高一数学人教版A版必修二：1.1.1 多面体的结构特征
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思考 观察下面两组物体，你能说出各组物体的共同点吗？
答案 几何体的表面由若干个平面多边形围成.
答案
答案 几何体的表面由平面图形绕其所在平面内的一条定直线旋转而成.
答案
1.空间几何体的定义及分类 (1)定义：如果只考虑物体的 形状 和 大小 ，而不考虑其他因素，那么 由这些物体抽象出来的空间图形 叫做空间几何体. (2)分类：常见的空间几何体有 多面体 与 旋转体 两类. 2.多面体与旋转体
解析答案
类型二 棱锥的结构特征 例2 如图，几何体中，四边形AA1B1B为边长为3的正方形，CC1＝2， CC1∥AA1，CC1∥BB1，请你判断这个几何体是棱柱吗？若是棱柱， 指出是几棱柱.若不是棱柱，请你试用一个平面截去一部分，使剩余 部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的特征.在立体 图中画出截面.
其中正确的有( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 已知四棱台的上底面、下底面分别是边长为4、8的正方形， 各侧棱长均相等，且侧棱长为 17，求四棱台的高. 解 如图，在截面ACC1A1中，A1A＝CC1＝ 17，A1C1＝4 2 ，AC＝8 2 ， 过A1作A1E⊥AC交AC于点E. 在Rt△A1EA中，AE＝12 (8 2 －4 2 )＝2 2 A1A＝ 17 ， ∴A1E＝ A1A2－AE2 ＝ ( 17 ) 2 － ( 2 2 ) 2 ＝3 ， 即四棱台的高为3.
分类：①依据：由几棱锥截得 ②举例： 三棱台 (由三棱锥截得)、四棱台(由四棱锥截得)……
答案
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题型探究
重点难点 个个击破
类型一 棱柱的结构特征 例1 试判断下列说法是否正确：
(1)棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面；
解 错误.
如长方体中相对侧面互相平行.
(2)棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形.
这些面所围成的几何体是棱锥 B.棱柱的底面一定是平行四边形 C.棱锥的底面一定是三角形 D.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
答案
3.下列说法错误的是( D ) A.多面体至少有四个面 B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形 C.长方体、正方体都是棱柱 D.三棱柱的侧面为三角形 解析 由于三棱柱的侧面为平行四边形，故选项D错.
1 23 45
解析答案
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4.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则 倾斜后水槽中的水形成的几何体是( A )
A.棱柱
B.棱台
C.棱柱与棱锥的组合体
D.不能确定
解析 形成的几何体前后两个面互相平行，其余各面
都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相
平行，符合棱柱的定义.
类别
多面体
旋转体
定义
由若干个 平面多边形 围 成的几何体
由一个平面图形绕它所在 平面内的一条 定直线 旋转 所形成的封闭几何体
答案
图形
面：围成多面体的各个 多边形 相关概念 棱：相邻两个面的 公共边
顶点：棱与棱的公共点
轴：形成旋转体所绕的 定直线
答案
知识点二 棱柱的结构特征
思考 观察下列多面体，有什么共同特点？
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 Байду номын сангаас从如图正方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点中任取若干， 连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来. (1)只有一个面是等边三角形的三棱锥； 解 如图所示，三棱锥A1－AB1D1(答案不唯一).
解析答案
(2)四个面都是等边三角形的三棱锥； 解 如图所示，三棱锥B1－ACD1(答案不唯一).
解析答案
(3)三棱柱. 解 如图所示，三棱柱A1B1D1－ABD(答案不唯一).
解析答案
类型三 棱台的结构特征
例3 有下列三个命题：
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两
个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个
面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.
解析答案
规律与方法
1.在理解的基础上，要牢记棱柱、棱锥、棱台的定义，能够根据定义 判断几何体的形状. 2.各种棱柱之间的关系 (1)棱柱的分类
棱柱
(2)常见的几种四棱柱之间的转化关系
3.棱柱、棱锥、棱台在结构上既有区别又有联系，具体见下表：
名称
底面
侧面
侧棱
平行且全等的
斜棱柱
平行四边形 平行且相等
两个多边形
平行于底面 高
的截面 与底面全等
棱
平行且全等的
直棱柱
柱
两个多边形
矩形
平行、相等且 等于侧棱 与底面全等
垂直于底面
平行且全等的
平行、相等且
正棱柱
全等的矩形
等于侧棱 与底面全等
两个正多边形
垂直于底面
全等的等腰有一个公共 过底面
正棱锥 一个正多边形
与底面相似
棱
三角形 顶点且相等 中心
锥 其他棱锥 一个多边形
有一个公共 三角形
顶点
与底面相似
平行且相似的 全等的等腰相等且延长
正棱台
棱
两个正多边形 梯形 后交于一点
与底面相似
台
平行且相似的
其他棱台
两个多边形
延长后交于 梯形
一点
与底面相似
返回
►Suffering is the most powerful teacher of life. 苦难是人生最伟大的老师。 ►For man is man and master of his fate. 人就是人，是自己命运的主人。 ►A man can't ride your back unless it is bent. 你的腰不弯，别人就不能骑在你的背上。
解析答案
返回
达标检测
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1.下列说法中正确的是( ) A.棱柱的面中，至少有两个面互相平行 B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C.棱柱中一条侧棱就是棱柱的高 D.棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
解析答案
1 23 45
2.下列说法中，正确的是( A ) A.有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由
解 正确.
由棱柱的定义可知，棱柱的侧棱互相平行且相等，且各侧面都是平
行四边形.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体名称： (1)由6个平行四边形围成的几何体. 解 这是一个上、下底面是平行四边形，四个侧面也是平行四边形的 四棱柱. (2)由8个面围成，其中两个面是平行且全等的六边形，其余6个面都是 平行四边形. 解 该几何体是六棱柱.
解析答案
1 23 45
5.对棱柱而言，下列说法正确的序号是__①__③____. ①有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形.②所有的棱长都相等. ③棱柱中至少有2个面的形状完全相同.④相邻两个面的交线叫做侧棱. 解析 ①正确，根据棱柱的定义可知； ②错误，因为侧棱与底面上棱长不一定相等； ③正确，根据棱柱的特征知，棱柱中上下两个底面一定是全等的，棱柱 中至少有两个面的形状完全相同； ④错误，因为底面和侧面的交线不是侧棱.
答案
棱台的定义、分类、图形及表示
棱台
图形及表示
定义：用一个 平行于棱锥底面 的平面去截棱锥，底面与截 如图棱台可记
面之间的部分叫做棱台
作：
相关概念：上底面：原棱锥的 截面 下底面：原棱锥的 底面
棱台ABCDA′B′C′D′
侧面：其余各面
侧棱：相邻侧面的 公共边 顶点： 侧面与上(下)底面 的公共顶点
►1Our destiny offers not the cup of despair, but the chalice of opportunity. ►So let us seize it, not in fear, but in gladness. · 命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。 因此，让我们毫无畏惧，满心愉悦地把握命运
答案 (1)有两个面相互平行； (2)其余各面都是平行四边形； (3)每相邻两个四边形的公共边都互相平行.
答案
棱柱的定义、分类、图示及其表示
棱柱
图形及表示
定义：有两个面 互相平行，其余各面都是四边形，如图棱柱可记作：
并且每相邻两个四边形的公共边都 互相平行，由 棱柱 ABCDEF—
这些面所围成的多面体叫做棱柱
A′B′C′D′E′F′
相关概念：
底面(底)：两个互相 平行 的面
侧面：其余各面
侧棱：相邻侧面的公共边
顶点： 侧面与底面 的公共顶点
答案
分类： ①依据：底面多边形的 边数 ②类例：三棱柱 (底面是三角形)、 四棱柱 (底面是四边形)……
如图棱柱可记作： 棱柱 ABCDEF— A′B′C′D′E′F′
分类：①依据：底面多边形的边数 ②举例： 三棱锥 (底面是三角形)、 四棱锥 (底面是 四边形)……
答案
知识点四 棱台的结构特征
思考 观察下列多面体，分析其与棱锥有何区别与联系？
答案 (1)区别：有两个面相互平行. (2)联系：用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，其底面和截面之间的部分即 为该几何体.
第一 章 § 1.1 空间几何体的结构
第1课时 多面体的结构特征
学习目标
1.认识组成我们的生活世界的各种各样的多面体； 2.认识和把握棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征； 3.了解多面体可按哪些不同的标准分类，可以分成哪些类别．
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
新知探究 点点落实
知识点一 空间几何体的定义、分类及相关概念
答案
知识点三 棱锥的结构特征
思考 观察下列多面体，有什么共同特点？
答案 (1)有一个面是多边形； (2)其余各面都是有一个公共顶点的三角形.
答案
棱锥的定义、分类、图形及表示
棱锥
图形及表示
定义：有一个面是 多边形 ，其余各面都是有一个公 如图棱锥可记作：
共顶点 的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 棱锥 S-ABCD 相关概念：棱锥的底面(底)：_多__边__形__面 棱锥的侧面：有公共顶点 的各个三角形面 棱锥的侧棱：相邻侧面的公共边 棱锥的顶点：各侧面的公共顶点
答案 几何体的表面由若干个平面多边形围成.
答案
答案 几何体的表面由平面图形绕其所在平面内的一条定直线旋转而成.
答案
1.空间几何体的定义及分类 (1)定义：如果只考虑物体的 形状 和 大小 ，而不考虑其他因素，那么 由这些物体抽象出来的空间图形 叫做空间几何体. (2)分类：常见的空间几何体有 多面体 与 旋转体 两类. 2.多面体与旋转体
解析答案
类型二 棱锥的结构特征 例2 如图，几何体中，四边形AA1B1B为边长为3的正方形，CC1＝2， CC1∥AA1，CC1∥BB1，请你判断这个几何体是棱柱吗？若是棱柱， 指出是几棱柱.若不是棱柱，请你试用一个平面截去一部分，使剩余 部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的特征.在立体 图中画出截面.
其中正确的有( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 已知四棱台的上底面、下底面分别是边长为4、8的正方形， 各侧棱长均相等，且侧棱长为 17，求四棱台的高. 解 如图，在截面ACC1A1中，A1A＝CC1＝ 17，A1C1＝4 2 ，AC＝8 2 ， 过A1作A1E⊥AC交AC于点E. 在Rt△A1EA中，AE＝12 (8 2 －4 2 )＝2 2 A1A＝ 17 ， ∴A1E＝ A1A2－AE2 ＝ ( 17 ) 2 － ( 2 2 ) 2 ＝3 ， 即四棱台的高为3.
分类：①依据：由几棱锥截得 ②举例： 三棱台 (由三棱锥截得)、四棱台(由四棱锥截得)……
答案
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题型探究
重点难点 个个击破
类型一 棱柱的结构特征 例1 试判断下列说法是否正确：
(1)棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面；
解 错误.
如长方体中相对侧面互相平行.
(2)棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形.
这些面所围成的几何体是棱锥 B.棱柱的底面一定是平行四边形 C.棱锥的底面一定是三角形 D.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
答案
3.下列说法错误的是( D ) A.多面体至少有四个面 B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形 C.长方体、正方体都是棱柱 D.三棱柱的侧面为三角形 解析 由于三棱柱的侧面为平行四边形，故选项D错.
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解析答案
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4.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则 倾斜后水槽中的水形成的几何体是( A )
A.棱柱
B.棱台
C.棱柱与棱锥的组合体
D.不能确定
解析 形成的几何体前后两个面互相平行，其余各面
都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相
平行，符合棱柱的定义.
类别
多面体
旋转体
定义
由若干个 平面多边形 围 成的几何体
由一个平面图形绕它所在 平面内的一条 定直线 旋转 所形成的封闭几何体
答案
图形
面：围成多面体的各个 多边形 相关概念 棱：相邻两个面的 公共边
顶点：棱与棱的公共点
轴：形成旋转体所绕的 定直线
答案
知识点二 棱柱的结构特征
思考 观察下列多面体，有什么共同特点？
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 Байду номын сангаас从如图正方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点中任取若干， 连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来. (1)只有一个面是等边三角形的三棱锥； 解 如图所示，三棱锥A1－AB1D1(答案不唯一).
解析答案
(2)四个面都是等边三角形的三棱锥； 解 如图所示，三棱锥B1－ACD1(答案不唯一).
解析答案
(3)三棱柱. 解 如图所示，三棱柱A1B1D1－ABD(答案不唯一).
解析答案
类型三 棱台的结构特征
例3 有下列三个命题：
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两
个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个
面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.
解析答案
规律与方法
1.在理解的基础上，要牢记棱柱、棱锥、棱台的定义，能够根据定义 判断几何体的形状. 2.各种棱柱之间的关系 (1)棱柱的分类
棱柱
(2)常见的几种四棱柱之间的转化关系
3.棱柱、棱锥、棱台在结构上既有区别又有联系，具体见下表：
名称
底面
侧面
侧棱
平行且全等的
斜棱柱
平行四边形 平行且相等
两个多边形
平行于底面 高
的截面 与底面全等
棱
平行且全等的
直棱柱
柱
两个多边形
矩形
平行、相等且 等于侧棱 与底面全等
垂直于底面
平行且全等的
平行、相等且
正棱柱
全等的矩形
等于侧棱 与底面全等
两个正多边形
垂直于底面
全等的等腰有一个公共 过底面
正棱锥 一个正多边形
与底面相似
棱
三角形 顶点且相等 中心
锥 其他棱锥 一个多边形
有一个公共 三角形
顶点
与底面相似
平行且相似的 全等的等腰相等且延长
正棱台
棱
两个正多边形 梯形 后交于一点
与底面相似
台
平行且相似的
其他棱台
两个多边形
延长后交于 梯形
一点
与底面相似
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►Suffering is the most powerful teacher of life. 苦难是人生最伟大的老师。 ►For man is man and master of his fate. 人就是人，是自己命运的主人。 ►A man can't ride your back unless it is bent. 你的腰不弯，别人就不能骑在你的背上。
解析答案
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达标检测
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1.下列说法中正确的是( ) A.棱柱的面中，至少有两个面互相平行 B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C.棱柱中一条侧棱就是棱柱的高 D.棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
解析答案
1 23 45
2.下列说法中，正确的是( A ) A.有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由
解 正确.
由棱柱的定义可知，棱柱的侧棱互相平行且相等，且各侧面都是平
行四边形.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体名称： (1)由6个平行四边形围成的几何体. 解 这是一个上、下底面是平行四边形，四个侧面也是平行四边形的 四棱柱. (2)由8个面围成，其中两个面是平行且全等的六边形，其余6个面都是 平行四边形. 解 该几何体是六棱柱.
解析答案
1 23 45
5.对棱柱而言，下列说法正确的序号是__①__③____. ①有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形.②所有的棱长都相等. ③棱柱中至少有2个面的形状完全相同.④相邻两个面的交线叫做侧棱. 解析 ①正确，根据棱柱的定义可知； ②错误，因为侧棱与底面上棱长不一定相等； ③正确，根据棱柱的特征知，棱柱中上下两个底面一定是全等的，棱柱 中至少有两个面的形状完全相同； ④错误，因为底面和侧面的交线不是侧棱.
答案
棱台的定义、分类、图形及表示
棱台
图形及表示
定义：用一个 平行于棱锥底面 的平面去截棱锥，底面与截 如图棱台可记
面之间的部分叫做棱台
作：
相关概念：上底面：原棱锥的 截面 下底面：原棱锥的 底面
棱台ABCDA′B′C′D′
侧面：其余各面
侧棱：相邻侧面的 公共边 顶点： 侧面与上(下)底面 的公共顶点
►1Our destiny offers not the cup of despair, but the chalice of opportunity. ►So let us seize it, not in fear, but in gladness. · 命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。 因此，让我们毫无畏惧，满心愉悦地把握命运
答案 (1)有两个面相互平行； (2)其余各面都是平行四边形； (3)每相邻两个四边形的公共边都互相平行.
答案
棱柱的定义、分类、图示及其表示
棱柱
图形及表示
定义：有两个面 互相平行，其余各面都是四边形，如图棱柱可记作：
并且每相邻两个四边形的公共边都 互相平行，由 棱柱 ABCDEF—
这些面所围成的多面体叫做棱柱
A′B′C′D′E′F′
相关概念：
底面(底)：两个互相 平行 的面
侧面：其余各面
侧棱：相邻侧面的公共边
顶点： 侧面与底面 的公共顶点
答案
分类： ①依据：底面多边形的 边数 ②类例：三棱柱 (底面是三角形)、 四棱柱 (底面是四边形)……
如图棱柱可记作： 棱柱 ABCDEF— A′B′C′D′E′F′
分类：①依据：底面多边形的边数 ②举例： 三棱锥 (底面是三角形)、 四棱锥 (底面是 四边形)……
答案
知识点四 棱台的结构特征
思考 观察下列多面体，分析其与棱锥有何区别与联系？
答案 (1)区别：有两个面相互平行. (2)联系：用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，其底面和截面之间的部分即 为该几何体.
第一 章 § 1.1 空间几何体的结构
第1课时 多面体的结构特征
学习目标
1.认识组成我们的生活世界的各种各样的多面体； 2.认识和把握棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征； 3.了解多面体可按哪些不同的标准分类，可以分成哪些类别．
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
新知探究 点点落实
知识点一 空间几何体的定义、分类及相关概念
答案
知识点三 棱锥的结构特征
思考 观察下列多面体，有什么共同特点？
答案 (1)有一个面是多边形； (2)其余各面都是有一个公共顶点的三角形.
答案
棱锥的定义、分类、图形及表示
棱锥
图形及表示
定义：有一个面是 多边形 ，其余各面都是有一个公 如图棱锥可记作：
共顶点 的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 棱锥 S-ABCD 相关概念：棱锥的底面(底)：_多__边__形__面 棱锥的侧面：有公共顶点 的各个三角形面 棱锥的侧棱：相邻侧面的公共边 棱锥的顶点：各侧面的公共顶点