一元二次方程的求根公式根的判别式
一元二次方程的根的判别式
一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根的判别式是指b²-4ac，它可以用来判断方程的根的情况。
当b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b²-4ac<0时，方程没有实数根。
判别式的应用包括不解方程判断根的情况、确定方程待定系数的取值范围、证明方程根的性质以及解决综合题。
正确理解判别式的性质并熟练灵活地运用它是本节的重点和难点。
举例来说，对于方程2x²-5x+10=0，其判别式为b²-4ac=(-5)²-4×2×10=－550，因此该方程有两个不相等的实数根。
对于方程x²-2kx+4(k-1)=0，其判别式为b²-4ac=(-2k)²-4×1×4(k-1)=4(k-2)²≥0，因此该方程有实数根。
对于方程2x²-(4m-1)x+(m-1)=0，其判别式为b²-4ac=(-(4m-1))²-4×2×(m-1)=4(2m-1)²+5>0，因此该方程有两个不相等实根。
对于方程4x²+2nx+(n²-2n+5)=0，其判别式为b²-4ac=(2n)²-4×4(n²-2n+5)=－12(n-4/3)²－176/33<0，因此该方程没有实数根。
解这类题目时，一般先求出判别式Δ=b^2-4ac，然后对XXX进行化简或变形，使其符号明朗化，进而说明Δ的符号情况，得出结论。
对判别式进行变形的基本方法有因式分解、配方法等。
在解题前，首先应将关于x的方程整理成一般形式，再求Δ=b^2-4ac。
当Δ≥0时，方程有实数根，反之也成立。
例2已知关于x的方程x-(m-2)x+m^2=0，求解以下问题：1)有两个不相等实根，求m的范围。
一元二次方程根的判别式
3、若关于x的方程 kx2 2 x 1 0有两个不相等的
0
的实数根则 k _________ 0
2
4、若关于x的方程x 2 2 k x 1 0有 1x k 3 0有 1 且k 两个实数根则 k _______ 0 8
关于x的方程k 1x 2k 1x k 3 0
2
1 有两个实数根求k的取值范围 2 有实数根求k的取值范围
今天你学到了什么？
作业： m取何值时，关于 的方程 1、 x
2m 1x 2 4m x 2m 3 0 1有两个不等的实根 2有两个相等实数根 3有两个实数根 4没有实数根 5有实数根
2 、教材第 页第 题 43 14
1 有两个不相等的实数根。 2 有两个相等的实数根 3有两个实数根 4 没有实数根
1、若关于x的方程x 2 3x k 0有两个相等的
9 实数根则k ____ 4
1 2、若关于x的方程 x 2 2 x m 没有实数根则m ____
实数根则k _____且k 1
22.2
一元二次方程根的判别式
春来初中
王玉玲
复习回顾：
1、 一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0的求根公式是什么?
2、用公式法解下列方程
1 3
2x 4x 1
2
2
y 2 2y 2 0
2
3x 2 x 1 0
2
由此可知一元二次方程的根的情况是由 2 2 b -4ac 的值来确定，故称 b -4ac
是一元二次方程ax bx c 0 a 0 的
2
根的判别式 2 用希腊字母‘‘△’’来表示，b -4ac 即△=
一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式介绍在高中数学中，我们学习了一元二次方程及其解法。
一元二次方程是指形如ax2+bx+c=0的方程，其中a、b、c是已知的实数，而x是未知数。
解一元二次方程的第一步是通过求解判别式来判断方程有几个实根。
判别式是一个用于判断方程有无实根的数值，它的值可以通过方程中的系数来计算。
判别式的计算公式判别式D的计算公式如下：D=b2−4ac其中，a、b、c分别是一元二次方程ax2+bx+c=0的系数。
判别式的值决定了一元二次方程的解的性质：•当D>0时，方程有两个不相等的实根。
•当D=0时，方程有两个相等的实根。
•当D<0时，方程没有实根，而是有两个共轭的复根。
数学实例让我们通过一个数学实例来理解一元二次方程根的判别式。
假设我们有一个一元二次方程2x2−5x+3=0。
根据判别式的计算公式，我们可以计算出判别式的值：$$D = (-5)^2 - 4 \\cdot 2 \\cdot 3 = 25 - 24 = 1$$因为D>0，所以这个方程有两个不相等的实根。
接下来，我们可以通过求根公式来求解这个方程的根：$$x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{D}}{2a}$$代入方程的系数和判别式的值，我们可以得到：$$x = \\frac{-(-5) \\pm \\sqrt{1}}{2 \\cdot 2} = \\frac{5 \\pm 1}{4}$$所以，这个方程的两个根分别是 $x_1 = \\frac{6}{4} = \\frac{3}{2}$ 和 $x_2 = \\frac{4}{4} = 1$。
因此，一元二次方程2x2−5x+3=0的解是 $x = \\frac{3}{2}$ 和x=1。
结论判别式是一元二次方程根的重要工具，通过判别式可以判断方程的解的性质。
当判别式大于零时，方程有两个不相等的实根；当判别式等于零时，方程有两个相等的实根；当判别式小于零时，方程没有实根，而是有两个共轭的复根。
一元二次方程式的求根公式
一元二次方程是形如ax²+bx+c=0的一元二次方程式，求解这种方程的根一直是数学学习中的重点和难点。
幸运的是，数学家们在几个世纪前就已经找到了一元二次方程的求根公式，这个公式被广泛地应用于解决各种实际问题和数学推导中。
一元二次方程的求根公式，也称为根的判别式，是一种能够根据方程系数直接求出方程根的公式。
它的应用在实际生活中非常广泛，例如在物理学和工程学中，用于计算物体的运动轨迹或者建筑结构的稳定性。
而在数学研究中，一元二次方程的求根公式更是作为代数方程的基石，为高阶方程的求解提供了重要的思路。
为了更好地理解一元二次方程的求根公式，我们首先来简单了解一下一元二次方程。
一元二次方程一般写作ax²+bx+c=0，其中a、b、c 分别为方程的系数。
那么，方程的根就是能够使得方程成立的未知数的值，也就是x的值。
而一元二次方程的求根公式就是用来求出这些根的具体数值。
这个公式可以分为求判别式和求根两个部分。
首先求判别式，通过计算Δ=b²-4ac来判断方程的根的情况。
如果Δ大于0，则方程有两个不相等的实根；如果Δ等于0，则方程有两个相等的实根；如果Δ小于0，则方程没有实根。
判别式不仅是用来判断方程根的情况，更重要的是它为我们之后的计算提供了信息。
接着是求根的部分，根据判别式的结果，我们可以直接套用求根公式来求出方程的根。
如果Δ大于0，方程的两个根分别为x1=(-b+√Δ)/2a和x2=(-b-√Δ)/2a；如果Δ等于0，方程的两个根为x1=x2=-b/2a；如果Δ小于0，方程没有实根，但可以求出两个虚根。
通过这样的求根过程，我们可以直观地得出方程的根，并且可以根据判别式的结果对根的情况有一个清晰的认识。
在日常生活和学习中，一元二次方程的求根公式为我们解决各种问题提供了便利。
无论是物理问题中的抛物线运动，还是工程问题中的结构稳定性，都可以通过一元二次方程的求根公式得到精确的解答。
在数学的学习中，理解和掌握一元二次方程的求根公式，不仅有助于我们进一步学习高阶方程和代数方程的解法，更能够帮助我们提高数学建模和分析问题的能力。
解一元二次方程——一元二次方程的根的判别式
2
当 − 4 < 0 时，方程没有实数根.
课后作业
1 利用判别式判断下列方程的根的情况.
3
2
2
1 2 − 3 − = 0，
2
3 − 4 2 + 9 = 0，
2
9
2
2 16 − 24 + = 0，
2
2
4 3 + 10 = 2 + 8.
2 在不解方程的情况下，判断关于 的一元二次方程
3 + 2 = − 2 2 − 1 +
2
4 + 2 2�� + 6 = 0.
9
；
2
3 + 2 = − 2 2 − 1 +
9
；
2
2
解： 化方程为 4 − 12 + 9 = 0.
= 4， = −12， = 9.
2
= − 4
2
= (−12) − 4 × 4 × 9
+ = 0.
移项，得
2
=−
.
2
+
=−
.
配方，得
2
+
+
2
+
2
2
2
=− +
2
− 4
=
.
2
4
2
,
2
2
+
2
2
− 4
=
.
一元2次方程求根公式
一元2次方程求根公式
求一元二次方程的根的公式，通常都是利用韦达定理和根的判别式。
一元二次方程的标准形式为 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)。
假设其解为x1和x2，那么根据韦达定理，我们有如下等式：x1 + x2 = -b/a，x1x2 = c/a。
于是，我们可以使用这两个等式来求出一元二次方程的根。
若要解出一元二次方程的具体根，还需利用根的判别式，即 Δ = b² - 4ac，其中，Δ即为变量的讨论范围，也称为判别式。
如果判别式Δ小于0，那么方程无实根。
即方程的解为两个虚根。
如果判别式Δ等于0，那么方程有两个相同的实根，或者说有一对重根。
这时候，方程的解可以用以下的公式来求解：x1,2 = -b/2a。
如果判别式Δ大于0，那么方程有两个不相同的实根。
这时候，方程的解可以
用以下的公式来求解：x1,2 = [-b ± sqrt(Δ)] / 2a。
需要注意的是，以上这些公式只是一元二次方程的求解方法之一，对于一些特殊的情况，比如说完全平方，或者是可以通过因式分解来求解的情况，就需要选
用不同的求解策略。
但无论如何，以上这些公式是求解一元二次方程最常用，也是最基础的工具。
一元二次方程的求根公式是啥
一元二次方程的求根公式是啥求根公式分为两个部分：计算判别式和计算根的表达式。
首先，计算判别式，判别式是Δ = b^2 - 4ac。
判别式Δ 可以帮助我们判断方程有多少个实根，根的类型以及相应的解。
如果Δ>0，方程有两个实根（不相等），公式为x=(-b±√Δ)/(2a)。
如果Δ=0，方程有一个实根（重根），公式为x=-b/(2a)。
如果Δ<0，方程没有实根，存在复数解，公式为x=(-b±i√，Δ，)/(2a)，其中i是虚数单位。
接下来，我们将详细解释三种情况的求根公式。
1.当Δ>0时，方程有两个实根（不相等），根的公式为x=(-b±√Δ)/(2a)。
在这种情况下，我们需要计算两个不同的实根。
例如，给定方程2x^2+5x-3=0，则有a=2，b=5，c=-3由判别式Δ = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(2)(-3) = 49，显然Δ > 0。
根据一元二次方程的求根公式，我们计算两个实根：x1=(-5+√49)/(2*2)=(-5+7)/4=2/4=0.5x2=(-5-√49)/(2*2)=(-5-7)/4=-12/4=-3因此，方程2x^2+5x-3=0的两个实根分别为0.5和-32.当Δ=0时，方程有一个实根（重根），根的公式为x=-b/(2a)。
在这种情况下，方程只有一个解，解是重根。
例如，给定方程x^2+6x+9=0，则有a=1，b=6，c=9根据判别式Δ = b^2 - 4ac = 6^2 - 4(1)(9) = 0，显然Δ = 0。
根据一元二次方程的求根公式，我们计算重根：x=-6/(2*1)=-6/2=-3因此，方程x^2+6x+9=0的一个实根是-33.当Δ<0时，方程没有实根，存在复数解，根的公式为x=(-b±i√，Δ，)/(2a)。
在这种情况下，方程没有实数解，但可以使用复数单位i表示解。
例如，给定方程x^2+2x+5=0，则有a=1，b=2，c=5根据判别式Δ = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(5) = -16，显然Δ < 0。
一元二次方程的求根
一元二次方程的求根
一元二次方程是指形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c为已知常数且a不等于0。
求解一元二次方程的根可以使用求根公式。
求根公式如下：
设一元二次方程ax^2+bx+c=0的求根为x1和x2，则有：
x1 = (-b + √(b^2-4ac))/2a
x2 = (-b - √(b^2-4ac))/2a
其中，√表示平方根。
根据这个公式，我们可以通过代入方程的系数a、b、c的值来计算一元二次方程的两个根。
需要注意的是，若方程的判别式b^2-4ac 小于0，则方程无实根；若判别式等于0，则方程有两个相等的实根；若判别式大于0，则方程有两个不相等的实根。
关于一元二次方程求根的具体步骤和例题，你可以在数学教材或相关学习资源中找到更详细的资料。
第五讲 公式法解一元二次方程和根的判别1
第五讲公式法解一元二次方程和根的判别式一、求根公式法：1.一般地，对于一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)，当时，它有两个实数根为这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用这个公式解一元二次方程的方法叫做求根公式法。
2.利用公式法解一元二次方程的一般步骤：（1）先把方程化为一般形式，即a+bx+c=0(a≠0)的形式；（2）正确地确定方程各项的系数a,b,c的值（注意正负号）；（3）当-4ac<0时，方程没有实数根，就不需要解了（负数开方没有意义）；（4）当-4ac≥0时，将a,b,c的值代入求根公式，求出方程的两个根。
二、一元二次方程的几种解法的联系及其特点：1.直接开平方法：适用于解形如=m(p≠0,m≥0)的方程，是配方法的基础。
2.配方法：是解一元二次方程通用的方法，是公式法法基础，没有配方法就没有公式法。
3.公式法：是解一元二次方程通用的方法，是解一元二次方程重要的方法。
4.因式分解法：是解一元二次方程比较简单的方法，但只适用于左边易因式分解而右边为0的一元二次方程。
（各种方法各有各的特点，具体选择解法根据方程特征）三、一元二次方程根的判别式：1.-4ac叫做一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，通常用符合“△”来表示，即△=2.一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)的根的情况与△的关系：△>0 <＝>△=0 <＝>△<0 <＝>△≥0 <＝>例1.用公式法解方程：变式1：用公式法解方程：3+5x-2=0变式2：解关于x的方程：-m(3x-2m+n)-=0例2.选择适当的方法解下列方程：（1）7(=28 (2)-2y-399=0(3)2+1=2x (4)+3(2x+1)+2=0变式1：解方程：-y=-例3.不解方程，判断下列方程根的情况:(1)2+3x-4=0 (2)3+2=2x (3)+1= (4)a+bx=0(a≠0) （5）a+c=0(a≠0)变式1：关于X的方程+m（x+1）+x=0一定有实数根吗？为什么？例4．已知关于X的方程k-4kx+k-5=0有两个相等的实数根，求K的值并解这个方程。
一元二次方程根的判别式B
一元二次方程根的判别式B判别式是一元二次方程的一个重要概念，用于判断方程的根的性质和数量。
判别式的值可以分为三种情况：1.当B>0时，方程有两个不相等的实根。
2.当B=0时，方程有且仅有一个实根，且该根为重根。
3.当B<0时，方程没有实根，而是有两个共轭的复数根。
下面我们详细地讨论一下这三种情况。
1.当B>0时，方程有两个不相等的实根。
当判别式B大于0时，根据求根公式可得方程的两个实根为：x1=(-b+√B)/(2a)x2=(-b-√B)/(2a)这两个实根恰好在数轴上位于不同的位置，且它们的差值等于2√B/(2a)，也就是说，随着判别式B的增大，两个实根之间的差值也随之增大。
2.当B=0时，方程有且仅有一个实根，且该根为重根。
当判别式B等于0时，根据求根公式可得方程的实根为：x=-b/(2a)这个实根在数轴上只有一个位置，即与x轴的交点只有一个。
这种情况下，这个实根称为重根。
也可以理解为，方程的图像与x轴相切，没有其他交点。
3.当B<0时，方程没有实根，而是有两个共轭的复数根。
当判别式B小于0时，根据求根公式可得方程的两个复数根为：x1=(-b+i√(-B))/(2a)，x2=(-b-i√(-B))/(2a)这两个根都是复数，其中i为虚数单位。
这种情况下，方程在数轴上没有实根，而是存在于复数平面上两个共轭的点上，且它们关于实轴对称。
判别式在解一元二次方程时起到了重要的作用，它可以帮助我们直观地了解方程根的性质和数量。
通过判别式的值，我们能够更好地理解一元二次方程的解集，并能够从中得到更多的信息。
总结起来，一元二次方程根的判别式B = b^2 - 4ac，通过判别式的值，我们可以判断方程的根的性质和数量，即方程有两个不相等的实根（当B > 0），且有且仅有一个实根（当B = 0），或者没有实根而是有两个共轭的复数根（当B < 0）。
这个判别式是解一元二次方程的一个重要工具，能够帮助我们更深入地理解方程的解集。
一元二次方程的根的判别式
一元二次方程的根的判别式为了判断一元二次方程的根的情况，我们可以使用根的判别式。
根的判别式表示为Δ=b^2-4ac，其中Δ代表判别式，b代表x的一次项的系数，a代表x的二次项的系数，c代表常数项。
根的判别式Δ的值决定了一元二次方程的根的数量和性质。
1.当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。
当判别式Δ大于零时，方程的根可以用求根公式来计算，即x=(-b±√Δ)/(2a)。
由于Δ大于零，所以√Δ也是实数，因此方程有两个实数根。
举个例子，假设我们有方程x^2-3x+2=0，将a=1，b=-3，c=2代入根的判别式Δ=b^2-4ac得到Δ=(-3)^2-4(1)(2)=9-8=1、因为Δ大于零，所以这个方程有两个实数根。
2.当Δ=0时，方程有两个相等的实数根。
当判别式Δ等于零时，方程的根仍然可以用求根公式来计算，即x=(-b±√Δ)/(2a)。
但是由于Δ等于零，所以方程的两个根将会相等。
举个例子，假设我们有方程x^2-4x+4=0，将a=1，b=-4，c=4代入根的判别式Δ=b^2-4ac得到Δ=(-4)^2-4(1)(4)=16-16=0。
因为Δ等于零，所以这个方程有两个相等的实数根。
3.当Δ<0时，方程没有实数根，而有两个虚数根。
当判别式Δ小于零时，方程没有实数根，而有两个虚数根。
此时，无法使用求根公式来计算方程的根，因为虚数不能直接在实数范围内进行计算。
举个例子，假设我们有方程x^2+2x+5=0，将a=1，b=2，c=5代入根的判别式Δ=b^2-4ac得到Δ=(2)^2-4(1)(5)=4-20=-16、因为Δ小于零，所以这个方程没有实数根，而有两个虚数根。
通过根的判别式，我们可以方便地判断一元二次方程的根的情况。
请牢记，Δ大于零时，方程有两个不相等的实数根；Δ等于零时，方程有两个相等的实数根；Δ小于零时，方程没有实数根，而有两个虚数根。
这一判别式是解决一元二次方程问题的重要基础。
八年级数学下一元二次方程根的判别式
A．7x2-x-1=0 B．x2+7x+15=0 C．x2+2x-3=0 D．x2-2x+1=0
3、若关于x方程x2-2x+m=0有两个 不相等的实数根，则m的取值范围 是.
4、当k 时，关于x的方程 x2-2(k+1)x+k2-2=0 无实数根.
（5） x2 2 2kx k 2 0
（6） m 2 x 2 mx 1 0
例2、分别求m的取何范围，使关于 x的方程x2-2x+m=0, ①有两个不相等的实数根？ ②有两个相等的实数根？ ③没有实数根？
变化：
改为“方程有实数根，求m的取值范围”
例3：
已知关于x的一元二次方程方程 (k+1)x2-2x-1=0,有两个不相等的实 数根,求k的取值范围.
温故而知新
一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0 , b2 4ac 0)
的求根公式是
b b2 4ac x
2a
复 习：
用公式法求下列方程的根:
用公式法 解一元二 次方程的 一般步骤:
(1) x2+x=1 (2) x2+1= x (3) x2 2x 1
2
1)把方程化为一般形式
2)确定 a, b, c 的值
△=b2–4ac＞0 方程有两个不相等的实数根
△=b2–4ac=0 方程有两个相等的实数根
△=b2–4ac＜0
说明： △=b2-4ac≥0
方程没有实数根 方程有实数根
例1、不解方程,判别下列方程的根的情况
(1) 2x2-3x-4=0 (2) 4y2+9=12y (3) 5(m2+1)=7m（4） 2 x2 4 3 x源自 2 25、若关于x的方程
一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式判别式D是一个用来判别一元二次方程的根性质的数学公式，它被定义为D = b^2 - 4ac。
判别式可以帮助我们确定一元二次方程的根的类型以及解的个数。
根据判别式D的值，一元二次方程的根可以分为以下三种情况：1.当D>0时，方程有两个不同实数根。
如果判别式D大于零，意味着b^2 - 4ac大于零，即方程的平方项系数平方减去四倍的ac是正数。
这意味着方程的根是两个不同的实数。
我们可以用求根公式来计算方程的根：x1=(-b+√D)/2ax2=(-b-√D)/2a当D大于零时，方程有两个不同实数根。
2.当D=0时，方程有两个相等的实数根。
如果判别式D等于零，意味着b^2 - 4ac等于零，即方程的平方项系数平方减去四倍的ac是零。
这意味着方程的根是两个相等的实数。
我们可以用求根公式来计算方程的根：x1=x2=-b/2a当D等于零时，方程有两个相等的实数根。
3.当D<0时，方程没有实数根。
如果判别式D小于零，意味着b^2 - 4ac小于零，即方程的平方项系数平方减去四倍的ac是负数。
这意味着方程没有实数根。
在这种情况下，方程的解是两个虚数根。
虚数根通常用i来表示。
虚数根是复数，其实部为零。
我们可以用求根公式来计算方程的虚数根：x1=(-b+√(-D))/2ax2=(-b-√(-D))/2a当D小于零时，方程没有实数根，而是两个虚数根。
利用判别式可以帮助我们确定一元二次方程的根的性质和解的个数。
通过计算判别式，我们可以得知方程的根是否为实数，以及方程是否有一个或两个相等的实数根。
这对于求解方程以及解方程中的相关问题都非常有用。
一元二次方程求根
一元二次方程求根在代数学中，一元二次方程是指具有如下形式的方程：ax^2 + bx + c = 0其中，a、b、c分别为已知数，且a ≠ 0。
一元二次方程的求解是数学中的基本问题之一，本文将详细介绍一元二次方程的求根方法。
求根公式对于一元二次方程，我们可以借助求根公式来求解其根的值。
求根公式如下：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a在计算过程中，我们需要先判断方程的判别式Δ 的大小，即Δ =b^2 - 4ac。
以判别式为依据，一元二次方程的根可以分为以下三种情况：1. Δ > 0：方程有两个实根。
2. Δ = 0：方程有且仅有一个实根。
3. Δ < 0：方程没有实根，但有两个复数根。
根据以上的判别式的性质，我们可以编写一个求解一元二次方程的程序，来实现方程的根的计算和输出。
下面是一个示例程序：```pythonimport mathdef solve_quadratic_equation(a, b, c):# 计算判别式delta = b**2 - 4*a*cif delta > 0:# 方程有两个实根x1 = (-b + math.sqrt(delta)) / (2*a)x2 = (-b - math.sqrt(delta)) / (2*a)return x1, x2elif delta == 0:# 方程有且仅有一个实根x = -b / (2*a)return xelse:# 方程没有实根，但有两个复数根real_part = -b / (2*a)imaginary_part = math.sqrt(-delta) / (2*a) x1 = complex(real_part, imaginary_part) x2 = complex(real_part, -imaginary_part) return x1, x2# 输入方程的系数a = float(input("请输入方程的a系数："))b = float(input("请输入方程的b系数："))c = float(input("请输入方程的c系数："))# 调用函数求解result = solve_quadratic_equation(a, b, c)# 输出结果print("方程的根为：", result)```这段代码是使用Python编写的，通过输入方程的系数 a、b、c，即可得到一元二次方程的根。
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一元二次方程的求根公式及根的判别式
主讲：黄冈中学高级教师余国琴
一、一周知识概述
1、一元二次方程的求根公式
将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为
．
该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法．
说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)；
(2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的；
(3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式.
2、一元二次方程的根的判别式
（1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
（3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．
二、重难点知识
1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。
(1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式法”就显得多余的了。
(2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。
(3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。
如方程；用因式分解，则
6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。
(4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方程有实
根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。
2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点：
（1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac；
（2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c；
（3）根的判别式是指b2－4ac，而不是
三、典型例题讲解
例1、解下列方程：
(1)；(2)；(3).
分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，
解：(1)因为a=1，，c=10
所以
所以
(2)原方程可化为
因为a=1，，c=2
所以
所以.
(3)原方程可化为
因为a=1，，c=－1
所以
所以；
所以．
总结：
(1)用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式；如果二次项系数为负数，通常将其化为正数；如果方程的系数含有分母，通常先将其化为整数，求出的根要化为最简形式；
(2)用求根公式法解方程按步骤进行．
例2、用适当方法解下列方程：
①②
③④
⑤⑥
⑦
分析：
要合理地选用适当的方法解一元二次方程，就必须熟悉各种方法的优缺点，处理好特殊方法和一般方法的关系。
就直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法这四种方法而言，配方法、公式法是一般方法，而开平方法、因式分解法是特殊方法。
⑴公式法是最一般的方法，只要明确了二次项系数、一次项系数和常数项，若方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入一元二次方程的求根公式
求值，所以对某些方程，解法又显得复杂了。
如①，可以直接开平方，就能马上得出解；若此时还用求根公式就显得繁琐了。
⑵配方法是一种非常重要的方法，在解一元二次方程时，一般不使用，但并不是一定不用，若能合理地使用，也能起到简便的作用。
若方程中的一次项系数有因数是偶数，则可使用，计算量也不大。
如②，因为224比较大，分解时较繁，此题中一次项系数是-2。
可以
利用用配方法来解，经过配方之后得到，显得很简单。
⑶直接开平方法一般解符合型的方程，如第①小题。
⑷因式分解法是一种常用的方法，它的特点是解法简单，故它是解题中首先考虑的方法，若一元二次方程的一般式的左边不能分解为整数系数因式或系数较大难以分解时，应考虑变换方法。
解：①
两边开平方，得
所以
②
配方，得
所以
所以
③
配方，得
所以
所以
④
因为
所以=4＋20=24
所以
所以
⑤
配方：
所以
所以
⑥
整理，得
所以
⑦
移项，提公因式，得
所以
小结：
以上各题请同学们用其他方法做一做，再比较各种方法的优缺点，体会如何选用合适的方法，下面给出常规思考方法，仅作参考。
例3、已知关于x的方程ax2－3x＋1=0有实根，求a的取值范围.
解：当a=0时，原方程有实根为
若a≠0时，当原方程有两个实根.
故，综上所述a的取值范围是.
小结：
此题要分方程ax2－3x＋1=0为一元一次方程和一元二次方程时讨论，即分当a=0与a≠0两种情况．
例4、已知一元二次方程x2－4x＋k=0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围；
(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2－4x＋k=0与x2＋mx－1=0有一个相同的根，求此时m的值.
解：(1)因为方程x2－4x＋k=0有两个不相等的实数根，
所以b2－4ac=16－4k>0，得k<4.
(2)满足k<4的最大整数，即k=3.
此时方程为x2－4x＋3=0，解得x1=1，x2=3.
①当相同的根为x=1时，则1＋m－1=0，得m=0；
②当相同的根为x=3时，则9＋3m－1=0，得
所以m的值为0或
例5、设m为自然数，且3<m<40，方程有两个整数根求m的值及方程的根。
解：，
∵方程有整数根，
∴4（2m＋1）是完全平方数。
∵3<m<40∴7<2m＋1<81
∴2m＋1值可以为9，25，49
∴m的值可以为4，12，24。
当m=4时方程为解得x=2或x=8
当m=12时方程为解得x=26或x=16
当m=24时方程为解得x=52或x=38
总结：
本题先由整数根确定2m＋1是完全平方数，再由3<m<40中m为整数确定m的值，再分别试验求x，是本题特点。