第12讲.多次相遇与追及.答案
小学数学行程专题 多次相遇与追及问题 PPT+课后作业 带答案
Байду номын сангаас题4
小芳和小俞老师分别从一段长200米的马路的两端同时相向出发，做往返运动。小芳每分 钟走40米，小俞老师每分钟走60米。20分钟后，两人停止运动。 （1）在这期间，小芳和小俞老师迎面相遇多少次？ （2）在这期间，小俞老师从后面追上小芳多少次？ （3）在这期间，小俞老师和小芳迎面相遇和追及相遇一共多少次？
从后面追上
甲
同向追上
A
B
乙
迎面相遇可不算哦！
甲、乙两人同时从A、B两地出发，在A、B两地之间来回散步。 （1）当甲第一次从后面追上乙时，甲比乙多走__1___个全程。 （2）甲从第一次从后面追上到第二次从后面追上乙时，甲比乙又多走__2___个 全程。 （3）甲从第二次从后面追上到第三次从后面追上乙时，甲比乙又多走__2___个 全程。
答：经过2个小时，甲车第一次从后面追上乙车。 （2）路程差：2个全程
追及时间：35×2÷（75-40）=2（小时） 答：再经过2个小时，甲车第二次从后面追上乙车。
例题3
甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，在 A、B 两地之间不停往返行驶。当 甲车行驶了12 个全程时， 乙车行驶了 4 个全程，那么甲车从后面追上乙车多少次？
（1）从开始出发到第一次从后面追上，路程差为1个全程 追及时间：200÷（120-70）=4（小时） 答：经过4小时，小汽车第一次从后面追上大巴。
（2）从第一次追上到第二次从后面追上，路程差为2个全程 追及时间：200×2÷（120-70）=8（小时） 答：再经过8小时，小汽车第二次从后面追上大巴。
相邻两次同向追及之间，两者的路程差都是2个全程； 从出发到第1次同向追及，两者的路程差是2个全程； 从出发到第2次同向追及，两者的路程差是4个全程； 从出发到第3次同向追及，两者的路程差是6个全程； 从出发到第n次同向追及，两者的路程差是2n个全程。
奥数——行程、多次相遇和追及问题
一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题所有行程问题都是围绕“=⨯路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．二、多次相遇与全程的关系1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；第2次相遇，共走3个全程；第3次相遇，共走5个全程；…………， ………………；第N 次相遇，共走2N-1个全程；注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。
即甲第1次如果走了N 米，以后每次都走2N 米。
2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；第2次相遇，共走4个全程；第3次相遇，共走6个全程；…………， ………………；第N 次相遇，共走2N 个全程；3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键 几个全程多人相遇追及的解题关键 路程差三、解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。
折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间知识框架多次相遇与追及问题是多少。
如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。
【例 1】甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点【巩固】 甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米．如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次【例 2】甲、乙两车同时从A 地出发，不停的往返行驶于A ，B 两地之间。
已知甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C 地。
问：甲车的速度是乙车的多少倍【巩固】 甲、乙二人从相距 60千米的两地同时相向而行，6时后相遇。
六年级下册数学小升初专题-相遇追及(多次)、电车问题 全国通用(含答案)
小升初数学专题第4讲行程（一）相遇追及（多次）、电车问题一、知识地图简单相遇追及匀速直线行程多次相遇追及（包括火车过桥）发车间隔问题多次相遇追及环形线路行程（包括钟表问题）⎧⎨⎩⎧⎪⎨⎪⎩变速直线行程（求平均速度）流水行船不同参照系的行程自动扶梯行程中的比例关系其他类型（正、反比例运用）相遇点变化问题二、基础知识在历年“小升初”考试和各类小学奥数竞赛试题中，“行程问题”都占有很大的比重。
同时也是小学专题中的难点，“行程问题”经常作为一份试卷中的压轴难题出现，提高解决“行程问题”的能力不仅能帮助在小升初考试和各类数学竞赛中取得优异成绩，还能为今后初中阶段数学、物理学科的学习打下良好的基础。
（一） 典型的相遇和追及所有行程问题是围绕“⨯路程=速度时间”这一条基本关系式的展开，比如我们遇到的两大典型行程题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系，在这里： =⨯路程和速度和相遇时间； =⨯路程差速度差追及时间；这两组关系式中“路程和”或“路程差”实际上对应的是相遇或追及问题中的原始（初始）距离，我们可以通过图示来理解。
（二）多次相遇追及通过图示介绍直线上的相遇和追及的规律 这部分内容涉及以下几个方面：1 求相遇次数2 求相遇地点3 由相遇地点求全程“线段示意图”和“折线示意图”是解行程问题特别是多次相遇问题的重要方法。
追及问题相遇问题举个例子：假设A 、B 两地相距6000米，甲从A 地出发在AB 间往返运动，速度为6千米/小时，乙从B 出发，在AB 间往返运动，速度为4千米/小时。
我们可以依次求出甲、乙每次到达A 点或B 点的时间。
为了说明甲、乙在AB 间相遇的规律，我们可以用“折线示意图”来表示。
折线示意图能将整个行程过程比较清晰的呈现出来：例如AD 表示的是，甲从A 地出发运动到B 地的过程，其中D 点对应的时间为1小时，表示甲第一次到达B 点的时间为1小时，BF 表示乙从B 地出发到达A 地的过程，F 点对应的时间为1.5小时，表示乙第一次到达A 地的时间为1.5小时，AD 与BF 相交于C 点，对应甲、乙的第一次相遇事件，同样的G 点对应是甲、乙的第二次相遇事件。
五年级奥数.行程 .多次相遇和追及问题(word文档良心出品)
多次相遇与追及问题一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题所有行程问题都是围绕“=⨯路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．二、多次相遇与全程的关系1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；第2次相遇，共走3个全程；第3次相遇，共走5个全程；…………，………………；第N次相遇，共走2N-1个全程；注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。
即甲第1次如果走了N米，以后每次都走2N 米。
2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；第2次相遇，共走4个全程；第3次相遇，共走6个全程；…………，………………；第N次相遇，共走2N个全程；3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键几个全程多人相遇追及的解题关键路程差三、解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。
折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。
如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。
【例 1】甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？【巩固】甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米．如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次？【例 2】甲、乙两车同时从A地出发，不停的往返行驶于A，B两地之间。
已知甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C地。
问：甲车的速度是乙车的多少倍？【巩固】甲、乙二人从相距 60千米的两地同时相向而行，6时后相遇。
奥数 行程 多次相遇和追及问题
奥数行程多次相遇和追及问题The document was prepared on January 2, 2021一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题所有行程问题都是围绕“=⨯路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．二、多次相遇与全程的关系1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；第2次相遇，共走3个全程；第3次相遇，共走5个全程；…………， ………………；第N 次相遇，共走2N-1个全程；注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。
即甲第1次如果走了N 米，以后每次都走2N 米。
2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；第2次相遇，共走4个全程；第3次相遇，共走6个全程；…………， ………………；第N 次相遇，共走2N 个全程；知识框架多次相遇与追及问题3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键几个全程多人相遇追及的解题关键路程差三、解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。
折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。
如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。
例题精讲【例 1】甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点【巩固】甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米．如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次【例 2】甲、乙两车同时从A地出发，不停的往返行驶于A，B两地之间。
已知甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C地。
多次追及与相遇
多次相遇与追及问题例题精讲板块一由简单行程问题拓展出的多次相遇问题路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然所有行程问题都是围绕“=⨯较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．【例1】甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？巩固。
小明和小红两人在长100米的直线跑道上来回跑步，做体能训练，小明的速度为6米/秒，小红的速度为4米/秒．他们同时从跑道两端出发，连续跑了12分钟．在这段时间内，他们迎面相遇了多少次？【巩固】甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米．如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次？板块二运用倍比关系解多次相遇问题1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；第2次相遇，共走3个全程；第3次相遇，共走5个全程；…………，………………；第N次相遇，共走2N-1个全程；注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。
即甲第1次如果走了N米，以后每次都走2N米。
2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；第2次相遇，共走4个全程；第3次相遇，共走6个全程；…………，………………；第N次相遇，共走2N个全程；3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键几个全程多人相遇追及的解题关键路程差【例2】上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？【例3】甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇．求A、B两地间的距离是多少千米？【巩固】甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地4千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离.【巩固】甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地18千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地13千米处第二次相遇，求AB两地之间的距离.【例4】甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，乙的速度是甲的23，二人相遇后继续行进，甲到B地、乙到A地后立即返回．已知两人第二次相遇的地点距第三次相遇的地点是100千米，那么，A、B两地相距千米．【巩固】小王、小李二人往返于甲、乙两地，小王从甲地、小李从乙地同时出发，相向而行，两人第一次在距甲地3千米处相遇，第二次在距甲地6千米处相遇，则甲、乙两地的距离为千米．【例5】小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回），他们在离甲村3.5千米处第一次相遇，在离乙村2千米处第二次相遇.问他们两人第四次相遇的地点离乙村多远（相遇指迎面相遇）？【例6】如图，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长．【巩固】 如图，A 、B 是圆的直径的两端，小张在A 点，小王在B 点同时出发反向行走，他们在C 点第一次相遇，C 离A 点80米；在D 点第二次相遇，D 点离B 点6O 米.求这个圆的周长.【例 7】 如图,学校操场的400米跑道中套着300米小跑道,大跑道与小跑道有200米路程相重．甲以每秒6米的速度沿大跑道逆时针方向跑,乙以每秒4米的速度沿小跑道顺时针方向跑,两人同时从两跑道的交点A 处出发,当他们第二次在跑道上相遇时,甲共跑了多少米?乙甲乙甲A巩固★★（2005年《小学生数学报》优秀小读者评选活动）有一种机器人玩具装置，配备长、短不同的两条跑道，其中长跑道长400厘米，短跑道长300厘米，且有200厘米的公用跑道(如下图)。
多次相遇和追及问题
多次相遇和追及问题
多次相遇和追及问题是行程问题中的一种类型，通常涉及两个或多个物体在不同时间或速度下的相对运动。
以下是一道多次相遇和追及问题的示例：
甲乙两人同时从$A$地出发前往$B$地，甲的速度为$6$米每秒，乙的速度为$4$米每秒。
当甲到达$B$地时，乙距离$B$地还有$20$米。
请问甲到达$B$地后，甲还要多久才能追上乙？
解析：
已知甲的速度为$6$米每秒，乙的速度为$4$米每秒，则甲到达$B$地时，乙距离$B$地还有$20$米，此时甲和乙相距的距离为$20$米。
甲的速度比乙的速度快，因此甲追乙，根据$\underline{路程=速度×时间}$，可得到甲追上乙所需的时间为：
$20\div(6-4)=20\div2=10$（秒）
因此，甲到达$B$地后，甲还要$10$秒才能追上乙。
多次相遇和追及问题含答案
多次相遇与追及问题知识框架一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题所有行程问题都是围绕“=⨯路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．二、多次相遇与全程的关系1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；第2次相遇，共走3个全程；第3次相遇，共走5个全程；…………，………………；第N次相遇，共走2N-1个全程；注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。
即甲第1次如果走了N米，以后每次都走2N 米。
2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；第2次相遇，共走4个全程；第3次相遇，共走6个全程；…………，………………；第N次相遇，共走2N个全程；3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键几个全程多人相遇追及的解题关键路程差三、解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。
折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。
如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。
例题精讲【例 1】甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？【考点】行程问题 【难度】☆☆ 【题型】解答【解析】 从开始到两人第十次相遇的这段时间内，甲、乙两人共跑的路程是操场周长的10倍，为300103000⨯=米，因为甲的速度为每秒钟跑3.5米，乙的速度为每秒钟跑4米，所以这段时间内甲共行了 3.5300014003.54⨯=+米，也就是甲最后一次离开出发点继续行了200米，可知甲还需行300200100-=米才能回到出发点．【答案】100米【巩固】 甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米．如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次？【考点】行程问题【难度】☆☆ 【题型】解答【解析】 17【答案】17【例 2】甲、乙两车同时从A 地出发，不停的往返行驶于A ，B 两地之间。
第12讲 行程问题之相遇追及.含答案.5年级数学.尖子班.秋季.教师版
1. 掌握相遇追及基本公式，并且会利用公式解决直线上的相遇追及问题；2. 掌握相遇追及基本公式，并且会利用公式解决环形行程的相遇追及问题；3. 掌握解决复杂行程问题的方法：包括多次相遇追及、多人相遇追及问题。
多次相遇追及一次相遇追及多人的相遇追及两人的相遇追及行程问题相遇追及问题火车过桥问题流水行船问题直线上的相遇追及环形跑道上的相遇追及行程问题在历年各类小学奥数竞赛试题中，都占有很大的比重，同时也是小学奥数专题中的难点。
行程问题经常作为一份试卷中的压轴难题出现。
提高解决行程问题的能力不仅能帮助学生各类数学竞赛中取得优异成绩，还能为学生在今后初中阶段的数学、物理等学科打下良好的基础。
在行程问题中涉及到两个或两个以上物体运动的问题，其中最常见的是相遇问题和追及问题。
相遇问题：路程和=速度和⨯时间追及问题：路程差=速度差⨯时间多次相遇追及问题：“线段示意图”和“折线示意图”是解决这类问题的常用方法。
在相遇问题和追及问题中有以下几种特殊情况，本讲不作专门的介绍，但是学生可以了解一下： 发车间隔问题： 汽车间距=汽车速度⨯汽车发车时间间隔汽车间距=（汽车速度+行人速度）⨯相遇事件时间间隔汽车间距=（汽车速度-行人速度）⨯追及事件时间间隔流水问题和自动扶梯问题：本类题目解题的关键在于将其转化为相遇问题和追及问题来做。
另外，行程问题通常和分数应用题，列方程解应用题结合起来，巧妙的运用一些代数的方法解决，通常可以取得事半功倍的效果。
还有一些行程问题，运用比例知识解决也是非常便捷的：速度一定，时间和路程成正比；时间一定，速度和路程成正比；路程一定，速度和时间成反比。
碰到综合性问题，可以先把综合性问题分解成几个单一问题，然后逐个解决。
第十二讲行程问题之相遇追及【例1】 【超常班、超常3班、超常2班、超常1班】甲乙两地相距60km ，小王骑车以10/km h 的速度在上午8点从甲地出发去乙地。
过了一会儿，小李骑车以15/km h 的速度也从甲地去乙地。
(完整word版)3-1-4 多次相遇和追及问题.教师版
1. 学会画图解行程题2. 能够利用柳卡图解决多次相遇和追及问题3. 能够利用比例解多人相遇和追及问题板块一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题所有行程问题都是围绕“=⨯路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．【例 1】 甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？【考点】行程问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 从开始到两人第十次相遇的这段时间内，甲、乙两人共跑的路程是操场周长的10倍，为300103000⨯=米，因为甲的速度为每秒钟跑3.5米，乙的速度为每秒钟跑4米，所以这段时间内甲共行了3.5300014003.54⨯=+米，也就是甲最后一次离开出发点继续行了200米，可知甲还需行300200100-=米才能回到出发点． 【答案】100米【巩固】 甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米．如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次？ 【考点】行程问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 17 【答案】17【巩固】 甲、乙两人从400米的环形跑道上一点A 背向同时出发，8分钟后两人第五次相遇，已知每秒钟甲比乙多走0.1米，那么两人第五次相遇的地点与点A 沿跑道上的最短路程是多少米? 【考点】行程问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 176 【答案】176【例 2】 甲、乙二人从相距 60千米的两地同时相向而行，6时后相遇。
如果二人的速度各增加1千米／时，那么相遇地点距前一次相遇地点1千米。
问：甲、乙二人的速度各是多少？ 【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 甲、乙两人的速度和第一次为60÷6=10（千米／时），第二次为12（千米/时），故第二次出发后5时相遇。
奥数——行程、多次相遇和追及问题
一.由简略行程问题拓展出的多次相遇问题所有行程问题都是环绕“=⨯路程速度时间”这一条根本关系式睁开的,多人相遇与追及问题固然较庞杂,但只要抓住这个公式,慢慢表征标题中所涉及的数目,问题即可水到渠成．二.多次相遇与全程的关系1. 两地相向动身：第1次相遇,共走1个全程;第2次相遇,共走3个全程;第3次相遇,共走5个全程;…………, ………………;第N 次相遇,共走2N1个全程;留意：除了第1次,剩下的次与次之间都是2个全程.即甲第1次假如走了N 米,今后每次都走2N 米.2. 同地同向动身：第1次相遇,共走2个全程;第2次相遇,共走4个全程;第3次相遇,共走6个全程;…………, ………………;第N 次相遇,共走2N 个全程;常识框架多次相遇与追及问题3.多人多次相遇追及的解题症结多次相遇追及的解题症结几个全程多人相遇追及的解题症结旅程差三.解多次相遇问题的对象——柳卡柳卡图,不必根本公式解决,快速的解法是直接画时光距离图,再画上密密麻麻的交叉线,按请求数交点个数即可完成.折线示意图往往可以或许清楚的表现活动进程中“相遇的次数”,“相遇的地点”,以及“由相遇的地点求出全程”,应用折线示意图法一般须要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时光是若干.假如不绘图,单凭想象似乎对于像我如许的一般人儿来说不轻易.例题精讲【例 1】甲.乙两名同窗在周长为300米圆形跑道上从统一地点同时背向演习跑步,甲每秒钟跑3.5米,乙每秒钟跑4米,问：他们第十次相遇时,甲还需跑若干米才干回到动身点？【巩固】甲乙两人在相距90米的直路上往返跑步,甲的速度是每秒3米,乙的速度是每秒2米．假如他们同时分离从直路两头动身,10分钟内共相遇几回？【例 2】甲.乙两车同时从A地动身,不断的往返行驶于A,B两地之间.已知甲车的速度比乙车快,并且两车动身后第一次和第二次相遇都在途中C 地.问：甲车的速度是乙车的若干倍？【巩固】甲.乙二人从相距 60千米的两地同时相向而行,6时后相遇.假如二人的速度各增长1千米／时,那么相遇地点距前一次相遇地点1千米.问：甲.乙二人的速度各是若干？【例 3】如图,甲和乙两人分离从一圆形场地的直径两头点同时开端以匀速按相反的偏向绕此圆形路线活动,当乙走了100米今后,他们第一次相遇,在甲走完一周前60米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长．【巩固】A.B是圆的直径的两头,甲在A点,乙在B点同时动身反向而行,两人在C点第一次相遇,在D点第二次相遇．已知C离A有75米,D离B有55米,求这个圆的周长是若干米？【例 4】甲.乙两车分离同时从A.B两地相对开出,第一次在离A地95千米处相遇．相遇后持续进步到达目标地后又连忙返回,第二次在离B地25千米处相遇．求A.B两地间的距离是若干千米？【巩固】甲.乙二人以平均的速度分离从 A.B两地同时动身,相向而行,他们第一次相遇地点离A地4千米,相遇后二人持续进步,走到对方动身点后连忙返回,在距B地3千米处第二次相遇,求两次相遇地点之间的距离.【例 5】甲.乙二人以平均的速度分离从 A.B两地同时动身,相向而行,他们第一次相遇地点离A地18千米,相遇后二人持续进步,走到对方动身点后连忙返回,在距B地13千米处第二次相遇,求AB两地之间的距离.【巩固】甲.乙两车同时从A,B两地相向而行,在距B地54千米处相遇.他们各自到达对方车站后连忙返回原地,途中又在距A地42千米处相遇.求两次相遇地点的距离.【例 6】甲.乙二人以平均的速度分离从 A.B两地同时动身,相向而行,他们第一次相遇地点离A地3千米,相遇后二人持续进步,走到对方动身点后连忙返回,在距B地2千米处第二次相遇,求第2000次相遇地点与第次相遇地点之间的距离.【巩固】甲.乙二人以平均的速度分离从 A.B两地同时动身,相向而行,他们第一次相遇地点离A地7千米,相遇后二人持续进步,走到对方动身点后连忙返回,在距B地3千米处第二次相遇,求第三次相遇时共走了若干千米.【例 7】A.B两地相距2400米,甲从A地.乙从B地同时动身,在A.B间往返长跑.甲每分钟跑300米,乙每分钟跑240米,在30分钟后停滞活动.甲.乙两人在第几回相遇时A地比来？比来距离是若干米？【巩固】A.B两地相距950米.甲.乙两人同时由A 地动身往返锤炼半小时.甲步行,每分钟走40米;乙跑步,每分钟行150米.则甲.乙二人第_____次迎面相遇时距B地比来.【例 8】甲.乙两车分离从A,B两地动身,并在A,B两地间不竭往返行驶.已知甲车的速度是 15千米／时,乙车的速度是25千米／时,甲.乙两车第三次相遇地点与第四次相遇地点相差100千米.求A,B两地的距离.【巩固】欢欢和乐乐在操场上的A.B两点之间演习往返跑,欢欢的速度是每秒8米,乐乐的速度是每秒5米.两人同时从A点动身,到达B点后返回,已知他们第二次迎面相遇的地点距离AB的中点5米,AB之间的距离是________.【例 9】甲.乙二人进行泅水追逐赛,划定两人分离从泅水池50米泳道的两头同时开端游,直到一方追上另一方为止,追上者为胜.已知甲.乙的速度分离为1.0米／秒和0.8米／秒.问：（1）比赛开端后多长时光甲追上乙？（2）甲追上乙时两人共迎面相遇了几回？【巩固】小明和小红两人在长100米的直线跑道上往返跑步,做体能练习,小明的速度为6米/秒,小红的速度为4米/秒．他们同时从跑道两头动身,持续跑了12分钟．在这段时光内,他们迎面相遇了若干次？【例 10】天天正午有一条汽船从哈佛开往纽约,且天天统一时刻也有一艘汽船从纽约开往哈佛．汽船在途中均要航行七天七夜．试问：某条从哈佛开出的汽船在到达纽约前（途中）能赶上几艘从纽约开来的汽船？【巩固】一条电车线路的起点站和终点站分离是甲站和乙站,每隔5分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站,全程要走15分钟．有一小我从乙站动身沿电车线路骑车前去甲站．他动身的时刻,正好有一辆电车到达乙站．在路上他又碰到了10辆迎面开来的电车．到达甲站时,正好又有一辆电车从甲站开出．问他从乙站到甲站用了若干分钟？教室检测【随练1】如右图,A,B是圆的直径的两头,甲在A点,乙在B点同时动身反向而行,两人在C点第一次相遇,在D点第二次相遇.已知C离A有80米,D离B有60米,求这个圆的周长.【随练2】甲.乙二人以平均的速度分离从A.B两地同时动身,相向而行,他们第一次相遇地点离A地7千米,相遇后二人持续进步,走到对方动身点后连忙返回,在距B地5千米处第二次相遇,求两次相遇地点之间的距离.【随练3】A.B两地间有条公路,甲从A地动身,步行到B地,乙骑摩托车从B地动身,不断地往返于A.B两地之间,他们同时动身,80分钟后两人第一次相遇,100分钟后乙第一次追上甲,问：当甲到达B地时,乙追上甲几回？【随练4】甲.乙两人在一条长为30米的直路上往返跑步,甲的速度是每秒1米,乙的速度是每秒0.6米．假如他们同时分离从直路的两头动身,当他们跑了10分钟后,共相遇几回？家庭功课【作业1】甲.乙两人从400米的环形跑道上一点A背向同时动身,8分钟后两人第五次相遇,已知每秒钟甲比乙多走0.1米,那么两人第五次相遇的地点与点A沿跑道上的最短旅程是若干米?【作业2】上午8点8分,小明骑自行车从家里动身,8分钟后,爸爸骑摩托车去追他,在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸连忙回家,到家后又连忙回头去追小明,再追上小明的时刻,离家正好是8千米,这时是几点几分？【作业3】甲.乙二人以平均的速度分离从A.B两地同时动身,相向而行,他们第一次相遇地点离A地6千米,相遇后二人持续进步,走到对方动身点后连忙返回,在距B地4千米处第二次相遇,求两人第5次相遇地点距B 多远.【作业4】湖中有A,B两岛,甲.乙二人都要在两岛间游一个往返.两人分离从A,B两岛同时动身,他们第一次相遇时距A岛700米,第二次相遇时距B岛400米.问：两岛相距多远？【作业5】在一圆形跑道上,甲从A点.乙从B点同时动身反向而行,6分后两人相遇,再过4分甲到达B点,又过8分两人再次相遇.甲.乙环行一周各须要若干分？【作业6】A.B两地位于统一条河上,B地在A地下流100千米处．甲船从A地.乙船从B地同时动身,相向而行,甲船到达B地.乙船到达A地后,都连忙按本来路线返航．水速为2米/秒,且两船在静水中的速度雷同．假如两船两次相遇的地点相距20千米,那么两船在静水中的速度是米/秒．教授教养反馈学生对本次课的评价○特殊满足○满足○一般家长看法及建议家长签字：。
行程问题之多次相遇与追及问题 非常完整版题型训练+答案解析
行程体系之多次相遇与追及问题知识点总结：1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；第2次相遇，共走3个全程；第3次相遇，共走5个全程；…………，………………；第N次相遇，共走2N-1个全程；注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。
即甲第1次如果走了N米，以后每次都走2N米。
2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；第2次相遇，共走4个全程；第3次相遇，共走6个全程；…………，………………；第N次相遇，共走2N个全程；3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键几个全程多人相遇追及的解题关键路程差例题训练：【例1】甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇．求A、B两地间的距离是多少千米？解答：画线段示意图(实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线)：可以发现第一次相遇意味着两车行了一个A、B两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个A、B两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个A、B两地间的距离时，甲车行了95千米，当它们共行三个A、B两地间的距离时，甲车就行了3个95千米，即95×3=285（千米），而这285千米比一个A、B两地间的距离多25千米，可得：95×3-25=285-25=260(千米)．【例2】如图，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长．解答：注意观察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完0.5圈的路程，当甲、乙第二次相遇时，甲乙共走完1+0.5＝1.5圈的路程．所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为1：3，因而第二次相遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走的总路程的3倍，即100×3=300米．有甲、乙第二次相遇时，共行走(1圈－60)+300=1.5圈，解出此圆形场地的周长为480米．【例3】甲、乙两人从400米的环形跑道上一点A背向同时出发，8分钟后两人第五次相遇，已知每秒钟甲比乙多走0.1米，那么两人第五次相遇的地点与点A沿跑道上的最短路程是多少米?解答：第五次相遇时，共合走5各全程：400×5=2000（米）甲乙的速度和：2000÷8=250（米/分）甲乙的速度差：0.1×60=6（米/分）甲的速度（250+6）÷2=128（米/分）乙的速度：（250-6）÷2=122（米/分）8分钟时甲的路程跑的圈数：128×8÷400=2（周）余224米400-224=176（米）【例4】甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？解答：从开始到两人第十次相遇的这段时间内，甲、乙两人共跑的路程是操场周长的10倍，为300×10=3000米，因为甲的速度为每秒钟跑3.5米，乙的速度为每秒钟跑4米，所以这段时间内甲共行了3000÷（3.5+4）×3.5=1400米，也就是甲最后一次离开出发点继续行了200米，可知甲还需行300-200=100米才能回到出发点【例5】上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？解答：画一张简单的示意图：图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4＝4（千米）.而爸爸骑的距离是 4＋ 8＝ 12（千米）.这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 12÷4＝3（倍）.按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8×3＝24（千米）.但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了4＋12＝16（千米）.少骑行24-16＝8（千米）.摩托车的速度是8÷8=1（千米/分）爸爸骑行16千米需要16分钟，8＋8＋16＝32.所以这时是8点32分。
多次相遇和追及问题(-B级-).学生版
多次相遇和追及问题(-B-).级学生版．柳卡解行程多次相遇与追及知识框架一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题”这一条基本所有行程问题都是围绕“时间?速度?路程关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．二、多次相遇与全程的关系 1. 两地相向出发：个全程；次相遇，共走第11 3次相遇，共走个全程；第2 个全程；3次相遇，共走5第Page 2 of 32马可波（剥）罗---------脑袋转转：那个动物可以剥萝卜柳卡解行程………………；…………，个全程；N次相遇，共走2N-1第个全程。
2次，剩下的次与次之间都是注意：除了第1 米。
米，以后每次都走2N即甲第1次如果走了N 2. 同地同向出发： 2个全程；第1次相遇，共走 4个全程；第2次相遇，共走个全程；3次相遇，共走6 第………………；…………，2N个全程；N 第次相遇，共走 3、多人多次相遇追及的解题关键几个全程多次相遇追及的解题关键路程差多人相遇追及的解题关键——柳卡三、解多次相遇问题的工具柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数-画时间交点个数即可完成。
折线示意图往往能够清晰的体现运Page 3 of 32马可波（剥）罗---------脑袋转转：那个动物可以剥萝卜“相遇的次数”，“相遇的地点”，柳卡解行程动过程中以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。
如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。
例题精讲，地出发，不停的往返行驶于A乙两车同时从甲、A】【例 1两地之间。
已知甲车的速度比乙车快，并且两车B地。
问：甲C出发后第一次和第二次相遇都在途中车的速度是乙车的多少倍？Page 4 of 32马可波（剥）罗---------脑袋转转：那个动柳卡解行程6 60千米的两地同时相向而行，甲、乙二人从相距【巩固】千米／时，那1时后相遇。
第十二讲 多次相遇与追及(一)
多次相遇与追及（一）甲、乙两人在一条长100米的直路上来回跑步，甲的速度3米/秒，乙的速度2米/秒。
如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了10分钟后，共相遇多少次？甲、乙两人在一条长100米的直路上来回跑步，甲的速度3米/秒，乙的速度2米/秒。
如果他们同时从直路的同一端出发，当他们跑了10分钟后，共相遇多少次？甲乙两人分别从A 、B 两地同时相向而行，甲的速度是每小时30千米，乙的速度是每小时20千米，两人相遇后继续行进，甲到B 地、乙到A 地后立即返回。
已知两人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点是20千米，那么，A 、B 两地相距多少千米？(★★) (★★) (★★★)甲、乙二人分别从A 、B 两地同时出发，往返跑步。
甲每分跑180米，乙每分跑240米。
如果他们的第100次相遇点与第101次相遇点的距离是160米，求A 、B 两点间的距离为多少米？甲、乙二人同时从A 地出发去B 地，在A 、B 两地间往返而行，甲的速度是每小时30千米，乙的速度是每小时20千米。
已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点是40千米，那么，A 、B 两地相距多少千米。
(★★★★) (★★★★)在线测试题温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节。
1．明明和亮亮在一条长为300米的直路上行走，明明的速度是60米/分，亮亮的速度是40米/分，如果两人同时分别在直路的两端出发，当他们跑了15分钟后，共相遇多少次？A．5 B．4C．3 D．22．明明和亮亮在一条长为300米的直路上行走，明明的速度是60米/分，亮亮的速度是40米/分，如果两人同时分别在直路的同一端出发，当他们跑了15分钟后，共相遇多少次？A．5 B．4C．3 D．23．甲、乙二人分别从A、B两地同时相向而行，甲的速度是每小时30千米，乙的速度是每小时20千米，二人相遇后继续行进，甲到B地、乙到A地后立即返回．已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点是20千米，那么，A、B两地相距多少千米。
小学六年级下册数学练习题：第12讲.多次相遇与追及(解析版)
漫画释义五年级寒假时钟问题五年级春季比例法解行程问题六年级暑期多次相遇与追及六年级秋季变速问题六年级寒假行程模块综合选讲总结多次相遇与追及的规律，利用比例、线段图、柳卡图解决多次相遇与追及问题知识站牌人与人的相遇是一种缘不管是擦肩而过，还是一次美丽的邂逅，都是一种缘缘会让来自不同世界的人走到一起例如今天我们是来自不同学校的同学，汇集到一起来学而思学习，这就是缘分，而且我们已是多次相遇，恰巧今天又要学习多次相遇与追及问题，那该是多大的缘分呀!缘是一个经历了心灵的过程，在这个过程里有些东西不仅仅是灵魂的一种体验，而且还是精神上的一种拥有为了这来之不易的缘分，让我们一起进入今天的课程，体会那精神上的享受！1.理解多次相遇与追及的规律，并能运用相应规律解决行程相关的问题2.掌握用柳卡图解决多次相遇与追及问题的技巧，体会柳卡图与线段图在解决行程问题中的联系与区别一、往返相遇问题的重要结论：设一个全程中甲走的路程为M ,乙走的路程为N ⑴甲乙二人从两端出发的直线型多次相遇问题：⑵同一出发点的直线型多次相遇问题二、柳卡图柳卡图实质上是中学学习的S -T 图的变形，即出现两条横轴（时间），纵轴（路程）忽略在画柳卡图时，最好是先画一个人往返于两地间的路线，并标注到达两地的时刻，接着再画另一人所走路线并标注到达两地的时刻，相交点即相遇地点，最后再利用几何中沙漏模型解决相关问题相遇次数甲乙共走的路程和甲共走的路程乙共走的路程11M N 233M 3N 355M 5N …………n21n -(21)n M-(21)n N-相遇次数甲乙共走的路程和甲共走的路程乙共走的路程122M 2N 244M 4N 366M 6N …………n2n2nM2nN经典精讲教学目标课堂引入1小白从家骑车去学校，每小时15千米，用时2小时，回来以每小时10千米的速度行驶，需要多少时间？【分析】从家到学校的路程：15230⨯=（千米），回来的时间30103÷=（小时）．2两地间的路程有255千米，两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行45千米，乙车每小时行40千米甲、乙两车相遇时，用了___小时【分析】根据相遇公式知道相遇时间是：255÷（45+40）=255÷85=3（小时），3两列火车从相距480千米的两城相向而行，甲列车每小时行40千米，乙列车每小时行42千米，5小时后，甲、乙两车还相距多少千米？【分析】两车的相距路程减去5小时两车共行的路程，就得到了两车还相距的路程：480(4042)548041070-+⨯=-=（千米）．4甲、乙二人同时从相距10千米的两地出发，同向而行，甲每小时行6千米，乙每小时行4千米，经过几小时甲追上乙？【分析】10÷（6—4）=5（小时）5A 、B 两地相距28千米，甲乙两车同时分别从A 、B 两地同一方向开出，甲车每小时行32千米，乙车每小时行25千米，乙车在前，甲车在后，几小时后甲车能追上乙车？【分析】28÷(32－25)＝28÷7＝4(小时)6①同样的路程，甲乙的速度比为3：2，则甲乙的时间之比为____；②同样的时间，甲乙的速度比为3：2，则甲乙走的路程之比为____；③同样的速度，甲乙用的时间比为3：2，则甲乙走的路程之比为_____.【分析】①2:3②3:2③3:2模块一：多次相遇的认识例1：求全程个数例2：柳卡图的认识模块二：多次相遇与追及规律的应用例3、例4：两次相遇与追及的应用例5：多次相遇与追及的规律运用例题思路知识回顾甲、乙两人在一条长100米的直路上来回跑步，甲的速度3米/秒，乙的速度2米/秒．如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了10分钟后，共相遇多少次？（学案对应：学案1）【分析】方法一：10分钟两人共跑了(3+2)⨯60⨯10=3000米3000÷100=30个全程．我们知道两人同时从两地相向而行，他们总是在奇数个全程时相遇(不包括追上)1,3,5,7,…,29共15次．方法二：第一次两个人相遇需要100÷(3+2)=20(秒),从第一次开始到第二次相遇要走两个全程需要：200÷(3+2)=40(秒)所以一共相遇：(10⨯60-20)÷40+1=15.5(次)，即为15次．【想想练练】小明和小红两人在长100米的直线跑道上来回跑步，做体能训练，小明的速度为6米/秒，小红的速度为4米/秒．他们同时从跑道两端出发，连续跑了12分钟．在这段时间内，他们迎面相遇了多少次？【分析】第一次相遇时，两人共跑完了一个全程，所用时间为：1006410÷+=（）(秒)．此后，两人每相遇一次，就要合跑2倍的跑道长，也就是每20秒相遇一次，除去第一次的10秒，两人共跑了126010710⨯-=(秒)．求出710秒内两人相遇的次数再加上第一次相遇，就是相遇的总次数．列式计算为：1006410÷+=（）(秒)，(126010)(102)3510⨯-÷⨯= ，共相遇35136+=(次).注：解决问题的关键是弄清他们首次相遇以及以后每次相遇两人合跑的路程长．如图，甲、乙两人在相距70米的甲乙两端同时出发来回步行，甲的速度和乙的速度之比为3:4，他们相遇的地点分别用A 、B 、…、G 表示，问：（1）A 点到甲地的距离为米；（2）B 点到甲地的距离：B 点到乙地的距离=：；（3）C 点到乙地的距离为米；（4）F 点到G 点的距离为米（提示：F 点到甲地的距离减去G 点到甲地的距离）【分析】（1）30米；（2）5:2；（3）60米；（4）20米D甲2420164242118151296甲、乙两车分别从,A B 两地同时出发相向而行，甲的速度是每小时30千米，乙的速度是每小时20千米，两车相遇后继续行进，各自达到B 、A 两地后，立即沿原路返回．已知两车第二次相遇的地点距第一次相遇的地点是50千米(两人相遇指迎面相遇)，那么，A 、B 两地相距＿＿＿千米．（学案对应：学案2）【分析】方法一：线段图，根据题意甲乙速度比是3:2，因此可以设全程为5份，画图如下：（甲走的用实线表示，乙走的用虚线表示）因此甲、乙两地间的距离是5025125÷⨯=（千米）方法二：柳卡图，由于甲乙速度比是3:2，因此甲乙各走一个全程所用的时间比是2:3，画图如下（甲走的用实线表示，乙走的用虚线表示）因此甲、乙两地间的距离是3150()12555÷-=（千米）【想想练练】甲、乙两人同时从A 、B 两地同时出发，甲的速度是乙的速度的1.5倍，到达对方出发点后立即返回，如果第一次相遇点和第二次相遇点相距300米，那么，A 、B 两地的距离为__米.【分析】方法一：将,A B 间等分为5份，甲每走3份乙走2份，甲、乙相遇情况如下图：,A B 两地的距离为30025750=÷⨯（米）.方法二：利用柳卡图，甲乙两人的速度比是3:2，因此走完一个全程所用时间的比是2:3,利用相似知识得CD 间对应的分率是312555-=，,A B 两地的距离为23007505÷=（米）.FED CA 062AB乙BA（A 版（1）~（2））⑴甲、乙两车同时从A 、B 两地相对驶，各自达到B 、A 两地后，立即沿距离是千米⑵甲、乙两车同时从A 、B 两地相对驶，各自达到B 、A 两地后，立即沿距离是千米⑶甲、乙两车同时从A 、B 两地相对驶，各自达到B 、A 两地后，立即沿时，距A 地千米⑷如图，A 、B 是圆的直径的两端次相遇，C 离A 点80米；在4法国数学家柳卡·斯图射影几何与微分几何都作出了世界各国的许多著名数学家“最困难”的题目：“某轮船也有一艘轮船从纽约开往哈佛条航线上问今天中午从哈佛开船从对面开来?”问题提出后讨与激烈的争论，但直到会议称为“柳卡趣题”下面介绍的是柳卡·斯图姆给如下图：地相对开出，两车第一次在距A 地30千米处相遇立即沿原路返回，第二次在距B 地20千米处相遇地相对开出，两车第一次在距A 地30千米处相遇立即沿原路返回，第二次在距A 地60千米处相遇地相对开出，两车第一次在距A 地80千米处相遇立即沿原路返回，第二次在距B 地60千米处相遇的两端，小张在A 点，小王在B 点同时出发反向行走D 点第二次相遇，D 点离B 点60米．求这个圆的周姆生于瑞士，因数学上的成就，于1836年当选为法作出了重要贡献在十九世纪的一次国际数学会议期间学家的晨宴快要结束的时候，柳卡向在场的数学家提出某轮船公司每天中午都有一艘轮船从哈佛开往纽约，往哈佛轮船在途中所花的时间来去都是七昼夜，而且都哈佛开出的轮船，在开往纽约的航行过程中，将会遇到出后，果然一时难住了与会的数学家们尽管为此问题大到会议结束竟还没有人真正解决这个问题这个有趣的数图姆给出的一个非常直观巧妙的解法．遇，相遇后两车继续行相遇，则A 、B 两地间的遇，相遇后两车继续行相遇，则A 、B 两地间的遇，相遇后两车继续行相遇，当甲乙第三次相遇行走，他们在C 点第一圆的周长．选为法国科学院院士他对期间，有一天，正当来自家提出困扰他很久、自认，并且每天的同一时刻而且都是匀速航行在同一会遇到几艘同一公司的轮问题大家进行了广泛的探趣的数学问题，被数学界⑸小王、小李二人往返于甲、乙两地，小王从甲地、小李从乙地同时出发，相向而行，两人第一次在距甲地3千米处相遇，第二次在距甲地6千米处相遇(追上也算作相遇)，则甲、乙两地的距离为千米（学案对应：学案3）【分析】⑴3032070⨯-=（千米）⑵(30360)275⨯+÷=（千米）⑶,A B 两地间相距80360180⨯-=千米当第三次相遇时，两车所走路程和是5个全程，那么其中甲车走了805400⨯=千米，400180240÷= ，所以距A 地40千米⑷第一次相遇，两人合起来走了半个周长；第二次相遇，两个人合起来又走了一个周长．从出发开始算，两个人合起来走了一周半．因此，第二次相遇时两人合起来所走的路程是第一次相遇时合起来所走的路程的3倍，那么从A 经过C 到D 的距离，应该是从A 到C 距离的3倍，即A 到D 是803240⨯=(米)．那么圆周上A 到B 的距离是24060180-=(米)．圆的周长为1802360⨯=(米)．⑸由于两人同时出发相向而行，所以第一次相遇一定是迎面相遇；由于本题中追上也算相遇，所以两人第二次相遇可能为迎面相遇，也可能为同向追及．①如果第二次相遇为迎面相遇，如下图所示，两人第一次在A 处相遇，第二次在B 处相遇．则甲、乙两地的距离为(336)27.5⨯+÷=千米；②如果第二次相遇为同向追及，如上图，两人第一次在A 处相遇，相遇后小王继续向前走，小李走到甲地后返回，在B 处追上小王．在这个过程中，小王走了633-=千米，小李走了639+=千米，两人的速度比为3:91:3=．所以第一次相遇时小李也走了9千米，甲、乙两地的距离为9312+=千米．所以甲、乙两地的距离为7.5千米或12千米【想想练练】如图，有一个圆，两只小虫分别从直径的两端A 与C 同时出发，绕圆周相向而行．它们第一次相遇在离A 点8厘米处的B 点，第二次相遇在离C 点6厘米处的D 点，问，这个圆周的长是多少？【分析】如图所示，第一次相遇，两只小虫共爬行了半个圆周，其中从A 点出发的小虫爬了8厘米，第二次相遇，两只小虫又爬了一个圆周，所以两只小虫从出发共爬行了1个半圆周，其中从A 点出发的应爬行8324⨯=(厘米)，比半个圆周多6厘米，半个圆周长为83618⨯-=(厘米)，一个圆周长就是：(836)236⨯-⨯=(厘米)李王乙甲甲王乙C A甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发相向而行，在A 、B 两地之间不断往返行驶．甲车速度是乙车速度的37，并且甲、乙两车第2012次相遇的地点和第2013次相遇的地点恰好相距120千米(注:当甲、乙两车同向时,乙车追上甲车不算作相遇)，那么，A 、B 两地之间的距离是多少千米？（学案对应：学案4）【分析】因为甲乙同时出发，同时相遇，所以甲、乙相遇时间相同，因此3:7S V V ==乙乙甲甲：S ：，设全程为10份，则一个全程中，甲走了3份，乙走了7份，通过总结的规律分析第2012次相遇时，甲走：(2012⨯2-1)⨯3=12069(份)，120691012069÷= ，所以第2012次相遇地点是在从A 地向右数9份的C 点，第2013次相遇时，甲继续向右数6份即可，到达D 由图看出CD 间距离为4份，A 、B 两地之间的距离是120410300÷⨯=(千米)．D C BA四龟问题四只乌龟在边长为3米的正方形四个角上，以每秒1厘米的速度同时匀速爬行，每只乌龟的爬行方向时刻指向另一只.问：经过多少时间它们才能在正方形的中心碰头？答案：对于任意一只乌龟A ，它始终朝着它面对的那只乌龟B 爬行，因此无论如何，A 与B 的距离都是以1cm /s 的速度在减小的，一开始两者距离是3m ，所以就是300s 之后，两只乌龟的距离变成0，即碰头.A 、B 两地相距2400米，甲从A 地、乙从B 地同时出发，在A 、B 间往返长跑甲每分钟跑300米，乙每分钟跑240米，在30分钟后停止运动甲、乙两人在第几次相遇时距A 地最近？最近距离是多少米？【分析】方法一：()300240302400 6.75+⨯÷=(个)，即甲乙共行了6.75个全程，共相遇了3次，甲乙两人的速度比是300:2405:4=，设全程为9份①如图所示，甲走路线用实线表示，乙走路线用虚线表示第一次相遇甲行5份，乙行4份，所以第一次相遇地点距A 地是全程的59②第二次相遇时两人共行了3个全程，甲行的距A 地()93593-⨯-=份，所以第二次相遇地点距A 地是全程的13③第三次相遇时两人共行了5个全程，55927⨯÷= 甲行的距A 地7份，所以第三次相遇地点距A 地是全程的79，所以第二次相遇距A 地最近，最近距离是124008003⨯=(米)方法二：柳卡图法，其中实线表示甲所走的路程，虚线表示乙走的路程，实线与虚线的交点就是相遇点由图可以看出两人共相遇了3次，其中第2次距A 地最近，最近距离为D 到A 地的距离，由图看出:6:121:2MN PQ ==，根据沙漏模型:1:2DA DB ''=，所以最近距离为124008003⨯=(米)杯赛提高1.A 、B 两地相距950米甲、乙两人同时由A 地出发往返锻炼半小时甲步行，每分钟走40米；乙跑步，每分钟行150米则甲、乙两车第次迎面相遇时距B 地最近【分析】半小时，两人一共行走(40+150)×30=5700(米)，相当于5700÷950=6(个)全程，由于两人同时同地出发，两人行程每2个全程就会有一次相遇，而两人的速度比15:4，所以相同时间内两人的行程比为15:4，那么第一次相遇甲走了全程的48215419⨯=+，距离B 地1119个全程；第二次相遇甲走了全程的1619，距离B 地319个全程；第三次相遇甲走了全程的2419，距离B地519个全程，比较可知甲、乙两人第二次迎面相遇时距离B 地最近2.两名游泳运动员在长30米的游泳池里来回游泳，甲的速度是每秒1米，乙的速度是每秒0.6米，他们同时从游泳池的一端出发，来回一共游了21分钟，他们一共遇上（迎面或同向）几次？【分析】甲游全程用30130÷=秒，乙游全程用300.650÷=秒，画出柳卡图：21分钟一共1260秒，一共相遇84133⨯+=次3.男、女两名田径运动员在长110米的斜坡上练习跑步(坡顶为A ，坡底为B )．两人同时从A点出发，在A ，B 之间不停地往返奔跑．已知男运动员上坡速度是每秒3米，下坡速度是每秒5米，女运动员上坡速度是每秒2米，下坡速度是每秒3米．那么两人第二次迎面相遇的地点离A 点多少米？【分析】方法一：柳卡图法如上图所示，A 为坡顶，B 为坡底，从A 到B 的方向表示下坡，从B 到A 的方向表示上坡，折线图向右的方向的距离表示上(下)坡的时间．根据题意，男、女运动员下坡、上坡的时间比为1111:::6:10:10:155332=，男运动员跑的路线为实线，女运动员跑的路线为虚线，从图中可以看出，两人第一次迎面相遇在C ，第二乙甲03060901201501802102402703003002702402101501209060300B A 35102260附加题次迎面相遇在D ，所以需要求D 到A 的距离．根据几何中的相似三角形性质，可得D 到A 的距离与到B 的距离之比等于(2516):(2210)9:123:4--==，而A 、B 之间的距离为110米，所以D 到A 的距离为3111047347⨯=+(米)，故第二次相遇的地点距A 点1477米．方法二：方程法．设第二次迎面相遇的地点离A 点x 米．由于第二次相遇时男运动员走了一个下坡、一个上坡和x 米下坡，女运动员走了一个下坡和()110x -米上坡，可得方程：1101101101105332x x +-+=+解得1477x =，即第二次迎面相遇的地点离A 点1477米．4.甲乙两人都从A 地去往B 地，甲先出发1小时后乙再出发．结果乙比甲提前1小时到达B地，问：乙在什么地方追上甲？【分析】由图可看出，乙在A,B 中点处追上甲．多次迎面相遇规律1.相向而行：第一次相遇两人合走一个全程，以后每相遇一次都要合走两个全程，因此第n 次相遇，两人合走21n -个全程（n 为正整数）2.同向而行：每相遇一次都要合走两个全程，因此第n 次相遇，两人合走2n 个全程（n 为正整数）1.甲、乙二人在相距180米的直路两端同时出发来回散步，甲每秒走2米，乙每秒走2.5米.每人都走了6.5分钟，那么在这段时间内他们共相遇了多少次.【分析】方法一：甲乙6.5分钟共走了(2 2.5) 6.5601755+⨯⨯=米，共走了17551809.75÷=个全程.两人第一次相遇合走了一个全程，以后每2个全程相遇一次.那么，9.75个全程共相遇了5次.方法二：甲行全程用180290÷=秒，乙行全程用180 2.572÷=秒画出柳卡图：乙甲AB 家庭作业知识点总结由图得，一共相遇5次2.如图，A,B 两地相距70米，甲、乙两人同时从A 地同向出发来回步行，甲的速度和乙的速度之比为3:4，则第二次相遇地点与第一次相遇地点间相距多少米？【分析】6270()406125⨯-=++（米）3.甲、乙两车同时从A 地出发同向而行去往B 地，甲车的速度是乙车速度的1.5倍，在,A B 两地间做往返运动．已知两车第二次相遇的地点距第一次相遇的地点是50千米(两人相遇指迎面相遇)，那么，A 、B 两地相距＿＿＿千米．【分析】方法一：线段图，根据题意甲乙速度比是3:2，因此可以设全程为5份，画图如下：（甲走的用实线表示，乙走的用虚线表示）因此甲、乙两地间的距离是5025125÷⨯=（千米）方法二：柳卡图，由于甲乙速度比是3:2，因此甲乙各走一个全程所用的时间比是2:3，画图如下（甲走的用实线表示，乙走的用虚线表示）因此甲、乙两地间的距离是3150()12555÷-=（千米）010836乙912034A B A BC D E F 6B A 26304.甲、乙二人同时从A 地出发去B 地，在A 、B 两地间往返而行，甲的速度是每小时30千米，乙的速度是每小时20千米．已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点是40千米，那么，A 、B 两地相距多少千米．【分析】因为甲乙同时出发，同时相遇，所以甲、乙相遇时间相同，因此:30:203:2S V V ===乙乙甲甲:S ，设全程为5份，第一次相遇甲、乙共同行了两个全程，则两个全程中，甲走了6份，乙走了4份，所以F 是第一次相遇地点，第一次相遇到第二次相遇，甲、乙共走2个AB ，因此从开始到第二次相遇，甲、乙共走了4个全程，一个全程甲走3份，8个全程甲共走3412⨯=份，所以D 是第二次相遇地点，由图看出DF 是2份．但已知DF 是40千米，所以AB 的长度是40÷2⨯(2+3)=100(千米)．(也可以用乙进行计算)5.甲、乙两车同时从A B 、两地相向出发，第一次在距A 地3000米处相遇相遇后两车继续前行，各自到达目的地后立即返回，在距A 地500米处第二次相遇A B 、两地相距（）米【分析】两人第一次相遇共同走了一个全程，第二次相遇共同走了三个全程，第二次相遇所用时间是第一次相遇时间的三倍甲第一次相遇时走了3000米，第二次相遇时走了3个3000米即9000米甲一去一回走了9000米后离出发点还有500米，即两个全程的长度是9000+500=9500米，一个全程的长度是4750米6.甲、乙二人分别从A 、B 两地同时出发，往返跑步．甲每分跑180米，乙每分跑240米．如果他们的第100次相遇点与第101次相遇点的距离是160米，求A 、B 两点间的距离为多少米？【分析】因为甲乙同时出发，同时相遇，所以甲、乙相遇时间相同，因此180:2403:4S V V ===乙乙甲甲：S ：，设全程为7份，则一个全程中，甲走了3份，乙走了4份，通过总结的规律分析第100次相遇时，甲走：(100⨯2-1)⨯3=597(份)，5977852÷= ，所以第100次相遇地点是在从B 地向左数2份的C 点，第101次相遇时甲走：(101⨯2-1)3⨯=603(份)，6037861÷= ，所以第101次相遇地点在从A 点向右数1份的D 点，由图看出CD 间距离为4份，A 、B 两地之间的距离是16047280÷⨯=(米)．【学案1】甲、乙两人在一条长100米的直路上来回跑步，甲的速度3米/秒，乙的速度2米/秒．如果他们同时从直路的同一端出发，当他们跑了10分钟后，共相遇多少次？【分析】方法一：10分钟两人共跑了(3+2)⨯60⨯10=3000米3000÷100=30个全程．我们知道两人同时从一端同向而行，每两个全程相遇一次，共15次．方法二：第一次两个人相遇需要200÷(3+2)=40(秒),从第一次开始到第二次相遇要走两个全程需要：200÷(3+2)=40(秒)所以一共相遇：10⨯60÷40=15(次)BBＡ版学案【学案2】甲、乙二人分别从A 、B 两地同时相向而行，甲的速度是每小时30千米，乙的速度是每小时20千米，二人相遇后继续行进，甲到B 地、乙到A 地后立即返回．已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点是20千米，那么，A 、B 两地相距多少千米．【分析】因为甲乙同时出发，同时相遇，所以甲、乙相遇时间相同，因此:30:203:2S V V ===乙乙甲甲:S ，设全程为5份，则一个全程中，甲走了3份，乙走了2份，所以C 是第一次相遇地点，第一次相遇到第二次相遇，甲、乙共走2个AB ，因此从开始到第二次相遇，甲、乙共走了3个全程，一个全程甲走3份，3个全程甲共走339⨯=份，所以D 是第二次相遇地点，由图看出DC 是2份．但已知DC 是20千米，所以AB 的长度是20÷2⨯(2+3)=50(千米)．(也可以用乙进行计算)【学案3】甲、乙两车的速度分别为52千米／时和40千米／时．他们同时从A 地出发去B 地，在A 、B 两地间往返而行，从开始走到第三次相遇，共用了6小时．A 、B 两地相距多少千米？【分析】从开始走到第一次相遇，两车走的路程是两个AB 之长；而到第三次相遇，两车走的路程总共就是6个AB 之长，是(52+40)⨯6=552(千米)，所以A 、B 两地相距552÷6=92(千米)．【学案4】甲、乙两车同时从A 地出发同向而行，在A 、B 两地之间不断往返行驶．甲车速度是乙车速度的37，并且甲、乙两车第2012次相遇的地点和第2013次相遇的地点恰好相距120千米(注:当甲、乙两车同向时,乙车追上甲车不算作相遇)，那么，A 、B 两地之间的距离是多少千米？【分析】因为甲乙同时出发，同时相遇，所以甲、乙相遇时间相同，因此3:7S V V ==乙乙甲甲：S ：，设全程为10份，则一个全程中，甲走了3份，乙走了7份，通过总结的规律分析第2012次相遇时，甲走：(2012⨯2)⨯3=12072(份)，120721012072÷= ，所以第2012次相遇地点是在从B 地向左数2份的C 点，第2013次相遇时，甲继续向左数6份即可，到达D 由图看出CD 间距离为6份，A 、B 两地之间的距离是120610200÷⨯=(千米)．BC D BA。
多次相遇和追及问题含答案
多次相遇与追及问题知识框架一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题所有行程问题都是围绕“=⨯路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．二、多次相遇与全程的关系1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；第2次相遇，共走3个全程；第3次相遇，共走5个全程；…………，………………；第N次相遇，共走2N-1个全程；注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。
即甲第1次如果走了N米，以后每次都走2N 米。
2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；第2次相遇，共走4个全程；第3次相遇，共走6个全程；…………，………………；第N次相遇，共走2N个全程；3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键几个全程多人相遇追及的解题关键路程差三、解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。
折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。
如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。
例题精讲【例 1】甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？【考点】行程问题 【难度】☆☆ 【题型】解答【解析】 从开始到两人第十次相遇的这段时间内，甲、乙两人共跑的路程是操场周长的10倍，为300103000⨯=米，因为甲的速度为每秒钟跑3.5米，乙的速度为每秒钟跑4米，所以这段时间内甲共行了 3.5300014003.54⨯=+米，也就是甲最后一次离开出发点继续行了200米，可知甲还需行300200100-=米才能回到出发点．【答案】100米【巩固】 甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米．如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次？【考点】行程问题【难度】☆☆ 【题型】解答【解析】 17【答案】17【例 2】甲、乙两车同时从A 地出发，不停的往返行驶于A ，B 两地之间。
小学数学行程问题之多人多次相遇和追及问题含答案
多次相遇和追及问题知识框架一、多人相遇追及问题多人相遇追及问题，即在同一直线上，3个或3个以上的对象之间的相遇追及问题。
所有行程问题都是围绕“=⨯路程速度时间”这一条基本关系式展开的，比如我们遇到的两大典型行程题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系转化．由此还可以得到如下两条关系式：路程和速度和相遇时间；=⨯路程差速度差追及时间；=⨯多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这两条公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．二、多次相遇追及问题所有行程问题都是围绕“=⨯路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．多次相遇与全程的关系1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；第2次相遇，共走3个全程；第3次相遇，共走5个全程；…………，………………；第N次相遇，共走2N-1个全程；注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。
即甲第1次如果走了N米，以后每次都走2N 米。
2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；第2次相遇，共走4个全程；第3次相遇，共走6个全程；…………，………………；第N次相遇，共走2N个全程；3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键几个全程多人相遇追及的解题关键路程差三、解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。
折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。
如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。
例题精讲【例 1】A 、B 两地相距203米，甲、乙、丙的速度分别是4米/分、6米/分、5米/分。
如果甲、乙从A ，丙从B 地同时出发相向而行，那么，在__________分钟或________分钟后，丙与乙的距离是丙与甲的距离的2倍。
行程问题之多次相遇与追及问题 非常完整版题型训练+答案解析
行程问题之多次相遇与追及问题非常完整版题型训练+答案解析本文介绍了行程体系中多次相遇和追及的问题。
其中，对于两地相向出发的情况，第N次相遇共走2N-1个全程；对于同地同向出发的情况，第N次相遇共走2N个全程。
在多人多次相遇追及的解题过程中，需要注意路程差和几个全程的关键。
例1中，甲、乙两车分别从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇，第二次在离B地25千米处相遇。
根据题意可知，A、B两地间的距离为260千米。
例2中，甲和乙两人在一圆形场地上按相反的方向绕圆形路线运动，第一次相遇时甲乙共走完0.5圈的路程，第二次相遇时甲乙共走完1.5圈的路程。
根据题意可得，此圆形场地的周长为480米。
例3中，甲、乙两人从环形跑道上一点A背向同时出发，8分钟后第五次相遇。
已知甲比乙每秒钟多走0.1米，求第五次相遇的地点与点A沿跑道上的最短路程。
根据题意可得，第五次相遇时共合走5个全程，相遇点与点A沿跑道上的最短路程为2000米。
甲和乙的速度分别为250米/分和122米/分，他们在周长为300米的圆形跑道上背向而行。
甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米。
他们第十次相遇时，甲还需跑100米才能回到出发点。
___和爸爸在上午8点8分开始在家门口的100米直线跑道上跑步。
___的速度为6米/秒，爸爸的速度为4米/秒。
爸爸在8分钟后追上___，然后回家，再次追上___时离家12千米，此时是8点32分。
___和___在长100米的直线跑道上来回跑步，___的速度为6米/秒，___的速度为4米/秒。
他们同时从跑道两端出发，连续跑了12分钟。
在这段时间内，他们迎面相遇了5次。
甲、乙两人从A、B两地同时出发，相向而行。
已知乙的速度是甲的速度的2倍。
解答：由于甲、乙的速度比是1:2，所以在相同的时间内，两人所走的路程之比也是1:2.第一次相遇时，两人共走完了AB的长度，可以把AB的长度看作3份，甲、乙各走了1份和2份。
第100次相遇时，甲、乙共走了199个AB，甲走了1×199=199份。
奥数行程多次相遇和追及问题
、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题所有行程问题都是围绕“路程速度时间”这一条基本关系式展幵的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解.二、多次相遇与全程的关系1.两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；第2次相遇，共走3个全程；第3次相遇，共走5个全程；第N次相遇，共走2N-1个全程；注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。
即甲第1次如果走了N 米，以后每次都走2N米。
2.同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；第2次相遇，共走4个全程；第3次相遇，共走6个全程；第N次相遇，共走2N个全程;3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键几个全程多人相遇追及的解题关键路程差三、解多次相遇问题的工具一一柳卡柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。
折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。
如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。
例题精讲【例1】甲、乙两名同学在周长为 300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？【巩固】甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米.如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次？【例2】甲、乙两车同时从A地出发，不停的往返行驶于A，B两地之间。
已知甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C地。
问：甲车的速度是乙车的多少倍？【巩固】甲、乙二人从相距60千米的两地同时相向而行，6时后相遇。
如果二人的速度各增加1千米/时，那么相遇地点距前一次相遇地点1千米。
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第12讲 多次相遇与追及
1. 甲、乙两人从400米的环形跑道上一点A 背向同时出发，8分钟后两人第五次相遇，已知每秒钟甲比乙多走0.1米，那么两人第五次相遇的地点与点A 沿跑道上的最短路程是多少米?
答案：176
2. 甲、乙两车分别从相距300千米的,A B 两地同时出发，在A B 、两地之间不断往返行驶。
已知甲车的速度是每小时30千米，乙车的速度是每小时20千米。
请问：
（1）出发后经过多长时间甲、乙两车第一次迎面相遇？
（2）第一次迎面相遇后又经过多长时间甲、乙两车第二次相遇？
【分析】（1）根据题意，两车从同时出发到第一次迎面相遇，只需要合走1个全程即可，需要用去：()30030206÷+=（小时）；
（2）从第一次迎面相遇到甲、乙两车第二次迎面相遇两人需再合走1个全程，需要用去： ()600302012÷+=（小时）.
3. 小明和小红两人在长100米的直线跑道上来回跑步，做体能训练，小明的速度为6米/秒，小红的速度为4米/秒．他们同时从跑道两端出发，连续跑了12分钟．在这段时间内，他们迎面相遇了多少次？
答案：第一次相遇时，两人共跑完了一个全程，所用时间为：1006410÷+=（）(秒)．此后，两人每相遇一次，就要合跑2倍的跑道长，也就是每20秒相遇一次，除去第一次的10秒，两人共跑了126010710⨯-=(秒)．求出710秒内两人相遇的次数再加上第一次相遇，就是相遇的总次数．列式计算为：1006410÷+=（）(秒)，1260101023510⨯-÷⨯=（）（），共相遇
35136+=(次)。
注：解决问题的关键是弄清他们首次相遇以及以后每次相遇两人合跑的路程长．
4. 甲、乙二人以均匀的速度分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A 地7千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B 地3千米处第二次相遇，求第三次相遇时共走了多少千米.
答案：90千米
5. A 、 B 两地相距 950 米．甲、乙两人同时由 A 地出发往返锻炼半小时．甲步行，每分钟走 40 米；乙跑步，每分钟行 150 米．则甲、乙二人第几次迎面相遇时距 B 地最近？
答案：半小时内，两人一共行走 （40＋ 150）× 30 =5700 米，相当于 6 个全程，两人每合走 2 个全程就会有一次相遇，所以两人共有 3 次相遇，而两人的速度比为 40 :150= 4 :15，所以相同时间内两人的行程比为 4 :15，那么第一次相遇甲走了全程的48215419
⨯=+，距离
B 地11/19个全程；第二次相遇甲走了16/19个全程，距离B 地3/19个全程；第三次相遇甲走了24/19个全程，距离B 地5/19个全程，所以甲、乙两人第二次迎面相遇时距离B 地最近．。