多元函数条件极值的充分条件_于文恺

0
…
0
则在条件 gj ( x ) = 0, j = 1, 2, …m 约束下, f ( x ) 在 x ※取得严格局部极小值。若将
( iv ) 中( - 1) m, 改为( - 1) p 则 f ( x ) 在 x ※ 取得严格局部极大值。
证明: 令 dij =
2L ( x ※, ※) xi x j
gj ( 0) sk,
( 3)
其中:
k j
,
k j
及
0 都是联结 yk 与 x ※的直线段上的点。
以 k 除( 1) 并令 k →∞得 ( s※) T gj ( x ※ ) = 0, j = 1, 2, …m
即 sk ∈z ( x ※ ) 且 s※≠0
以 j 乘( 2) 再与( 3) 相加, 注意到条件( ii) , 有:
( ii) ( · ·) 为负 定理 2, 设
A pp
( - 1) p det
B
T pm
B pm > 0, P = m+ 1, …n
0
( i) f ( x ) , gj ( x ) J = 1, 2, …m ( m< n) 为二次连续可微函数;
( ii) x ※∈I R n, ※∈I Rm使
L x = 2x + ( 4x + 3y ) = 0
令 L y = 2y + ( 3x + 4y ) = 0
L = 2x 2+ 3xy + 2y2 - 4= 0 解此方程组得四组解:
第 1 期 于文恺, 等: 多元函数条件极值的充分条件
x 1=
2 , y1= 7
2, 7
1 = -72,
收稿日期: 1995-03-31; 1995-12-10 收到修改稿
第 1 期 于文恺, 等: 多元函数条件极值的充分条件
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根据泰勒定理有:
百度文库
gj ( yk ) - gj ( x ※) = ( ksk) T gj ( kj ) = 0, j = 1, 2, m ,
( 1)
n
所有满足 ij i = 0, j = 1, 2, …m 的非零向量 = ( 1 , 2, … n) T 的二次型 i= 1
nn
= ij i j T A ( · ·)
i= 1 j = 1
( i) ( · ·) 为正
( - 1) mdet
A pp
B
T pm
B pm > 0, P = m+ 1, …n 0
X = { x gj ( x ) = 0, j = 1, 2, …m } 的线性化锥。
定理 1 的几何意义是: 在 L ( x , ) 的稳定点( x ※, ※) 处, 若 L ( x , ) 关于 x 的海赛矩阵在约束集的线性化 锥 z ( x ※) 上正定( 并不需要原来的空间正定) 则 x ※就是 f 的约束极小值点。
若( - 1) mD 3= - D 3 > 0 即 D 3 < 0, 则 f 有严格局部极小值。
若( - 1) p D 3 = D 3> 0 即 D 3> 0, 则 f 有严格局部极大值。
-6 -6 2 因为: D 3( x 3 , y 3) = - 6 - 6 - 2 = 96> 0
2 -2 0 -6 -6 -2 D 3( x 4, y 4 ) = - 6 - 6 2 = 96> 0
( iii)
det [
gj ( x ※) xi
]
mm ≠0 ;
L ( x ※ , ※ ) = 0;
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天 津 轻 工 业 学 院 学 报 1997 年 4 月
2L ( x ※ , ※) … 2 L ( x ※ , ※ )
x1 x 1
x 1 xp
g1 ( x ※) … gm( x ※)
0= gj ( y k) = gj ( x ※ ) + ( ksk) T
gj ( x ※) +
1 2
(
k) 2 ( sk ) T
2gj (
k j
)
sk
,
j = 1, 2, m,
( 2)
0≥f ( yk ) - f ( x ※) = ( k sk ) T
f ( x※) +
1 2
(
k ) 2( sk ) T
x1
x1
2L ( x ※ , ※) … 2 L ( x ※ , ※ )
( iv ) ( - 1) mdet
xp x1 g1( x※)
…
xp xp g1( x ※)
x1
xp
g1 ( x ※) … gm( x ※)
xp
xp
>0
0
…
0
g m( x ※) x1
…
gm( x※) xp
其中 p = m+ 1, …n
应用定理 1 需要考虑在线性约束下二次型的正( 负) 定问题, 为此, 引用如下代数
定理: [ 1]
引理: 设 A = [ dij ] n×n为实对称矩阵。
B = [ ij ] n×m( m< n) 为实矩阵, M pq 表示阵 M 的左上角 p ×q 子阵。若 det[ B mm] ≠0, 则对
gj ( x ※) xi
i=
T
gi ( x ※) = 0, j = 1, 2, …m, 的非零向量 = ( 1 , 2 , …, n ) T
二次型
nn
= = ij i j T
2 x
L
(
x
※
,
※)
>0
i= 1 j= 1
由定理 1 知 x ※是 f ( x ) 满足约束条件 gi ( x ) = 0, j = 1, 2, …m 的严格局部极小值点。结
19 97
年第
1
期 J
OUR NAL
天 津 轻 工 业 学 院 学 报 OF TIANJIN INSTITUTE OF LIGHT INDUSTRY
N
o.
1 1
99 7
[ 教学研究]
多元函数条件极值的充分条件
于文恺
张 晓华
( 基础课部) ( 天津师范大学)
本文拟利用有关的代数知识讨论条件极值的充分条件, 给出由拉格朗日函数的海 赛矩阵在约束集的线性锥上的正定性及目标函数 f 的有约束的海赛行列式的符号判 定稳定点为极值点的两个充分条件。
x 2= - 2 , y 2 = - 2 ,
7
7
2 = -72,
x 3= 2, y 3 = - 2, 3 = - 2
x 4= - 2, y 4= 2, 4 = - 2
考 察 f 的有约束的海赛行列式
2L
2L g
x2 x y x
D 3 =
2L yx
2L y2
g y
g x
g y
0
由定理 2( 此例 m = 1, n= 2, p = m+ 1= 2)
( x 3 , y 3) , ( x 4 , y 4) 为严格局部极大值点。
于是, 所求极大值为 f ( 2, 2) = 8
极小值为 f (
2, 7
2= 7
8 7
例 2 求函数 f ( x , y , z ) = x + y + z 在条件 xy z = 1 约束下的极值。
解: 作拉格朗日函数
论的第二部分证明是类似的。
定理 2( iv ) 中的行列式称为 f ( x ) 的有约束的海赛行列式。
判定稳定点 x ※为 f ( x ) 的约束值点的通常方式是由方程组 z T gj ( x ※) = 0 j = 1,
2, …m 解出 m 个变元( 假设 Rank[
g
j
( x※ xi
)
]
n×m
2f x 2 xn …
x n) T =
( x 1-
x 01, x 2-
x 02, , …, x n-
x
0 n
)
T
称
2f x n x1
2f
…
xn x2
2f x n xn
2 f ( x ) 为 f 在 x 处的海赛矩阵, 当 f ∈c2 时,
2f ( x ) 是对称矩阵。
定理 1 设:
( i) f ( x ) , gj ( x ) , j = 1, 2…m( m < n) 是 IR n 上二次连续可微函数;
则 x ※是 f ( x ) 满足约束条件 g j ( x ) = 0, j = 1, 2, …m 的严格局部极小( 大) 值点。这里
m
L ( x , ) = f ( x ) +
jg j ( x)
j= 1
证明: ( 反证法) 若 x ※ 不是严格局部极小值点, 则存在收敛于 x ※的点列{ y k} , 使得
=
m ) 然后再讨论 n-
m
个独立变量的二
次型的符号。应用定理 2, 得到判定稳定点 x ※为 f 的约束极值点的简捷方法: 直接考察
f 的有约束的海赛行列式的符号。 ( 当然, 如果已知 2x L ( x ※, ※ ) 为正定, 那么它在子空间 z ( x ※ ) 上自然也是正定
的, 因而 就不必使 f ( x ) 的有约束的海赛行列式。) 例 1 求函数 f ( x , y ) = x 2+ y2 在条件 g ( x , y ) = 2x 2+ 3xy + 2y 2- 4= 0 约束下的极值 解: 作拉格朗日函数 L ( x , y , ) = x 2 + y 2 + ( 2x 2 + x 3y + 2y 2- 4)
z x z y z2 z
1 1 10
g x
g y
g z
0
故( 1, 1, 1) 为极小值点, 所求极小值为 f ( 1, 1, 1) = 3。
参 考 文 献
1 M . A vr iel . N onlin ear Programmi ng A n alys is and M et hods Prenice Hall , 1976 2 兰赛奇. 多元微积分学. 武汉: 湖北教育出版社, 1986 3 欧阳光中. 数学分析. 上海: 上海科技出版社, 1982
ij =
gj ( x ※) xi
A n×n = [
ij ] n×n B n×m= [
ij ] n×m则( iv ) 为( - 1) mdet
App
B
T pm
…n
n
B pm > 0, p = m + 1,
0
由引理知, 对所有满足 Pij i= 0, j = 1, 2, …m. i= 1
n
即满足 i= 1
L ( x , y , x , ) = x + y + z + ( xy z - 1)
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天 津 轻 工 业 学 院 学 报 1997 年 4 月
由 L ( x , y , z , ) = 0 得 x 0= y0 = z 0 = 1, 0 = - 1. 这里 n= 3, m = 1, P = 2, 3
-2 2 0
6 7
-
6 7
14 7
D 3( x 1, y 1 ) =
-6 7
6 7
14 = - 96< 0 7
14 14
0
7
7
6 7
-
6 7
- 14 7
D 3( x 2, y 2 ) =
-6 7
6 7
- 14 = - 96< 0 7
- 14 - 14
0
7
7
故( x 1 , y 1) , ( x 2 , y 2) 为严格局部极小值点;
( ii) 3x ※ ∈I Rn 和 ※∈I Rm 使 L ( x ※, L ※ ) = 0;
( iii) 在 z ( x ※ ) = { z z ∈IR n, z Tgj ( x ※ ) = 0, j = 1, 2, …m}
上恒有 z T 2xL ( x ※, ※) z > 0( < 0) ;
m
0≥
1 2
(
k ) 2( sk ) T(
2f ( 0) +
j
j= 1
2 gj ( kj ) ) sT ,
( 4)
以( k ) 2 除( 4) 并令 k→∞得 ( s※ ) T
2 x
(
x
※,
※ ) s※ ≤0
这与题设( iii) 矛盾, 故定理得证。 点集 z ( x ※) = { z z ∈I Rn, z T g j ( x ※) = 0, j = 1, 2, …m} 是锥。 称之为约束集:
为叙述方便, 采用如下符号:
x = ( x 1 , x 2 , …, x n) T x = ( x 1,
= x- x 0 f =
f x
1
,
f x
2
,
…f xn
T
2f x 1 x1
2f
…
x1 x2
2 f ( x ) =
2f x 2 x1
2f
…
x2 x2
…
……
x2, …,
2f x 1 xn
2L x2
( - 1) m
2L yx
g
x 2L x2
2L g
xy x
0 -1 1
2L y2
g y
=
-1
0
1 = 2> 0
g y
0
1 10
2L
2L g
xy xz x
2L
2L
2L g
0 -1 -1 1
( - 1) m
yx 2L
y2 2L
yz y
-1 0 -1 1
2L
=-
= 3> 0
g
-1 -1 0 1
对每一个 k
f ( y k) ≤f ( x ※ )
gj ( yk ) = 0, j = 1, 2, …m
记 y k = x ※ + ksk, 其中 sk ∈I Rn , ‖sk ‖= 1, k> 0, 显然 k→0( k →∞) 。有界点列 { sk } 必有收敛于某个点 s※的子列, 且‖s※‖= 1, 不失一般性, 我们设 sk→s※ ( k→∞) 。