25=a 时，y =a 与x x y 52-=图象有三
个不同交点，当4
25
>a 时，y =a 与x x y 52-=图象有且只有相异二个交点.
例5由L c s c b s b a s a =+=+=+222 ①,知正数c b a ,,适合方程.2L x s
x =+当0≠x 时，
有022=+-s Lx x ②，故c b a ,,是方程②的根.但任何二次方程至多只有两个相异的根，所以c b a ,,中的某两数必相同.设b a =,若a c ≠，由①得()()c a ac s
a c s c a -=
⎪⎭
⎫
⎝⎛-=-2112，则ac =2s =a a h ，这样△ABC 就是以∠B 为直角的直角三角形，b >a ，矛盾，故a =c ，得证. 例6,ABC AOC BOC AOB S S S S ∆∆∆∆=++
,3421
120sin 2
1321150sin 321⨯⨯=+•+••∴ xz y z y x
即,6232
132121321=•+•+⨯•xz y z y x 化简得.32432=++zx yz xy 能力训练1.32- 提示:构造含 15的Rt △ABC .
2.()
062，
提示:如图，分别过点A ,C 作x 轴的垂线，垂足分别为E , F .设OE =a , BF =b ，则AE =a 3, CF =b 3，所以点A ,C
的坐标为()()
.3,2,3,b b a a a +()⎩⎨⎧=+=∴,
3323,3332b a b a 解
得⎩⎨⎧
-==.
36,
3b a ∴点D 坐标为()
0,62.
3.5
2
-
提示:当R ,P ，Q 三点在一条直线上时，PR +RQ 有最小值. 4.a x b ≤≤
5. 36提示:由012=-+x x 得21x x -=<1，则有AB 012=-+x x 得
x x x 11=-，即AB
OA
BC AB =
，则OAB ∆∽△ABC ,AB =AC =OC . 6. C 提示:由题所给的数据结合坐标系可得，55A 是第14个正方形上的第三个顶点，位于第一象限，所以55A 的横纵坐标都是14. 7. A
8. B 提示：由条件,2
2
b ab a
c ab a +=++即()b
c
a a
b
c a a b +=
∴
+=,2，延长CB 至D ，使BD =AB ，易证△ABC ∽△DAC ，得∠ABC =∠D +∠BAD =2∠D =2∠BAC .
9. D
10. C 提示:设直角三角形的两条直角边长为(),,b a b a ≤则ab k b a b a 2
122•=+++ (k b a ,,均为正整数)，化简得()()⎩⎨
⎧=-=-⎩⎨
⎧=-=-∴=--4
4,
2484,14,844kb ka kb ka kb ka 或解得 ⎪⎩
⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===8,6,14,3,212,5,1b a k b a k b a k 或或即有3组解. 11. (1)122
--=x x y (2)过D 作DM ⊥ EH 于M ，连结DG , 2,=
==DO DG t DM ,
.2222t MG FG -==若EF +GH =FG 成立，则EH = 2FG .由EF //x 轴，设H 为()t x ,4，又
∵E ,H 为抛物线上的两个点，,1232
3t x x =--∴,1242
4t x x =--即43,x x 是方程
t x x =--122的两个不相等的实数根，()t x x x x +-==+∴1,24343，
()2
4
32433422222,224t t t x x x x x x EH -•=+∴+=-+=-=,解得
8
1
97,819711+-=-=
t t (舍去). 12.a 十A =b +B =c 十C =k ，可看作边长为k 的正三角形，而从2k 联想到边长为k 的正方形的面积.如图，将aB +bC +cA 看作边长分别为a 与B ,b 与C ,c 与A 的三个小矩形面积之和，将三
个小矩形不重叠地嵌入到边长为k 的正方形中，显然aB +bC +cA 13. AC =AG +GF +FC =16，由AH ·AI =AG ·AF ，得AH
(AH ＋7)＝2×(2＋13)，解得AH ＝3，从而HI ＝7，BI ＝6．设BD ＝x ，CE ＝y ，则由圆幂定理
得
⎩⎨⎧CE •CD ＝CF •CG BD •BE ＝BI •BH ，即⎩⎨⎧y (16－x )＝1×14x (16－y )＝6×13.解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝10－22
y ＝6－22 .故DE ＝16－(x ＋y )＝222. 14. t ＝2或3≤t ≤7或t ＝8. 提示：本题通过点的移动及直线与圆相切，考查分类讨论思想.由题意知∠AMQ ＝60°，MN ＝2．当t ＝2时，圆P 与AB 相切；当3≤t ≤7时，点P 到AC 的距离为3，圆P 与AC 相切；当t ＝8时，圆P 与BC 相切．
15．设AD ＝2，DC ＝1，作BE ⊥AC ，交AC 于E ．又设ED ＝x ,则BE ＝3x ,BE ＝EC ＝3x ．又
1＋x ＝3x ,∴x ＝3＋12,BE ＝3＋32,AE ＝AD －ED ＝2－x ＝3－32，AB 2 ＝AE 2＋BE 2
＝
（
3－32）2＋（3＋32）2
＝6，而AD •AC ＝6．∴AB 2
＝AD •AC .故由切割线定理逆定理
知，AB 是△BCD 的外接圆的切线．
16．设AD AB ＝AE AC ＝m (0≤m ≤1).∵S △ABE S △ABC ＝AE AC ＝m ，∴S △ABE ＝m S △ABC ．又∵S △BDE S △ABE ＝BD AB
＝AB －AD
AB
＝1－m ，∴S △BDE ＝(1－m )• S △ABE ＝m (1－m )• S △ABC ．即K ＝(1－m )•mS ，整理得Sm 2－Sm ＋K ＝0,由△≥0得K ≤1
4S . 17．分以下几种情况：
