二重积分与二次积分ppt

a
j(x)
D
b
x= j2(y)
注：若左、右边界曲线中有分段曲线，比如左边界曲线是分段曲线：
x
=
j
(
y)
=
j1 j 2
( y) ( y)
a yc ， c yb
D c
Байду номын сангаас
x= j1(y)
x= y(y)
则
f (x, y)d =
c
dy
y (x)
f (x, y)dx
b
dy
y (x)
f (x, y)dy
b
dx
y (x) f (x, y)dy 。
a
j1 ( x)
c
j2 (x)
D
O
y= y(x)
D
y= j1(x)
a
y= j2(x)
c
bx
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结束
2．将二重积分化为先对x 后对y 的二次积分
第一步：根据已知条件画出积分区域D的图形。
第二步：将区域D向x轴投影，得到投影区间[a, b]。
第三步：确定区域D的上下边界曲线。
设下边界曲线为y= j(x)，上边界曲线为y= y(x)，且上、下边界曲线都不是分段曲线。
第四步：写出二次积分
y
f (x, y)d =
b
dy
y (x) f (x, y)dx 。
a
j(x)
b
D
x= j(y)
a O
D
x= y(y)
x
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2．将二重积分化为先对x 后对y 的二次积分
1．将二重积分化为先对y 后对x 的二次积分
第一步：根据已知条件画出积分区域D的图形。
第二步：将区域D向x轴投影，得到投影区间[a, b]。
第三步：确定区域D的上下边界曲线。
设下边界曲线为y= j(x)，上边界曲线为y= y(x)，且上、下边界曲线都不是分段曲线。
第四步：写出二次积分
f (x, y)d =
b
dx
y (x) f (x, y)dy 。
a
j(x)
D
y
y= y(x)
D
Oa
y= j(x)
bx
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1．将二重积分化为先对y 后对x 的二次积分
第一步：根据已知条件画出积分区域D的图形。
第二步：将区域D向x轴投影，得到投影区间[a, b]。
第三步：确定区域D的上下边界曲线。
设下边界曲线为y= j(x)，上边界曲线为y= y(x)，且上、下边界曲线都不是分段曲线。
y (x) f (x, y)dx 。
a
j1 ( x)
c
j2 (x)
a
D
O
x
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结束
第一步：根据已知条件画出积分区域D的图形。
第二步：将区域D向x轴投影，得到投影区间[a, b]。
第三步：确定区域D的上下边界曲线。
设下边界曲线为y= j(x)，上边界曲线为y= y(x)，且上、下边界曲线都不是分段曲线。
第四步：写出二次积分
y
f (x, y)d =
b
dy
y (x) f (x, y)dx 。
第四步：写出二次积分
y
f (x, y)d =
b
dx
y (x) f (x, y)dy 。
a
j(x)
D
注：若上、下边界曲线中有分段曲线，比如下边界曲线是分段曲线：
y
=
j
(x)
=
j1 (x) j 2 (x)
axc， c xb
则
f (x, y)d =
c
dx