6.4.1 反三角函数(含答案)

【课堂例题】

例1.写出下列角的弧度数：

(1)

1 arcsin

2

=

(2)arcsin1=

(3)arcsin(

2

=

(4)arcsin0=

例2.求下列各式中的角(用反正弦表示)：

(1)

2

sin,[,]

522 x x

ππ

=∈-

(2)

1

sin,[0,]

3

x xπ

=∈

课堂练习

1.求值：

(1)arcsin(1)

-=

(2)arcsin(=

(3)arcsin0.457=(利用计算器，精确到0.01)

(4)sin(arcsin0.6)=

2.求下列各式中的角x

(1)

3

sin,[0,]

42

x x

π

=∈(2)

1

sin,[0,2]

7

x xπ

=-∈

3.不使用计算器计算：

(1)

1

cos(2arcsin)

3

(2)

11

sin[arcsin arcsin()]

34

+-

(3)

1

tan(arcsin0.8)

2

4.已知[1,1]

x∈-，求证：

arcsin()arcsin

x x

-=-

【知识再现】

1.一般地，对于正弦函数sin y x =，如果已知函数值([1,1])y y ∈-，那么在 上有唯一的x 值和它对应，记为arcsin x y =，称x 为y 的 .

2.arcsin ([1,1])y y ∈-表示一个 的角.

【基础训练】

1.填空：

arcsin

2

= ；1arcsin()2-= ;

arcsin1= ；arcsin(2-= . 2.填空：

1sin(arcsin )4

= ； cos(arcsin1)= . 3.计算下列各角的弧度数(精确到0.0001)

(1)arcsin 0.2672≈ ；

(2)arcsin(0.3322)-≈ .

4.ABC ∆中， 如果3cos 5A =-

，那么A 用反正弦函数可以表示为 . 5.用反正弦函数表示下列角x ：

(1)sin [,]22x x ππ=

∈-； (2)1sin ,[,]42x x ππ=∈;

(3)1

3sin ,[,]32

x x ππ=-∈

6.不使用计算器计算：

(1)1sin(2arcsin )3; (2)5cos(arcsin

arcsin )213-；

(3)11tan[arcsin()]24-； (4)3cot(arcsin )7

.

7.计算并回答问题：

arcsin(sin )3

π= ；arcsin(sin1)= ； 5arcsin(sin )6π= ；arcsin[sin()]5

π-= . 请问arcsin(sin )x x =成立的充要条件是什么？(无需证明)

【巩固提高】

8.在ABC ∆中，已知1

arcsin 5A =，5

arcsin 13B =，

求C 的精确值和近似值(精确值用反正弦来表示，近似值保留3位小数).

9.求证：3

4

arcsin arcsin 552π

+=

(选做)10.(1)求证：当[,]22x π

π

∈-时，arcsin(sin )x x =.

(2)已知sin ,[1,1],[2,2],22x a a x k k k Z ππ

ππ=∈-∈-+∈，求x .

【温故知新】

11.已知函数()lg(31),[0,3]f x x x =+∈，求1()f x -.

【课堂例题答案】

例1.(1)

6π；(2)2

π；(3)4π-；(4)0. 例2.(1)2arcsin 5x =;(2)1arcsin 3x =或1arcsin 3x π=- 【课堂练习答案】 1.(1)2π

-;(2)3

π-;(3)0.47;(4)0.6 2.(1)3arcsin 4x =;(2)1arcsin 7x π=+或12arcsin 7

π-

3.(1)79;(2)12

;(3)12 4.证：sin[arcsin()]x x -=-，sin(arcsin )sin(arcsin )x x x -=-=- 又arcsin()[,],arcsin [,]2222x x ππππ-∈--∈-且sin y x =在[,]22ππ-上是单调增函数， 因此arcsin()arcsin x x -=- 证毕

【知识再现答案】 1.[,]22ππ-

，反正弦函数 2.[,]22

ππ-上且正弦值为y 【习题答案】 1.,,,3624

π

πππ-- 2.1,04

3.(1)0.2705;(2)0.3386-

4.4arcsin 5

π-

5.(1)arcsin 5

x =;(2)1arcsin 4x π=-;(3)1arcsin 3x π=+

6.(1)9;(2)264

7.,1,,365πππ-,[,]22

x ππ∈-

8. 2.545145.843C rad π=-≈≈ 9.证：33sin(arcsin )55=，443sin(arcsin )cos(arcsin )2555

π-== 又34arcsin [,],arcsin [,]5222522πππππ∈--∈-，因此34arcsin arcsin 525

π=- 证毕 10.(1)证：arcsin(sin )[,],[,]2222x x ππππ

∈-

∈-，又sin[arcsin(sin )]sin x x = 因此arcsin(sin )x x = 证毕