概率基础知识

(2)离散型随机变量分布列的性质 ①____p_i≥__0_，__i_＝__1_,2_，__…__，__n_；
n
② pi＝1. i＝1
③一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于这 个范围内每个随机变量值的概率__之__和____． 思考探究 如何求离散型随机变量的分布列？ 提示：首先确定随机变量的取值，求出离散型随机变量的每 一个值对应的概率，最后列成表格．
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基础梳理
1．离散型随机变量的分布列 (1)离散型随机变量的分布列 若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…xn， X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn
称为离散型随机变量X的概率分布列，简称X的分布列．有时 为了表达简单，也用等式__P_(_X_＝__x_i_)＝___p_i，__i＝__1_,_2_，__…__，__n__表示 X的分布列．
思考感悟 古典概型与几何概型的区别是什么？ 提示：古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相 等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基 本事件有无限个．
3．古典概型的概率公式 P(A)＝mn (m 是事件 A 包含的基本事件数，n 是试验的基本事 件总数)． 思考探究 如何确定一个试验是否为古典概型？ 提示：判断一个试验是否是古典概型，关键在于这个试验是 否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性．
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基础梳理
1．几何概型的定义 如 果每 个事 件发 生的 概率只 与构 成该 事件 区域的 __长__度___ (__面__积__或_体___积__)成比例，则称这样的概率模型为几何概率 模型，简称为___几_何___概__型____． 2．几何概型的概率公式 在几何概型中，事件 A 的概率的计算公式如下： P(A)＝试验的构全成部事结件果A所的构区成域的长区度域面长积度或面体积积或 体积.
2、事件的相等关系
一般地，若B A，且A B，那么称事件A与
事件B相等，记作：A=B。
注：两个事件相等也就是说这两个事件是 同一个事件。
3、并事件（和事件）
若某事件发生当且仅当事件
A或事件B发生，则称此事件为 事件A与事件B的并事件（或和 事件)，记作： A ∪ B（或A+B） 可用图表示为：
BA
概率基础知识
基
基本事件
本
事
件
空
目标事件
间
互斥事件
事
件
的
对立事件
性
并（和）事件的概率
加 法 公 式
质
不可能事件
乘
概
独立事件
法
率
公
交（积）事件的概率
式
必然事件
条件概率
简
全
单
古典概型
概
概
率
率
随 机
模 型
比例算法
公 式
事
几何概型
件
频
率
随机试验
集合知识回顾： 1、集合之间的包含关系：
AB
2、集合之间的运算： （1）交集： A∩B
2．常见离散型随机变量的分布列
(1)两点分布
若随机变来自百度文库X的分布列是 布列称为两点分布列．
X
0
1 ，则这样的分
P __1_－__p_ __p_
如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从__两__点__
分布，而称p＝P(X＝1)为成功概率．
(2)超几何分布 一般地，设有总数为 N 件的两类物品，其中一类有 M 件，从 所有物品中任取 n 件(n≤N)，这 n 件中所含这类物品件数 X 是一个离散型随机变量，当 X＝m 时的概率为
（2）并集： A ∪ B
（3）补集： CuA
BA
B A∩B A
BA
A∪B
CuA A
事件的关系与运算：
1、事件的包含关系
可用图表示为：
一般地，对于事件A和事件B， 如果事件A发生，则事件B一定发生， 这时称事件B包含事件A（或称 事件A包含于事件B），
记作：A B（或B A）
BA
我们把不可能事件记作，任何事件都包含不可能事件
3．独立重复试验与二项分布 (1)在相同的条件下，重复地做 n 次试验，各次试验的结果相 互独立，那么一般就称它们为__n__次__独__立__重__复__试__验____． (2)在 n 次独立重复试验中，设事件 A 发生的次数为 X，在每 次试验中事件 A 发生的概率为 p，那么在 n 次独立重复试验 中，事件 A 恰好发生 k 次的概率是 P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k(k ＝0,1,2，…，n)，此时称离散型随机变量 X 服从参数为 n、p 的__二__项__分__布____，记作 X～___B_(_n_，__p_)___．
3．求条件概率的常用方法 (1)定义：即 P(B|A)＝PPAAB. (2)借助古典概型公式 P(B|A)＝nnAAB. 4．概率问题常常与排列组合相结合，求事件概率的 关键是将事件分解成若干个子事件，然后利用概率加法 (互斥事件求和)、乘法(独立事件同时发生)、除法(条件 概率)来求解．
思考探究 “相互独立”与“事件互斥”有何不同？ 提示：两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两 事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生 的概率没有影响．两事件相互独立一定不互斥．
B
A
会同时发生，可用图表示为：
5、对立事件
若A∩B为不可能事件， A ∪ B为必然事件，那么 事件A与事件B互为对立事件。
事件A与事件B互为对立事件的含义是：这两个 事件在任何一次试验中有且仅有一个发生。
互斥事件与对立事件的区别与联系
联系：都是两个事件的关系， 对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况 但互斥事件不一定是对立事件
区别：互斥事件是不可能同时发生的两个事件 对立事件除了要求这两个事件不同时发 生之外要求二者之一必须有一个发生
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基础梳理 1．条件概率 (1)条件概率的定义 对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号“P(B|A)”来表示． (2)事件A与B的交(或积) 把由事件A和B同时发生所构成的事件D称为事件A与B的交(或 积)，记作___D_＝__A_∩__B___ (或D＝AB)． (3)条件概率公式
CmMCNn－－mM P(X＝m)＝_____C__Nn_____ (0≤m≤l，l 为 n 和 M 中较小的一 个)，称离散型随机变量 X 的这种形式的概率分布为超几何分 布，也称 X 服从参数为 N，M，n 的超几何分布．
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基础梳理
1．基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是__互__斥__的． (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成__基__本__事__件___的和． 2．古典概型 具有以下两个特征的试验称为古典概型． (1)有限性：在一次试验中，可能出现的结果只有__有__限__个__， 即只有_有__限__个___不同的基本事件； (2)等可能性：每个基本事件发生的可能性是__均__等__的____．
A∪B
4、交事件（积事件）
若某事件发生当且仅当事件 A发生且事件B发生，则称此事件 为事件A与事件B的交事件（或积 事件）记作：A∩B（或AB）
可用图表示为： B A∩B A
5、互斥事件
若A∩B为不可能事件（ A∩B = ），那么称事 件A与事件B互斥。
事件A与事件B互斥的含义是： 这两个事件在任何一次试验中都不
PA∩B P(B|A)＝___P__A_____，P(A)>0.
2．事件的独立性 (1)相互独立事件的定义 事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即 __P__(B__|A_)_＝__P_(_B_)___，这时，称两个事件A，B相互独立，并把 这两个事件叫做相互独立事件． (2)概率公式 ①若A，B相互独立，则P(A∩B)＝__P__(A__)P__(B__) _； ②若A1，A2，…，An相互独立，则 P(A1∩A2∩A3∩…∩An)＝P(A1)×P(A2)×…×P(An)．