二重积分与二次积分ppt
合集下载
二重积分计算法ppt详解.
8 R(R2 x2)dx16 R3 .
0
3
【例6】求由曲面 z x2 2 y2及 z 6 2x2 y2
所围成的立体的体积。
二、利用极坐标计算二重积分
有些二重积分, 其积分区域D或其被积函数用极
坐标变量 、q 表达比较简单. 这时我们就可以考虑
利用极坐标来计算二重积分.
我们用从极点O出发的一族射线与以极点为中心的一族 同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域.
②积分区域D为Y—型区域
如果区域D可以表示为不等 1( y) x 1( y), cyd,则称区域D为Y型区域.
y0
y0
y0
y0
直线 y y0(c x0 d)与D的边界至多有两个交点
③积分区域D 既是X—型，也是Y—型
④积分区域D 既不是X—型，也不是Y—型 ——转化成X—型或Y—型
❖二重积分的计算—利用已知平行截面面积的立体求体积
a
g ( x)dx][
d
h( y)dy]
a
c
b
c
D
❖计算二重积分的步骤
(1)画出积分区域D的草图. (2)用不等式组表示积分区域D. (3)把二重积分表示为二次积分
如果D是X型区域 j1(x)yj2(x), axb, 则
f (x, y)d
b
dx
j2(x) f (x, y)dy .
D
a j1(x)
V
b
A(x)dx
b
[
j2(x) f (x, y)dy]dx .
a
a j1(x)
提示
根截此据面时平是二行以重截区积面间分面[jD积1f(x(为x0,),y已)dj知2(x在的0)几立]为何体底上体、表积以示的以曲求曲线法面z. fz(xf(0x,
二重积分
1 画出区域 D 图形
2 xy d x d y , D : y x 与 y x 所围区域 D
2 先对 y 积分（从下到上）
y
xydxdy dx x xydy
x
1
D
xdx ydy
x
x
1 1 1 3 5 ( x x )dx 24 2 0
19. 把 I
D1
0
先对 x 积分 （不分块儿行吗？）
1
x
I
D1 D2
D2 x = y +1
.
dy
y
y
f ( x, y )dx
f ( x, y )dx
–1
. .
dy
11. 将二重积分化成二次积分 D: 由四条直线 : x=3，x=5, y 3x – 2y+4 = 0, 3x –2y+1 = 0 19 2 共同围成的区域 先对y积分
D
D:
0 r r ( )
0 2
0
r ( )
r
.
D
I
f ( x , y )dxdy
D
r (θ )
0
f (r cosθ , r sinθ )rdr
18. 怎样利用极坐标计算二重积分(2) I 极点位于区域 D 的内部
f ( x , y )d xdy
D
f ( x , y )d xdy
D
D:
0 r r ( )
0 2
r ( )
r
0 r
D
2 xy d x d y , D : y x 与 y x 所围区域 D
2 先对 y 积分（从下到上）
y
xydxdy dx x xydy
x
1
D
xdx ydy
x
x
1 1 1 3 5 ( x x )dx 24 2 0
19. 把 I
D1
0
先对 x 积分 （不分块儿行吗？）
1
x
I
D1 D2
D2 x = y +1
.
dy
y
y
f ( x, y )dx
f ( x, y )dx
–1
. .
dy
11. 将二重积分化成二次积分 D: 由四条直线 : x=3，x=5, y 3x – 2y+4 = 0, 3x –2y+1 = 0 19 2 共同围成的区域 先对y积分
D
D:
0 r r ( )
0 2
0
r ( )
r
.
D
I
f ( x , y )dxdy
D
r (θ )
0
f (r cosθ , r sinθ )rdr
18. 怎样利用极坐标计算二重积分(2) I 极点位于区域 D 的内部
f ( x , y )d xdy
D
f ( x , y )d xdy
D
D:
0 r r ( )
0 2
r ( )
r
0 r
D
重积分—二重积分的计算(高等数学课件)
1
y2
2 1
1 2
x
2
y
y y
2
2
dy
1 2
2 [ 1
y(
y
2)2
y5 ] dy
45 8
x y2
2
o1 (1,1)
y x2 (4,2)
x
课程小结
本讲主要讲了X型区 域和Y型区域的区 分，通过例题学习 在两种区域下二重 积分转化成累次积 分的计算方法。
重积分
直角坐标系中二重积分的计算 （三）
知识点讲解
1.一般型区域
1.二元极限定义
边界为分段光滑曲线的有界闭域,一般可把它分解成有限个除边界外无公共
内点的 X 型区域或 Y 型区域.
y
如图a 所示, D 被分解成三个区域, 其中I 、III 为X 型
区域,II 为 Y 型区域.
III
II D
I
O
x
图a
2.例题分析
1.二元函数极限
例1 设 D ( x, y) 2x x2 y2 4x , f ( x, y) 为 D上的连
y
D2 ( x, y) 4x x2 y 2x x2 ,0 x 2 , O
D3 ( x, y) 4x x2 y 4x x2 , 2 x 4 .
所以有
I
2
dx
4 x x2
2
2xx2
f ( x, y)dy dx
f ( x, y)dy
0
2 x x2
0
4xx2
变换公式
i
1 2
(ri
ri )2 i
1 2
ri2i
1 2
(2ri
ri )rii
ririi
二重积分与二次积分
二重 积分 出现 ， 不少读 者误 以为二 重积分 与二次 积分 是一 回事 ， 一些 问题 的解 答 出现 了错 误或 使 对
迷惑 。
，
例 １计算积分 ｌ ｘｌ ： ｄ
Ｊ０ Ｊ Ｌ
ｄ。 ｙ
所 围 成 的 积
有 的 同 学 用 交 换 积 分 顺 序 方 法 作 ， 此 他 将 此 二 次 积 分 错 误 地 为 视 为二重积 分 。 域 得在 ０ 画 ≤ ≤ １ 由 一 １ Ｙ 上 和 分 域 Ｄ（ 图 ） 是 如 于
识 到应 改变所 得结果 的符 号 。 当我们 追阃他 们为 什么时 ， 又觉 得很难 说 清 楚 便
其实 二 积 是 续 二 定 分 当 们 定 一ｒ（ ｄ之 ， 出 个 ，次 分 连 作 次 积 ，我 规 ｆ（ｄ一 ， ） 后 给 一 定 ，） ｒ
积 时 分 限一 要 于分 限 而 积 不样重 分ｒ， 中 面元 分 ， 上 不 定太 积下 ； 重 分 一 ， ｆ ）ｄ ， 积 积 然 积Ｊ 其 ｄ
（ 接第 １ 上 ８页 ）
既 然二次 积分 与二 重 积 分不 一样 ， 因此 ， 本题 也 不一 定 要 通过 二 重 积 分 来交 换 积 分 顺 序计 像
算。 比如还可用分部分计算： ｌ 记
ｅ
ｄ ｙ＝Ｆ（ ）则 ｚ，
Ｊ＝ ｄ 胁州ｚ （ 一 圳—
ｍ一 如一 一 ～ 吉
２ 设ｆ ｘ ） ． （， 连续， 交换积分的顺序： ｄ Ｉ ｆｘ ｙｄ ｌ ｘ （，）ｙ
（ 接第 １ 上 ） ７页
这 里 Ｓ ＝ Ｄ２ Ｄ ｎ Ｄ２ 一 Ｄ — Ｄ ｎ Ｄ２ ｌ 一 ，２ Ｓ 。 因 Ｄ 与 Ｄｚ 的面积 相等 ， 均为 ， 故 与 面积 相等 ， 在 上 ， ＋ 。 ＜ ａ ， 在 ： ， ＋ ２ 上
2019年-9-2 二重积分的计算法-PPT精选文档
解 e y 2 d 无 法 用 y 初 等 函 数 表 示
积 分 时 必 须 考 虑 次 序
x2ey2dxdy 1dyyx2ey2dx
D
00
e1 y2 y3dy e 1 y2 y2dy2 1(1 2).
0
3
0
6
6e
8
例10. 关于分块函数在D上的积分. 求| yx|d
a
a2 y2
故本题无法用直角 坐标计算.
14
二、利用极坐标计算二重积分 y
1
1 x
要分部积分，不易计算
若先 x 后 y 则须分片
12
22
Idy yexydx dy yexydx
11 2y
11
易见尽管须分片积分，但
由于被积函数的特点，积 分相对而言也较方便。
D
7
例 9 求 x2e y2dxdy，其中 D 是以(0,0),(1,1),
D
(0,1)为顶点的三角形.
D1
D2
9
11
1x
0dx x (yx)d y0d0 x (xy)dy y
1(1y2x)y1d x 1(xy 1y2)xdx 1
02
x
0
20
y=x
D1
D
D2
1(1x1x2)d x11x2dx 1
02 2
02
3
0
1x
注：分块函数的积分要分块(区域)来积. 另外，带绝对值的函数是分块函数。
y2x y 2xx2
问 ： 从 积 分 域 的 形 状 看 ， 此 域 上 的 积 分 应 选 什 么 样 的 积 分 顺 序 ？
6
例8 计算 y xd e y x ,D :x d 1 ,y x 2 ,y 2 ,x 1 y
积 分 时 必 须 考 虑 次 序
x2ey2dxdy 1dyyx2ey2dx
D
00
e1 y2 y3dy e 1 y2 y2dy2 1(1 2).
0
3
0
6
6e
8
例10. 关于分块函数在D上的积分. 求| yx|d
a
a2 y2
故本题无法用直角 坐标计算.
14
二、利用极坐标计算二重积分 y
1
1 x
要分部积分，不易计算
若先 x 后 y 则须分片
12
22
Idy yexydx dy yexydx
11 2y
11
易见尽管须分片积分，但
由于被积函数的特点，积 分相对而言也较方便。
D
7
例 9 求 x2e y2dxdy，其中 D 是以(0,0),(1,1),
D
(0,1)为顶点的三角形.
D1
D2
9
11
1x
0dx x (yx)d y0d0 x (xy)dy y
1(1y2x)y1d x 1(xy 1y2)xdx 1
02
x
0
20
y=x
D1
D
D2
1(1x1x2)d x11x2dx 1
02 2
02
3
0
1x
注：分块函数的积分要分块(区域)来积. 另外，带绝对值的函数是分块函数。
y2x y 2xx2
问 ： 从 积 分 域 的 形 状 看 ， 此 域 上 的 积 分 应 选 什 么 样 的 积 分 顺 序 ？
6
例8 计算 y xd e y x ,D :x d 1 ,y x 2 ,y 2 ,x 1 y
大学生数学竞赛二重积分.ppt)
f ( x, y)dy
0 1 x
1
2 d
1 f ( cos , sin )d .
0
sin cos
例3. 计算二重积分
x 2 y 2 4 dxdy, D : x 2 y 2 9. y
D
x2 y2 9
D D1 D2 ,
D1 : x 2 y 2 4 ;
D2
D1
xo2 y2 4
于坐标轴的直线网来划分
D
区域 D.
则面积元素为d dxdy 0
x
故二重积分可写为
f x, yd f x, ydxdy
D
D
三、二重积分的性质
（二重积分与定积分有类似的性质）
性质１ 当k为常数时，
kf ( x, y)d k f ( x, y)d .
D
D
性质２
[ f ( x, y) g( x, y)]d
第四讲：二重积分的计算
n
D
f (x, y)
d lim
0
f (i ,i ) i .
i 1
积 分 区 域
被 积 函 数
积 分 变 量
被 积 表 达 式
面 积 元 素
积 分 和
若函数 f ( x, y)在有界闭区域 D 上连续，则二重积分
f ( x, y)d 必定存在.
D
y 在直角坐标系下用平行
直角坐标与极坐标的相互转化公式
x r cos y r sin
x2 y2 r2
dx dy rdrd
将直角坐标系下的二重积分转化为极坐
标系下的二次积分
⑴写出已知 X 型区域：D x, y a x b,1 x y 2 x
⑵将第二个不等式改成等式y=1 x，y=2 x画出两条曲线
0 1 x
1
2 d
1 f ( cos , sin )d .
0
sin cos
例3. 计算二重积分
x 2 y 2 4 dxdy, D : x 2 y 2 9. y
D
x2 y2 9
D D1 D2 ,
D1 : x 2 y 2 4 ;
D2
D1
xo2 y2 4
于坐标轴的直线网来划分
D
区域 D.
则面积元素为d dxdy 0
x
故二重积分可写为
f x, yd f x, ydxdy
D
D
三、二重积分的性质
（二重积分与定积分有类似的性质）
性质１ 当k为常数时，
kf ( x, y)d k f ( x, y)d .
D
D
性质２
[ f ( x, y) g( x, y)]d
第四讲：二重积分的计算
n
D
f (x, y)
d lim
0
f (i ,i ) i .
i 1
积 分 区 域
被 积 函 数
积 分 变 量
被 积 表 达 式
面 积 元 素
积 分 和
若函数 f ( x, y)在有界闭区域 D 上连续，则二重积分
f ( x, y)d 必定存在.
D
y 在直角坐标系下用平行
直角坐标与极坐标的相互转化公式
x r cos y r sin
x2 y2 r2
dx dy rdrd
将直角坐标系下的二重积分转化为极坐
标系下的二次积分
⑴写出已知 X 型区域：D x, y a x b,1 x y 2 x
⑵将第二个不等式改成等式y=1 x，y=2 x画出两条曲线
第6章 二重积分
n
若二重积分
∫∫ f ( x, y)dσ = lim∑ f (ξi ,ηi )∆σ i 存在 λ →o i =1 D
则其值与区域的分法和小区域上点的取法无关， 则其值与区域的分法和小区域上点的取法无关， 故可采用一种便于计算的划分方式 在直角坐标系下， 在直角坐标系下，用平行于坐标轴的直线族把 D分成一些小区域，这些小区域中除去靠 的边界 分成一些小区域， 分成一些小区域 这些小区域中除去靠D的边界 的一些不规则小区域外，绝大部分都是小矩形， 的一些不规则小区域外，绝大部分都是小矩形， 紧靠D的边界的小区域的面积 紧靠 的边界的小区域的面积 ∆σ i ≤ ∆t i ⋅ λ ⇒ ∑ ∆σ j ≤ λL
二重积分
1、二重积分的概念和性质 、 2、利用直角坐标系计算二重积分 、 3、利用极坐标系计算二重积分 、
二重积分的概念和性质
在一元函数积分学中，我们已经知道， 在一元函数积分学中，我们已经知道，定积 分是定义在某一区间上的一元函数的某种特定形 式的和式的极限， 式的和式的极限，由于科学技术和生产实践的发 需要计算空间形体的体积、曲面的面积、 展，需要计算空间形体的体积、曲面的面积、空 间物体的质量等， 间物体的质量等，定积分已经不能解决这类问题 另一方面，从数学逻辑思维的规律出发， ，另一方面，从数学逻辑思维的规律出发，必然 会考虑定积分概念的推广， 会考虑定积分概念的推广，从而提出了多元函数 的积分学问题。 的积分学问题。
j
y
D
o x
其中L为 的围长 其中 为D的围长
⇒
∑ f (ξ j ,η j )∆σ j ≤ M ∑ ∆σ j ≤ MLλ → 0, (λ → 0) j j
dσ = dxdy
则面积元素为
故二重积分可写为
若二重积分
∫∫ f ( x, y)dσ = lim∑ f (ξi ,ηi )∆σ i 存在 λ →o i =1 D
则其值与区域的分法和小区域上点的取法无关， 则其值与区域的分法和小区域上点的取法无关， 故可采用一种便于计算的划分方式 在直角坐标系下， 在直角坐标系下，用平行于坐标轴的直线族把 D分成一些小区域，这些小区域中除去靠 的边界 分成一些小区域， 分成一些小区域 这些小区域中除去靠D的边界 的一些不规则小区域外，绝大部分都是小矩形， 的一些不规则小区域外，绝大部分都是小矩形， 紧靠D的边界的小区域的面积 紧靠 的边界的小区域的面积 ∆σ i ≤ ∆t i ⋅ λ ⇒ ∑ ∆σ j ≤ λL
二重积分
1、二重积分的概念和性质 、 2、利用直角坐标系计算二重积分 、 3、利用极坐标系计算二重积分 、
二重积分的概念和性质
在一元函数积分学中，我们已经知道， 在一元函数积分学中，我们已经知道，定积 分是定义在某一区间上的一元函数的某种特定形 式的和式的极限， 式的和式的极限，由于科学技术和生产实践的发 需要计算空间形体的体积、曲面的面积、 展，需要计算空间形体的体积、曲面的面积、空 间物体的质量等， 间物体的质量等，定积分已经不能解决这类问题 另一方面，从数学逻辑思维的规律出发， ，另一方面，从数学逻辑思维的规律出发，必然 会考虑定积分概念的推广， 会考虑定积分概念的推广，从而提出了多元函数 的积分学问题。 的积分学问题。
j
y
D
o x
其中L为 的围长 其中 为D的围长
⇒
∑ f (ξ j ,η j )∆σ j ≤ M ∑ ∆σ j ≤ MLλ → 0, (λ → 0) j j
dσ = dxdy
则面积元素为
故二重积分可写为
高等数学 课件 PPT 第九章 重积分
分析
若函数ρ(x,y)=常数，则薄片的质量可用公式 质量=面密度×面积 来计算.现在面密度ρ(x,y)是变化的，故不能用上述公式来求. 这时仍可采用处理曲顶柱体体积的方法来求薄片的质量.分为下列 几个步骤：
一、二重积分的概念
(1)分割将D分成n个小闭区域Δσ1,Δσ2,…,Δσn（小区域 的面积也用这些符号表示），第i个小块的质量记为 ΔMi(i=1,2,…,n)，则平面薄片的质量
于是
一、在直角坐标系下计算二重积分
图 9-11
一、在直角坐标系下计算二重积分
【例3】
计算
，D是由抛物线y2=2x与直线y=x－4所
围成的区域．
解 画出积分区域D的草图如图9-12所示．若先对x积分，
则有
一、在直角坐标系下计算二重积分
图 9-12
一、在直角坐标系下计算二重积分
若先对y积分，则需将D分为两个区域D1和D2， 于是
一、在直角坐标系下计算二重积分
【例1】
试将
化为两种不同次序的累次积分，其中
D是由y=x,y=2－x和x轴所围成的区域．
解 积分区域D如图9-9所示．首先说明如何用“穿线法”
确定累次积分的上、下限．如果先积x后积y，即选择Y型积
分区域，将区域D投影到y轴，得区间［0,1］，0与1就是对y
积分的下限与上限，即0≤y≤1，在［0,1］上任意取一点y，
二、二重积分的性质
二重积分与定积分有类似的性质.假设 下面所出现的积分是存在的.
二、二重积分的性质
性质1
设c1,c2为常数,则
性质2
若闭区域D分为两个闭区域D1与D2，则
二、二重积分的性质
性质3
(σ为D的面积）.
性质4
若函数ρ(x,y)=常数，则薄片的质量可用公式 质量=面密度×面积 来计算.现在面密度ρ(x,y)是变化的，故不能用上述公式来求. 这时仍可采用处理曲顶柱体体积的方法来求薄片的质量.分为下列 几个步骤：
一、二重积分的概念
(1)分割将D分成n个小闭区域Δσ1,Δσ2,…,Δσn（小区域 的面积也用这些符号表示），第i个小块的质量记为 ΔMi(i=1,2,…,n)，则平面薄片的质量
于是
一、在直角坐标系下计算二重积分
图 9-11
一、在直角坐标系下计算二重积分
【例3】
计算
，D是由抛物线y2=2x与直线y=x－4所
围成的区域．
解 画出积分区域D的草图如图9-12所示．若先对x积分，
则有
一、在直角坐标系下计算二重积分
图 9-12
一、在直角坐标系下计算二重积分
若先对y积分，则需将D分为两个区域D1和D2， 于是
一、在直角坐标系下计算二重积分
【例1】
试将
化为两种不同次序的累次积分，其中
D是由y=x,y=2－x和x轴所围成的区域．
解 积分区域D如图9-9所示．首先说明如何用“穿线法”
确定累次积分的上、下限．如果先积x后积y，即选择Y型积
分区域，将区域D投影到y轴，得区间［0,1］，0与1就是对y
积分的下限与上限，即0≤y≤1，在［0,1］上任意取一点y，
二、二重积分的性质
二重积分与定积分有类似的性质.假设 下面所出现的积分是存在的.
二、二重积分的性质
性质1
设c1,c2为常数,则
性质2
若闭区域D分为两个闭区域D1与D2，则
二、二重积分的性质
性质3
(σ为D的面积）.
性质4
东华大学《高等数学AⅡ》课件 第三章 二重积分在极坐标系下的计算
ex2 d x ①
0
2
内容小结
(1) 二重积分化为累次积分的方法 直角坐标系情形 :
若积分区域为
y y y2(x)
D
y y1(x)
a
bx
则
f (x, y) d
b
dx
y2 (x) f (x, y) d y
D
a
y1( x)
• 若积分区域为
y x x2 ( y) d
D
则
f (x, y) d
f (r cos , r sin )
f ( x, y)dxdy f (r cos , r sin )rdrd .
D
D
应用范围：积分区域为圆域(或一部分)，被积
函数含 ( x2 的y用2 ) 此简便.
计算方法——化为二次定积分
(通常先对r 后对 积分
)
二、极坐标系下二重积分化累次积分
三线
方法： 极坐标系下区域如图所示：
r
sin
其中 0r <+, 0 2
(或 - )
r x2 y2
arctg y
x
y
r
0
(x, y) x
一、极坐标系下二重积分的表达式
y
M(x, y)
x r cos
y
r
sin
r (r, )
0
x
? f ( x, y)d 在极坐标系下
D
极坐标系下的面积元素如何表示？
极坐标系下被积函数如何表示？
D
0 f在D上关于x为奇函数
f
( x,
y)dxdy
4
D1
f
( x,
y)dxdy,
f关于 x 且关于 y为偶函数
92二重积分的计算(直角坐标系)ppt省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
当 f ( x, y) f ( x, y)时.
(即f ( x, y)关于( x, y)为奇函数)
（4）若积分区域 D关于 直线 y x 对称 （ ( x, y)D( y,x)D ），
则 f ( x, y)dxdy f ( y,x)dxdy 。
D
D
又若 D D1D2 ，且 D1与D2 关于直线 y x 对称，则
2
证：积分区域 x2 y2 R2 关于直线 y x 对称，所以
x。
y
(4, 2)
y x
D2 D1
o1
y x2 4x
y x (1,1)
xyd
xyd
xyd
1
0dx
x x
4
x
xydy1 dxx2
xydy55. 8
D
D1
D2
例 3． e y2 d ，其中 D 是由直线 y x ， y1 和 y 轴所围成。
D
解：若先积 y 后积 x，得 e y2 d
1
dx
1
e
y2
的体积。 A( x )
y2(x)
A( x )
y o
a
D
x
y1( x)
bx
x 1( x ) 2( x ) y
一般地， 过 [a,b] 上任一点 x 且平行于yoz平面的平面 ，
与曲顶A(柱 Ax(体x))相交所122(((得xxx)截)f) (面fx(的,xy面),dy积y).d为y 。 1( x)
D
a 1( x)
c 1( y)
二重积分化为二次积分，确定积分限是关键。
其定限方法如下： （1）在 xoy 平面上画出积分区域 D 的图形； （2）若区域 D 为 X 型的，则把 D 投影到 x 轴上，得 投影区间[a,b] ，a 和 b 就是对 x 积分的下限和上限。 x[a,b] ， 过点 x 画一条与 y 轴平行的直线，假如它 与边界曲线交点的纵坐标分别为 y1( x) 和 y2( x) ， 且 2( x)1( x) ，则 1( x) 和 2( x) 就是对 y 积分的下限 和上限。
高等数学二重积分概念.ppt
x y
0 y 1
y 1
上二重积分存在 ; 但 f (x, y) 1 在D 上 x y
O
二重积分不存在 .
D 1x
目录 上页 下页 返回 结束
三、二重积分的性质
1. D k f (x, y)d k D f (x, y) d ( k 为常数)
3. D f (x, y)d D1 f (x, y)d D2 f (x, y)d
引例2中平面薄板的质量:
M D (x, y) d D (x, y) d x d y
目录 上页 下页 返回 结束
二重积分存在定理: (证明略)
定理1 若函数
在有界闭区域 D上连续, 则
在D上可积.
定理2 若有界函数
在有界闭区域 D 上除去有
限个点或有限条光滑曲线外都连续 ,
积.
例如, f (x, y) x2 y2 在 D : 0 x 1
4 证明: 解 利用题中 x , y 位置的对称性, 有
其中D 为
y 1
D
O 1x
1 2
D (sin
x2
cos
y2 ) d
D (sin
y2
cos
x2)d
1 2
D (sin
x2
cos
x2)d
D (sin
y2
cos
y2)d
D (sin x2 cos x2 )d
又 D 的面积为 1 ,
故结论成立 .
目录 上页 下页 返回 结束
补充题
1. 估计 I
D
d
x2
y2
2xy
16
的值,
其中
y
D
为
0 x 1, 0 y 2.
第二二重积分的计算法-资料
2020/2/10
例1 化二重积分 f (x, y)d为二次积分
D
(写出两种积分次).序
(1)D是由y轴、y 1及y x围成的区域;
(2)D是由x轴、圆x2 y2 2x 0在第一象限及直线
x y 2围成的区域.
解(1： )f(x,y)d
D 11
dx f (x, y)dy
11
1 y2
2y
计算二重积分时，可以先对x积分后对y积分，也
可以先对y积分后对x积分，先对哪个变量积分，要视
积分域D及被积函数f(x,y)的不同情况而定.
2020/2/10
例 3计 x 算 d y,其 D 是 中由 y 1 、 直 x2 及 线 yx
D
所围成 . 的闭区域
解:解法(1)积分区域如图
次序.
1
4x2
2
4x2
(1)dx f (x, y)dy dx f (x, y)dy
0
1x2
1
0
2x
(2)dx f (x, y)dy 11 x
2020/2/10
解:(1)D1{x(,y)|0x1, 1x2y 4x2} D2{x(,y)|1x2， 0y 4x2} 由此可得 D的区 图 ,域 如 形下图
2020/2/10
公(式 1中 ) 积分 X域 型为 域，特D 点 内是 部穿 且 行y于 轴的直 D的 线边 与界相交.不多于两
2020/2/10
公(式 2)中积分 Y域 型为 域，特 穿D 点 过 内是 部且 平行 x轴 于的直 D的 线边 与界相交.不多于
2020/2/10
若积分区域X既型 非域，也Y非型域，可用平 于x轴(或平行y于 轴)的直线将区 D分域成几个小区域， 每个小区域X都型 是域或 Y型域，区D上 域的二重积 分就是这些小区二 域重 上积 的分的 . 和
例1 化二重积分 f (x, y)d为二次积分
D
(写出两种积分次).序
(1)D是由y轴、y 1及y x围成的区域;
(2)D是由x轴、圆x2 y2 2x 0在第一象限及直线
x y 2围成的区域.
解(1： )f(x,y)d
D 11
dx f (x, y)dy
11
1 y2
2y
计算二重积分时，可以先对x积分后对y积分，也
可以先对y积分后对x积分，先对哪个变量积分，要视
积分域D及被积函数f(x,y)的不同情况而定.
2020/2/10
例 3计 x 算 d y,其 D 是 中由 y 1 、 直 x2 及 线 yx
D
所围成 . 的闭区域
解:解法(1)积分区域如图
次序.
1
4x2
2
4x2
(1)dx f (x, y)dy dx f (x, y)dy
0
1x2
1
0
2x
(2)dx f (x, y)dy 11 x
2020/2/10
解:(1)D1{x(,y)|0x1, 1x2y 4x2} D2{x(,y)|1x2， 0y 4x2} 由此可得 D的区 图 ,域 如 形下图
2020/2/10
公(式 1中 ) 积分 X域 型为 域，特D 点 内是 部穿 且 行y于 轴的直 D的 线边 与界相交.不多于两
2020/2/10
公(式 2)中积分 Y域 型为 域，特 穿D 点 过 内是 部且 平行 x轴 于的直 D的 线边 与界相交.不多于
2020/2/10
若积分区域X既型 非域，也Y非型域，可用平 于x轴(或平行y于 轴)的直线将区 D分域成几个小区域， 每个小区域X都型 是域或 Y型域，区D上 域的二重积 分就是这些小区二 域重 上积 的分的 . 和
二重积分与二次积分
其中函数1( y)、 2( y) 在区间[c, d]上连续.
f ( x, y)d
D
d
dy
2 ( y)
f (x, y)dx
c
1( y)
d
(
2 ( y)
f (x, y)dx)dy
c 1( y)
y
d D
x 1( y)
c
O
x 2( y) x
先对x 后对y的二次积分.
二、在直角坐标系中化二重积分为 累次积分
(1) 设f (x, y)在平面有界闭区域D上连续.
D {( x, y)a x b,1( x) y 2( x)},
其中函数1( x)、2( x)在区间[a, b]上连续.
f ( x, y)d
D
y
y 2(x)
D
b
dx
2 (x)
f (x, y)dy
a
1 ( x)
b
(
2 (x)
f (x, y)dy)dx
a 1 ( x)
y 1(x)
Oa
bx
先对y 后对x的二次积分
(2) 设f (x, y)在平面有界闭区域D上连续.
D {( x, y)c y d,1( y) x 2( y)},
计算积分
D
xy dxdy 1 y3
其中：D表示区域 x 0, x 1, y 1, y x2
解
D
xy dxdy 1 y3
y
1
y 1
1 1
dx
xy dy
0 x2 1 y3
y x2
O
第八章 二重积分
第八章 二重积分8.1 二重积分的概念设函数),(y x f 是闭区域D 上的有界函数，将区域D 任意分成n 个小区域1σ∆、2σ∆、…，n σ∆，其中i σ∆既是第i 个小区域也是第i 个小区域的面积。
在每个小区域i σ∆上任意取一点),(i i ηξ做乘积i i i f σηξ∆⋅),(，并作和式∑=∆⋅ni i i i f 1),(σηξ。
如果当各个小闭区间直径中的最大值0→λ时，极限i ni i i f σηξλ∆∑=→1),(lim 存在，则称为函数),(y x f 在D 上的二重积分，记为σd y x f D⎰⎰),(。
其中),(y x f 为被积函数，D 为积分区域，σd y x f ),(为被积表达式，σd 为面积微元。
（1）积分区域D 的划分和点的选取是任意的。
（2）σd y x f D⎰⎰),(的几何意义表示以积分区域D 为底面积，高为),(y x f 的曲顶柱体体积的代数和。
（3）函数),(y x f 可积的充分条件：若),(y x f 在D 上连续，则),(y x f 在D 上可积。
（4）函数),(y x f 可积的必要条件：若),(y x f 在D 上可积，则),(y x f 在D 上有界。
（5）直角坐标系下的面积微元dxdy d =σ。
8.2 二重积分的性质 （1）线性运算性质[]σβσασβαd y x g d y x f d y x g y x f DDD⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+),(),(),(),(（βα,均为常数）（2）积分区域的可加性 )(),(),(),(2121D D D d y x f d y x f d y x f D D D+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰σσσ（3）σσ=⎰⎰Dd （σ为积分区域D 的面积）（4）比较定理：设函数),(y x f 与),(y x g 在D 上有),(),(y x g y x f ， 则σσd y x g d y x f DD⎰⎰⎰⎰),(),(推论：①若0),( y x f ，则0),( σd y x f D⎰⎰。
大学课件高等数学下学期8-2二重积分的计算
7/46
例 设D为圆域 x2 y2 R2
z
二重积分 R2 x2 y2 d
D
=
DO
y
xR
解 z R2 x2 y2 是上半球面
由二重积分的几何意义可知，上述积分等于
上半球体的体积：
R2 x2 y2d 2 R3 3
D
8/46
二、在直角坐标系下计算二重积分
(1) 积分区域为：a x b, 1( x) y 2( x).
1
y
dx 1
2
(x
x3 )dx
9.
1
4
x
14/46
例1 求
双曲线xyD
xy122围d成,的 其闭 中区 D是域由. 直线xy
2,
y
x和
y x
解2 将D看成Y型区域
D2 x 1
1
1
xy D11
D1 : 2 y 1, y x 2 O
x 第
D2 : 1 y 2, y x 2
一 种
D1
26/46
记 I=
xy cos x sin ydxdy (1,1)
y
(1,1)
D
D2 D1
则I= I1+ I2, 其中
D3
D4 O
x
I1= xydxdy
(1,1)
D
I2= cos x sin ydxdy
D
D1与D2关于y轴对称 D3与D4关于x轴对称
而 I1 = xydxdy xydxdy xydxdy
D
D
a
1 ( xa)
b
(
2( x)
f ( x, y)dy)dx
a 1 ( x)
a
例 设D为圆域 x2 y2 R2
z
二重积分 R2 x2 y2 d
D
=
DO
y
xR
解 z R2 x2 y2 是上半球面
由二重积分的几何意义可知，上述积分等于
上半球体的体积：
R2 x2 y2d 2 R3 3
D
8/46
二、在直角坐标系下计算二重积分
(1) 积分区域为：a x b, 1( x) y 2( x).
1
y
dx 1
2
(x
x3 )dx
9.
1
4
x
14/46
例1 求
双曲线xyD
xy122围d成,的 其闭 中区 D是域由. 直线xy
2,
y
x和
y x
解2 将D看成Y型区域
D2 x 1
1
1
xy D11
D1 : 2 y 1, y x 2 O
x 第
D2 : 1 y 2, y x 2
一 种
D1
26/46
记 I=
xy cos x sin ydxdy (1,1)
y
(1,1)
D
D2 D1
则I= I1+ I2, 其中
D3
D4 O
x
I1= xydxdy
(1,1)
D
I2= cos x sin ydxdy
D
D1与D2关于y轴对称 D3与D4关于x轴对称
而 I1 = xydxdy xydxdy xydxdy
D
D
a
1 ( xa)
b
(
2( x)
f ( x, y)dy)dx
a 1 ( x)
a
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
a
j(x)
D
b
x= j2(y)
注：若左、右边界曲线中有分段曲线，比如左边界曲线是分段曲线：
x
=
j
(
y)
=
j1 j 2
( y) ( y)
a yc ， c yb
D c
x= j1(y)
x= y(y)
则
f (x, y)d =
c
dy
y (x)
f (x, y)dx
b
dy
b
dx
y (x) f (x, y)dy 。
a
j(x)
DБайду номын сангаас
y
y= y(x)
D
Oa
y= j(x)
bx
首页
上页
返回
下页
结束
1．将二重积分化为先对y 后对x 的二次积分
第一步：根据已知条件画出积分区域D的图形。
第二步：将区域D向x轴投影，得到投影区间[a, b]。
第三步：确定区域D的上下边界曲线。
设下边界曲线为y= j(x)，上边界曲线为y= y(x)，且上、下边界曲线都不是分段曲线。
第四步：写出二次积分
y
f (x, y)d =
b
dx
y (x) f (x, y)dy 。
a
j(x)
D
注：若上、下边界曲线中有分段曲线，比如下边界曲线是分段曲线：
y
=
j
(x)
=
j1 (x) j 2 (x)
axc， c xb
则
f (x, y)d =
c
dx
1．将二重积分化为先对y 后对x 的二次积分
第一步：根据已知条件画出积分区域D的图形。
第二步：将区域D向x轴投影，得到投影区间[a, b]。
第三步：确定区域D的上下边界曲线。
设下边界曲线为y= j(x)，上边界曲线为y= y(x)，且上、下边界曲线都不是分段曲线。
第四步：写出二次积分
f (x, y)d =
第三步：确定区域D的上下边界曲线。
设下边界曲线为y= j(x)，上边界曲线为y= y(x)，且上、下边界曲线都不是分段曲线。
第四步：写出二次积分
y
f (x, y)d =
b
dy
y (x) f (x, y)dx 。
a
j(x)
b
D
x= j(y)
a O
D
x= y(y)
x
首页
上页
返回
下页
结束
2．将二重积分化为先对x 后对y 的二次积分
y (x)
f (x, y)dy
b
dx
y (x) f (x, y)dy 。
a
j1 ( x)
c
j2 (x)
D
O
y= y(x)
D
y= j1(x)
a
y= j2(x)
c
bx
首页
上页
返回
下页
结束
2．将二重积分化为先对x 后对y 的二次积分
第一步：根据已知条件画出积分区域D的图形。
第二步：将区域D向x轴投影，得到投影区间[a, b]。
y (x) f (x, y)dx 。
a
j1 ( x)
c
j2 (x)
a
D
O
x
首页
上页
返回
下页
结束
第一步：根据已知条件画出积分区域D的图形。
第二步：将区域D向x轴投影，得到投影区间[a, b]。
第三步：确定区域D的上下边界曲线。
设下边界曲线为y= j(x)，上边界曲线为y= y(x)，且上、下边界曲线都不是分段曲线。
第四步：写出二次积分
y
f (x, y)d =
b
dy
y (x) f (x, y)dx 。