列分式方程解决实际问题教案
《列分式方程解决实际问题》教案
教学内容：列分式方程解决实际问题
教学目标：
1、会列出分式方程解决简单的实际问题
2、能根据实际问题的意义检验所得的结果是否合理.
教学重点：列分式方程解决实际问题
教学难点：根据实际问题的意义检验所得的结果是否合理
教学方法：自主探究，合作交流
教学过程：
一、新课引入
甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个零件所用的时间和乙做60个零件所用的时间相等，求甲、乙每小时各做多少个零件？
引导学生思考：
1、 如果设甲一小时做X 个零件,那么乙一小时做多少个零件？
2、 甲做x 个零件需要多少时间？乙做（x+6）个零件需要多少时间？
3、 根据什么等量关系列方程呢？
二、新课探究
1、列分式方程解应用题的一般步骤
（1）.审:分析题意,找出数量关系和相等关系.
（2）.设:选择恰当的未知数,注意单位和语言完整.
（3）.列:根据数量和相等关系,正确列出方程.
（4）.解:认真仔细解这个分式方程.
（5）.验:检验.
（6）.答:注意单位和语言完整.
2、例1 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快? 引导学生分析
甲队1个月完成总工程的 ,设乙队如果单独施工1个月完成总工程的 ,那么甲队 半个月完成总工程的_____,乙队半个月完成总工程的_____,两队半个月完成总工程
的_______ .
解：设乙队如果单独施工1个月完成总工程的 .依题意得
方程两边同乘6x,得2x+x+3=6x ， 解得 x=1.
检验:x=1时6x ≠0,x=1是原分式方程的解
答：由上可知,若乙队单独施工1个月可以完成全部任务,
而甲队1个月完成总工程的 ,可知乙队施工速度快.
3、例2 某列车平均提速v km/h ，用相同的时间，列车提速前行驶s km ，提速后比提速前多行驶50 km ，提速前列车的平均速度为多少？
分析：这里的v ，s 表示已知数据，设提速前列车的平均速度为x km/h ，先考虑下面的填空： 提速前列车行驶s km 所用的时间为 h ，提速后列车的平均速度为 km/h ，提速后列1111,362x
++=x 1
车运行 km
所用时间为 h. 根据行驶时间的等量关系可以列出方程:
去分母得：s(x+v)=x (s+50)
去括号，得
sx+sv=sx+50x.
移项、合并同类项，得
50x=xv.
解得
检验：由于v ，s 都是正数， 时x （x+v ）≠0，
是原分式方程的解.
答：提速前列车的平均速度为 km/h.
4、跟踪训练
农机厂到距工厂15 km 的向阳村检修农机，一部分人骑自行车先走，过了40 min ，其余人乘汽车去，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度.
三、随堂练习
（1）在5月汛期，重庆某沿江村庄因洪水而沦为孤岛.当时洪水流速为10 km/h,张师傅奉命、用冲锋舟去救援,他发现沿洪水顺流以最大速度航行2km 所用时间与以最大速度逆流航行
1.2 km 所用时间相等.则该冲锋舟在静水中的最大航速为____.
（2）某镇道路改造工程,由甲、乙两工程队合作20天可完成.甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天完成此项工程.
(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天?
(2)若甲工程队独做a 天后,再由甲、乙两工程队合作____天(用含a 的代数式表示)可完成此项工程;
(3)如果甲工程队施工每天需付施工费1万元,乙工程队施工每天需付施工费2.5万元,甲工程队至少要单独施工多少天后,再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程,才能使施工费不超过64万元?
四、课堂小结
通过本课时的学习，需要我们
1.会列出分式方程解决简单的实际问题 ，并能根据实际问题的意义检验所得的结果是否合理.
2.掌握列分式方程解应用题的一般步骤:
(1)审:分析题意,找出数量关系和相等关系；
(2)设:直接设法与间接设法；
(3)列:根据等量关系,列出方程;
(4)解:解方程,得未知数的值；
(5)检:有两次检验.①是否是所列方程的解;②是否满足实际意义.
(6)答:注意单位和答案完整.
五、作业布置
教材P154第3、4、5题
sv 50sv 50sv x .50
八年级数学上册第十五章分式15.3分式方程第1课时分式方程及其解法教案人教版
15.3 分式方程 第1课时分式方程及其解法 【知识与技能】 1.理解分式方程的意义； 2.掌握解分式方程的基本思路和解法； 3.理解解分式方程可能无解的原因,掌握解分式方程的验根方法. 【过程与方法】 通过探索实际问题中的数量关系,体会分式方程的模型作用,在经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程,发展学生分析问题,解决问题的能力,渗透转化的数学思想,培养学生的应用意识. 【情感态度】 在活动中培养学生乐于探索、合作学习的习惯,培养学生努力寻找解决问题的进取心,体会数学的应用价值. 【教学重点】 解分式方程的基本思路和解法. 【教学难点】 理解解分式方程可能无解的原因,及增根的含义. 一、情境导入,初步认识 问题一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它沿江以最大航速顺流航行90千米所用的时间,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少？ 【教学说明】让学生求出江水流速为v千米/时后,自主探究,获得方程.然后师生共同评析.教师讲课前,先让学生完成“自主预习”. 思考 (1)方程 9060 3030 v v = +- 与以往学过的方程有什么不同之处？ （2）什么叫分式方程？分式方程的特征是什么？ （3）怎样解分式方程 9060 3030 v v = +- 呢？ 【教学说明】教师提出问题后,学生自主探究,相互交流,得出相应结论.教师应关注学生的参与情况及解决问题的情形,适时予以点拨,最后师生共同评析. 二、思考探究,获取新知 分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
解分式方程的基本思路是将分式方程运用去分母的方法化成为整式方程. 如：解方程90603030v v =+-. 解：在方程两边乘的最简公分母(30+v)（30-v ）,得 90(30-v)=60（30+v ）. 解得v=6. 检验：将v=6代入方程,左边=5/2=右边,所以v=6是原分式方程的解. 试一试 解方程2110525 x x =-- . 思考 上面两个分式方程中,为什么 90603030v v =+-去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解,而2110525 x x =--去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？ 【教学说明】教师提出问题后,学生先独立解决问题,然后在小组中提出自己的看法并讨论.在学生讨论时,教师可参与交流,鼓励学生勇于探索、实践,解释产生这一现象的原因,并让学生明白解分式方程时一定要验根. 【归纳结论】 一般地,解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0,因此；解分式方程时必须检验.检验方法可以如下：将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解；如果使最简公分母为0,则整式方程的解不是原分式方程的解,它是原分式方程增根,原分式方程无解. 三、典例精析,掌握新知 例1解方程233x x =- . 解：方程两边同乘以x(x-3),得 2x=3(x-3). 解得x=9. 检验：x=9时,x(x-3)=54≠0,∴x=9是原分式方程的解. 例2解方程() 31112x x x x -=--+（） . 解：方程两边同乘以（x-1）(x+2),得 x （x+2）-（x-1）(x+2)=3 化简,得x+2=3. 解得x=1.
分式方程与实际问题
分式方程与实际问题 ——工程问题 一、教学目标 1．通过对工程问题的逐步探究，明确工程问题中三个量之间的基本关系，同时让学生学会从实际问题中寻找与这个量有关的等量关系． 2．经历从实际问题到建立分式方程的过程，体会建立分式方程模型解决实际问题的作用． 3．类比整式方程模型解决实际问题和分式方程模型解决实际问题的基本思路，突出分式方程模型解决实际问题的双检验特点． 二、学情分析 1．通过对工程问题的逐步探究，明确工程问题中三个量之间的基本关系，同时让学生学会从实际问题中寻找与这个量有关的等量关系． 2．经历从实际问题到建立分式方程的过程，体会建立分式方程模型解决实际问题的作用． 3．类比整式方程模型解决实际问题和分式方程模型解决实际问题的基本思路，突出分式方程模型解决实际问题的双检验特点． 三、重点难点 教学重点：工程问题中数量相等关系的探究． 教学难点：工程问题中分式方程模型的建立． 四、教学过程 （一）复习旧知，知识铺垫 有一项工程，甲单独完成需x天，乙单独完成比甲单独完成多用4天，那么乙单独完成这项工程需_____天， 则甲的工作效率是____,乙的工作效率是___ . 若这项工程甲先单独做3天，然后甲乙合作做2天， 则甲完成的工作量是____,乙完成的工作量是_____. 设计意图：通过简单的工程问题，让学生回顾工程问题中的基本关系式：工作总量=工作效率×工作时间，并且让学生回顾工程问题中当工作总量没有具体值时通常设工作总量为“1”。 （二）创设情境，提出问题 甲乙两个清洁队共同参与了城中垃圾的清运工作，甲队单独工作2天完成总量的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了1天，总量全部完成。哪个队的施工速度快？ 设计意图：引导学生从问题出发，分析题中的已知量和未知量，通过设未知数来表示未知量，找出题中等量关系，利用分式方程解决问题。在这个问题中让
分式方程及其解法优秀教案
9.3分式方程（1） 一、内容和内容解析 1．内容 分式方程的概念和解法 2．内容解析 分式方程是分母中含有未知数的方程，它是整式方程的延伸与发展，它是初中阶段是要学的又一类方程． 解分式方程的基本思路是通过去分母将分式方程转化为整式方程．在去分母时方程两边所乘的最简公分母可能为零，因而所解整式方程的解不一定是分式方程的解，所以，检验整式方程的解是不是分式方程的解是解分式方程中必不可少的一步． 基于以上分析，可以确定本课的教学重点是：分式方程的解法． 二、目标和目标解析 1．目标 （1）理解分式方程的概念． （2）理解并掌握解分式方程的一般步骤，并学会用去分母的方法解可化为一元一次方程的简单分式方程． （3）了解检验在解分式方程中的必要性． 2．目标解析 目标（1）是让学生理解分式方程的概念，掌握分式方程的特征——分母中含有未知数，并学会判断一个方程是否为分式方程． 目标（2）是让学生知道解分式方程的一般步骤是去分母、解整式方程、检验、写出分式方程的解；熟悉解分式方程的基本思路是通过去分母将分式方程转化为整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想；让学生知道去分母的关键是找各分母的最简公分母；目前只要求学生掌握去分母后能转化为一元一次方程的分式方程的解法．目标（3）是让学生知道在解分式方程去分母时两边同乘了最简公分母可能会等于零，会使原分式方程无意义，因而需要检验． 三、教学问题诊断分析 学生在只学习一元一次方程及二元一次方程等简单整式方程的基础上学习分式方程，在用去分母将分式方程转化为整式方程，通过先求出整式方程的解进而检验是否为分式方程的解，为什么有些整式方程的解是原分式方程的解，而有一些不是原分式方程的解，学生一时难以接受，更不明白为什么会出现有些分式方程无解的情况． 基于以上分析，本课的教学难点是：了解去分母解分式方程检验的必要性． 四、教学过程设计 （一）复习与回顾 1.什么是一元一次房？
用分式方程解决实际问题
数学学科导学案（第—次课）教师:_ 学生:—年级:八日期: ___________ 星期: _____ 时段: ____
乙型拖拉机单独耕这块地需要几天？ 2、某市为治理污水，需要铺设一段全长3000米的污水输送管道，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%结果提前30天完成了任务，实际每天铺设多长管道?
例：某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付 乙、丙两队共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的2 ,厂家需付甲、丙两队共5500 3 元. ⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？ ⑵若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由. 分析：这是一道联系实际生活的工程应用题，涉及工期和工钱两种未知量?对于工期，一般情况下把整个工作量看成1,设出甲、乙、丙各队完成这项工程所需时间分别为X天，y天，Z天，可列出分式方程组. 练习1:某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成.甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天完成此项工程. (1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？ (2)若甲工程队独做a天后，再由甲、乙两工程队合作 ___________ 天(用含a的代数式表示)可完成此项工程； (3)如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费 2.5万元，甲工程队至少要单独施工 多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超 过64万元？ 练习2:某一项工程在招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队款 1.5万元, 乙工程队款1.1万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：方案一：甲队单独完成这项工程刚好如期完成； 方案二：乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天；
【精品】《解分式方程》教学设计
《解分式方程》的教学设计 邢台县皇台底中学李改增 设计理念： 《数学课程标准》指出：数学教学是在老师指导下，学生积极主动地掌握数学知识、技能，发展能力，形成 积极、主动的学习态度。而教师应引导学生从已有的数 学现实出发，经过自己的思考，得出有关数学结论，形 成数学知识、技能和能力，发展情感态度和思维品质。 由此，我确定自己在本节课中起引导作用，依学生已有 的数学实际，重新设计教学内容，使整节课贯穿一条节 节拔高的教学主线。而学生是这节课的主体，由他们探 索问题，相互解答疑惑，达成共识，逐步形成知识点， 再运用知识巩固与提高。 教学内容：《义务教育教科书数学》（冀教版版）八年级上册第十二章第四节（课本第18页至20页）。 教学目标： 1.知识目标： （1）熟悉解分式方程的步骤。 （2）理解解分式方程时验根的必要性。
2.能力目标： 会按照解分式方程的步骤解分式方程。 3.情感与价值观： （1）培养学生自觉反思求解过程和自觉检验的良好习惯，培养严谨的治学态度。 （2）运用“转化”的思想，将分式方程转化为整式方程，从而获得成就感和学习数学的自信。 老师引导学生自主探索分式方程的解法，将分式方程转化为整式方程，在解题中亲身体验“转化”思想。 弄清了“转化”的方向，也就明白了解分式方程的步骤，解题思路自然清晰，能力随之形成。 重点： 1.探索解分式方程的步骤，熟练掌握分式方程的解法。 2.体会解分式方程验根的必要性。 难点：如何将分式方程转化为整式方程；体会分式方程 验根的必要性。 学情与教材分析：我所任教的学生大多头脑聪明，在老师适当的引导下，有一定的探求新知识的能力。但
列分式方程解决实际问题常见的几种类型
列分式方程解决实际问题常见的三种类型 一、行程问题 例题、小明和小亮进行百米比赛。当小明到达终点时，小亮距离终点还有5米，如果小明比小亮每秒多跑0.35米，你知道小明百米跑的平均速度是多少吗？ 解：设小明百米跑的平均速度为x m/s ，那么小亮百米跑的平均速度是（x －0.35）m/s ，根据题意得， 10010050.35 x x -=-， 解这个方程得： 7x = 经检验：7x =是原方程的解。 答：小明百米跑的平均速度是米/秒。 练习1：从甲地到乙地的路程是15千米，A 骑自行车从甲地到乙地先走，40分钟后，B 骑自行车从甲地出发，结果同时到达。已知B 的速度是A 的速度的3倍，求两车的速度。 练习2答案：解：设A 的速度是x 千米/时，由题意可得： 60 4031515=-x x ，解得：x ＝15，经检验：x ＝15是原方程的解。3x ＝45。 答：A 的速度是15千米/时，B 的速度是45千米/时。 练习2：京通公交快速通道开通后，为响应市政府“绿色出行”的号召，家住通州新城的小王上班由自驾车改为乘坐公交车。已知小王家距上班地点18千米。他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他自用驾车的方式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米，他从家出发到达上班地点，乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间的7 3。小王用自驾车方式上班平均每小时行驶多少千米？ 练习2答案：解：设小王用自驾车方式上班平均每小时行驶x 千米，根据题意得： 9 2181873+=?x x ，解得：x ＝27，经检验：x ＝27是原方程的解。 答：小王用自驾车方式上班平均每小时行驶27千米. 二、工程问题 某工程队承建一所希望小学。在施工过程中，由于改进了工作方法，工作效率提高了20%，因此，比原定工期提高了1个月完工。问这个工程队原计划用几个月建成这所希望小学？ 解：设这个工程队原计划用x 个月建成这所希望小学，根据题意得： 1 1%)201(1-=+x x ， 解这个方程得：x ＝6，经检验：x ＝6是原方程的解。 答：这个工程队原计划用6个月建成这所希望小学。 练习1：某市为治理污水，需要铺设一段全长3000米的污水输送管道，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成了任务，实际每天铺设多长管道？ 练习1答案：解：设原计划每天铺设x 米管道，由题意可得： 30%)251(30003000=+-x x ，解得：x ＝20，经检验x ＝20是分式方程的解，所以实际铺设：
列分式方程解决实际问题(最新编写)
3.9列分式方程解决实际问题（2） 班级：_______ 姓名：家长签名：____ __ 一、温故知新 1.某种提子的售价比苹果高出一半，若苹果的售价为 x 元，则提子的售价为元。 2.解下列方程： （1）9300031000 22000x x （2）15.115 15x x 二、列分式方程解应用题 1.小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书。 科普书的价格比文学书高出一半，因此他们所买的科普书比所买的文学书少 1本。这种科普书和这种文学书的价格各是多少？ 解：设文学书的价格是元/本，科普书的价格是元/本，根据题意，得 解之得 经检验，是所列方程的 x 5.1答：。 2.甲种原料与乙种原料的单价比为2∶3，将价值2000元的甲种原料与价值 1000元的乙种原料混合后，单价为9元，求甲种原料的单价。 解：设甲种原料的单价为x 2元，乙种原料的单价为元，根据题意，得 解之得
经检验，是所列方程的 x 2答： 。 三、决胜中考1.（09·哈尔滨）跃壮五金商店准备从宁云机械厂购进甲、乙两种零件进行销售。若每个甲种 零件的进价比每个乙种零件的进价少2元，且用80元购进甲种零件的数量与用100元购进乙种零件的数量相同。求每个甲种零件、每个乙种零件的进价分别为多少元？ 2.（09·青岛）北京奥运会开幕前，某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销。商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元。该商场两次共购进这种运动服多少套？ 四、学贵有法 1、列分式方程解应用题时，要找准个等量关系，用好数量关系，准确列出 ； 2、设未知数时，一般设较的为x ，方程解出来别漏掉的步骤。五、能力拓展 1.甲、乙两人加工某种机器零件，已知甲每天比乙多做a 个，甲做m 个所用的天数与乙做n 个所用的天数相等（其中m ≠n ），设甲每天做x 个零件，则甲、乙两人每天所做零件的个数分别是（） A.n m am 、n m an B. n m an 、n m am C.n m am 、n m an D.m n am 、m n an
分式方程解决实际问题常见的几种类型
列分式方程解决实际问题常见的几种类型 一、行程问题 例题、小明和小亮进行百米比赛。当小明到达终点时，小亮距离终点还有5米，如果小明比小亮每秒多跑0.35米，你知道小明百米跑的平均速度是多少吗？ 解：设小明百米跑的平均速度为xm/s ，那么小亮百米跑的平均速度是（x-0.35）m/s ， 根据题意得， 10010050.35 x x -=- 解这个方程得 7x = 经检验：7x =是原方程的解。 答：小明百米跑的平均速度是米/秒。 二、工程问题 某工程队承建一所希望小学。在施工过程中，由于改进了工作方法，工作效率提高了20%，因此，比原定工期提高了1个月完工。问这个工程队原计划用几个月建成这所希望小学？ 解：设这个工程队原计划用x 个月建成这所希望小学， 根据题意得 11(120%)1 x x +=-g 解这个方程得 6x = 经检验：6x =是原方程的解。 答：这个工程队原计划用6个月建成这所希望小学。 三、数字问题
今年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，再过5年，父亲与儿子的年龄的比是22：9。求今年父亲和儿子的年龄。 解：设今年儿子的年龄是x 岁，则父亲的年龄是3x 岁，根据题意得 352259 x x +=+ 解这个方程得x=13 经检验：x=13时原方程的解 3x=3×13=39 答：今年父亲和儿子的年龄分别是13岁和39岁。 四、利润问题 某超市市场销售一种钢笔，每枝售价为11.7元。后来，钢笔的进价降低了6.4%，从而使超市销售这种钢笔的利润提高了8%。这种钢笔原来每枝是多少元？ 解：设这种钢笔原来每枝的进价为x 元，根据题意得 11.711.7(1 6.4%)100%8%100%(1 6.4%)x x x x ---?+=?- 解这个方程得x=10 经检验：x=10时原方程的解 答：这种钢笔原来每枝是10元。 五、几何问题 如图所示某村计划开挖一条长1500米的水渠，渠道的横断面为等腰梯形，渠道深0.8米，下底宽1.2米，坡角为45°。实际开挖时，工作效率 是原计划的1.2倍，结果比原计划提前4天完工。求原计 划每天挖多少米？ 分析：可以先求出横截面的面积，然后根据横截面的面积乘以长度可以求出水渠的体积，45°0.8米1.2米
初中数学八年级上册《分式方程及其解法》优秀教学设计
15．3 分式方程 第1课时 分式方程及其解法 1．了解分式方程的概念．(重点) 2．掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，知道转化的思想方法在解分式方程中的应用．(重点) 3．了解增根的概念，会检验一个数是不是分式方程的增根，会根据增根求方程中字母的值．(难点) 一、情境导入 1．什么是方程？ 2．什么是一元一次方程？ 3．解一元一次方程的一般步骤是什么？ 我们今天将学习另外一种方程——分式方程．二、合作探究 探究点一：分式方程的概念 下列关于x 的方程中，是分式方程的是( ) A.3＋x 2＝2＋x 5 B.2x －17＝x 2 C. x π＋1＝2－x 3 D.12＋x ＝1－2x 解析：A 中方程分母不含未知数，故不是分式方程；B 中方程分母不含未知数，故不是分式方程；C 中方程分母不含表示未知数的字母，π是常数；D 中方程分母含未知数x ，故是分式方程．故选D. 方法总结：判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母)． 探究点二：分式方程的解法 【类型一】 解分式方程 解方程： (1)5x ＝7x －2；(2)1x －2＝1－x 2－x －3. 解析：分式方程两边同乘以最简公分母， 把分式方程转化为整式方程求解，注意验根． 解：(1)方程两边同乘x (x －2)，得5(x －2)＝7x ，5x －10＝7x ，2x ＝－10，解得x ＝－5，检验：把x ＝－5代入最简公分母，得x (x －2)≠0，∴x ＝－5是原方程的解； (2) 方程两边同乘最简公分母(x －2)，得1＝x －1－3(x －2)，解得x ＝2，检验：把x ＝2代入最简公分母，得x －2＝0，∴原方程无解． 方法总结：解分式方程的步骤：①去分母；②解整式方程；③检验；④写出方程的 解．注意检验有两种方法，一是代入原方程，二是代入去分母时乘的最简公分母，一般是 代入公分母检验． 【类型二】 由分式方程的解确定字母的取值范围 关于x 的方程2x ＋a x －1＝1的解是正 数，则a 的取值范围是____________． 解析：去分母得2x ＋a ＝x －1，解得x ＝－a －1，∵关于x 的方程2x ＋a x －1＝1的解是 正数，∴x ＞0且x ≠1，∴－a －1＞0且－a －1≠1，解得a ＜－1且a ≠－2，∴a 的取值范围是a ＜－1且a ≠－2. 方法总结：求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0. 探究点三：分式方程的增根 【类型一】 求分式方程的增根 若方程 3x －2＝a x ＋4x （x －2） 有增
分式方程实际问题
分式方程应用题专题 行程问题 1、温（州）--福（州）铁路全长298千米．将于2009年6月通车，通车后，预计从福州直达温州的 火车行驶时间比目前高速公路上汽车的行驶时间缩短2小时．已知福州至温州的高速公路长331千米，火车的设计时速是现行高速公路上汽车行驶时速的2倍．求通车后火车从福州直达温州所用的时间（结果精确到0.01小时）． 2、甲、乙两火车站相距1280千米，采用“和谐”号动车组提速后，列车行驶速度是原来速度的3.2倍，从甲站到乙站的时间缩短了11小时，求列车提速后的速度． 3、今年4月18日，我国铁路实现了第六次大提速，这给旅客的出行带来了更大的方便．例如，京沪线全长约1500公里，第六次提速后，特快列车运行全程所用时间比第五次提速后少用8 7 1 小时．已知第六次提速后比第五次提速后的平均时速快了40公里，求第五次提速后和第六次提速后的平均时速各是多少？ 工程问题 4、张明与李强共同清点一批图书，已知张明清点完200本图书所用的时间与李强清点完300本图书 所用的时间相同，且李强平均每分钟比张明多清点10本，求张明平均每分钟清点图书的数量． 5、甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10 天就能完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的4 5， 求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天？ 6、A 、B 两地相距18公里，甲工程队要在A 、B 两地间铺设一条输送天然气管道，乙工程队要在A 、B 两地间铺设一条输油管道．已知甲工程队每周比乙工程队少铺设1公里，甲工程队提前3周开工，结果两队同时完成任务，求甲、乙两工程队每周各铺设多少公里管道？ 7．（2015?大连）甲、乙两人制作某种机械零件，已知甲每小时比乙多做3个，甲做96个所用的时间与乙做84个所用的时间相等，求甲、乙两人每小时各做多少个零件？ 利润问题 8．（2015?随州）端午节前夕，小东的父母准备购买若干个粽子和咸鸭蛋（每个粽子的价格相同，每个咸鸭蛋的价格相同）．已知粽子的价格比咸鸭蛋的价格贵1.8元，花30元购买粽子的个数与花12元购买咸鸭蛋的个数相同，求粽子与咸鸭蛋的价格各多少？ 9．（2015?哈尔滨）华昌中学开学初在金利源商场购进A 、B 两种品牌的足球，购买A 品牌足球花费了2500元，购买B 品牌足球花费了2000元，且购买A 品牌足球数量是购买B 品牌足球数量的2倍，已知购买一个B 品牌足球比购买一个A 品牌足球多花30元． （1）求购买一个A 品牌、一个B 品牌的足球各需多少元？ （2）华昌中学响应习总书记“足球进校园”的号召，决定两次购进A 、B 两种品牌足球共50个，恰逢金利源商场对两种品牌足球的售价进行调整，A 品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B 品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A 、B 两种品牌足球的总费用不超过3260元，那么华昌中学此次最多可购买多少个B 品牌足球？
分式方程教案
课题：分式方程(一) 学习目标：1．了解分式方程的概念, 和产生增根的原因. 2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根. 学习重点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根. 学习难点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根. 学习过程： 一、预习新知： 1、前面我们已经学习了哪些方程？是怎样的方程？如何求解？ （1）前面我们已经学过了 方程。 （2）一元一次方程是 方程。 （3）一元一次方程解法 步骤是：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1。 如解方程： 16 3 242=--+x x 2、探究新知：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流100千米所用时间，及以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 分析：设江水的流速为v 千米/时，根据“两次航行所用时间相同”这一等量关系， 得到方程： v v -=+2060 20100. 像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程。 分式方程及整式方程的区别在哪里？通过观察发现得到这两种方程的区别在于未知数是否在分母上。未知数在分母的方程是分式方程。未知数不在分母的方程是整式方程。前面我们学过一元一次方程的解法，但是分式方程中分母
含有未知数，我们又将如何解？ 解分式方程的基本思路是将分式方程转化为 方程，具体的方法是去分母，即方程两边同乘以最简公分母。 如解方程： v +20100=v -2060 …………………… ① 去分母：方程两边同乘以最简公分母（20+v ）（20-v ），得 100（20-v ）=60（20+v ）……………………② 解得 v=5 观察方程①、②中的v 的取值范围相同吗？ ① 由于是分式方程v ≠±20,而②是整式方程v 可取任何实数。 这说明，对于方程①来说，必须要求使方程中各分式的分母的值均不为0.但变形后得到的整式方程②则没有这个要求。如果所得整式方程的某个根，使原分式方程中至少有一个分式的分母的值为0，也就是说，使变形时所乘的整式的值为0，它就不适合原方程，即是原分式方程的增根。因此，解分式方程必须验根。 如何验根：将整式方程的根代入最简公分母，看它的值是否为0.如果为0即为增根。 如解方程： 51-x =25 10 2-x 。 分析：为去分母，在方程两边同乘最简公分母()()55x x -+， 得整式方程 510x += 解得 5x = 将5x =代入原方程的最简公分母检验，发现这时分母5x -和225x -的值都是0，相应的分式无意义。因此，5x =虽是整式方程的解，但不是原分式方程的解。实际上，这个方程无解。 二、课堂展示 解方程： () 5312 22x x x x -=-- [分析]找对最简公分母x(x-2),方程两边同乘x(x-2),把分式方程转化为整式方程，整式方程的解必须验根
列分式方程解决实际问题教案
《列分式方程解决实际问题》教案 教学内容：列分式方程解决实际问题 教学目标： 1、会列出分式方程解决简单的实际问题 2、能根据实际问题的意义检验所得的结果是否合理. 教学重点：列分式方程解决实际问题 教学难点：根据实际问题的意义检验所得的结果是否合理 教学方法：自主探究，合作交流 教学过程： 一、新课引入 甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个零件所用的时间和乙做60个零件所用的时间相等，求甲、乙每小时各做多少个零件？ 引导学生思考： 1、 如果设甲一小时做X 个零件,那么乙一小时做多少个零件？ 2、 甲做x 个零件需要多少时间？乙做（x+6）个零件需要多少时间？ 3、 根据什么等量关系列方程呢？ 二、新课探究 1、列分式方程解应用题的一般步骤 （1）.审:分析题意,找出数量关系和相等关系. （2）.设:选择恰当的未知数,注意单位和语言完整. （3）.列:根据数量和相等关系,正确列出方程. （4）.解:认真仔细解这个分式方程. （5）.验:检验. （6）.答:注意单位和语言完整. 2、例1 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快? 引导学生分析 甲队1个月完成总工程的 ,设乙队如果单独施工1个月完成总工程的 ,那么甲队 半个月完成总工程的_____,乙队半个月完成总工程的_____,两队半个月完成总工程 的_______ . 解：设乙队如果单独施工1个月完成总工程的 .依题意得 方程两边同乘6x,得2x+x+3=6x ， 解得 x=1. 检验:x=1时6x ≠0,x=1是原分式方程的解 答：由上可知,若乙队单独施工1个月可以完成全部任务, 而甲队1个月完成总工程的 ,可知乙队施工速度快. 3、例2 某列车平均提速v km/h ，用相同的时间，列车提速前行驶s km ，提速后比提速前多行驶50 km ，提速前列车的平均速度为多少？ 分析：这里的v ，s 表示已知数据，设提速前列车的平均速度为x km/h ，先考虑下面的填空： 提速前列车行驶s km 所用的时间为 h ，提速后列车的平均速度为 km/h ，提速后列1111,362x ++=x 1
分式方程应用题销售问题
销售问题 1.（2014?山东威海）端午节期间，某食堂根据职工食用习惯，用700元购进甲、乙两种粽子260个，其中甲粽子比乙种粽子少用100元，已知甲种粽子单价比乙种粽子单价高20%，乙种粽子的单价是多少元？甲、乙两种粽子各购买了多少个？ 2.（2014?山东烟台）山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．求今年A型车每辆售价多少元？ 3. （2014?湖南张家界）国家实施高效节能电器的财政补贴政策，某款空调在政策实施后．每购买一台，客户每购买一台可获补贴500元．若同样用11万元所购买此款空调，补贴后可购买的台数比补贴前前多20%，则该款空调补贴前的售价为每台多少元？ 4.（2014?江苏徐州）几个小伙伴打算去音乐厅观看演出，他们准备用360元购买门票．下面是两个小伙伴的对话： 根据对话的内容，请你求出小伙伴们的人数． 5.（2014?四川内江）某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元． （1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？ （2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？ 6. （2014?黑龙江哈尔滨）荣庆公司计划从商店购买同一品牌的台灯和手电筒，已知购买一个台灯比购买一个手电筒多用20元，若用400元购买台灯和用160元购买手电筒，则购买台灯的个数是购买手电筒个数的一半． （1）求购买该品牌一个台灯、一个手电筒各需要多少元？ （2）经商谈，商店给予荣庆公司购买一个该品牌台灯赠送一个该品牌手电筒的优惠，如果荣庆公司需要手电筒的个数是台灯个数的2倍还多8个，且该公司购买台灯和手电筒的总费用不超过670元，那么荣庆公司最多可购买多少个该品牌台灯？ 7. （2014?广东）某商场销售的一款空调机每台的标价是1635元，在一次促销活动中，按标价的 八折销售，仍可盈利9%． （1）求这款空调每台的进价（利润率==）． （2）在这次促销活动中，商场销售了这款空调机100台，问盈利多少元？
人教版八年级上册数学教案-解分式方程
解分式方程 教学目标 1．了解分式方程的概念，和产生增根的原因. 2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一 个数是不是 原方程的增根. 重点难点 1．重点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根. 2．难点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方 程的增根. 3．认知难点与突破方法 解可化为一元一次方程的分式方程，也是以一元一次方程的解法为基础，只是需把分式方程化成整式方程，所以教学时应注意重新旧知识的联系与区别，注重渗透转化的思想，同时要适当复习一元一次方程的解法．至于解分式方程时产生增根的原因只让学生了解就可以了，重要的是应让学生掌握验根的方法. 要使学生掌握解分式方程的基本思路是将分式方程转化整式方程，具体的方法是“去分母”，即方程两边统称最简公分母. 要让学生掌握解分式方程的一般步骤： 教学过程 一、例、习题的意图分析 1．[思考]提出问题，引发学生的思考，从而引出解分式方程的解法以及产生增根的原因. 2．[归纳]明确地总结了解分式方程的基本思路和做法. 3．[思考]提出问题，为什么有的分式方程去分母后得到的整式方程的解就是原方程的解，而有的分式方程去分母后得到的整式方程的解就不是原方程的
解，引出分析产生增根的原因，及归纳出检验增根的方法. 4．教科书习题15.3第2题是含有字母系数的分式方程，对于学有余力的学生，教师可以点拨一下解题的思路与解数字系数的方程相似，只是在系数化1时，要考虑字母系数不为0，才能除以这个系数. 这种方程的解必须检验. 二、课堂引入 1．回忆一元一次方程的解法，并且解方程 16 3242=--+x x 2．提出本章引言的问题： 一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 分析：设江水的流速为v 千米/时，根据“两次航行所用时间相同”这一等量关系，得到方程v v -=+206020100. 像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程. 三、例题讲解 （教科书）例1 解方程 [分析]找对最简公分母x(x-3)，方程两边同乘x(x-3)，把分式方程转化为整式方程，整 式方程的解必须检验. 这道题还有解法二：利用比例的性质“内项积等于外项积”，这样做也比较简便. （教科书）例2 解方程 [分析]找对最简公分母(x-1)(x+2)，方程两边同乘(x-1)(x+2)时，学生容易把整数1漏乘最简公分母(x-1)(x+2)，整式方程的解必须检验. 四、随堂练习 解方程： (1)623-=x x （2）1 613122-=-++x x x （3）114112=---+x x x （4）22 122=-+-x x x x 五、课后练习 1．解方程： (1) 01152=+-+x x (2) x x x 38741836---=- (3)01432222=---++x x x x x (4) 4322511-=+-+x x
第2课时 列分式方程解决实际问题
第2课时列分式方程解决实际问题 要点感知列分式方程解应用题的一般步骤： (1)审：审清题意，弄清______和______的关系； (2)找：找出题目中的______； (3)设：根据题意设出______； (4)列：列出______； (5)解：解这个______； (6)验：检验，既要检验所求的解是否为所列分式方程的解，又要检验所求的解是否符合实际意义； (7)答：写出______. 预习练习甲队修路120 m与乙队修路100 m所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10 m，设甲队每天修路x m.依题意，下面所列方程正确的是( ) 知识点1 列分式方程解应用题 1.某村计划新修水渠3 600米，为了让水渠尽快投入使用，实际工作效率是原计划工作效率的1.8倍，结果提前20天完成任务，若设原计划每天修水渠x米，则下面所列方程正确的是( ) 2.(扬州中考)某漆器厂接到制作480件漆器的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多50%，结果提前10天完成任务.原来每天制作多少件？ 知识点2 列分式方程解决行程问题 3.(乐山中考)甲、乙两队同时分别从A、B两地沿同一条公路骑自行车到C地，已知A、C两地间的距离为110千米， B、C两地间的距离为100千米，甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时,结果两人同时到达C地,求两人的平均速度.为解决此问题,设乙骑自行车的平均速度为x千米/时,由题意列出方程,其中正确的是( ) 4.轮船顺水航行40千米所需的时间与逆水航行30千米所需的时间相同.已知水流速度为3千米/时，设轮船在静水中的速度为x千米/时，可列方程为______. 5.(襄阳中考)甲、乙两座城市的中心火车站A，B两站相距360 km.一列动车与一列特快列车分别从A，B两站同时出发相向而行，动车的平均速度比特快列车快54 km/h，当动车到达B站时，特快列车恰好到达距离A站135 km处的C站.求动车和特快列车的平均速度各是多少？
分式方程及其解法教案
一、导入新课 复习：前面我们已经学习了哪些方程？是怎样的方程？如何求解？ （1）前面我们已经学过了 方程。 （2）一元一次方程是 方程。 （3）一元一次方程解法 步骤是：①去___；②去____；③移项；④合并_____；⑤_____化为1。 如解方程：16 3242=--+x x 二、教学新课 1.探究新知：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 分析：设江水的流速为v 千米/时，根据“两次航行所用时间相同”这一等量关系， 得到方程：______________________ . 像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程。 分式方程与整式方程的区别在哪里？通过观察发现得到这两种方程的区别在于未知数是否在分母上。未知数在_____的方程是分式方程。未知数不在分母的方程是____方程。前面我们学过一元一次方程的解法，但是分式方程中分母含有未知数，我们又将如何解？ 解分式方程的基本思路是将分式方程转化为 方程，具体的方法是去分母，即方程两边同乘以最简公分母。 如解方程：v +20100=v -2060 …………………… ① 去分母：方程两边同乘以最简公分母_____________，得 100（20-v ）=60（20+v ）……………………② 解得 V=_______. 观察方程①、②中的v 的取值范围相同吗？ ① 由于是分式方程v ≠_______, ② 而②是整式方程v 可取_____实数。
这说明，对于方程①来说，必须要求使方程中各分式的分母的值均不为0.但变形后得到的整式方程②则没有这个要求。如果所得整式方程的某个根，使原分式方程中至少有一个分式的分母的值为0，也就是说，使变形时所乘的整式的值为0，它就不适合原方程，即是原分式方程的增根。因此，解分式方程必须___根。 如何验根：将整式方程的____代入最简公分母，看它的值是否为_____.如果为0即为_______。 2.例 解方程： 51-x =25 102-x 。 解：方程两边同乘最简公分母为________， 得整式方程 510x += 解得： 5x = 检验：当5x =时， （5x -）（x+5）=0。 所以5x =不是原分式方程的解，原方程无解。 3.练一练： 4.例题讲解 解方程： () 531222x x x x -=-- 总结：解分式方程的一般步骤是： 1．“化”.在方程两边同乘以最简公分母，化成 方程； 2.“解”即解这个 方程； 3.“检验”：即把 方程的根代入 。如果值 ，就是原方程的根；如果值 ，就是增根，应当 。 5.练习： 解方程 ：注意：找对最简公分母,去分母时别忘漏乘1 1、 532x x =- 2 、 15144x x x --=-- 3、 2324111 x x x +=+-- 4、 63041x x -=+- 5、 23132--=--x x x 6、 1211422+=+--x x x x x 三、课堂小结 总结分式方程的求解过程，用框图方式总结。 四、作业布置 自我检测 五、板书设计 分式方程及其解法 “化” 51-x =25 102-x 。 “解” 解：方程两边同乘最简公分母为________， “检验” 得整式方程 510x += 解得： 5x = 检验：当5x =时， （5x -）（x+5）=0。 所以5x =不是原分式方程的解，原方程无解。
八年级数学上册-用分式方程解决实际问题教案新版新人教版
第2课时用分式方程解决实际问题 【知识与技能】 能构建分式方程解决实际应用问题. 【过程与方法】 经历“实际问题——构建分式方程模型——解决实际应用问题”的过程,进一步体会数学建模思想,培养学生的数学应用意识,发展学生分析问题、解决问题的能力. 【情感态度】 在构建分式方程解决实际问题的过程中,体验数学的应用价值,提高数学学习兴趣. 【教学重点】 构建分式方程解决实际应用问题. 【教学难点】 依据实际问题构建分式方程模型. 一、情境导入,初步认识 问题解分式方程的一般步骤是怎样的？为什么解分式方程过程中一定要检验？ 【教学说明】让学生回顾分式方程的解法,为利用分式方程的实际应用问题作好准备.教师再解释分式方程必须检验的原因,加深印象. 教师讲课前,先让学生完成“自主预习”. 二、典例精析,掌握新知 例1两个工程队共同参与一项筑路工程,甲队单独施工1个月完成总工程的13,这时增加了乙队,两队又共同工作了半个月,总工程全部完成.哪个队的施工速度快？ 【分析】由题意可知甲队单独施工1个月完成工程量是1 3 ,如果能知道乙队单独施工1 个月所完成的工程量,就可以比较两边的施工速度.因此可以设出乙队单独施工1个月完成 的工程量为1 x ,进而列出方程为 1 3 + 1 2 ( 1 3 + 1 x )=1,解这个方程,求出未知数值后,经检验,得 到问题的答案. 解:设乙队单独施工1个月能完成总工程的1 x .记总工程量为1,根据工程的实际进度, 得 1 3+ 1 6 + 1 2x =1.
方程两边乘6x,得 2x+x+3=6x. 解得 x=1. 检验:当x=1时,6x ≠0. 所以,原分式方程的解为x=1. 由上可知,若乙队单独施工1个月可以完成全部任务,对比甲队1个月完成任务的13,可知乙队的施工速度快. 【教学说明】解答过程可由学生自己完成,注意给出分式方程的检验过程. 例2某次列车平均提速vkm/h.用相同的时间,列车提速前行驶skm,提速后比提速前多行驶50km,提速前列车的平均速度为多少？ 【分析】对于题目中出现的字母v 和s,我们都应把它当作已知数据.根据问题的需要,可说提速前的速度为x 千米/时,则提速后速度为(x+v)千米/时,再利用相同时间内,提速前行驶s 千米,提速后可行驶（s+50）千米,建立关于x 的分式方程为50s s x v x +=+ ,并予以求解及进行检验.在检验时可利用实际问题中s>0,v>0来进行判断即可得出结论. 解:设提速前这次列车的平均速度为xkm/h,则提速前它行驶skm 所用时间为sxh,提速后它行驶（s+50）km 所用时间为50s v x ++h. 根据行驶时间的等量关系,得 50s s x v x +=+. 方程两边乘x(x+v),得s （x+v ）=x(s+50). 解得x=50 sv . 检验:由v,s 都是正数,得x= 50sv 时x （x+v ）≠0. 所以,原分式方程的解为x=50 sv . 答:提速前列车的平均速度为 50sv km/h. 【教学说明】解答过程由学生自己完成,教师巡视,发现问题,及时沟通,让学生养成独立思考习惯,学会分析问题,解决问题.在评讲时教师应针对本节的实际背景下的s>0,v>0进行必要说明. 三、运用新知,深化理解