第三章 单自由度有阻尼系统的振动

第三章 单自由度有阻尼系统的振动

3—1 阻尼的作用与分类

前述无阻尼的振动只是一种理想情况，在这种情况下，机械能守恒，系统保持持续的周期性等幅振动。但实际系统振动时，不可避免要受到各种阻尼的影响，由于阻尼的方向始终与振动体的运动方向相反，因此对系统作负功，不断消耗系统的能量，使自由振动不断衰减最终停止，强迫振动的振幅受到抑制。

阻尼有各种来源，情况比较复杂，主要有下列三种形式。

1.干摩擦阻尼：

两个干燥表面互相压紧并相对运动时所产生的阻尼称为干摩擦阻尼，阻尼大小与两个面之间的法向压力N 成正比，即符合摩擦定律F=fN ，式中f 是摩擦系数。

2.粘性阻尼：

物体以中、低速度在流体中运动时所受到的阻力称为粘性阻尼。有润滑油的滑动面之间

产生的阻尼就是这种阻尼。粘性阻尼与速度的一次方成正比，即x

c F =,式中c 为粘性阻尼系数，它取决于运动物体的形状、尺寸及润滑介质的粘性，单位为N ·s/cm 。物体以较大速度

在流体中运动时（如3m/s 以上），阻尼将与速度的平方成正比，即2

x

b F =，式中b 为常数，此种阻尼为非粘性阻尼。

3.结构阻尼、

材料在变形过程中，由内部晶体之间的摩擦所产生的阻尼，称为结构阻尼。其性质比较复杂，阻尼的大小取决与材料的性质。

由于粘性阻尼在数学处理时可使求解大为简化，所以本节先以粘性阻尼为基本模型来分析有阻尼的振动。在遇到非粘性阻尼时则可用等效粘性的办法作近似计算。有关等效粘性阻尼的概念和计算方法在本章后面再作介绍。 3－2具有粘性阻尼的自由振动

单自由度有阻尼振系的力学模型如图3-1所示，包括弹簧、质量及阻尼器。以物体的平衡位置0为原点，建立图示坐标轴x 。则物体运动微分方程为

kx x c x

m －＝－ 式中 ： x

c -为阻尼力，负号表示阻尼力方向与速度方向相反。

将上式写成标准形式，为

0=++kx x c x

m (a) 令p 2=m k , m c n =2, 则上式可简化为 022=++p x n x

(3-1) 这就是有阻尼自由振动微分方程。它的解可取st e x =，其中

s 是待定常数。代入（3-1）式得 0)2(22=++st e

p ns s ，要使所有时间内上式都能满足，必须0222=++p ns s ，此即微分方程的特征方程，其解为

222,1p n n s -±-= （b ）

于是微分方程（3-1）的通解为

)(2222212121t p n t p n nt t s t s e c e c e e c e c x ----+=+= （3-2）

式中待定常数c 1与c 2决定与振动的初始条件。振动系统的性质决定于根式22p n -是实数、零、还是虚数。对应的根s 1与s 2可以是不相等的负实根、相等的负实根或复根。若s 1与s 2为等根时，此时的阻尼系数值称之为临界阻尼系数，记为c c ，即c c ＝2mp 。引进一个无量纲的量ζ，称为相对阻尼系数或阻尼比。

c c c mp c p n /2//===ζ （3-3）

当n>p 或ζ>1,根式22p n -是实数，称为过阻尼状态，当n

1.过阻尼状态

此时ζ>1，即22p n -

值，则t s e 1及t s e 2是两根下降的指数曲线，故（3-2）式所表

示的是两条指数曲线之和，仍按指数衰减，不是振动。图

3-2所示为c 1>c 2,c 1<0时的情况。

2.临界阻尼状态

此时ζ＝1，（b ）式中s 1＝s 2＝－n ＝－p ，特征方程的

根是重根，方程（3-1）的另一解将为te －pt ，故微分方程（3-1）的通解为

x ＝（c 1＋c 2t ）e

－pt （c ） 式中等号右边第一项c 1e

－pt 是一根下降的指数曲线，第二项则可应用麦克劳林级数展开成以下

形式： !/!3/!2//12322/22n t p t p t p p t c e c te c n n t pt pt +⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++==- 从上式看出，当时间t 增长时，第二项c 2te －pt 也趋近于零。因此（c ）式表示的运动也不是振

动，也是一个逐渐回到平衡位置的非周期运动。

3.弱阻尼状态

此时p>n,或ζ<1。利用欧拉公式

t n p i t n p e e t n p t p n 2222sin cos 2222-±-==-±-±

可将（3-2）式改写为 )sin cos ()(222221212222t n p D t n p D e e C e C e x nt t n p i t n p i

nt -+-=+=-----

或 )sin(22ϕ+-=-t n p Ae

x nt （3-4-1） 令22n p p d -=，则

)sin(ϕ+=-t p Ae x d nt （3-4-2）

式中A 与ϕ为待定常数，决定于初始条件。设t ＝0时，x ＝x 0，0x x

=，则可求得 00012002

,)(x nx x p x tg p nx x A d d +=++=- ϕ （3-5） 将A 与ϕ代入（3-4-1）式，即可求得系统对

初始条件的响应，由式（3-4-1）可知，系统

振动已不再是等幅的简谐振动，而是振幅被限

制在曲线nt Ae -+-之内随时间不断衰减的衰减

振动。如图3-3所示。这种衰减振动的固有圆

频率、固有频率和周期分别为