复数的四则运算ppt课件(自制)
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复数的四则运算公开课完整ppt课件
z1-z2＝(a＋bi)-(c＋di)＝(a-c)＋(b-d)i
2、复数的乘法： 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是
任意两个复数，则它们积为
z1•z2＝(a＋bi)•(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i 3、(复a数b的i) 除(法c：di)abi (abi)(cdi)
显然,实数集R是复数集C的真子集,即R C.
问题：复数集是实数集的扩展，如何规定 复数的运算？
1.复数加减法的运算法则： (1)运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di,
那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即: 两个复数相加(减)就是实部与实部， 虚部与虚部分别相加(减).
一复习引入
4. 两个复数相等
设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、dR),则 z1=z2
a
b
ห้องสมุดไป่ตู้
c,
d
即实部等于实部,虚部等于虚部.
特别地，a+bi=0 a=b=0 .
注意:一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.
思考:对于任意的两个复数到底能否比较大小?
答案:当且仅当两个复数都是实数时,才能比较大小.
x2 x24,
x2 3x220.
解得
x 3或x 2 x 3或x 6
所以 x3．
复数的除法应怎样进行呢? 注意到,实数的除法运算是乘法的逆运算,类
比思考,我们可定义复数的除法:
定义: 把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的 复 数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数 c+di 的商, 其中a,b,c,d,x,y都是实数,
2、复数的乘法： 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是
任意两个复数，则它们积为
z1•z2＝(a＋bi)•(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i 3、(复a数b的i) 除(法c：di)abi (abi)(cdi)
显然,实数集R是复数集C的真子集,即R C.
问题：复数集是实数集的扩展，如何规定 复数的运算？
1.复数加减法的运算法则： (1)运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di,
那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即: 两个复数相加(减)就是实部与实部， 虚部与虚部分别相加(减).
一复习引入
4. 两个复数相等
设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、dR),则 z1=z2
a
b
ห้องสมุดไป่ตู้
c,
d
即实部等于实部,虚部等于虚部.
特别地，a+bi=0 a=b=0 .
注意:一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.
思考:对于任意的两个复数到底能否比较大小?
答案:当且仅当两个复数都是实数时,才能比较大小.
x2 x24,
x2 3x220.
解得
x 3或x 2 x 3或x 6
所以 x3．
复数的除法应怎样进行呢? 注意到,实数的除法运算是乘法的逆运算,类
比思考,我们可定义复数的除法:
定义: 把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的 复 数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数 c+di 的商, 其中a,b,c,d,x,y都是实数,
《复数的四则运算》课件
$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i$
练习
1 计算 $(2+3i)+(4+5i)$ 3 计算 $(2+3i) \times (4+5i)$
2 计算 $(2+3i)-(4+5i)$ 4 计算 $\frac{2+3i}{4+5i}$
《复数的四则运算》PPT 课件
本课件将带你了解复数的四则运算，包括加法、减法、乘法和除法。通过简 洁明了的内容和丰富多样的排版，希望能够使你轻松理解和掌握这些运算。
复数概述
定义
形如 $a+bi$ 的数称为复 数，其中 $a$ 和 $b$ 是实 数，且 $i^2=-1$
实部和虚部
$a$ 为实部，$b$ 为虚部
复共轭
$a-bi$ 称为 $a+bi$ 的共 轭复数
复数的加法和减法
加法
$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$
减法
$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$
复数的乘法
乘法
$(a+bi) \times (c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$
复数的除法
除法
总结
1 复数的四则运算包
括加法、减法、乘
法和除法
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ计算时需要注意
$i^2=-1$，并进行
配方法化简
3 复数的共轭复数是
重要的概念，应该
掌握
练习
1 计算 $(2+3i)+(4+5i)$ 3 计算 $(2+3i) \times (4+5i)$
2 计算 $(2+3i)-(4+5i)$ 4 计算 $\frac{2+3i}{4+5i}$
《复数的四则运算》PPT 课件
本课件将带你了解复数的四则运算，包括加法、减法、乘法和除法。通过简 洁明了的内容和丰富多样的排版，希望能够使你轻松理解和掌握这些运算。
复数概述
定义
形如 $a+bi$ 的数称为复 数，其中 $a$ 和 $b$ 是实 数，且 $i^2=-1$
实部和虚部
$a$ 为实部，$b$ 为虚部
复共轭
$a-bi$ 称为 $a+bi$ 的共 轭复数
复数的加法和减法
加法
$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$
减法
$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$
复数的乘法
乘法
$(a+bi) \times (c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$
复数的除法
除法
总结
1 复数的四则运算包
括加法、减法、乘
法和除法
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ计算时需要注意
$i^2=-1$，并进行
配方法化简
3 复数的共轭复数是
重要的概念，应该
掌握
《复数四则运算》课件
复数的表示方法
总结词
复数可以用平面坐标系上的点来表示。
详细描述
每个复数$a + bi$都可以表示为平面坐标系上的一个点$(a, b)$。实部是x坐标 ，虚部是y坐标。
复数的几何意义
总结词
复数在几何上表示平面上的向量。
详细描述
实部表示向量的水平分量，虚部表示向量的垂直分量。复数的模表示向量的长度 。
减法
复数的减法通过加上相反数的 形式转化为加法。
乘法
复数的乘法通过分配律和结合 律进行计算，结果实部和虚部
分别进行计算。
除法
复数的除法通过乘以倒数的方 式进行，结果实部和虚部分别
进行计算。
运算的几何意义
加法
表示两个复数对应的向量进行向量加法。
乘法
表示一个复数对应的向量绕原点旋转或伸缩 。
减法
表示两个复数对应的向量进行向量减法。
除法运算
总结词
复数除法运算规则是将除数的共轭复数与被除数 相乘，再取结果的倒数。
举例
$frac{2+3i}{1-4i} = frac{(2+3i)(1+4i)}{(14i)(1+4i)} = frac{5i}{5} = i$。
详细描述
复数除法运算的规则是将除数的共轭复数与被除 数相乘，再取结果的倒数，即 $frac{a+bi}{c+di} = frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = frac{(ac+bd) + (bc-ad)i}{c^2+d^2}$。
注意事项
在进行复数除法运算时，需要注意除数为零的情 况，即分母不能为零。
03
5.2复数的四则运算(第3课时)课件
谢谢
THANKS
复数乘法几何意义初探
提出问题：
在复平面内,设复数 z1 1 i ,z2 z1 i ,它们分别对应的向量为OZ1,OZ2
如何直观地理解
y
Z2
Z
21
OZ1
Z1
与
OZ2 之间的位置关系呢？
Z1
OZ1 OZ1
OZ1
OZ2 OZ2 OZ1 逆x 时针
1
旋z2转
b
OZ1
缩短到原来的 1 倍得到的；
2
o
OZ 2a
x
OZ3 是将 OZ1 沿反方向
OZ3
z3 z1 (2) 拉伸到原来的2倍得到的.
复数乘法几何意义初探
在复平面内,设复数 z1 a bi(a,b R) 所对应的向量为 OZ1 , 若 z2 (a bi) c(c 0) 所对应的向量为 OZ2 .
(1
2
得i)到 i的.1
i
(OZ1 OZ1)i OZ1i OZ1i
OZ2 OZ2
复数乘法几何意义初探
例题：
在复平面内,设复数 z1 3 2i, z2 z1 i ,它们分别对应的向量为OZ1,OZ2
如何直观地理解 OZ1 与 OZ2 之间的位置关系呢？
y
z2 (3 2i) i
OZ2 是将 OZ1 沿原方向 拉伸到原来的2倍得到的
y
2b b
OZ1
OZ2
o
a
2a x
复数乘法几何意义初探
思考交流1：
1 在复平面内,设复数z1 a bi(a,b R) ,z2 z1 2 ,它们分别对应的 向量为 OZ1,OZ2 ,如何直观地理解OZ1 与OZ2 之间的位置关系呢？
复数的四则运算ppt课件
4 16 （ 1 i） 原式 4 （ 1- 3i） （ 1- 3i）
－ 1 3i.
• (Ⅱ)原式
i（ 1 2 3i） 2 2 998 ［（ ） ］ 1 i 1 2 3i
2 998 i （ ） i i 998 i i 4249 2 i i 2 － 1 i. － 2i
•
复数的计算中，如遇到计算(a+bi)n时,也可以应用二项展 开式来解决,但往往运算较为繁琐,所以应用(1+i)2=2i,(1－i)2= －2i等运算结果还是常用的解法.
• 计算：(Ⅰ)(3－2i)4; 变式练习1 • (Ⅱ)（1+i）10 • (Ⅰ)(3－2i)4=(5－12i)2=－119－120i; • (Ⅱ)(1+i)10=[(1+i)2]5=(2i)5=32i.
• 1.(2009·山东卷)复数3－i1－i等于（ • A.1+2i B.1－2i • C.2+i D.2－i • •
）
C
2 (3 － i) 1 i 3 －i 3 2i－i 2 • 本题考查复数的除法运算，分子、分母需要同乘以分母的共 1 －i (1 －i) 1 i 1 －i 轭复数，把分母变为实数，将除法转变为乘法进行运算 . 4 2i 2 i, 故选C. 2
2
.
1
所以复数 填1.
•
(2 i) b=1,a+b =1.
4 － 3i 2 (2 i) (4 4i－ 1)(4 3i) i, 故a=0, 4 － 3i (4 － 3i)(4 3i)
1
• 1.复数的代数运算的实质是转化为实数运算,在转化时常用的知识 有复数相等,复数的加、减、乘、除运算法则，模的性质，共轭复 数的性质. • 2.复数的代数运算常考查的是一些特殊复数(如i，1±i等)的运算， 这就要求熟练掌握特殊复数的运算性质以及整体消元的技巧.
《复数的四则运算》专题精讲课件
+ = ,
+ = .
解得 = −, = ± .所以 = − ± ,
即方程 + + = 的根为 = − ± .
=
.③
= −.
典型例题
高中数学
GAOZHONGSHUXUE
典例6 在复数范围内解方程: + + = .
思路 本题考查复数四则运算的应用,在复数范围内解方程,复数范围内,利用实系数一
元二次方程 + + = ≠ 求解方法.
(1)求根公式法
①当 ⩾ 时, =
于的周期性要记熟,即 + + + + + + = ∈ ∗ .另外记住以下结果,
可提高运算速度:① +
由于
=
−
+
= , −
= −.②
−
+
=
+
−,
−
= −,所以 = − + − + − = −.
虚部分别合并.多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数,如 +
+ = − + , +
= +
= + + + =
− + − .
解析
−
=
−
−
2.复数加、减法的几何意义
如图所示,设复数 = + , = + ∈ 对应的向量分别为
, ,四边形 为平行四边形,则与 + 对应的向量是,与
+ = .
解得 = −, = ± .所以 = − ± ,
即方程 + + = 的根为 = − ± .
=
.③
= −.
典型例题
高中数学
GAOZHONGSHUXUE
典例6 在复数范围内解方程: + + = .
思路 本题考查复数四则运算的应用,在复数范围内解方程,复数范围内,利用实系数一
元二次方程 + + = ≠ 求解方法.
(1)求根公式法
①当 ⩾ 时, =
于的周期性要记熟,即 + + + + + + = ∈ ∗ .另外记住以下结果,
可提高运算速度:① +
由于
=
−
+
= , −
= −.②
−
+
=
+
−,
−
= −,所以 = − + − + − = −.
虚部分别合并.多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数,如 +
+ = − + , +
= +
= + + + =
− + − .
解析
−
=
−
−
2.复数加、减法的几何意义
如图所示,设复数 = + , = + ∈ 对应的向量分别为
, ,四边形 为平行四边形,则与 + 对应的向量是,与
3.2复数的四则运算ppt课件
O
x
O Z 1 + O Z 2 = (a + c,b + d).
这 说 明 两 个 向 量 O Z 1和 O Z 2的 和 就 是 复 数 (a+c)+(b+d)i对 应 的 向 量 .
3
2.复数的减法
复数的减法就是加法的逆运算. (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
复数的减法法则: 实部与实部,虚部与虚部分别相减.
2001i20022003i200450122i10021002i设o是原点向量对应的复数分别为23i32i那么向量对应的复数是在复平面内对应的点位于cdi是任意两个复数那么它们的积换成1把实部与虚部分别合并即可
3.2复数的四则运算
1
1.复数的加法
我们规定，复数的加法法则如下： 设z1=a+bi, z2=c+di 是任意两个复数，那么 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 即:两个复数相加就是 实部与实部,虚部与虚部分别相加.
很明显，两个复数的和仍然是一个确定的复数. 复数的加法满足交换律、结合律
2
如图所示：
y Z
Z2(c,d)
设
O
Z
1，O
Z
分
2
别
与
复 数 a + b i,c + d i对 应 ，
则 O Z 1 = (a,b),O Z 2 = (c,d). 由平面向量的坐标运算，
Z1(a,b)
得 OZ = OZ1+OZ2
10
例题1
计算 (1-2i)(3+4i)(-2+i)
复数的四则运算课件
abi
abi
b2i2
乘法与多项 式的乘法是
a2 b2
（2）(a bi)2
类似的.
我们知道多项式 的乘法用乘法公式
a2 2abi b2i2
可迅速展开, 运算, 类似地,复数的乘法
a2 b2 2abi 也可大胆运用乘法
公式来展开运算.
（3）(1 2i)(3 4i)(2 i)
(1 2i)(3 4i)(2 i) (11 2i)(2 i) 20 15i
(2)复数的加法满足交换律、结合律,
即对任何z1,z2,z3∈C,有:
z1+z2=z2+z1, (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
练习
1、计算(2－3i )+(-8－3i) － (3－4i)
解： (2－3i )+(-8－3i) － (3－4i) = (2－8－3)+(-3－3+4)i = -9－2i .
3 6i 4i 8i2
32 42
5 10i
1
2 i
25
55
先写成分式形式
然后分母实数化 即可运算.
化简成代数形式 就得结果.
复数 z 满足 (1 2i) z 4 3i, 求 z.
解：z 4 3i , 1 2i
(4 3i)(1 2i) 10 5i 2 i, (1 2i)(1 2i) 5
例：⑴已知复数 z 的平方根为 3+4i ,求复数 z ⑵求复数 z=3+4i 的平方根.
(1)由题意，知：z (3 4i)2，
7 24i.
(2)设所求复数为a bi(a R，b R)，
则(a bi)2 3 4i，
a2 2ab
高二数学北师大版选修2-2 5.2 复数的四则运算 课件(32张)
-7-
1
2
3
【做一做 3】 若复数 z 同时满足 z-������=2i,������=iz(i 为虚数单位),则 z= . 解析:设 z=a+bi(a,b∈R),则������=a-bi. ∵z-������=2i,∴(a+bi)-(a-bi)=2i, ∴b=1,∴z=a+i,������=a-i. ∵������=iz,∴a-i=(a+i)i. ∴a-i=-1+ai. 由复数相等的充要条件,得 a=-1.∴z=-1+i. 答案:-1+i
1 ������
-5-
1
2
3
【做一做 2】 若复数 z 满足方程 z2+2=0,则 z3 的值为 A.± 2 2 B.-2 2 C.± 2 2i D.-2 2i 解析:设 z=a+bi(a,b∈R),由 z2+2=0, 得 a2-b2+2abi+2=0. ������ = 0, ������2 -������ 2 + 2 = 0, 由 解得 ������ = ± 2, 2������������ = 0, ∴z=± 2i,∴z3=± 2 2i. 答案:C
∴|a+bi|= (-6)2 + (-3)2 =3 5.
答案:C
-3-
1
2
3
2.复数的乘法 (1)复数乘法的定义 设 a+bi 与 c+di 分别是任意两个复数,我们定义复数的乘 法:(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.也就是说,两个复数的积仍然是一个复 数.复数的乘法与多项式的乘法是类似的,但在运算过程中,用 i2=-1 进行化 简,然后把实部与虚部分别合并. (2)复数乘法的运算律 复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.对任何 z1,z2,z3∈C,有 ①z1· z2=z2· z1(交换律); ②(z1· z2)· z3=z1· (z2· z3)(结合律); ③方 对于任意的 z,z1,z2∈C,m,n∈N+,有 ①zm· zn=zm+n; ②(zm)n=zmn; ������ ������ ③(z1· z2)n=������1 ·������2 .
复数的四则运算_课件
1.（1）5； （2）2-2i； （3）-2+2i
（4）0.
2.如图，向量OZ 对应的复数是z，分别作出下列运算的结果 对应的向量：（1）z+1； （2）z-i； （3）z+（-2+i）
解: 由图可知点Z坐标为（-2,3），所以复数x=-2+3i （1）z+1=-2+3i+1=-1+3i 综上所述，结论是：-1+3i （2）z-i=-2+3i-1=-2+2i 综上所述，结论是：-2+2i （1）z+（-2+i）=-2+3i-2+i=-4+4i 综上所述，结论是：-4+4i
在进行复数除法运算时，通常先把(a+bi)÷(c+di)写成
的形式，再
把分子与分母都乘分母的共轭复数c-di，化简后就可得到上面的结果。这里分
∴ z3,z4对应的两点之间的距离为：
|z3-z4|=|4+3i|=
=5
3.复数的乘法
设z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d∈R）是任意两个复数，那么它 们的积
(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bd =(ac-bd）+(ad+bc )i.
很明显，两个复数的积是一个确定的复数。特别地，当z1，z2 都是实数时，把它们看作复数时的积就是这两个实数的积
复数的四则运算
复数的加法
我们规定，复数的加法法则如下设z1=a+bi,z2=c+di（a,b,c,d∈R）是任意 两个复数，那么它们的和
（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d） 很明显，两个复数的和仍然是一个确定的复数特别地，当z1，x2都是实数时 ，把它们看作复数时的和就是这两个实数的和
（4）0.
2.如图，向量OZ 对应的复数是z，分别作出下列运算的结果 对应的向量：（1）z+1； （2）z-i； （3）z+（-2+i）
解: 由图可知点Z坐标为（-2,3），所以复数x=-2+3i （1）z+1=-2+3i+1=-1+3i 综上所述，结论是：-1+3i （2）z-i=-2+3i-1=-2+2i 综上所述，结论是：-2+2i （1）z+（-2+i）=-2+3i-2+i=-4+4i 综上所述，结论是：-4+4i
在进行复数除法运算时，通常先把(a+bi)÷(c+di)写成
的形式，再
把分子与分母都乘分母的共轭复数c-di，化简后就可得到上面的结果。这里分
∴ z3,z4对应的两点之间的距离为：
|z3-z4|=|4+3i|=
=5
3.复数的乘法
设z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d∈R）是任意两个复数，那么它 们的积
(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bd =(ac-bd）+(ad+bc )i.
很明显，两个复数的积是一个确定的复数。特别地，当z1，z2 都是实数时，把它们看作复数时的积就是这两个实数的积
复数的四则运算
复数的加法
我们规定，复数的加法法则如下设z1=a+bi,z2=c+di（a,b,c,d∈R）是任意 两个复数，那么它们的和
（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d） 很明显，两个复数的和仍然是一个确定的复数特别地，当z1，x2都是实数时 ，把它们看作复数时的和就是这两个实数的和
数学人教A版(2019)必修第二册7.2复数的四则运算(共41张ppt)
2.加法法则
追问2：复数的加法满足交换律、结合律吗？
设两个任意复数 = + , = + , , , , , ∈ .
1 + 2 = + i + + i = + + + i.
2 + 1 = c + i + + i
= + + + i
= 1 + 2 .
所以2 + 1 = 1 + 2 ，复数的加法交换律成立.
类似的可得
1 + 2 + z3 = 1 + 2 + 3 .（加法结合律）
2.加法法则
探究2：复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应，
而我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复
数加法的几何意义吗？
结合律同理可得。
z1
Z1 (, )
3.减法法则
探究3：我们知道，实数的减法是加法的逆运算，类比实数
减法的意义，你认为该如何定义复数的减法？
实数减法：若满足 + = (, ∈ )则称为减去的差。
复数减法：若满足 2 + = 1 (1 , 2 ∈ )则称为1 减去 的差。
设两个任意复数1 = + i, 2 = + i. , , , ∈
+ i + + i
= + + + i.
①复数的和仍然是一个复数; ②加法法则对实数也成立.
2.加法法则
探究1：阅读教材75页，探究复数的加法法则。
设两个任意复数1 = + i, 2 = + i. , , , ∈
复数的四则运算课件高一下学期数学人教A版
3 4i
1 3
2i3 4i3
4i 4i
3 8 6i 4i 32 42
5 10i 1 2 i
25
55
例6、在复数范围内解下列 方程：
1 x 2 2 0;2 ax2 bx c 0,其中a,b, c R, 且a 0, b2 4ac 0
解：1因为
2
2i
解：因为复平面内的点Z1(x1, y1), Z2 (x2 , y2 )对应的复数
z1 x1 y1i, z2 x2 y2i
所以点Z1(x1, y1), Z2 (x2 , y2 )之间的距离为
Z1Z2 Z1Z2 z2 z1 x2 y2i x1 y1i
x2 x1 y2 y1 i x2 x1 2 y2 y1 2
1.复数的加法的运算律
设z1 a bi, z2 c di a,b, c, d R是任意两个复数，那么
z1 z2 a bi c di a c b d i z2 z1 c di a bi c a d bi
a c b d i
由此，我们可以得到z1 z2 z2 z1,这就是复数加法的交换律。
a 6 b 13
课堂小结 1、复数的加减运算及其几何意义； 2、复数的乘除运算。 3、实系数一元二次方程的求根公式。
作业布置 课本P80 习题7.2 第1、3、4、6、7题
则OZ a,b c, d a b,c d
复数加法的几何意义：
Z1 (a, b)
O
x
向量OZ就是复数a b c d i 对应的向量。
复数的减法运算 我们知道，实数的减法是加法的逆运算。类比实数减法的 意义，你认为该如何定义复数的减法？
我们规定，复数的减法是加法的逆运算。
即把满足c di x yi a bi 的复数x yi x, y R叫做复数a bi 减去 复数c di c,d R的差，记作a bi c di.
《 复数的四则运算》ppt
+ Z1 Z2 = (a1+b1i )+ (a2+b2i )
= (a1+a 2 ) + ( b1+b2 )i = (a1+a 2 )－( b1+b2 )i = (a1－b1 i)+( a2－b2 i)
=Z1+ Z2
同理可证： Z1-Z2= Z1－Z2
三.正整数指数幂的复数运算律
z 、 z1、 z2 ∈C，m、n ∈N*有
2 2 2 2、(a＋bi) ＝a －b ＋2abi.
二.复数的乘法法则：
(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2 =(ac-bd)+(bc+ad)i 显然任意两个复数的积仍是一个复数. 复数的乘法运算法则：对于任意z1,z2,z3 ∈ C,有 z1∙z2= z2∙z1 , z1∙z2 ∙z3= z1∙(z2 ∙z3) , z1∙(z2 +z3)= z1∙z2 +z1∙z3
即实部等于实部，虚部等于虚部
特别地，a+bi=0 a=b=0
.
即 两个复数（除实数外）只能说相等或不相等， 而不能比较大小.
一.复数的加法与减法
1.复数加法的运算法则
(a+bi ) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i 很明显，两个复数的和仍然是一个复数
2. 加法的运算律
1. z1 z2 z2 z1 (交换率 ); 2. ( z1 z2 ) z3 z1 ( z2 z3 )(结合率 )
实部相等，虚部互为相反数的两个复 数叫做互为共轭复数.
共轭复数
= (a1+a 2 ) + ( b1+b2 )i = (a1+a 2 )－( b1+b2 )i = (a1－b1 i)+( a2－b2 i)
=Z1+ Z2
同理可证： Z1-Z2= Z1－Z2
三.正整数指数幂的复数运算律
z 、 z1、 z2 ∈C，m、n ∈N*有
2 2 2 2、(a＋bi) ＝a －b ＋2abi.
二.复数的乘法法则：
(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2 =(ac-bd)+(bc+ad)i 显然任意两个复数的积仍是一个复数. 复数的乘法运算法则：对于任意z1,z2,z3 ∈ C,有 z1∙z2= z2∙z1 , z1∙z2 ∙z3= z1∙(z2 ∙z3) , z1∙(z2 +z3)= z1∙z2 +z1∙z3
即实部等于实部，虚部等于虚部
特别地，a+bi=0 a=b=0
.
即 两个复数（除实数外）只能说相等或不相等， 而不能比较大小.
一.复数的加法与减法
1.复数加法的运算法则
(a+bi ) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i 很明显，两个复数的和仍然是一个复数
2. 加法的运算律
1. z1 z2 z2 z1 (交换率 ); 2. ( z1 z2 ) z3 z1 ( z2 z3 )(结合率 )
实部相等，虚部互为相反数的两个复 数叫做互为共轭复数.
共轭复数
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z1z2=z2z1; (z1z2)z3=z1(z2z3); z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
例2：计算（ 1） (ab)ia (b)i
a 2 a bai bb 2 ii2
a2 b2
（ 2 ） (ab)2ia22 a bb2 i2
a22abbi2
（ 3 ） (1 2 i)3 ( 4 i) ( 2 i)
注意:一般地,两个复数只能说相等 或不相等,而不能比较大小.
思考:对于任意的两个复数到底能否 比较大小? 答案:当且仅当两个复数都是实数 时,才能比较大小.
1.复数加减法的运算法则：
(1)运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di,
(2) 那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i;
(3)
z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
2.复数的乘法与除法
(1)复数乘法的法则 复数的乘法与多项式的乘法是类似
的,但必须在所得的结果中把i2换成-1, 并且把实部合并.即:
(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2
=(ac-bd)+(bc+ad)i.
(2)复数乘法的运算定理
复数的乘法满足交换律、结合律以 及乘法对加法的分配律. 即对任何z1,z2,z3有
求
z1 z2
,
z14
, (z1•z2)2
（3） (1i)2 2i;
1 i; 1 i i;
i
1 i
1i 1 i
i.
练习:P63
拓展 求满足下列条件的复数z: (1)z+(3－4i)=1; (2)(3+i)z=4+2i
人生，就要活得漂亮，走得铿锵。自 己不奋 斗，终 归是摆 设。无 论你是 谁，宁 可做拼 搏的失 败者， 也不要 做安于 现状的 平凡人 。 18、过自己喜欢的生活，成为自己喜 欢的样 子，其 实很简 单，就 是把无 数个"今 天"过 好，这 就意味 着不辜 负不蹉 跎时光 ，以饱 满的热 情迎接 每一件 事，让 生命的 每一天 都有滋 有味。
即:两个复数相加(减)就是实部与
实部,虚部与虚部分 别相加(减).
(2)复数的加法满足交换律、结合律,
即对任何z1,z2,z3∈C,有
z1+z2=z2+z1, (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
例1.计算 (5 6 i) ( 2 i) (3 4 i)
解: (56i)(2i)(34i) (523)(614)i 11i
82.成为一个成功者最重要的条件， 就是每 天精力 充沛的 努力工 作，不 虚掷光 阴。― ―[威廉 ·戴恩·飞利浦] 83.人生成功的秘诀是，当机会来到 时，立 刻抓住 它。― ―[班杰 明·戴 瑞斯李] 84.不停的专心工作，就会成功。― ―[查尔 斯·修 瓦夫]
40.你要确实的掌握每一个问题的核 心，将 工作分 段，并 且适当 的分配 时间。[富兰克 林] 85.每一年，我都更加相信生命的浪 费是在 于：我 们没有 献出爱 ，我们 没有使 用力量 ，我们 表现出 自私的 谨慎， 不去冒 险，避 开痛苦 ，也失 去了快 乐。― ―[约翰 ·B·塔 布]
19、上天不会亏待努力的人，也不会 同情假 勤奋的 人，你 有多努 力时光 它知道 。 20、成长这一路就是懂得闭嘴努力， 知道低 调谦逊 ，学会 强大自 己，在 每一个 值得珍 惜的日 子里， 拼命去 成为自 己想成 为的人 。6.凡 是内心 能够想 到.相信 的，都 是可以 达到的 。――[NapoleonHill]
77.一个客观的艺术不只是用来看的 ，而是 活生生 的。但 是你必 须知道 如何去 靠近它 ，因此 你必须 要做静 心。― ―[OSHO] 78.烦恼使我受着极大的影响……我 一年多 没有收 到月俸 ，我和 穷困挣 扎；我 在我的 忧患中 十分孤 独，而 且我的 忧患是 多么多 ，比艺 术使我 操心得 更厉害 ！――[米开朗 基罗]
复数集C和实数集R之间有什么关系？
实数 b0
R C
复数a+bi虚数 b0非 纯纯 虚a虚 数 a0数 ， 0b，b00
如果两个复数的实部和虚部分别相 等，那么我们就说这两个复数相等．
若 a,b,c,dR,
a c
ab icdi b d
特别地，a+bi=0 a=b=0 .
问题：
a=0是z=a+bi(a、bR)为 纯虚数的 必要不充分条件
分母实数化
例3.计算 (12i)(34i)
解: (12i)(34i)12i 34i
(12i)(34i) (34i)(34i)
38 3264 i2 4i52 15i0 1 2i
55
练习
（求1z）1已知z2z1 , z1 3 z2 2i,,zz2 1 •1 z2 ,4 izz1 2
（2）已知 z11i,z22i
79.有两种东西，我们对它们的思考 愈是深 沉和持 久，它 们所唤 起的那 种愈来 愈大的 惊奇和 敬畏就 会充溢 我们的 心灵， 这就是 繁星密 布的苍 穹和我 心中的 道德律 。 ――[康德]
80.我们的生活似乎在代替我们过日 子，生 活本身 具有的 奇异冲 力，把 我们带 得晕头 转向； 到最后 ，我们 会感觉 对生命 一点选 择也没 有，丝 毫无法 作主。 ――[索 甲仁波 切] 81.如果你是个作家，这是比当百万 富豪更 好的事 ，因为 这一份 神圣的 工作。[哈兰·爱里森]
3.2(1)复数的四则运算
复习：
我们引入这样一个数i ，把i 叫做
虚数单位，并且规定： i21；
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数 集，一般用字母C表示 .
复数的代数形式： 通常用字母 z 表示，即
zab(iaR,bR)
i 实部 虚部 其中 称为虚数单位。
讨 论？
86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴 里哼着 歌儿。 倘使你 不会唱 歌，吹 吹口哨 或用鼻 子哼一 哼也可 。如此 一来， 你想让 自己烦 恼都不 可能。 ――[戴 尔·卡 内基] 87.当一切毫无希望时，我看着切石 工人在 他的石 头上， 敲击了 上百次 ，而不 见任何 裂痕出 现。但 在第一 百零一 次时， 石头被 劈成两 半。我 体会到 ，并非 那一击 ，而是 前面的 敲打使 它裂开 。――[贾柯·瑞斯]
(12i)(34i)(2i) (11 2i)(2i) 2015i
Байду номын сангаас
(3)复数的除法法则
先把除式写成分式的形式,再把分子
与分母都乘以分母的共轭复数,化简后
写成代数形式(分母实数化).即
(ab)i(cd)iabi cdi
(abi)(cdi) (cdi)(cdi)
(acbcd )2 (db2cad )i
例2：计算（ 1） (ab)ia (b)i
a 2 a bai bb 2 ii2
a2 b2
（ 2 ） (ab)2ia22 a bb2 i2
a22abbi2
（ 3 ） (1 2 i)3 ( 4 i) ( 2 i)
注意:一般地,两个复数只能说相等 或不相等,而不能比较大小.
思考:对于任意的两个复数到底能否 比较大小? 答案:当且仅当两个复数都是实数 时,才能比较大小.
1.复数加减法的运算法则：
(1)运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di,
(2) 那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i;
(3)
z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
2.复数的乘法与除法
(1)复数乘法的法则 复数的乘法与多项式的乘法是类似
的,但必须在所得的结果中把i2换成-1, 并且把实部合并.即:
(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2
=(ac-bd)+(bc+ad)i.
(2)复数乘法的运算定理
复数的乘法满足交换律、结合律以 及乘法对加法的分配律. 即对任何z1,z2,z3有
求
z1 z2
,
z14
, (z1•z2)2
（3） (1i)2 2i;
1 i; 1 i i;
i
1 i
1i 1 i
i.
练习:P63
拓展 求满足下列条件的复数z: (1)z+(3－4i)=1; (2)(3+i)z=4+2i
人生，就要活得漂亮，走得铿锵。自 己不奋 斗，终 归是摆 设。无 论你是 谁，宁 可做拼 搏的失 败者， 也不要 做安于 现状的 平凡人 。 18、过自己喜欢的生活，成为自己喜 欢的样 子，其 实很简 单，就 是把无 数个"今 天"过 好，这 就意味 着不辜 负不蹉 跎时光 ，以饱 满的热 情迎接 每一件 事，让 生命的 每一天 都有滋 有味。
即:两个复数相加(减)就是实部与
实部,虚部与虚部分 别相加(减).
(2)复数的加法满足交换律、结合律,
即对任何z1,z2,z3∈C,有
z1+z2=z2+z1, (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
例1.计算 (5 6 i) ( 2 i) (3 4 i)
解: (56i)(2i)(34i) (523)(614)i 11i
82.成为一个成功者最重要的条件， 就是每 天精力 充沛的 努力工 作，不 虚掷光 阴。― ―[威廉 ·戴恩·飞利浦] 83.人生成功的秘诀是，当机会来到 时，立 刻抓住 它。― ―[班杰 明·戴 瑞斯李] 84.不停的专心工作，就会成功。― ―[查尔 斯·修 瓦夫]
40.你要确实的掌握每一个问题的核 心，将 工作分 段，并 且适当 的分配 时间。[富兰克 林] 85.每一年，我都更加相信生命的浪 费是在 于：我 们没有 献出爱 ，我们 没有使 用力量 ，我们 表现出 自私的 谨慎， 不去冒 险，避 开痛苦 ，也失 去了快 乐。― ―[约翰 ·B·塔 布]
19、上天不会亏待努力的人，也不会 同情假 勤奋的 人，你 有多努 力时光 它知道 。 20、成长这一路就是懂得闭嘴努力， 知道低 调谦逊 ，学会 强大自 己，在 每一个 值得珍 惜的日 子里， 拼命去 成为自 己想成 为的人 。6.凡 是内心 能够想 到.相信 的，都 是可以 达到的 。――[NapoleonHill]
77.一个客观的艺术不只是用来看的 ，而是 活生生 的。但 是你必 须知道 如何去 靠近它 ，因此 你必须 要做静 心。― ―[OSHO] 78.烦恼使我受着极大的影响……我 一年多 没有收 到月俸 ，我和 穷困挣 扎；我 在我的 忧患中 十分孤 独，而 且我的 忧患是 多么多 ，比艺 术使我 操心得 更厉害 ！――[米开朗 基罗]
复数集C和实数集R之间有什么关系？
实数 b0
R C
复数a+bi虚数 b0非 纯纯 虚a虚 数 a0数 ， 0b，b00
如果两个复数的实部和虚部分别相 等，那么我们就说这两个复数相等．
若 a,b,c,dR,
a c
ab icdi b d
特别地，a+bi=0 a=b=0 .
问题：
a=0是z=a+bi(a、bR)为 纯虚数的 必要不充分条件
分母实数化
例3.计算 (12i)(34i)
解: (12i)(34i)12i 34i
(12i)(34i) (34i)(34i)
38 3264 i2 4i52 15i0 1 2i
55
练习
（求1z）1已知z2z1 , z1 3 z2 2i,,zz2 1 •1 z2 ,4 izz1 2
（2）已知 z11i,z22i
79.有两种东西，我们对它们的思考 愈是深 沉和持 久，它 们所唤 起的那 种愈来 愈大的 惊奇和 敬畏就 会充溢 我们的 心灵， 这就是 繁星密 布的苍 穹和我 心中的 道德律 。 ――[康德]
80.我们的生活似乎在代替我们过日 子，生 活本身 具有的 奇异冲 力，把 我们带 得晕头 转向； 到最后 ，我们 会感觉 对生命 一点选 择也没 有，丝 毫无法 作主。 ――[索 甲仁波 切] 81.如果你是个作家，这是比当百万 富豪更 好的事 ，因为 这一份 神圣的 工作。[哈兰·爱里森]
3.2(1)复数的四则运算
复习：
我们引入这样一个数i ，把i 叫做
虚数单位，并且规定： i21；
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数 集，一般用字母C表示 .
复数的代数形式： 通常用字母 z 表示，即
zab(iaR,bR)
i 实部 虚部 其中 称为虚数单位。
讨 论？
86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴 里哼着 歌儿。 倘使你 不会唱 歌，吹 吹口哨 或用鼻 子哼一 哼也可 。如此 一来， 你想让 自己烦 恼都不 可能。 ――[戴 尔·卡 内基] 87.当一切毫无希望时，我看着切石 工人在 他的石 头上， 敲击了 上百次 ，而不 见任何 裂痕出 现。但 在第一 百零一 次时， 石头被 劈成两 半。我 体会到 ，并非 那一击 ，而是 前面的 敲打使 它裂开 。――[贾柯·瑞斯]
(12i)(34i)(2i) (11 2i)(2i) 2015i
Байду номын сангаас
(3)复数的除法法则
先把除式写成分式的形式,再把分子
与分母都乘以分母的共轭复数,化简后
写成代数形式(分母实数化).即
(ab)i(cd)iabi cdi
(abi)(cdi) (cdi)(cdi)
(acbcd )2 (db2cad )i