第三章 随机信号分析 总结

第三章 总结

对随机的东西只能作统计描述。

1).统计特性（ 概率密度与概率分布）；

2).数字特征（ 均值、方差、相关函数等）。

节1 随机过程概念

一、随机过程定义

二、随机过程统计特性的描述

1.随机过程的概率分布函数

2.随机过程的概率密度函数

三、随机过程数字特征的描述

1、数学期望：

性质：① E[k] = k

② E[ξ(t) + k] = E[ξ(t)] + k

③ E[ kξ(t)] = k E[ξ(t)]

④ E[ξ

1(t) + …+ξ

n

(t)] = E[ξ

1

(t)] + …+E[ ξ

n

(t)]

⑤ ξ

1(t)与ξ

2

(t)统计独立时，E[ξ

1

(t)ξ

2

(t)] = E[ξ

1

(t)] E[ξ

2

(t)]

2、方差：

性质：① D[k] = 0

② D[ξ(t) + k] = D[ξ(t)]

③ D[kξ(t)] = K2 D[ξ(t)]

④ξ

1(t)ξ

2

(t)统计独立时， D[ξ

1

(t)+ξ

2

(t)] = D[ξ

1

(t)] + D[ξ

2

(t)]

3、相关函数和协方差函数

节2 平稳随机过程概念 一、定义：狭义平稳、广义平稳 广义平稳条件：

① 数学期望与方差是与时间无关的常数；

② 相关函数仅与时间间隔有关。

二、性能讨论

1、各态历经性（遍历性）：其价值在于可从一次试验所获得的样本函数 x(t) 取时间平均来得到它的数字特征（统计特性）

2、相关函数R(τ)性质

① 对偶性（偶函数） R(τ)=E[ξ(t)ξ(t+τ)]=E[ξ(t

1-τ)ξ(t

1

)]= R(-τ)

② 递减性 E{[ξ(t) ±ξ(t+τ)]2}

= E[ξ2(t)±2 ξ(t) ξ(t+τ) + ξ2(t+τ) ]

= R(0)±2R(τ) + R(0) ≥ 0

∴R(0)≥±R(τ) R(0)≥|R(τ)|

即τ=0 处相关性最大

③ R（0）为 ξ ( t ) 的总平均功率。

④ R(∞)=E2{ξ(t)}为直流功率。

⑤ R(0) - R(∞)= E[ξ 2(t)]- E2[ξ(t)]=σ2为交流功率

3、功率谱密度Pξ(ω)

节3 几种常用的随机过程

一、高斯过程

定义: 任意n维分布服从正态分布的随机过程ξ(t)称为高斯过程（或正态随机过程）。

① 高斯过程统计特性是由一、二维数字特征[a

k, δ

k

2, b

jk

]决定的

②若高斯过程满足广义平稳条件，也将满足狭义平稳条件。

③若随机变量两两间互不相关，则各随机变量统计独立。二、零均值窄带高斯过程

定义、零均值平稳高斯窄带过程

同相随机分量 ξ

c (t), 正交随机分量 ξ

s

(t)

结论：零均值窄带高斯平稳过程 ξ( t ) ，其同相分量 ξ

c ( t ) 和正交分量 ξ

s

( t )

同样是平稳高斯过程，均值为0，方差也相同( σξ2 ) , 且同一时刻的 ξc ( t ) , ξ ( t ) 互不相关，统计独立。 三、宽带随机过程——白噪声

定义：功率谱密度P ξ(ω)在整个频率域范围内都是均匀的噪声称为白噪声。 P ξ(ω)=n o /2 n o (瓦/赫兹)为单边功率谱密度 四、正弦波加窄带高斯过程

结论：正弦波加窄带高斯过程 r(t) ，其包络 z(t) 服从广义瑞利分布，信噪比很小时，它趋于瑞利分布；信噪比很大时，趋于高斯分布。其相位Φ(t)分布较复杂，当信噪比由小变大时，其密度函数变化趋势为：由均匀到一个取值集中于Φ =0附近的函数。

节4 随机过程的线性系统响应

1、均值： E[ξo (t)] = aH(0)

2、自相关函数：

()[输入广义平稳，则输出广义平稳 3、功率谱密度：

4、ξo (t)的分布：若ξi (t)为高斯过程，则无限多个正态随机变量之和，仍为正态随机变量。高斯随机过程通过线性系统仍为高斯随机过程。

()()]τξξτ+=+t t E t t R o o o ,2

|)ω()()(|)(ωττωξωτξH P d e R P i

o j o ==

−+∞

∞

−∫