点，且C、D两点关于y轴对称.(1)求A、B两点的坐标；(2)求△ABC的面积.5.(2014·甘孜)如图，在△AOB中，∠ABO＝90°，OB＝4，AB＝8，反比例函数y=kx在第一象限内的图象分别交OA，AB于点C和点D，且△BOD的面积S△BOD＝4.(1)求反比例函数解析式；(2)求点C的坐标.6.(2014·资阳)如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过点P(-32，0)，且与反比例函数y=mx(m≠0)的图象相交于点A(-2,1)和点B.(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)求点B的坐标，并根据图象回答：当x在什么范围内取值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值？参考答案1.(1)把点B(2，1)代入y＝mx，得m＝1×2=2.∵一次函数y＝kx+b的图象经过点A(1，0)，B(2，1)，∴0,12.k bk b=+⎧⎨=+⎩解得1,1.kb=⎧⎨=-⎩∴一次函数的解析式为y＝x-1.(2)x＞2.2.(1)当x=2时，y=kx-6=2k-6，y=-2kx=-k.由题意，得2k-6=-k.解得k=2. 故一次函数解析式为y=2x-6，反比例函数解析式为y=-4 x .∴A(2，-2).(2)B点在第四象限，理由如下：一次函数y=2x-6经过第一、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限，因此它们的交点都是在第四象限.3.(1)∵直线y=mx与双曲线y=nx相交于A(-1，a)、B两点，∴B点横坐标为1，即C(1，0).∵△AOC的面积为1，∴A(-1，2).将A(-1，2)代入y=mx，y=nx可得m=-2，n=-2.(2)设直线AC的解析式为y=kx+b，∵y=kx+b经过点A(-1，2)、C(1，0)，∴20.k bk b-+=⎧⎨+=⎩，解得11.kb=-⎧⎨=⎩，∴直线AC的解析式为y=-x+1.4.(1)根据题意得23y xyx=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩解方程组得1,3xy=-⎧⎨=⎩或3,1.xy=⎧⎨=-⎩∴A(-1，3)，B(3，-1).(2)把y=0代入y=-x+2得-x+2=0，解得x=2，∴D(2，0).∵C、D两点关于y轴对称，∴C(-2，0)， ∴S △ABC =S △ACD +S △BCD =12×(2+2)×3+12×(2+2)×1=8. 5.(1)由S △BOD ＝4，得k ＝8. ∴反比例函数解析式为y=8x. (2)∵OB ＝4，AB ＝8，∠ABO ＝90°， ∴A 点坐标为(4，8).设直线AO 的解析式为y ＝kx ，则4k ＝8，解得k ＝2. 即直线AO 的解析式为y ＝2x.联立方程组：82.y x y x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得1124x y =⎧⎨=⎩，或2224.x y =-⎧⎨=-⎩，(舍去)∴点C 的坐标为(2，4).6.（1）∵函数y=kx+b 图象过点P(-32，0)和点A(-2，1)， ∴30,22 1.k b k b ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩解得2,3.k b =-⎧⎨=-⎩∴一次函数的解析式为y=-2x-3.又反比例函数的图象过点A(-2，1)， ∴2m-=1，即m=-2. 故反比例函数的解析式为y=-2x. (2)联立23,2y x y x =--⎧⎪⎨=-⎪⎩解得1121x y =-⎧⎨=⎩，或221,24.x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ∴B(12，-4). 由图可知，当-2＜x ＜0或x ＞12时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值.。

北师大版2019-2020年九年级数学上册5.2：反比例函数与一次函数综合解不等式专题(含答案)

2019-2020反比例函数与一次函数综合解不等式专题（含答案）一、单选题1．如图，已知一次函数y=ax+b 和反比例函数y=kx的图象相交于A(－2，y 1)、B(1，y 2)两点，则不等式ax+b －kx<0的解集为( ).A.x<－2B.x<－2或0<x<1C.0<x<1D.－2<x<0或x>12．如图，已知函数1y kx b =+和2my x=的图象交于点P 、Q ，则根据图象可得关于x 的不等式mkx b x+>的解集是（）A ．3x >-B ．－3＜x ＜0或1x >C ．1x >D ．3x <-3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y=kx+b （k≠0）与y=mx（m≠0）的图象相交于点A （-2，3），B （6，-1），则不等式kx+b ＞mx的解集为（）A.x 2<-B.2x 0-<<或x 6>C.x 6<D.0x 6<<或x 2<-4．已知如图，一次函数y=ax+b 和反比例函数的图象相交于A 、B 两点，不等式ax+b ＞的解集为（）A ．x ＜﹣3B ．﹣3＜x ＜0或x ＞1C ．x ＜﹣3或x ＞1D ．﹣3＜x ＜1 5．已知两个函数y 1=k 1x +b 与y 2=2k x的图象如图所示，其中A （-1，2），B （2，-1），则不等式k 1x +b ＞2k x的解集为（）A ．1x <-或2x >B ．1x <-或02x <<C ．12x -<<D ．10x -<<或02x <<6．如图，直线y＝－x＋b与双曲线y＝kx交于点A、B，则不等式组kx＞－x＋b≥0的解集为()A．x＜－1或x＞2 B．－1＜x≤1C．－1＜x＜0 D．－1＜x＜17．如图，直线y=-x+b与双曲线kyx=交于点A、B，则不等式组0kx bx>-+≥的解集为（）.A．x＜﹣1或x＞2 B．﹣1＜x≤1C．﹣1＜x＜0 D．﹣1＜x＜18．如图，若反比例函数kyx=的图象与直线y＝3x+m相交于点A，B，结合图象求不等式3kx mx+的解集（）A．0＜x＜1 B．﹣1＜x＜0C ．x ＜﹣1或0＜x ＜1D ．﹣1＜x ＜0或x ＞19．如图，已知一次函数y ax b =+和反比例函数ky x=的图象相交于1(2,)A y -，2(1,)B y 两点，则不等式kax b x+<的解集为（）A.2x <-或01x <<B.2x <-C.20x -<<或1x >D.01x <<10．如图，一次函数y=kx+b 与反比例函数y=x （x>0）的图象交于A （m ，6），B （3，n ）两点，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，下列结论：①一次函数解析式为y=﹣2x+8；②AD=BC ；③kx+b ﹣x ＜0的解集为0＜x ＜1或x ＞3；④△AOB 的面积是8，其中正确结论的个数是（）A.4个B.3个C.2个D.1个11．如图，函数y ＝kx ＋b(k≠0)与y ＝(m≠0)的图象交于点A(2，3)，B(－6，－1)，则不等式kx ＋b＞的解集为( )A. 或B. 或C.D.12．正比例函数y 1=k 1x （k 1＞0）与反比例函数y 2=（k 2＞0）图象如图所示，则不等式k 1x ＞的解集在数轴上表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．13．如图，一次函数1(0)y kx b k =+≠的图象与反比例函数2my x=（m 为常数且0m ≠）的图象都经过()()1,2,2,1A B --，结合图象，则不等式mkx b x+>的解集是（）A.1x <-B.10x -<<C.1x <-或02x <<D.10x -<<或2x >14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y ＝kx+b （k≠0）与y ＝（m≠0）的图象相交于点A （2，3），B （﹣6，﹣1），则不等式kx+b ＞mx的解集为（）A．x＜﹣6 B．﹣6＜x＜0或x＞2 C．x＞2 D．x＜﹣6或0＜x＜2 15．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2=c（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，则不等式y1＞y2的解集是x（）A．﹣3＜x＜2 B．x＜﹣3或x＞2 C．﹣3＜x＜0或x＞2 D．0＜x＜2二、填空题16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数和函数的图象交于A、B两点．利用函数图象直接写出不等式的解集是____________.17．已知一次函数y ax b =+，反比例函数ky x=（a ，b ，k 是常数，且0ak ≠），若其中-部分x ，y 的对应值如表，则不等式8k xax b -<+<的解集是_________.x4-2-1-12 4y ax b=+6- 4- 3- 1-2k y x=2- 4-8- 8 4 218．如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象交于点()2,5A --，C ()5,n ，交y 轴于点B ，交x 轴于点D ，那么不等式0mkx b x+->的解集是______ ．19．如图，已知一次函数y=ax+b和反比例函数kyx=的图象相交于A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，则不等式ax+b＜kx的解集为__________20．如图，函数y=kx的图象与函数y=-2x+8的图象交于点A（1，a），B（b，2），那么不等式kx＜-2x+8的解集是______．21．一次函数y＝kx+b与反比例函数kyx=的图象交于A、B两点（如图），则0＜kx＜kx+b的解集是_____．22．如图，反比例函数()10ky x x=>与正比例函数2y mx =和3y nx =的图像分别交于点A （2，2）和B （b ，3），则关于x 的不等式组k mx xk nx x ⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩的解集为___________。

反比例函数与一次函数综合

反比例函数与一次函数综合反比例函数和一次函数，听起来像是数学课上的两个“老朋友”，对吧？其实它们各有各的个性，有趣得很，像极了生活中的那些“朋友”。

反比例函数就像是个调皮捣蛋的小子，总是让你意想不到。

你想要的东西，它偏偏给你反着来。

比如说，假设你在做生意，客户越多，利润越分散，这不就是反比例吗？简单点说吧，反比例就是那种一个增大，另一个必定减小的关系，像是两个人在拔河，谁拉得用力，谁就得让步。

想象一下，一边是越来越多的客户，另一边则是你的工作量就像山一样高，真是让人哭笑不得。

再说说一次函数，这家伙可稳重多了。

它就像那个老实巴交的邻居，绝对不会让你意外。

一次函数就是那种一直在“直线”上的家伙，没啥花里胡哨的。

他的图像看起来就像是顺风车，稳稳地往前开。

你想要的结果，输入什么值，它都能给你个正经八百的答案。

就像你跟朋友约好了去看电影，票价是固定的，不管你们几个人去，价格都一样，明明白白，清清楚楚。

把这两个“朋友”放到一起，简直是奇妙的组合。

反比例函数和一次函数就像是两个性格截然不同的搭档，你得靠着反比例的灵活机智来解决问题，有时候又需要一次函数的稳定来确保安全。

想想看，在一个团队里，活泼的和稳重的往往能产生奇妙的化学反应。

就像在生活中，我们常常需要有人来给我们带来新鲜感，也需要有人来给我们提供安全感。

这种互补关系真是妙不可言。

比如说，你正在筹划一次活动，想要吸引更多的人来参加。

这时候，你的宣传方式就需要反比例的思维。

试着用一些新鲜的点子，增加活动的吸引力，但你要明白，越多的人参与，活动的质量可能会受影响。

就好比聚会上的美食，食材越多，口味可能就得妥协。

反比例函数就像是个提醒，要学会找到那个平衡点。

而如果你用一次函数的方式来计划，事情可能就简单多了，所有的步骤都有章可循，这也会让你的创意受限，难免就显得乏味。

说到这，我不禁想起了小时候做数学题的那些日子。

拿着圆规，画出漂亮的图形，想着这些函数的奥妙，心里总是充满了成就感。

一次函数与反比例函数综合应用(经典)

一次函数与反比例函数—专项提升1. 如图1，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=（0x <）的图象交于A （-3，2），B （n ，4）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）点C （-1，0）是x 轴上一点，求△ABC 的面积．2、如图2，直线y 1=kx +2与反比例函数23y x-=（x <0）相交于点A ，且当x <-1时，y 1>y 2，当-1<x <0时，y 1<y 2．（1）求出y 1的解析式；（2）若直线y =2x +b 与x 轴交于点B （3，0），与y 1交于点C ，求出△AOC 的面积．图1图23、如图，直线132y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B .(1)求点A 、B 的坐标 (2)若点P 在直线132y x =+上，且横坐标为-2，求过点P 的反比例函数图象的解析式.4、如图9，在平面直角坐标系中，双曲线y =mx 和直线y =kx +b 交于A ，B 两点，点A 的坐标为（﹣3，2），BC ⊥y 轴于点C ，且OC =6BC ．（1）求双曲线和直线的解析式；（2）直接写出不等式mx＞kx +b 的解集．图9图10xy AOB5、如图10，一次函数y=x+1的图象与反比例函数xky =（k 为常数，且0k ）的图象都经过点A （m ，2）．（1）求点A 的坐标及反比例函数的表达式；（2）设一次函数y=x+1的图象与x 轴交于点B ，若点P 是x 轴上一点，且满足△ABP 的面积是2，请直接写出点P 的坐标．6、正比例函数y ＝12x 的图象与反比例函数y ＝kx （k ≠0）在第一象限的图象交于A 点，过A点作x 轴的垂线，垂足为M ，已知△OAM 的面积为1. （1）求反比例函数的解析式；（2）如果B 为反比例函数在第一象限图象上的点（点B 与点A 不重合），且B 点的横坐标为1，在x 轴上求一点P ，使PA ＋PB 最小.OMy图11Ax。

2019中考数学狙击重难点系列专题24----反比例函数与一次函数综合(含答案)

反比例函数与一次函数综合1. 如图，一次函数（）与反比例函数（）的图象交于点，．（1）求这两个函数的表达式；（2）在轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求的值；若不存在，说明理由．2. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A ﹙−2，−5﹚、C ﹙5，n ﹚，交y 轴于点B ，交x 轴于点D ．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）连接OA 、OC ．求△AOC 的面积．3. 如图，一次函数y=kx+b 与反比例函数（）的图象交于A （m ，6），B （3，n ）两点．（Ⅰ）求一次函数的解析式；（Ⅱ）根据图象直接写出的x 的取值范围；（Ⅲ）求△AOB 的面积．4. 已知正比例函数y=2x 的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A 点，过A 点作x 轴的垂线，垂足为P 点，已知△OAP 的面积为1．（1）求反比例函数的解析式；（2）如果点B 为反比例函数在第一象限图象上的点（点B 与点A 不重合），且点B 的横坐标为2，在x 轴上求一点M ，使MA+MB 最小．5. 已知：一次函数y=﹣2x+10的图象与反比例函数（k ＞0）的图象相交于A ，B 两点（A 在B 的右侧）．（1）当A （4，2）时，求反比例函数的解析式及B 点的坐标；（2）在1的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点P ，使△PAB 是以AB 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当A （a ，﹣2a+10），B （b ，﹣2b+10）时，直线OA 与此反比例函数图象的另一支交于另一点C ，连接BC 交y 轴于点D ．若，求△ABC 的面积．6. 已知：如图，直线AB 与x 轴y 轴分别交于A ，B 两点，与双曲线y=在第一象限内交于点C ，BO=2AO=4，△AOC 的面积为2 +2．（1）求点C 的坐标和k 的值；（2）若点P 在双曲线y=上，点Q 在y 轴上，且以A ，B ，P ，Q 为顶点的四边形为平行四边形，求所有符合题意的点Q 的坐标．7. 如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方．（1）若点P的坐标是（1，4），直接写出k的值和△PAB的面积。

第26章中考热点加餐反比例函数与一次函数的综合应用市公开课一等奖课件名师大赛获奖课件

数学
(3)如图，作 C 关于 y 轴的对称点 C′，连接 C′D 交 y 轴于 M，
则
d＝MC＋MD
最小，∴C′－
33，
3.
设直线 C′D 的解析式为 y＝kx＋b，
∴
3＝－ 33k＋b，
1＝k＋b，
∴bk＝＝23－32－23，，
∴y＝(3－2 3)x＋2 3－2，
当 x＝0 时，y＝2 3－2，∴M(0,2 3－2)．
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数学
(2)∵一次函数 y＝x 的图象与反比例函数 y＝1x的图象交于 A， B 两点，且点 A 坐标为(1,1)，∴B(－1，－1)， ∴当－1＜x＜0 或 x＞1 时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，即一次函数 y＝x 的值大于反比例函数 y＝1x的值．
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数学
8．如图，在平面直角坐标系中，边长为 2 的正方形 ABCD 关于 y 轴对称，边 AD 在 x 轴上，点 B 在第四象限，直线 BD 与反比例函数 y＝mx 的图象交于点 B，E. (1)求反比例函数及直线 BD 的解析式； (2)求点 E 的坐标．
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数学
(2)y＝－x－2 中，令 y＝0，则 x＝－2，即直线 y＝－x－2 与 x 轴交于点 C(－2,0)，∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝12×2×2＋21×2×4 ＝6. (3)不等式 kx＋b－mx ＞0 的解集为 x＜－4 或 0＜x＜2.
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数学【例 2】如图，反比例函数 y＝kx(k≠0，x＞0)的图象与直线 y ＝3x 相交于点 C，过直线上点 A(1,3)作 AB⊥x 轴于点 B，交反比例函数图象于点 D，且 AB＝3BD. (1)求 k 的值； (2)求点 C 的坐标； (3)在 y 轴上确定一点 M，使点 M 到 C， D 两点距离之和 d＝MC＋MD 最小，求点 M 的坐标．

中考数学专题复习《一次函数与反比例函数的综合》检测题真题(含答案)

一次函数与反比例函数的综合运用（2016·青海西宁·2分）如图，一次函数y=x+m的图象与反比例函数y=的图象交于A，B两点，且与x轴交于点C，点A的坐标为（2，1）．（1）求m及k的值；（2）求点C的坐标，并结合图象写出不等式组0＜x+m≤的解集．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）把点A坐标代入一次函数y=x+m与反比例函数y=，分别求得m及k的值；（2）令直线解析式的函数值为0，即可得出x的值，从而得出点C坐标，根据图象即可得出不等式组0＜x+m≤的解集．【解答】解：（1）由题意可得：点A（2，1）在函数y=x+m的图象上，∴2+m=1即m=﹣1，∵A（2，1）在反比例函数的图象上，∴，∴k=2；（2）∵一次函数解析式为y=x﹣1，令y=0，得x=1，∴点C的坐标是（1，0），由图象可知不等式组0＜x+m≤的解集为1＜x≤2．m（m≠0）（2016·贵州安顺·10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=x的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（n，6），点C的坐标为（﹣2，0），且tan∠ACO=2．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求点B的坐标．解：（1）过点A作AD⊥x轴，垂足为D由A（n，6），C（﹣2，0）可得，OD=n，AD=6，CO=2∵tan∠ACO=2∴=2，即=2∴n=1∴A（1，6）将A（1，6）代入反比例函数，得m=1×6=6∴反比例函数的解析式为将A（1，6），C（﹣2，0）代入一次函数y=kx+b，可得解得∴一次函数的解析式为y=2x+4（2）由可得，解得x1=1，x2=﹣3∵当x=﹣3时，y=﹣2∴点B坐标为（﹣3，﹣2）（2016·四川泸州）如图，一次函数y=kx+b（k＜0）与反比例函数y=的图象相交于A、B两点，一次函数的图象与y轴相交于点C，已知点A（4，1）（1）求反比例函数的解析式；（2）连接OB（O是坐标原点），若△BOC的面积为3，求该一次函数的解析式．解：（1）∵点A（4，1）在反比例函数y=的图象上，∴m=4×1=4，∴反比例函数的解析式为y=．（2）∵点B在反比例函数y=的图象上，∴设点B的坐标为（n，）．将y=kx+b代入y=中，得：kx+b=，整理得：kx2+bx﹣4=0，∴4n=﹣，即nk=﹣1①．令y=kx+b中x=0，则y=b，即点C的坐标为（0，b），∴S△B O C=bn=3，∴bn=6②．∵点A（4，1）在一次函数y=kx+b的图象上，∴1=4k+b③．联立①②③成方程组，即，解得：，∴该一次函数的解析式为y=﹣x+3．4．（2016·四川南充）如图，直线y=x+2与双曲线相交于点A（m，3），与x轴交于点C．（1）求双曲线解析式；（2）点P在x轴上，如果△ACP的面积为3，求点P的坐标．【分析】（1）把A坐标代入直线解析式求出m的值，确定出A坐标，即可确定出双曲线解析式；（2）设P（x，0），表示出PC的长，高为A纵坐标，根据三角形ACP面积求出x的值，确定出P坐标即可．【解答】解：（1）把A（m，3）代入直线解析式得：3=m+2，即m=2，∴A（2，3），把A坐标代入y=，得k=6，则双曲线解析式为y=；（2）对于直线y=x+2，令y=0，得到x=﹣4，即C（﹣4，0），设P（x，0），可得PC=|x+4|，∵△ACP面积为3，∴|x+4|3=3，即|x+4|=2，解得：x=﹣2或x=﹣6，则P坐标为（﹣2，0）或（﹣6，0）．【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，坐标与图形性质，以及三角形面积求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．5．（2016·四川攀枝花）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直与x轴，垂足为点B，反比例函数y=（x＞0）的图象经过AO的中点C，且与AB相交于点D，OB=4，AD=3，（1）求反比例函数y=的解析式；（2）求cos∠OAB的值；（3）求经过C、D两点的一次函数解析式．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】（1）设点D的坐标为（4，m）（m＞0），则点A的坐标为（4，3+m），由点A的坐标表示出点C的坐标，根据C、D点在反比例函数图象上结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k、m的二元一次方程，解方程即可得出结论；（2）由m的值，可找出点A的坐标，由此即可得出线段OB、AB的长度，通过解直角三角形即可得出结论；（3）由m的值，可找出点C、D的坐标，设出过点C、D的一次函数的解析式为y=ax+b，由点C、D的坐标利用待定系数法即可得出结论．【解答】解：（1）设点D的坐标为（4，m）（m＞0），则点A的坐标为（4，3+m），∵点C为线段AO的中点，∴点C的坐标为（2，）．∵点C、点D均在反比例函数y=的函数图象上，∴，解得：．∴反比例函数的解析式为y=．（2）∵m=1，∴点A的坐标为（4，4），∴OB=4，AB=4．在Rt△ABO中，OB=4，AB=4，∠ABO=90°，∴OA==4，cos∠OAB===．（3））∵m=1，∴点C的坐标为（2，2），点D的坐标为（4，1）．设经过点C、D的一次函数的解析式为y=ax+b，则有，解得：．∴经过C、D两点的一次函数解析式为y=﹣x+3．（2016·重庆市A卷·10分）在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图形与反比例函数y=（k≠0）的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点，过点A作AH⊥y轴，垂足为H，OH=3，tan∠AOH=，点B 的坐标为（m，﹣2）．（1）求△AHO的周长；（2）求该反比例函数和一次函数的解析式．解：（1）由OH=3，tan∠AOH=，得AH=4．即A（﹣4，3）．由勾股定理，得AO==5，△AHO的周长=AO+AH+OH=3+4+5=12；（2）将A点坐标代入y=（k≠0），得k=﹣4×3=﹣12，反比例函数的解析式为y=；当y=﹣2时，﹣2=，解得x=6，即B（6，﹣2）．将A、B点坐标代入y=ax+b，得，解得，一次函数的解析式为y=﹣x+1．（2016·山东省菏泽市·3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=与直线y=﹣2x+2交于点A（﹣1，a）．（1）求a，m的值；（2）求该双曲线与直线y=﹣2x+2另一个交点B的坐标．解：（1）∵点A 的坐标是（﹣1，a ），在直线y =﹣2x +2上， ∴a =﹣2×（﹣1）+2=4，∴点A 的坐标是（﹣1，4），代入反比例函数y =， ∴m =﹣4．（2）解方程组解得：或，∴该双曲线与直线y =﹣2x +2另一个交点B 的坐标为（2，﹣2）．（2016·山东省东营市·9分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，与反比例函数y ＝x m 的图象在第二象限交于点C ，CE ⊥x 轴，垂足为点E ，tan ∠ABO ＝12，OB ＝4,OE ＝2． (1)求反比例函数的解析式；(2)若点D 是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D 作DF ⊥y 轴，垂足为点F ，连接OD 、BF ，如果S △BAF ＝4S △DFO ，求点D 的坐标.(l )∵OB ＝4，OE ＝2，∴BE ＝OB ＋OE ＝6. ∵CE ⊥x 轴,∴∠CEB ＝90°.在Rt △BEC 中，∵tan ∠ABO ＝12，∴CE BE ＝12．即CE 6＝12，解得CE ＝3. 结合图象可知C 点的坐标为（一2，3），将C （―2，3）代入反比例函数解析式可得3＝m－2.解得m ＝－6．反比例函数解析式为y ＝－6x ．(2)解：方法一：∵点D 是y ＝－6x 的图象上的点，且DF ⊥y 轴， ∴S △DFO ＝12×|－6|＝3.∴S △BAF ＝4S △DFO ＝4×3＝12.∴12AF •OB ＝12.∴12×AF ×4＝12. ∴AF ＝6.∴EF ＝AF －OA ＝6－2＝4. ∴点D 的纵坐标为－4.把y ＝－4代入y ＝－6x ，得－4＝－6x .∴x ＝32. ∴D （32，一4）．方法二：设点D 的坐标为（a ，b ）.∵S △BAF ＝4S △DFO ，∴12AF •OB ＝4×12OF •FD .∴(AO ＋OF ) OB ＝4OF •FD . ∴[2＋（－b ）]×4＝－4ab .∴8－4b ＝－4ab .又∵点D 在反比例函数图象上，∴b ＝－6a .∴ab ＝－6.∴8－4b ＝24.解得：b ＝－4. 把b ＝－4代ab ＝－6中，解得：a ＝32. ∴D （32，一4）．（2016·四川宜宾）如图，一次函数y =kx +b 的图象与反比例函数y =（x ＞0）的图象交于A （2，﹣1），B （，n ）两点，直线y =2与y 轴交于点C ．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求△ABC 的面积．解：（1）把A （2，﹣1）代入反比例解析式得：﹣1=，即m =﹣2，∴反比例解析式为y =﹣，把B （，n ）代入反比例解析式得：n =﹣4，即B （，﹣4），把A 与B 坐标代入y =kx +b 中得：，解得：k =2，b =﹣5，则一次函数解析式为y =2x ﹣5；（2）∵A （2，﹣1），B （，﹣4），直线AB 解析式为y =2x ﹣5，∴AB ==，原点（0，0）到直线y =2x ﹣5的距离d ==，则S △A B C =AB •d =．（2015呼和浩特，23，7分）7分)如图，在平面直角坐标系中A 点的坐标为(8，y ) ，AB ⊥x 轴于点B , sin ∠OAB = 45 ，反比例函数y = kx 的图象的一支经过AO 的中点C ，且与AB 交于点D. （1）求反比例函数解析式;（2）若函数y = 3x 与y = kx 的图象的另一支交于点M ，求三角形OMB 与四边形OCDB 的面积的比. 解：（1） ∵A (8，y ) 又∵AB ⊥x 轴于点B∴点B 横坐标为8，∴∠ ABO =90° 又∵点B 在x 轴上 ∴OB =8.在Rt △ABO 中， ∵sin ∠OAB = 45 =OAOB∴OA =8×54 =10 ∴.∴A (8，6)又∵C 点为OA 的中点，O 点为坐标原点∴C (4，3)又∵C (4，3)在函数y = kx 上 ∴3=4k，即k =12 ∴反比例函数解析式为y =x12.（2）法一：将四边形切成两个三角形，算△OCB 的面积和△BCD 的面积，再求和先求直线y = 3x 与y =x12的交点M 的坐标，列如下方程组∴M (2，6)或M （－2，－6）又∵M 为函数y = 3x 与函数y =x12在第三象限的交点 ∴M （－2，－6）.∴S △OMB = 12·OB·|－6| = 12×8×6 =24 ∵S 四边形OCDB = S △OBC +S △BCD =12+12·DB ·4 又∵D 在双曲线上，且D 点横坐标为8 ∴D (8，32)，即BD =32 ∴S 四边形OCDB =12+3=15 ∴S △OMB S 四边形OCDB = 85 .法二：算出△ABO 的面积，再减去△ACD 的面积先求直线y = 3x 与y =x12的交点M 的坐标，列如下方程组∴M (2，6)或M （－2，－6）又∵M 为函数y = 3x 与函数y =x12在第三象限的交点 ∴M （－2，－6）.∴S △OMB = 12·OB·|－6| = 12×8×6 =24 又 ∵D 在双曲线上，且D 点横坐标为8∴D (8，32)，即AD =AB －BD =6－32=29 ∴S △ACD = 12·AD·|8－4|=12×29×4=9 又∵S △ABO = 12·OB·AB = 12×8×6 =24 ∴S 四边形OCDB = S △ABO －S △ACD =24－9=15∴S △OMB S 四边形OCDB = 85 .（2015•四川广安，第20题6分）如图，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，且与反比例函数y =（k ≠0）的图象在第一象限交于点C ，如果点B 的坐标为（0，2），OA =OB ，B 是线段AC 的中点．（1）求点A 的坐标及一次函数解析式．（2）求点C 的坐标及反比例函数的解析式．解：（1）∵OA =OB ，点B 的坐标为（0，2），∴点A （﹣2，0），点A 、B 在一次函数y =kx +b （k ≠0）的图象上，∴，解得k =1，b =2，∴一次函数的解析式为y =x +2．（2）∵B 是线段AC 的中点，∴点C 的坐标为（2，4），又∵点C 在反比例函数y =（k ≠0）的图象上，∴k =8；∴反比例函数的解析式为y =．（2015•四川泸州,第23题8分）如图，一次函数(0)y kx b k =+<的图象经过点C (3，0)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为3.（1）求该一次函数的解析式；（2）若反比例函数myx的图象与该一次函数的图象交于二、四象限内的A、B两点，且AC=2BC，求m的值。

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2019版中考数学复习第15课时一次函数和反比例函数的综合应用
【课前展练】
1．（随州）如图，直线l 与反比例函数y=的图象在第一象限内交于A ，B 两点，交x 轴于点C ，若AB ：BC=（m ﹣1）：1（m ＞1），则△OAB 的面积（用m 表示）为（） A ．
B ．
C ．
D ．
2．（黔东南州）设函数y=x ﹣3与的图象的两个交点的横坐标为a ，b ，则
= _________ ．
3．（连云港）如图，直线y=k 1x+b 与双曲线y=交于A 、B 两点，其横坐标分别为1和5，则不等
式k 1x ＜
+b 的解集是 _________ ．
4如图，双曲线 y=2x （x ＞0）经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC=90°，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB∥x 轴．将△ABC 沿AC 翻折后得AB′C，B′点落在OA 上，则四边形OABC 的面积是．
5. 已知直线y=kx （k 〈0）与双曲线x
y 3
-=于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，则3x 1y 2-8x 2y 1的值为【】
A ．﹣5
B ．﹣15
C ．5
D ．15 【典型例题】
【例1】（孝感xx ）如图，点P 是双曲线1
k y x
=
（10k x <<，0）上一动点，过点P 作x 轴、y 轴的垂线，分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，交双曲线()221k
y x k k x
=<<于E 、F 两点．
（1）图1中，四边形PEOF 的面积1S = （用含1k 、2k 的式子表示）；（2）图2中，设P 点坐标为()43-，．
①判断EF 与AB 的位置关系，并证明你的结论；（4分） ②记
22PEF DEF S S S S =-△△，是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由．（5
分）
【例2】两个反比例函数1k y x =和()2120k
y k k x
=>>在第一象限内的图象如图所示，动点P 在1k y x =
的图象上，PC x ⊥轴于点C ，交2k
y x
=的图象于点A ，PD y ⊥轴于点D ，交2k
y x =的图象于点B ．
⑴求证：四边形PAOB 的面积是定值；
⑵当23
PA PC =时，求
DB BP 的值； ⑶若点P 的坐标为()52，，OAB ABP ∆∆，的面积分别记为
OAB S ∆、ABP S ∆，设ABP OAB S S S ∆∆-=．①求1k 的值；②当2k 为何值时，S 有最大值，最大值为多
少？
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y=k 2x
y=
k 1x
P D
y
x
O C
B
A
y x
O P
A F
B E
图1
y x
O
P A
F
B E
图2。