数学中的恒成立与有解问题

数学中的恒成立与有解问题
求二次函数的解析式。

若f(x) 2x m 在区间［1,1］上恒成立，求m 的取值范围
解题思路：先分离系数，再由二次函数最值确定取值范围
.
2
解析：⑴设f (x) ax
bx c(a 0) .由 f (0) 1得c
2
1,故 f(x) ax bx 1
••• f (x 1) f (x) 2x
a(x
1)2 b(x 1) 1 (ax 2 bx 1) 2x
即2ax a b 2x ,所以
2a 2,a b 0,解得a
1,b
1 二 f(x) x x 1
5
,则g(x)在［1,1］上单调递减.所以g(x)在［1,1］上的最小值为g(1)
4
所以m 的取值范围是(，1).
规律总结：m f(x)对一切x R 恒成立，则m ［f(x)］min ;m f (x)对一切x R 恒成立，则m ［f (x)］max ；注
意参
数的端点值能否取到需检验。

二、有解问题
3、方程的有解问题
例题3:题干与例题 2相同 同例题2.
(2)若f(x) 2x m 在区间［1,1］上恒成立，求m 的取值范围
、恒成立问题
若不等式 f x
A 在区间 D 上恒成立 ，则等价于在区间 D 上 f x min
A 若不等式 f x
B 在区间 D 上恒成立 ，则等价于在区间 D 上 f x max B 常用方法
1、分离变量法；
2、数形结合法；
3、 利用函数的性质；
4、变更主元等；
1、由二次函数的性质求参数的取值范围 2
例题1.若关于X 的不等式ax 2x 2 0在R 上恒成立，求实数a 的取值范围. 解题思路：结合二次函数的图象求解 解析：当a 0时,不等式2x 2 0解集不为
0不满足题意；
a 当a 0时,要使原不等式解集为 R ,只需
…
22
2a
，解得a -
0 2
1
综上，所求实数a 的取值范围为(一，)
2 2、转化为二次函数的最值求参数的取值范围 例题2 :已知二次函数满足
f (0) 1，而且f (x
1) f(x) 2x ，请解决下列问题
2
⑵由⑴知x x 1
2x m 在［1,1］恒成立，即m 2
x 3x 1在［1,1］恒成立.
令 g(x) x 2 3x 1 (x 3)2
2
解题思路：先分离系数，再由二次函数值域确定取值范围.
解析：⑴解法同例题2
2 2
⑵由⑴知x x 1 2x m在［1,1］恒成立，即m x 3x 1在［1,1］恒成立.
3 25
2
令g(x) x2 3x 1 (x -)2-，则g(x)在［1,1］上单调递减.所以g(x)在［1,1］上的最大值为
2 4
g( 1) 5，最小值为g(1) 1，所以m的取值范围是1,5。

规律总结：若方程m f(x)在某个区间上有解只需求岀f(x)在区间上的值域A使m A。

4、不等式的有解问题
例题4题干与例题2相同
同例题2.
若f(x) 2x m在区间［1,1］上有解，求m的取值范围。

解题思路：先分离系数，再由二次函数最值确定取值范围.
解析：⑴解法同例题2
2 2
⑵由⑴知x x 1 2x m在［1,1］有解，即m x 3x 1在［1,1］有解
2 3 2 5
令g(x) x 3x 1 (x -) -,则g(x)在［1,1］上单调递减.所以g(x)在［1,1］上的最大值为
2 4
g( 1) 5 .所以m的取值范围是(，5)。

.
规律总结：m f(x)在区间a,b内有解，则m f (x) max；m f(x)在区间a,b内有解，则m f (x) min；注
意参数的端点值能否取到需检验。

一、确定"主元”思想
常量与变量是相对的，一般地，可把已知范围的那个看作自变量，另一个看作常量.
例1.对于满足0 p 4的一切实数p，不等式x2+px>4x+p-3恒成立，求x的取值范围.
分析：习惯上把x当作自变量，记函数y= x2+(p-4)x+3-p,于是问题转化为当p 0,4时y>0恒成立，求x的范围.解
决这个问题需要应用二次函数以及二次方程实根分布原理，这是相当复杂的•若把x与p两个量互换一下角色，即p视为变量，x为常量，则上述问题可转化为在［0,4］内关于p的一次函数大于0恒成立的问题.
解：设f(p)=(x-1)p+x 2-4x+3，当x=1时显然不满足题意.
由题设知当0 p 4 时f(p)>0 恒成立，二f(0)>0,f(4)>0 即x2-4x+3>0 且x2-1>0，
解得x>3或x<-1 .••• x的取值范围为x>3或x<-1 .
二、分离变量
对于一些含参数的不等式问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行分离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题。

1
,1)(
(1, )
三、数形结合
对于含参数的不等式问题，当不等式两边的函数图象形状明显，我们可以作岀它们的图象，来达到解决问题的目 的.
例3•设x [ 4,0]，若不等式.x( 4 x) 分析与解：若设函数 y i
,x( 4 x)，则
2 2
(x 2)
Y ! 4( Y ! 0)，其图象为上半圆.
4
设函数y 2
x 1 a ，其图象为直线. 3
在同一坐标系内作岀函数图象如图，
4x 3y 3 3a 0的距离d
0时成立，即a 的取值范围为a
例5、不等式(x-1)2<log a x 在x (1,2)上恒成立，求a 的取值范围。

分析：这种类型的不等式对高中学生来说直接求解是很困难的, 形结合的方法。

解：设y 1=(x-1)2,y 2=log a X,如右图所示
要使对一切x (1,2),y 1<y 2恒成立， 显然须a>1,且log a 2> 1。

1<a 2
所以一般来说采用数
四、分类讨论
当不等式中左、右两边的函数具有某些不确定因素时，应用分类讨论的方法来处理，分类讨论可使原问题中的不 确定因素变成确定因素，为问题的解决提供新的条件。

-x 1 a 恒成立，求a 的取值范围. 3
1 ,1)(
(1, )
依题意要使半圆恒在直线下方，只有圆心
(2,0)到
例4.当x [2,8]时，不等式log 2a 2 1 x 1
恒成立，求
a 的取值范围.
解：(1)当 2a 2
1
时，由题设知
1
x 恒成立, 2a 1
即1
- 2a 1
x
min ，而
x
[2,8] •••
1
2a 2 1
得 a ( , 1)
(1,
(2)当 0 2a
2
1时，由题设知 1 一
1 x 恒成立,
2a 2 1
X max ，而 x
[2,8] •••
1 2a
2 得 a ( ；, I
2
)
(二2,©) .••• a 的取值范围是
a (
2 4
2 3 y,;
|x 4| |x 1|，贝U f (x)的最小值是 二 ，若f(x) 5，则x 的取值范围
.[0,5]
2
已知函数的单调性求参数范围问题 方法：转化为不等式的恒成立问题
：即“若函数单调递增，则f (x) 0;若函数单调递减 则
f (x) 0 ”来求解.
例：若函数f(x)
x 3 ax 2 1在［1,2］上单调递减，求实数a 的取值范围.
思路点拨：先求岀导函数，再利用导数与单调性的关系或转化为恒成立问题求解
2
f (x) 3x 2ax x(3x 2a)
2
解析：方法一：由f (x)在［1,2］上单调递减知f (X ) 0，即3x
2ax 0在［1,2］上恒成
即a |x 在［1,2］上恒成立.故只需a (|x)max ,故a 3. 综上可知，a 的取值范围是［3,+出).
方法二：当
a 0时，f (x)
0,故 y f (x)在(
)上单调递增，与 y f(x)在
［1,2］上单调递减不符，舍去.
a 0时，由f (x)
0得 a < xwo 即f (x)的单调递减区间为［—a,0］，与 3 3
f (x)在［1,2］上单调递减不符，舍去.
0时，由f (x)
0得o w x w a ，即f (x)的减区间
3
2
为[0,— a]，由 f (x)在
3
［1,2］上单调递减得 2 a 3
2,得 a > 3.
综上可知，a 的取值范围是［3,+
).
练习
3 . (2012许昌模拟)若不等式ax 2 + bx — 2v 0的解集为 {x| 2
x -}，贝U ab =
4
A . — 28
B .— 26
C. 28
D . 26
1
解析 ■/ x =— 2，-是方程ax 2 + bx — 2= 0的两根，二
4 7 4,
a = 4，
b = 7.二 ab = 28.
答案 C
若不等式|3x
b| 4的解集中的整数有且仅有 1,2,3，则b 的取值范围是 .(5,7)
设函数f (x)
A.( , 2] [5, )
B.( , 1] [4, )
C.[1,2]
10.不等式ax 2 + 2ax + 1》O 寸一切x € R 恒成立，则实数a 的取值范围为 ____________ 解析当a = 0时，不等式为1》0亘成立;
a >0,
a >0,
当a ^O 寸，须 即。

△WQ 4a 2— 4a w 0. 0v a w ］综上 0W JW 1. 答案 ［0,1］
ax 1
、
1
12.已知关于x 的不等式
v 0的解集是(，1)U(,).则a __________________ .
x 1 2
1
【解析】由不等式判断可得 且不等式等价于a(x 1)(x 丄)0
a
1 1 由解集特点可得a 0且1 1
a 2
a 2
答案：-2
14.已知不等式ax 2 + 4x + a > 1 — 2x 2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围.
a > 0,
［审题视点］化为标准形式ax 2 + bx + c >0后分a = 0与a 工0讨论.当a 工0寸，有
2 , n
△= b 2— 4ac v 0.
解 原不等式等价于(a + 2)^ + 4x + a — 1> 0对一切实数恒成立，显然 a + 2 > 0,
从而有△= 42 — 4 a + 2 a — 1 v 0,
a > — 2,
所以 a + 3 > 0, a v — 3 或 a > 2,
所以a > 2.
故a 的取值范围是(2, + g).
工仝 不等式ax 2+ bx + c >0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a = 0时，b = 0, c >0;当a 工0寸, a > 0,
不等式ax 2 + bx + c v 0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a = 0时，b = 0, c v 0；当a 工0寸,
△v 0;
a v 0,
△v 0.
【训练2】 当x € (1,2)时，不等式x 2 + mx + 4<0恒成立，则 m 的取值范围是 __________ 解析 法一 当x € (1,2)时，不等式x 2+ mx + 4<0可化为：m<— x + 4 ,
x 4
又函数f(x) = — x + -在(1,2)上递增，
入 则 f(x)>— 5,
D.( , 1] [2,)
a = — 2时，解集不是R ,因此a 斗2,
整理，得
a > — 2,
a — 2
则m w- 5.
法二设g(x)= x2+ mx + 4
当一，即mA 3时，g(x)v g(2)= 8 + 2m,
当一m> 2，即即m v—3 时，
g(x)v g(1)= 5 + m
由已知条件可得：
m ~^一 3, m v 一3,
或
8+ 2m<0 5+ m W 0.
解得m 5
答案(一a,—5]
15.若a €[ 1,3]时，不等式ax2+(a-2)x-2>0恒成立，求实数x的取值范围
15.【解析】设f(a)=a(x2+x)-2x-2，则当a €[ 1,3]时f(a)>0 恒成立.
f(1) x2x 2 0
f (3) 3x2x 2 0’
x 2 或x 1
x 2或x 1，
3
得x>2 或x<-1.
实数x的取值范围是x>2或x<-1.
1.（不等式选做题）若关于x的不等式| a I…X 1| |x 2|存在实数解，贝U实数a的取值范围是【分析】先确定| x 1| |x 2|的取值范围，再使得a能取到此范围内的值即可. 【解】当x, 1时，|x 1| |x 2| 2 2x
当1 x, 2时，| x 1| |x 2| x
当x 2 时，|x 1| 2 2x
综上可得| x 1| | x 2|…3，所以只要|a|--3，解得a,
即实数a的取值范围是,3]U[3,
【答案】（，3]U[3,
2
.1不等式ax 4x a
2
2x对一切x R恒成立，则实数a的取值范围是
2 2
2
2=0,显然不成立
0,则a
x 1的所有实数x 都成立，求 m 的取值范围.(答:
1
1 .已知y = -x 3+ bx 2+ (b + 2)x + 3是R 上的单调增函数，则
b 的取值范围是( )
3
A . b v — 1 或 b >2
B . b ◎ 2 或 b >2
C .— 1v b v 2
D •— 1 电<2
解析 D 由题意，得 y'= x 2+ 2bx + b + 2>0在 R 上恒成立，二 A= 4b 2— 4(b + 2) 解得—1住< 2. 1 1
2 .函数f(x) = ；x 3+ 2(2 — a)x 2 — 2ax + 5在区间［—1,1］上不单调，则a 的取值范围是 _______ .
3 2
解析 f'x)= x 2 + (2 — a)x — 2a = (x + 2)(x — a)= 0 的两根为 X 1 = — 2，X 2= a.若 f(x)在［—1,1］ 上不单
调，则一1<a<1.
3 .已知a>0，函数f(x)= x 3— ax 在［1，+ ^)上是单调增函数，则
a 的最大值是 __________ .
解析 由题意知，f 'x)= 3x 2 — a 在［1，+ X )上有 3x 2 — a 》0恒成立，二 a < (32)min ，而 (3x 2)min = 3,
…a < 3.
4 •已知f(x) = e x — ax — 1.若f(x)在定义域R 内单调递增，求 a 的取值范围.
解析■/ f(x)= e x — ax — 1， ••• f'x)= e x — a.： f(x)在 R 上单调递增，
/. f' x) = e x — a 恒成立，即 a <e ，x € R 恒成立.
•/x € R 时，e x € (0,+ X )，• a <0.即 a 的取值范围为(一^, 0］.
2
(a 2)x 4x
对一切x R 恒成立
2.若不等式 x 2
+ ax + 1 0对于一切
1
(0,
)成立，则a
2
5
的取值范围是
A . 0
B .
—
C.-—
D . -3
2
解析：设 f (x ) = x 2 + ax + 1, 则对称轴为 x = — a
,若- a
1 1
，即a
—1 时，则 f (x )在〔0,
1 〕上是减函
2 2
2
2
数，应有 f (1) 0 —
5 x — 1
2
2
若—-
,
即a 0时, 则 f (乂)在〔0, 1
丄〕上是增函
应有 f (0)= 1
0恒成立，故a 0
2
2
2 2 2
若0
a
1 即— 1 a 0,则应有 f ( — a
)=-
a a
+ 1=1 a
0恒成立，故—1
a 0.综上,
2 2
2
4 2 4
有- 5
2
a,故选C
4、已知不等式
3、若不等式2x 1
m(x 2
3 a 在实数集 R 上的解集不是空集，求实数 a 的取值范围
(答:
1)对满足m
2的所有m 都成立，则x 的取值范围
47 1
(答:(
J 1 ));
2
2
5、若不等式x 2mx 2m 1
0对0
2
5 .函数f(x)= 4x —mx + 5在区间［—2,+^ )上是增函数，则f(1)的取值范围是________________
m 解析由题意知8W—2,—m W—16,—f(1) = 9 —m》25.
6.已知函数f (x) ax3 3x2 x 1在R上是减函数，求实数a的取值范围.
解由题意得f'x)= 3ax2+ 6x —1•若f(x)在R上是减函数，
贝U f (x) 0(x€ R)恒成立，
故实数a的取值范围是(—8，
_ 3 2
7.已知函数f(x) x ax x 1在(—^，1］上是增函数，试求实数a的取值范围.
解析•/ f，x)= 3x2+ 2ax+ 1，由于函数f(x)在(—^，1］上是增函数，
•••当x€ (—8，1］时，f (x) 0(在个别点f'x(可以为0)恒成立，
即3x2+ 2ax+ 1 >0在x Wl时恒成立•令g(x)= 3乂 + 2ax+ 1，
g(1) 0 a >- 2，
• △= 4a2—12W0或0 ，即a2W3或a2>3，
2a a<—3.
1
6
• a2<3即—也W a W3. 故a的取值范围是[—弋，^3].
2 a
1已知函数f x x (x 0,a R)若f x在区间2, 是增函数，求实数a的取值范围。

x
a
解：f'x 2x —，要使fx在区间2, 是增函数，只需当x 2时，f'x 0恒成立,
x
则a 2x316, 恒成立，故当a 16时，fx在区间2, 是增函数。

3
9 2
3.(2009江西卷文)设函数f(x) x 9x 6x a.
(1) 对于任意实数x，f (x)m恒成立，求m的最大
值;
(2) 若方程f (x)0有且仅有•个实
根，
求
a的取值范
围.
a v 0，
解得a<— 3.
△= 36 + 12 a W 0
2
解
析: (1) f'(x)3x2 9x 63(x1)(x2),
5.若
A.[ 解析由于
因为x(,),f'(x)m,即3x2
所以8112(6m)0,得m
3
4
⑵因为当x
1
时，
f'(x)0;当1x
所以当x
1
时，f
(x)取极大值f(1)
9x (6 m) 0恒成立,
，即m的最大值为3
4
2 时,f (x)
5
2 a；
0 ;当x 2 时,f (x)
；
当x 2时,f (x)取极小值f(2) 2 a;
故当f (2) 0或f (1) 0时，方程f (x) 0仅有一个实根.解得a 2或a -.
2
1 2 f(x) x bln(x 2)在(-1,+ )上是减函数，则b的取值范围是()
2
1, ) B. ( 1, ) C. ( ,1] D. ( ,1)
题意可知f(X)(1, )上恒成立，即b x(x 2)在x ( 1, )上恒成立, x 1，所以b 1，故c为正确答案.。