北大附中高二第二学期数学期中考试

北大附中高二第二学期数学期中考试

______班 姓名：________

一、选择题：（30分）

1．若用C 、R 和I 分别表示复数集、实数集和纯虚数集，其中C 为全集，则

A ．C=R ∪I

B ．R ∩I={0}

C ．I C R ⋂=

D ．R ∩I=ф

2．已知x 、y 是复数，

（1）若022=+y x ，则x=y=0，

（2）若xy=0，则x=0或y=0

（3）22||x x =，

（4）若x x -=则x 是纯虚数。

上面的命题中正确的命题的个数是

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

3．若a>b>0则=++++++--+∞→1

1221lim n n

n n n n n a b ab b a b a a A ．

b a -1 B ．b

a b + C ．b a a + D ．b a +1

4．某个命题与自然数n 有关，如果当n=k(k ∈N)时该命题成立，那么可推出n=k+1时该命题也成立，现已知当n=100时该命题不成立，那么可以推得：

A ．当n=101时该命题不成立

B ．当n=101时该命题成立

C ．当n=99时该命题不成立

D ．当n=99时该命题成立

5．复数i i i 31)1(22

-+等于

A ．i 31+

B ．i 31+-

C ．i 31-

D ．i 31--

6．集点在（-1，0），顶点在（1，0）的抛物线方程是

A ．)1(82

+=x y

B ．)1(82+-=x y

C ．)1(82-=x y

D ．)1(82--=x y

7．用一个与圆柱母线成60度的平面截圆柱，截口是一个椭圆，这个椭圆的离心率是

A ．2

3 B ．0.5 C ．0.25 D ．

22 8．设双曲线C ：13

22

=-y x 的左准线与x 轴交点是M ，则过M 与双曲线C 有且只有一个交点的直线共有

A ．2条

B ．3条

C ．4条

D ．无数条

9．过抛物线)0(22>=p px y 的焦点做直线交抛物线与),(11y x A ，),(22y x B 两点，若p x x 321=+则|AB|等于：

A ．2p

B ．4p

C ．6p

D ．8p

10．将曲线C 向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到曲线C ′，若曲线C ′的方程为15

42

2=-y x ，则曲线C 的焦点坐标为：

A ．（6，1），（0，-1）

B ．（-6，1）（0，1）

C ．（-3，2），（-3，-4）

D ．（3，2），（3，-4）

二、填空题：（32分）

11．椭圆：9322=+y x 的离心率e=_______，准线方程：________.

12．复数33254321i

i i i ++++的实部是______，虚部是______. 13．已知等比数列{}n a 中，9321=++a a a ，3654-=++a a a ，

n n a a a a S ++++= 321，则n n S ∞

→lim 等于_________。 14．计算：__________________|43|)23()31()

1()1(484=-+-++-i i i i i 。

15．双曲线中心在原点，对称轴为坐标轴，过)12,25(-A ，一条渐近线方程为12x-5y=0，则双曲线方程为：___________

16．已知方程|z-2|-|z+2|=a 表示等轴双曲线（实轴和虚轴长度相等的双曲线），则实数a 的值为：________

17．已知|z|=2，则当z=_________时，有|z+5i|的最大值等于___________

18．某桥的桥洞是抛物线，桥下水面宽16米，当水面上涨2米后达警戒水位，水面宽变为12米，此时桥洞顶部距水面高度为_________米。（精确到0.1米）

三．过程题：

19．（6分）求满足下列条件的复数z ：i z z 632||-=+

20．（8分）过抛物线x y 42=的焦点，且倾斜角为

43π的直线交抛物线于P 、Q 两点，O 是坐标原点，求△OPQ 的面积。

21．（12分）已知数列{}n a 满足：21=a ，32=a , n n n a a a 2312-=++（n ∈N ）

（1）计算3a 、4a 、5a ，猜想数列{}n a 的通项公式；用数学归纳法给出证明。

（2）比较n a 与2n 的大小，证明得到的结论。

22．（12分）设双曲线C 的中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率e=2，其中一个焦点与抛物线x y 3

382=相同，直线a ：y=kx+1与双曲线C 交于A 、B 两点， （1）求双曲线C 的方程；（2）k 为何值时，以AB 为直径的圆过原点；

（3）是否存在这样的实数k ，使A 、B 关于直线y=mx 对称(m 为常数)？若存在求出k ；若不存在说明理由。

北大附中高二第二学期数学期中考试参考答案

一．1.D 2.B 3.A 4.C 5.D 6.D 7.B 8.C 9.B 10.B

二．

11．3

6，263±=y 12．-2，3 13．

427 14．-1+(7-9i)/5=-12/5-9i/5