【2016-2020年高考数学分类汇编】数学 专题8不等式、线性规划 教师版
2020高考数学理二轮课标通用专题能力训练：不等式、线性规划含解析
8.已知变量x,y满足约束条件 若x+2y≥-5恒成立,则实数a的取值范围为()
A.(-∞,-1]B.[-1,+∞)
C.[-1,1]D.[-1,1)
答案:C
解析:设z=x+2y,要使x+2y≥-5恒成立,即z≥-5.作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示,要使不等式组成立,则a≤1,由z=x+2y,得y=- x+ ,
18.已知存在实数x,y满足约束条件 则R的最小值是.
答案:2
解析:根据前三个约束条件 作出可行域如图中阴影部分所示.由存在实数x,y满足四个约束条件,得图中阴影部分与以(0,1)为圆心、半径为R的圆有公共部分,因此当圆与图中阴影部分相切时,R最小.由图可知R的最小值为2.
16.已知x,y∈(0,+∞),2x-3= ,则 的最小值为.
答案:3
解析:由2x-3= ,得x+y=3,故 (x+y) (5+4)=3,当且仅当 (x,y∈(0,+∞))时等号成立.
17.若函数f(x)= lgx的值域为(0,+∞),则实数a的最小值为.
答案:-2
解析:函数f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞),由 >0及函数f(x)的值域为(0,+∞)知x2+ax+1>0对∀x∈{x|x>0,且x≠1}恒成立,即a>-x- 在定义域内恒成立,而-x- <-2(当x≠1时等号不成立),因此a≥-2.
A.{x|x>2,或x<-2}B.{x|-2<x<2}
2020年高考文数二轮专题复习：题型1第4讲不等式、线性规划含解析
第4讲不等式、线性规划［考情分析］不等式的性质、求解、证明及应用是每年高考必考的内容，对不等式的考查一般以选择题、填空题为主.(1)主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值及线性规划问题.(2)不等式的相关知识可以渗透到高考的各个知识领域，往往作为解题工具与数列、函数、向量相结合，在知识的交汇处命题，难度中档，在解答题中，特别是在解析几何中利用不等式求最值、范围或在解决导数问题时利用不等式进行求解，难度偏高.热点题型分析热点1不等式的性质及解法方法结论----------- V——----1利用不等式的性质比较大小要注意特殊值法的应用.2. —元二次不等式的解法先化为一般形式ax2+ bx+ c>0@工0)，再求相应一元二次方程ax2+ bx+ c= 0@工0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集.3. 简单分式不等式的解法f x⑴g7>0(<0)? f(x)g(x)>0(<0)；fxg(x 戸0( w 0), Q(x 尸0.I【题型分析】I1. 已知a>b>0，给出下列四个不等式：①a2>b2:②2a>2b_\ ③ a- b> a- b;④a3+ b3>2a2b.其中一定成立的不等式为()A. ①②③ B .①②④C.①③④ D .②③④答案A解析解法一：由a>b>0可得a2>b2，所以①成立；由a>b>0可得a>b-1,而函数f(x) = 2x在R上是增函数, ••• f(a)>f(b-1)，即2a>2b-1，所以②成立；a>b>0，.°. a> b，•••( a — b)2— ( a — .b)2 = 2 ab -2b = 2 b( a - ,b)>0,a — b>%：a — .b ,所以③成立; 若 a = 3, b = 2,贝U a 3 + b 3 = 35,2a 2b = 36, 有a 3+ b 3<2a 2b ,所以④不成立.故选 A. 解法二：令 a = 3, b = 2,可以得到①a 2>b 2,②2a >2b — J ③a — b> a — .b 均成立，而④a 3 + b 3>2a 2b 不成立，故选A.2. 函数f(x)= 3x — x 2的定义域为( )A. [0,3]B. (0,3)C. (", 0] U [3 ,+x )D. (", 0)U (3,+x ) 答案 A【误区警示】I1•判断不等式是否成立，需要利用性质推理判断，也经常采用特值法进行验 证或举出反例，如第1题中对于a 与a — b 或者a —b 与0的大小判断易出错，利 用不等式的性质 a >b >0,• a — b >b — b — 0,即a — b >0. 2.解一元二次不等式要注意二次项系数的正负，通常先把系数化正再求解，不等式的解集要写成集合或区间的形式.如第2题易忽略二次项系数为负，由3x解析 要使函数f(x)= 3x — x 2有意义，则 3x — x 2>0, 即卩 x — 3x < 0? x(x —3)<0,解得 0W x <3,故选 A.2x 一 43.不等式2一R M 1的解集为()A.{ x|x<1 或 x > 3} C.{x|1<x M 3}B . {x|1M x M 3} D . {x|1<x<3}2x — 4 2x 一 4x — 3解析由n M 〔，移项得尸一1M 0,即口M 0,(x — 3[x -1 戶 0,X M 1,解得1vx M 3,故选C.—x2> 0得出选项C.3. 解不等式时同解变形出错，第3题易出现的问题有两个方面：一是错用不等式的性质直接把不等式化为2x—4M x—1求解；二是同解变形过程中忽视分母不为零的限制条件，导致增解•热点2基本不等式及其应用方法结论v1. 利用基本不等式求最大值、最小值的基本法则⑴如果x>0, y>0, xy = p （定值），当x = y 时，x + y 有最小值2 , p.（简记：积 定和最小）1 2⑵如果x>0, y>0, x + y = s （定值），当x =y 时，xy 有最大值4s .（简记：和定 积最大）2. 利用基本不等式解决条件最值问题的关键是构造和为定值或乘积为定值, 主要有两种思路：（1） 通过变形直接利用基本不等式解决.（2） 对条件变形，根据已知条件和基本不等式的“需求”寻找“结合点”， 通 过“ 1的代换、添项、分离常数等手段使之能运用基本不等式. 常见的转化方法有： （字母均为正数）;【题型分析】1.下列结论正确的是（ ）A. 当 x>0 且 X M 1, lg x + 十》2 1B. x ^+1 <1（x € R ）C. 当x>0时， x + 1x > 21D. 当0<x < 2时，x — 一无最大值x 答案 C解析 对于A ，当0VXV1时，lg x<0,不等式不成立；对于 B ，当x _ 0时， 有x 2+ 1 _ 1,不等式不成立；对于 C ,当x>0时，也+扌》2寸应扌_2,当且1①若a + b _ y —1,贝U mx + ny _(mx + ny) •_ (mx + ny) •£+ b >ma + nb +2 ,mnab② x + --- _ x — a + x — abx —+ a >a + 2 b(x>a , b>0).仅当x_ 1时等号成立；对于D,当0<x W 2时，y_x—-单调递增，所以当x_ 2时,x3取得最大值，最大值为3.故选C.2. _______________________________________________ 已知0<x<1，则x(4 - 3x)取得最大值时x 的值为 _______________________________ .2答案2解析 x(4 — 3x) = * (3x)(4 — 3x)<—，当且仅当 3x = 4— 3x ,2 4 2 即x =彳时，取等号•所以x(4 — 3x)的最大值为4取得最大值时x 的值为3.3. 设x>— 1,则函数 y =迸严的最小值为 答案 92解析••• x>— 1,A x + 1>0「= x +x ±^= x +1，即x =1时取“=”(由于x> — 1,故x = — 3舍去)，••• y =迸丁的最小 值为9.4. ____________________________________________________________ (2018江苏高考)在厶ABC 中，角A , B , C 所对的边分别为a , b , c ,Z ABC =120°, / ABC 的平分线交AC 于点D ,且BD = 1,贝U 4a + c 的最小值为 ______________________ .答案 9解析由题意可知，S A ABC = S A A BD + S A BCD , 由角平分线性质和三角形面积公 11 1 1 1 式得^acsin120 =2*x 1 x sin60 + 沖 1x sin60 ° 化简得 ac = a +c ,首+ "= 1, 因 此4a + c = (4a + c) £+三)=5+1+鲁》5+ 2、^£甲=9,当且仅当c = 2a = 3时取等 号，则4a + c 的最小值为9.【误区警示】1.利用均值不等式求解最值时，要注意三个条件，即 “一正一一各项都是正 数；二定 和或积为定值；三等 能取到使等号成立的值”，这三个条件缺一 不可.2.第 2题易出错的地方是：不会“凑”，不能根据函数解析式的特征适当变 形凑出两式之和为定值；第3题是分子展开后不能变形凑出两式之积为定值. 第4 题利用T 的代换或配凑使和为定值或积为定值时，代数式的变形要注意保持等价•热点3简单的线性规划问题方法结论1. 解决线性规划问题的一般步骤⑴画出可行域；(2)根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点； ⑶x + 1 X + 12(x + 1)+ 5(x + 1)+ 4 = x + 1+ 丄 = x +1x + 1 + 5>2\/(x + 1)x ++1+ 5 = 9,当且仅当 x + 1 =求出目标函数的最大值和最小值.2. 常见代数式的几何意义Az z(1) z= Ax+ By表示与直线y= —RX+B在y轴上的截距B成比例的数；(2) z= (x —a)2+ (y—b)2区域内动点(x, y)与定点(a, b)的距离的平方；(3) z= y——a表示区域内动点(x, y)与定点(a, b)连线的斜率.3. 求解线性规划中含参问题的基本方法(1) 首先把不含参数的平面区域确定好；(2) 把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围.4. 解线性规划应用问题的一般步骤(1)分析题意，设出未知量；⑵列出线性约束条件和目标函数；(3) 作出可行域并利用数形结合求解；(4) 作答.I【题型分析】题型1已知约束条件，求目标函数的最值2x+ 3y —6> 0，1. (2019全国卷U )若变量x，y满足约束条件x+ y—3w0，则z= 3x—yy —2 w 0，的最大值是________ .答案9解析作出已知约束条件对应的可行域(图中阴影部分)，由图易知，当直线y= 3x—z 过点C时，一z最小，即z最大.x + y — 3 = 0, x = 3, 由2 解得2 2x + 3y — 6 = 0, y= 0,即 C 点坐标为（3,0）,故 Z max = 3X 3— 0= 9.则z = x 2 + y 2 — 4x —6y + 13的最小值为 ______ .由于 z = x 2 + y 2— 4x —6y + 13= (x — 2)2 + (y — 3)2,故 z 表示可行域内的点 A(x , y)与定点P(2,3)间距离的平方，即z =|PAf.由图形可得|PA|的最小值即为点P(2, 3)到直线x + y — 4= 0的距离d =|2+ 3 — 4| =亚2 = 2 ,2 1所以 Z min = d = ?.|【误区警示】|第1、2题易错在不能准确把握目标函数z 的几何意义而不知如何变形 题型2已2.(2019晋城一模)若x , y 满足约束条件 x + y —4< 0,ly 》2,解析知目标函数的最值求参数x> 1,1. （2019华南师大附中一模）已知a>0, x, y满足约束条件x+ y<3, 若y>ax—3,z= 2x+ y的最小值为1,贝U a=( )C. 1答案Ax= 1, 解析由约束条件画出可行域（如图所示三角形及其内部）.由'$= ax—3）得B（1, —2a）.当直线2x+y—z= 0过点B时，z= 2x+ y取得最小值，所以1 = 2X 1 1—2a,解得a= q,故选A.x—y>0,若z= ax+ y的最大值为4,贝U a=2.知x,y满足约束条件x+y<2,在直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影部分所示,若z = ax + y 的最大值为4, 则y = — ax + z 截距的最大值为4. ① 若a<0,则不满足条件；② 若a>0,当一a<— 1,即a>1时，x = 2, y = 0是最优解，此时a = 2；当一 a> — 1,即0<a<1时，x = 1, y = 1是最优解，此时a = 3>1(舍).故选B.【误区警示】第1题易在分析动直线的位置时出错，忽略直线 y = a(x — 3)恒过定点(3,0)而 不好确定可行域；第2题需明确目标函数中z 与直线y = — ax + z 截距最值相同， 易忽视关于a 的正负讨论而漏解或错解.题型3线性规划的实际应用(2019黄冈联考)一个小型加工厂用一台机器生产甲、乙两种桶装饮料，生产 一桶甲饮料需要白糖4千克，果汁18千克，用时3小时；生产一桶乙饮料需要白 糖1千克，果汁15千克，用时1小时.现库存白糖10千克，果汁66千克，生产 一桶甲饮料利润为200元，生产一桶乙饮料利润为100元，在使用该机器用时不 超过9小时的条件下，生产甲、乙两种饮料利润之和的最大值为 _________________________________ .答案 600解析 设生产甲、乙两种饮料分别为x 桶、y 桶，利润为z 元， 「4x + y < 10, 18x + 15y < 66,则得 3x + y < 9, x > 0,Ly >0.目标函数z = 200x + 100y.4x+y-l0=0「4x + y < 10, 6x + 5y < 22, 即 3x +y < 9,x > 0, L y >0.6%+5y-22=0作出可行域（如图阴影部分所示）•当直线z= 200x+ 100y经过可行域上点B 时，z取得最大值.4x+ y= 10,解方程组* 得点B的坐标（2,2）,故Z max= 200X 2+ 100X2 = 600.©x+ 5y= 22,I【误区警示】I1. 线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.2. 在解决线性规划的应用问题时要注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否是整数、是否是非负数等.真题自检感悟1. （2019 全国卷I ）已知a= log20.2，b = 20'2，c= 0.20'3,则（）A.a<b<cB. a<c<bC.c<a<bD. b<c<a答案B0 2 0 3解析因为a= log20.2<0，b = 2 .>1,0<c= 0.2 .<1，所以b>c>a.故选B.（2x+ 3y —3 w 0，2. （2017全国卷U ）设x,y满足约束条件2x- 3y+ 3>0，则z= 2x+ y的最y+ 3> 0，小值是（）A. - 15 B . - 9C. 1D. 9答案A解析不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.将目标函数z = 2x + y 化为y = — 2x +z ,作出直线y = — 2x ,并平移该直线， 知当直线y = — 2x + z 经过点A(— 6, — 3)时，z 有最小值，且z min — 2 X(— 6)— 3 = —15.故选A. .2 [x — x + 3, x W 1,3.(2017天津高考)已知函数f(x) — 2 设a € R ，若关于x 的|x + ^, x > 1. 不等式f(x)> -+ a 在R 上恒成立，则a 的取值范围是( )2 A 』-16, 2 C.[ — 2 3, 2] B. _-16, 19 D 」-2飒 答案 A x x解析 关于x 的不等式f(x)》2+ a 在R 上恒成立等价于—f(x)< a +-< f(x), x x即一f(x) — a <f(x) — q 在R 上恒成立,x令 g(x)二一f(x) —2.当 x < 1 时，g(x)= — (x 2— x + 3)— x = — x 2+1— 3——x -42-箱,,g(x)max — — 16；r +x )- 2-- &+ 当且仅当労=x ，且 x > 1,即x —时, 故 g(x)max = — 2 3.宀 47 综上，g(x)max = —当x —当 x > 1 时，g(x)= —xa 1 1综上可得2 + 8的最小值为4.专题作业一、选择题1.（2019北京高考）若 x ,y 满足xi < 1— y ,且y 》—1,则3x +y 的最大值为（ ） A. — 7 B . 1 C . 5D . 7令 h(x) = f(x) — 2, 当 x < 1 时，h(x) = x 2 — x + 3—x = x 2 —爭+ 3 3 2 39 x —4 +16,当x = 当x > 1时, 39 h(X )min = 16； 2 x x 2 h (x )=x +x —x =x +x > 2, 2 x ，且 x > 1,即 x = 2 时,入当且仅当2=故 h （x ）min = 2. 综上，h （x ）min = 2. -47 故a 的取值范围为i|—屁，2 A. 1 4.（2018天津高考）已知a , b € R ,且a - 3b + 6 = 0,则2a+衣的最小值为 1 答案1 1 解析 由 a — 3b + 6= 0 可知 a — 3b = — 6,且 2a + 衣=2a + 2—3b , 因为对于任意x,2x >0恒成立， 结合均值不等式的结论可得， 2a + 2— 3b > 2 2a X 2—3b = 2 2—6=4. 当且仅当^2 a 2 — 3b _a — 3b _ — 6, a _ — 3,即:b _1时等号成立.答案CxA. 12, B 』-2, C. [1 ,+x ） D.-2 U [1 ,+x ） 答案解析二三0? 2X + 1 [（x —1I 2x + 1 戶 0, 2X + 1M 0, 解得1—2=x < 1, 1 即一2<x < 1.故选 A.x3. （201 7山东高考）若a>b>0,且ab= 1,则下列不等式成立的是（）1 bA.a+ b v2a v log2（a + b）b 1B^v log2（a+ b）v a+ £C.a+ log2（a+ b）vD. log2（a+ b）v a+ 萨亍答案B解析解法一：v a> b>0, ab= 1,••• log2（a+ b）>log2（2 . ab）= 1.2 2v a>b>0 且ab= 1 ,• a >ab>b，贝U a>1,0<b<1,于是2a>2, • 0<^<2，贝U ^75<21V a +b = a+ * 2a>a+ b>log2（a+ b），b 1•2a<log2（a+ b）<a+ &故选 B.、一 1解法: v a>b>0, ab= 1 ,•取a=2, b=q,此时 a + ¥= 4,8, log2（a+ b）= log25-1~ 1.3, b 1 •2^v log2（a+ b）v a+ £.故选 B.4.(2019北京师范大学附中模拟）已知a>0,111b>0,并且a，2，b成等差数列,则a+ 9b的最小值为()A.16B. 9C. 5D. 4答案A1 1 1解析• a, 2, b成等差数列，a 2 b1 1 “• 一+二=1a b（1 a 9b l a 9b , _, t a 9b _• a+ 9b二（a+ 9b）孑拱10+a+ /10 +企/b訂16,当且仅当匸9■且1 1 41+ 1,即a = 4, b=3时等号成立.• a+ 9b的最小值为16,故选A.a5.已知函数f(x) = x+ -+ 2的值域为(一X, 0)U (4,+x)，则a的值是()X1 3A.g Bq C. 1 D. 2答案C解析由题意可得a>0,①当x>0时，f(x)= x + a+ 2>2 a+ 2,当且仅当x—a时取等号；②当x<0时，f(x) = x+a+ 2< —2 a + 2,当且仅当x=—, a时取入2 +晋4,解得a = 1,故选C.2 — 2 压 0,等号，所以< 6.（2018 天津高考）已知 a = log 2e , b = In 2, 11c = Iog23，则a , b , c 的大小关系为（） A.a>b>c b>a>c c>a>bC.c>b>a 答案 D解析由题意结合对数函数的性质可知， 1 11a = Iog 2e>1,b = In 2 = （0,1）,c = log^^Iog 23>log 2e,据此可得，c>a>b.故选D.7.已知 A.8 答案 1 1x , y>0且x + 4y = 1,贝r + -的最小值为（）x yB . 9C . 10D . 11解析1 1 訂 1、 V Xx , y>0 且 x + 4y = 1,二 x +y = （x + 4y ） - + y J= 5+ 4 ?+5+当且仅当4X =x 即1 x= 3, 1 y =1x = — 1, 或 1（舍去）时等号成立.故选B.尸2x — 2y + 1 > 0,8.（2019华大新高考联盟模拟）若实数x,y 满足不等式组 y 》x ,则x > 0,x 2 + y 2的取值范围是（）A 』4, 2：B . [0,2] C.g ,辺 D . [0, <2]答案 B解析 画出可行域如图阴影部分所示（含边界）,x2+ y2的几何意义是阴影内的点到原点的距离的平方，显然0点为最小值点, 而A（1,1）为最大值点，故x2+ y2的取值范围是[0,2] •故选B.■p x—1 > 0,9若x, y满足约束条件x—y<0, 贝巴的最大值为（）x+ y—4< 0,A.1 B1C. 3D. 0答案C解析作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，丫是可行域内一x点与原点连线的斜率，由图可知，点A（I,3）与原点连线的斜率最大，故y的最大值入为3.故选C.*X-1 =0/I\/r-Y=0- 4=1/ 1 >/0 1 kx —y> 0,10.若直线I: kx—y+ 1= 0上不存在满足不等式组x+ y—2< 0, 的点（x,x —4y—4< 0y），则实数k的取值范围为（）A.（", 0] U 4+x 丿c.i , o )u 4，+-答案 Dx — y > 0,解析 实数x , y 满足x +y — 2< 0,对应的可行域如图中阴影部分:x — 4y — 4< 0,A.16 C . 6 D . 1答案 C1 1 1 1 a + b解析 •••正数a , b 满足：-+ r = 1,：a>1且b>1.-+ 7= 1可变形为一匚=1, a ba b ab•, _d_..--ab = a + b,.. ab — a — b = 0,.. (a — 1)(b — 1) = 1,.. a — 1 =, - a —1>0, b — 119 1 1 1 .R + b —1 = R + 9(— 2a —19a -1 = 6,当且仅当 R= 9(a—1)，即a =4时取“=”由于a >1，故a =2舍去，二a ——1+b —1的最小值为6.故 选C.1 9 212.(2019太原模拟)已知直线I : kx — y + 1= 0可化为y = kx + 1,故直线I 过定点C(0,1),由图可知,[x — y = 0,当直线I 过的交点A(1,1)时，k = 0;当直线Ilx + y — 2= 04 时 k =7，x —；；! 0的交由此可知当0<k<7时， 式组的点.故选D.直线与不等式组无交点，即直线I 上不存在满足不等11.若正数a , b 满足: 11 1 9a +1=1则L +□的最小值为()7正数a, b满足占+b= 1,若不等式a+ b》—x+ 4x + 18—m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是()A.[3 ,+x) B . (", 3]C.( — x, 6] D . [6 ,+x)答案 D1 9解析■/ a>0, b>0,且-+ 匚二1,a b八a+ b=(a+b) a+b =10+a+旱》10+2 ,b9a=16,当且仅当£=曽，即a= 4, b= 12时等号成立，所以(a+ b)min = 16.若不等式a+ b> —x2+ 4x+ 18—m对任意实数x恒成立，则—x2+ 4x+ 18 —m< 16,即卩m》一x2+ 4x+ 2对任意实数x恒成立，2 2••• —x + 4x+ 2= —(x —2) + 6<6,二m》6.•••实数m的取值范围是[6, +^).故选D.二、填空题y》1,13. 已知实数x,y满足y w2x—1 , 如果目标函数z=x—y的最小值为一1,-x+ y< m,则实数m等于_________ .答案5解析绘制不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(含边界),数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值，所以呼-筈1二-1,解得 m = 5.14.(2017江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元•要使一年的总运费与总存储费用之和最 小，贝U x 的值是 _______ .答案 30解析一年的总运费为6X 6x°=響万元). 一年的总存储费用为4x 万元.36004x = 240,当且仅当3600= 4x ，即x = 30时取得等号,入x + y < 6,15.(2019衡水中学检测)设满足 ％ 产2， 的实数x,y 所在的平面区域为x > 0, y > 0Q,则Q 的外接圆方程是 ________________ .答案 (x - 1)2+ (y - 3)2= 10解析 作出不等式组表示的平面区域 Q,如图阴影部分所示.贝皿域Q 是四 边形ABCO(含内部及边界)•易知BC 丄AB ,则外接圆的圆心为AC 的中点，又A(0,6), C(2,0),则该四边形外接圆的圆心为(1,3),半径r = 2|AC | = . 10故所求圆的方程为 (x -1)2+ (y - 3)2= 10.联立直线方程尸2x _ 1, y=- x + m ,可得交点坐标为人晋1,竺孑1 ［由目标函总运费与总存储费用的和为3600+ 4x 万元.所以当 x = 30时，一年的总运费与总存储费用之和最小16•若实数x, y满足x2+ y2< 1,则|2x+ y—2| + |6 —x—3y|的最小值是答案3解析x2+ y2< 1表示圆x2+ y2= 1及其内部，易得直线6—x—3y= 0与圆相离，故|6—x—3y|= 6—x—3y,当2x+ y —2>0 时，|2x+ y —2|+ |6—x—3y|= x—2y + 4,如下图所示，可行域为小的弓形内部，目标函数z= x—2y+ 4,贝U可知当x3 4—5, y= 5时，Z min —3,当2x+ y—2w0 时，|2x+ y—2|+ |6—x—3y|= 8—3x—4y,3 4可行域为大的弓形内部，目标函数Z—8—3x —4y,同理可知当x —5，y—5时，Z min=3,综上所述,。
2016年高考数学专题精解课件：3.不等式与线性规划
第十四页，编辑于星期五：二十三点 十八分。
方法技巧 解不等式的常见策略 (1)解一元二次不等式,一是图象法:利用“三个二次”之间的关系,借助相应二次函数图象,确定 一元二次不等式的解集;二是因式分解法:利用“同号得正,异号得负”这一符号法则,转化为 一元一次不等式组求解. (2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把它们等价转化为整式不等式(一般为一元二次
33
3
3
解析:函数 f(x)=ln(1+|x|)- 1 ,所以 f(-x)=f(x),故 f(x)为偶函数, 1 x2
又当 x∈(0,+∞)时,f(x)=ln(1+x)- 1 ,f(x)是单调递增的, 1 x2
故 f(x)>f(2x-1) f(|x|)>f(|2x-1|),所以|x|>|2x-1|,解得 1 <x<1,故选 A.
值,此时由
x
x
y 2
5=0, y 1=0,
解得
x y
3, 2,
所以 C(3,2),所以 zmax=8.
答案:8
第七页，编辑于星期五：二十三点 十八分。
1.怎么考
(1)高考对不等式的解法考查主要与函数图象、性质、导数等相结合考查.多以选择、填空题形 式出现,难度中等或偏上. (2)线性规划主要考查直接求目标函数的最值(或范围)和已知目标函数最值求参数的值(或范围), 常以选择、填空题形式出现,难度中等或偏下. (3)高考对基本不等式一般不单独考查,有时在其他知识(如数列、解三角形、解析几何、导数 的应用等)中求最值时常用到. 2.怎么办 (1)不等式的性质是解(证)不等式的基础,要弄清条件和结论,不等式的解法“三个二次”之 间的联系的综合应用要加强训练. (2)对线性规划问题要注重目标函数的几何意义的应用,准确作出可行域是正确解题的关键. (3)复习备考中应突出利用基本不等式求最值的方法,注意“拆”“拼”“凑”等技巧 的强化训练及等价转化、分类讨论、逻辑推理能力的培养.
2020版新高考复习理科数学教学案：不等式、线性规划含答案
调研二 基本不等式
■备考工具——————————————
1．基本不等式及有关结论
(1)基本不等式：如果a>0，b>0，则 ≥ ，当且仅当a＝b时，等号成立，即正数a与b的算术平均数不小于它们的几何平均数．
(2)重要不等式：a∈R，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
(3)几个常用的重要结论
∴x(y＋1)＋2(y＋1)＝6，
即(x＋2)(y＋1)＝6，∴(x＋2)(2y＋2)＝12.
∵x>0，y>0，∴x＋2>2,2y＋2>2.
∴(x＋2)＋(2y＋2)≥2 ＝2 ＝4 .
当且仅当x＋2＝2y＋2，即x＝2 －2，y＝ －1时取“＝”．
∴x＋2y≥4 －4.即(x＋2y)min＝4 －4.
答案：C
2．[20xx·浙江卷]若实数x，y满足约束条件 则z＝3x＋2y的最大值是( )
A．－1B．1
C．10D．12
■自测自评——————————————
1．[20xx·石家庄质检]已知a>0>b，则下列不等式一定成立的是( )
A．a2<－abB．|a|<|b|
C. > D. a> b
解析：通解：当a＝1，b＝－1时，满足a>0>b，此时a2＝－ab，|a|＝|b|， a< b，∴A，B，D不一定成立．∵a>0>b，∴b－a<0，ab<0，∴ － ＝ >0，∴ > 一定成立，故选C.
6．[20xx·湖北重点中学考试]已知集合A＝{x|x2－3x＋2≥0}，B＝{x|log3(x＋2)<1}，则A∩B＝( )
A．{x|－2<x<1}B．{x|x≤1或x≥2}
2020年高考江苏版高考数学 8.2 线性规划
{ 2������ - ������ ≤ 0,
6.(2019 届江苏黄桥中学检测)已知变量 x,y 满足 ������ - 2������ + 3 ≥ 0,则 z=8x·2y 的最大值是 . ������ ≥ 0,
答案 32
{ 7.(2019
届江苏苏州第六中学检测)设
个,则 a 的值等于 .
{ 0 ≤ ������ ≤ 3,
1.(2018 江苏苏州高三第一次调研测试)已知变量 x,y 满足 ������ + ������ ≥ 0, 则 z=2x-3y 的最大值为 . ������ - ������ + 3 ≤ 0,
答案 -9
{ ������ ≥ 2,
2.(2018 江苏无锡普通高中高三期末调研)已知变量 x,y 满足 ������ + ������ ≤ 4,目标函数 z=3x+y 的最小值为 5,则 2������ - ������ ≤ ������,
3
答案 2
过专题
【五年高考】
A 组 自主命题·江苏卷题组
{������ - 2������ + 4 ≥ 0,
(2016 江苏,12,5 分)已知实数 x,y 满足 2������ + ������ - 2 ≥ 0,则 x2+y2 的取值范围是 . 3������ - ������ - 3 ≤ 0,
答案 -1
{ ������ + 2������ ≤ 1,
10.(2017 课标全国Ⅰ理,14,5 分)设 x,y 满足约束条件 2������ + ������ ≥ - 1,则 z=3x-2y 的最小值为 . ������ - ������ ≤ 0,
高考数学考纲解读与热点难点突破教案及专题练习--不等式与线性规划-文科(含解析)
高考数学考纲解读与热点难点突破不等式与线性规划 教案【2020年高考考纲解读】 高考对本内容的考查主要有：(1)一元二次不等式是C 级要求，线性规划是A 级要求．(2)基本不等式是C 级要求，理解基本不等式在不等式证明、函数最值的求解方面的重要应用．试题类型可能是填空题，同时在解答题中经常与函数、实际应用题综合考查，构成中高档题.【重点、难点剖析】 1．不等式的解法(1)求解一元二次不等式的基本思路：先化为一般形式ax2＋bx ＋c>0(a>0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0(a>0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．(2)解含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因．确定好分类标准、层次清楚地求解．2．基本不等式(1)基本不等式a2＋b2≥2ab 取等号的条件是当且仅当a ＝b. (2)几个重要的不等式：①ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)． ②a2＋b22≥a ＋b2≥ab ≥2aba ＋b(a ＞0，b ＞0)．③a ＋1a≥2(a ＞0，当a ＝1时等号成立)．④2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R，当a＝b时等号成立)．(3)最值问题：设x，y都为正数，则有①若x＋y＝s(和为定值)，则x＝y时，积xy取得最大值s2 4；②若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2p.3．不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题若不等式f(x)>A在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f(x)min>A；若不等式f(x)<B在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f(x)max<B；(2)能成立问题若在区间D上存在实数x使不等式f(x)>A成立，则等价于在区间D上f(x)max>A；若在区间D上存在实数x使不等式f(x)<B成立，则等价于在区间D上f(x)min<B；(3)恰成立问题若不等式f(x)>A在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)>A的解集为D；若不等式f(x)<B在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)<B的解集为D.4．使用基本不等式以及与之相关的不等式求一元函数或者二元函数最值时，基本的技巧是创造使用这些不等式的条件，如各变数都是正数，某些变数之积或者之和为常数等，解题中要根据这个原则对求解目标进行适当的变换，使之达到能够使用这些不等式求解最值的目的．在使用基本不等式求函数的最值、特别是求二元函数最值时一定要注意等号成立的条件，尽量避免二次使用基本不等式．5．平面区域的确定方法是“直线定界、特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的半平面的交集．线性目标函数z＝ax＋by中的z不是直线ax＋by＝z在y 轴上的截距，把目标函数化为y ＝－a b x ＋z b ，可知zb 是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，要根据b 的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值.【题型示例】题型一、不等式的解法及应用 【例1】【变式探究】【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x 的值是 ▲ .【答案】30【解析】总费用，当且仅当900x x =，即30x =时等号成立.【变式探究】【2016高考新课标1卷】若,则( ) （A ）c c a b < （B ）c cab ba < （C ）（D ）【答案】C【感悟提升】(1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化；(2)求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集；(3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论．【举一反三】(2015·江苏，7)不等式2x2－x ＜4的解集为________． 解析 ∵2x2－x ＜4＝22，∴x2－x ＜2，即x2－x －2＜0，解得－1<x<2. 答案 {x|－1＜x ＜2}【变式探究】已知实数x ，y 满足ax<ay(0<a<1)，则下列关系式恒成立的是( ) A.1x2＋1>1y2＋1B ．ln(x2＋1)>ln(y2＋1)C ．sin x>sin yD ．x3>y3【方法技巧】解不等式的四种策略(1)解一元二次不等式的策略：先化为一般形式ax2＋bx ＋c>0(a>0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集．(2)解简单的分式不等式的策略：将不等式一边化为0，再将不等式等价转化为整式不等式(组)求解．(3)解含指数、对数不等式的策略：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解．(4)解含参数不等式的策略：根据题意确定参数分类的标准，依次讨论求解．【变式探究】 (1)若不等式x2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12成立，则a 的取值范围是________．(2)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x<－1，或x>12，则f(10x)>0的解集为______．【答案】(1)[－52，＋∞) (2){x|x<－lg 2}【解析】(1)设f(x)＝x2＋ax ＋1，其对称轴为x ＝－a2.若－a 2≥12，即a ≤－1时，则f(x)在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，12上是减函数，若满足题意应有f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12≥0，即－52≤a ≤－1.若－a 2≤0，即a ≥0时，则f(x)在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，12上是增函数，又f(0)＝1>0成立，故a ≥0.若0<－a 2<12，即－1<a<0，则应有f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－a 2＝a24－a22＋1＝1－a24≥0成立，故－1<a<0.综上，有a ≥－52. 另解 也可转化为：a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋1x ，x ∈(0，12)恒成立，利用单调性求解．(2)依题意知f(x)>0的解为－1<x<12，故0<10x<12，解得x<lg 12＝－lg 2.【规律方法】解一元二次不等式一般要先判断二次项系数的正负也即考虑对应的二次函数图象的开口方向，再考虑方程根的个数也即求出其判别式的符号，有时还需要考虑其对称轴的位置，根据条件列出方程组或结合对应的函数图象求解．题型二、简单的线性规划问题【例2】（2018年全国I大值为A. 6B. 19C. 21D. 45【答案】C【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A A标函数的最大值为：，本题选择C选项。
五年(2018-22)全国高考数学真题分类汇编(全国卷新高考卷卷等)专题9 不等式(解析版)
【答案】【答案】A
【思路分析】本题可根据相应的对数式与指数式与整数进行比较即可得出结果．
【解析】由题意，可知： ， ， ，所以 ．故选A．
【归纳与总结】本题主要考查对数式与指数式的大小比较，可利用整数作为中间量进行比较．本题属基础题．
【题目栏目】不等式\不等式的性质及其应用\比较实数或代数式的大小
【题目来源】2019年高考天津文·第5题9．(2019年高考天津文·第2题)设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大值为( )
A．2B．3C．5D．6
【答案】【答案】C
【思路分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解析】由约束条件 作出可行域如图
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，
联立直线方程： ，可得点A的坐标为： ，据此可知目标函数的最小值为：
且目标函数没有最大值．故目标函数的取值范围是 ．故选：B
【题目栏目】不等式\简单的线性规划问题\线性型目标函数的最值问题
【题目来源】2020年浙江省高考数学试卷·第3题
7．(2019年高考浙江文理·第3题)若实数 ， 满足约束条件 则 的最大值是( )
二、多选题
12．(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第11题)已知a>0，b>0，且a+b=1，则( )
A． B．
C． D．
【答案】ABD
解析：对于A， ，
当且仅当 时，等号成立，故A正确；对于B， ，所以 ，故B正确；
对于C， ，因为 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，故D正确； 故选：ABD
6．(2020年浙江省高考数学试卷·第3题)若实数x，y满足约束条件 ，则z=2x+y的取值范围是( )
2020年高考数学(理)总复习：不等式、线性规划(解析版)
2020 年高考数学（理）总复习：不等式、线性规划题型一不等式的解法【题型重点】 解不等式的常有策略(1) 解一元二次不等式，一是图象法：利用“三个二次 ”之间的关系，借助相应二次函数图象，确立一元二次不等式的解集；二是因式分解法：利用“同号得正，异号得负 ”这一符号法例，转变为一元一次不等式组求解．(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把他们等价转变为整式不等式(一般为一元二次不等式 )求解．(3)解含 “f ”的函数不等式，第一要确立 f(x)的单一性，而后依据函数的单一性去掉“f ”转化为往常的不等式求解．(4) 解决含参数不等式的难点在于对参数的合适分类，重点是找到对参数进行议论的原由，确立好分类标准，有理有据、层次清楚地求解．x －12e ， x<1【例 1】已知函数 f(x)＝，则 f(f(x))<2 的解集为 ()x 3 ＋x ， x ≥1A ． (1－ ln 2，＋ ∞)B ． (－ ∞， 1－ ln 2)C ．(1－ ln 2,1)D ． (1,1＋ ln 2)【分析】由于当3x－1等x ≥1时， f(x)＝ x ＋ x ≥2，当 x<1 时， f(x)＝ 2e <2，所以 f(f(x))<2x －1<1 ，解得 x<1－ ln 2，所以 f(f(x))<2 的解集为 (－∞，1－ ln 2) ，应选 B.价于 f( x)<1 ，即 2e【答案】B－ x 2＋ 2x ， x ≤0，【例 2】．已知函数 f(x)＝若|f(x)| ≥ax ，则 a 的取值范围是 ()ln x ＋ 1 ， x ＞ 0.A ．(－∞，0]B ． (－ ∞， 1]C ．[ －2,1]D ． [－ 2,0]【分析】 当 x ≤0时，f(x) ＝－ x 2＋ 2x ＝－ (x － 1) 2＋ 1≤0，所以 |f(x)| ≥ax 化简为 x 2－2x ≥ax ，即 x2≥(a＋ 2)x，由于所以 |f( x)| ≥ax 化简为式|f(x)| ≥ax 恒成立．x≤0，所以 a＋ 2≥x 恒成立，所以 a≥－ 2；当 x＞ 0 时，f(x)＝ ln(x＋ 1)＞0， ln( x＋ 1) ≥ax 恒成立，由函数图象可知 a≤0，综上，当－ 2≤a≤0时，不等【答案】 D题组训练一不等式的解法1．若不等式ax2－ bx＋ c>0 的解集是1 ,2 ，则以下结论中：①a>0；②b<0；③c>0；2④a＋ b＋ c>0；⑤ a－ b＋c>0，正确的选项是 ()A ．①②⑤B．①③⑤C．②③⑤D．③④⑤【分析】ax2－ bx＋ c>0 的解集是1,2 ，故 a<0，且 ax2－ bx＋c＝ 0 的两根为－1，2 22.由根与系数的关系得2－1＝b>0,2 × 1 ＝c<0，故 b<0，c>0. 所以，②③正确，①错误．设2 a 2 af(x)＝ ax2－ bx＋ c，依据 f(－ 1)<0，f(1)>0 ，可知 a＋ b＋ c<0 ，a－ b＋ c>0 ，故④错误，⑤正确．【答案】 C2．已知 f(x)是定义在R上的奇函数，且 f(x－ 2)＝ f(x＋ 2)，当 0＜ x＜ 2 时，f(x)＝1－ log2(x ＋1)，则当 0 ＜x＜ 4 时，不等式 (x－ 2)f(x) ＞0 的解集是 ( )A ． (0,1) ∪ (2,3) B． (0,1)∪ (3,4)C．(1,2) ∪(3,4) D． (1,2)∪ (2,3)【分析】当 0＜ x＜ 2 时，x－ 2＜ 0，不等式可化为x－ 2＜ 0，x－ 2＜ 0，即1－ log2 x＋1 <0 ，f x ＜ 0，解得 1＜ x＜2，x－ 2＞0，当 2＜x＜ 4 时， x－ 2＞ 0，不等式可化为f x ＞ 0，由函数 f(x)是奇函数，得f(－ x)＝－ f(x) ，又 f(x－ 2)＝ f(x＋2) ，则 f(x) ＝f(x－ 2＋2) ＝f(x－ 2－ 2)＝－ f(4－ x)，由于 0＜ 4－ x＜ 2，不等式可化为x－ 2＞ 0，，解得 2＜ x＜ 3，－1＋ log2 5－ x ＞0则原不等式的解集为(1,2)∪ (2,3)，应选 D.【答案】 D题型二简单的线性规划问题【题型重点】线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求地区面积；三是知最优解状况或可行域状况确立参数的值或取值范围．解决线性规划问题应特别关注以下三点：(1)第一要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，找到目标函数达到最值时可行域的极点 (或界限上的点 )，但要注意作图必定要正确，整点问题要考证解决．(2)画可行域时应注意地区能否包括界限．(3)对目标函数z＝ Ax＋ By 中 B 的符号，必定要注意 B 的正负与z 的最值的对应，要结合图形剖析．x＋y≤4【例 3】已知 P(x， y)为不等式组x－y≤0表示的平面地区M 内随意一点，若目标函x－a≥0数 z＝ 5x＋ 3y 的最大值等于平面地区M 的面积，则a＝ ________.【分析】作出不等式组对应的平面地区如图：由 z ＝ 5x ＋3y 得 y ＝－ 5x ＋ z，3 35z平移直线 y ＝－ 3x ＋ 3，由图象知当直线 y ＝－5 z z 最大，x ＋ ，经过点 A 时，直线的截距最大，此时33x ＋y ＝ 4 由，解得 x ＝ y ＝2，即 A(2,2)，x －y ＝ 0此时 z ＝5×2＋ 3×2＝ 16，x ＋y ＝ 4 由.解得 x ＝ a ，y ＝ 4－ a ，即 B(a,4－a)，x ＝ax －y ＝ 0由，解得 x ＝ y ＝a ，即 C(a ， a)，x ＝a∴ BC ＝ 4－a － a ＝ 4－2a ， △ ABC 的高为 2－ a ，1 2∴ S △ABC ＝ 2×(2－ a)(4－ 2a)＝ (2－ a) ＝ 16，解得 a ＝－ 2， a ＝ 6(舍去 )，【答案】－ 2x ≥0，则x ＋2y ＋ 3的取值范围是 ()【例 4】．设 x ， y 知足拘束条件 y ≥x ，4x ＋ 3y ≤ 12， x ＋ 1A ． [1,5]B ． [2,6]C ．[3,10]D ． [3,11]【分析】依据拘束条件画出可行域如图暗影部分所示．∵x ＋2y ＋ 3＝ 1＋2 y ＋1，令 k ＝y ＋1，即为可行域中的随意点(x ，x ＋ 1 x ＋ 1 x ＋1y)与点 ( －1，－ 1)连线的斜率．由图象可知，当点 (x ，y)为 A(0,4)时， k最大，此时 x ＋ 2y ＋ 3的最大值为 11，当点 (x ，y)在线段 OB 上时， k 最x ＋ 1小，此时x ＋ 2y ＋ 3的最小值为 3.应选 D.x ＋ 1【答案】D题组训练二 简单的线性规划问题y ≤x － 1，则 x 21．已知实数 x 、y 知足 x ≤3的最小值是 () x ＋5y ≥4yA ． 1B ． 2C ．3D ． 4【分析】作出不等式组所对应的平面地区：2由图象可知 x ＞ 0，y ＞ 0，设 z ＝ x，则 x 2＝ zy ，对应y的曲线为抛物线，由图象可知当直线y ＝ x － 1 与抛物线相切时，此时 z 获得最小值，将 y ＝ x － 1 代入抛物线 x2＝ z y ，得 x 2－ zx ＋ z ＝ 0，由 ＝ 0? z ＝ 4， z ＝ 0(舍 )所以选择 D.【答案】 Dx ≥0，2．已知点 P(x ， y)知足条件 y ≤x ，若 z ＝ x ＋3y 的最大值为 8，则实数 k ＝2x ＋ y ＋ k ≤0，________.【分析】依题意 k<0 且不等式组表示的平面地区如下图．易得，Bkk113 , 3 .目标函数 z ＝x ＋ 3y 可看作直线 y ＝－ 3x ＋ 3z 在 y 轴上的截距的 3倍，明显当直线过点B 时截距最大，此时 z 获得最大值．所以 z max ＝－ k3＋ 3×k＝－4k3＝ 8，解得 k ＝－ 6.3【答案】－ 6题型三基本不等式的应用【题型重点】利用基本不等式求函数或代数式的最值应关注的三个方面(1)形式：一般地，分子、分母有一个一次、一个二次的分式构造的函数以及含有两个变量的函数，特别适适用基本不等式求最值．(2)条件：利用基本不等式求最值需知足“正”(即条件要求中字母为正数 )、“定”(不等式的另一边一定为定值 )、“等”(等号获得的条件 )的条件才能应用，不然会出现错误．(3) 方法：使用基本不等式时，一般经过“拆、拼、凑”的技巧把求最值的函数或代数式b化为ax＋x(ab＞0) 的形式，常用的方法是变量分别法和配凑法．【例 5】已知二次函数f(x)＝ ax2＋ bx＋c 的导数为 f′(x)， f′(0)＞ 0，对于随意的实数x 都有 f(x) ≥0，则f 1的取值范围是 ()f′0A. 3 , B． [2，＋∞)2C. 5 , D． [3，＋∞)2【分析】∵ f′(x)＝ 2ax＋ b，∴ f′(0)＝b＞ 0.又∵对于随意的实数x 都有 f(x) ≥0，∴ a＞0 且 b2－ 4ac≤0，∴ b2≤4ac，∴ c＞ 0，∴f 1 ＝f′0a＋ b＋ c a＋ c 2 acb ＝ b ＋ 1≥b＋ 1≥2.【答案】 B1＋2＝ 1，则 2 ＋1的最小值为 ()2．若正数 a， b 知足：a b a－ 1 b－ 23 2A ． 2 B. 253 2C.2D ．1＋ 4【分析】 由 a ，b 为正数，且 1＋ 2＝ 1，得 b ＝2a2 ＋ 1a ba － 1>0，所以 a － 1>0，所以 a － 1b － 2＝ 2 ＋ 1 ＝ 2 ＋ a －1 2a － 1＝2，当且仅当 2 ＝ a － 1和1＋ 2＝ 1 同时成 a － 1 2a － 2 a － 1 2 ≥2 a － 1 · 2 a － 1 2a b a － 1立，即 a ＝b ＝ 3 时等号成立，所以2 ＋ 1的最小值为 2，应选 A.a － 1b － 2【答案】 A题组训练三 基本不等式的应用1．若直线 l ： ax ＋ by ＋ 1＝0(a ＞ 0，b ＞ 0)把圆 C ： (x ＋ 4)2＋ (y ＋ 1)2＝ 16 分红面积相等的两部分，则当 ab 获得最大值时，坐标原点到直线l 的距离是 ( )A ． 4B ．8 178 17 C ．2D. 17【分析】由题意，圆心 (－4，－ 1)代入直线 l ： ax ＋by ＋ 1＝ 0，可得 4a ＋ b ＝ 1,4a ＋ b＝1≥4ab ，∴ ab ≤1 ，当且仅当 a ＝ 1，b ＝1时， ab 获得最大值，坐标原点到直线 l 的距离16 82是1＝8 17，应选 D.641＋1417【答案】D2．设正实数1，不等式 4x 2y 2≥m 恒成立，则 m 的最大值为 ()x ，y 知足 x> ，y>1＋2y － 1 2x － 1A ．2 2B ． 4 2C ．8D ． 162222【分析】依题意得， 2x － 1>0 ， y － 1>0，4x＋ y ＝ [ 2x － 1 ＋ 1] ＋ [ y －1 ＋1]y － 1 2x － 1 y － 12x － 14 2x－ 1 4 y－ 1 2x－ 1 y－ 1 2 2＝8，即4x ＋y ≥8，当且仅当≥＋≥ 4×2×y－1 2x－ 1 y－ 1 2x－ 1 y－ 1 2x－12x－ 1＝ 1y－ 1＝1 x＝ 1 2 2时，取等号，所以4x ＋y 的最小值是8， m≤8，m 的最，即2x－ 1 y－ 1 y＝ 2 y－ 1 2x－1y－ 1 ＝2x－ 1大值是8，选 C.【答案】 C题型四“点”定乾坤求解与线性规划相关的问题【题型重点】线性规划求目标函数的最值时，常用方法是数形联合判断所过的定点，也能够把界限端点的坐标代入目标函数，找寻最值，研究可行域与其余函数的关系时，可用界限端点确立出答案．x≥0，【例 7】记不等式组x＋ 3y≥4，所表示的平面地区为D，若直线 y＝ a(x＋ 1)与 D 有3x＋ y≤4公共点，则 a 的取值范围是________．3x＋ y＝ 4，【分析】法一：作出可行域，利用可行域的上下界，成立的不等式，由x＝ 0得(0,4) ，x＋3y＝ 4，由得 (1,1)．3x＋ y＝ 4地区 D 的上界为 (0,4)，下界为 (1,1)，∴ y＝ a(x＋ 1)与 D 有公共点，则有2a≥1，a≤41∴2≤a≤ 4.法二：直线y＝ a(x＋ 1)为经过定点P(－ 1,0)且斜率为a，作出可行域后数形联合可知．不等式组所表示的平面地区 D 为如下图暗影部分(含界限 )，且 A(1,1)，B(0,4) ，C4，0,31直线 y＝a(x＋ 1)恒过定点 P(－ 1,0)且斜率为a，由斜率公式可知k BP＝ 4， k AP＝2，若直线 y ＝a(x＋1)知地区 D 有公共点，数形联合可得12≤a≤ 4.【答案】1 ,4 2题组训练四“点”定乾坤求解与线性规划相关的问题3x＋ 4y－ 10≥0，已知不等式组x≤4，表示地区D，过地区 D 中随意一点P 作圆 x2＋y2＝1 的两y≤3条切线且切点分别为A， B，当∠ PAB 最小时， cos∠ PAB＝ ()3 B.1A. 2 23D．－1C．－2 23x＋ 4y－ 10≥0，【分析】作出不等式组x≤4，表示的平面地区D，如下图：y≤3要使∠ APB 最大，则∠ OPB 最大．∵sin∠ OPB＝|OB|＝1，|OP| |OP |∴只需 OP 最小即可，即点 P 到圆心 O 的距离最小即可．由图象可知当|OP|垂直于直线3x－ 4y－ 10＝0，|－ 10|此时 |OP|＝＝2，|OA|＝1.2 23 ＋ 4αα OA 1，设∠ APB＝α，则∠ APO＝，即 sin ＝＝2 2 OP 22 α此时 cos α＝ 1－ 2sin2＝1－2×122＝1－12＝12，即 cos∠ APB＝1，∴∠ APB＝60°， 21∴△ PAB 为等边三角形，此时对应的∠PAB＝ 60°为最小，且cos∠PAB＝2.应选 B.【答案】 B【专题训练】一、选择题1．已知一元二次不等式f(x) ＜ 0 的解集为x x1 1或 x3A ． { x|x＜－ 1 或 x＞－ ln 3} B．{ x|－ 1＜ x＜－ ln 3} C．{ x|x＞－ ln 3}D． { x|x＜－ ln 3}x的解集为 ()，则 f(e )＞ 01【分析】f(x)＞0 的解集为x1x3xx1则由 f(e )＞ 0 得－ 1＜ e ＜ ，解得 x ＜－ ln 3 ，即 f(e x )＞ 0 的解集为 { x|x ＜－ ln 3} ．【答案】 D2＋ 1＝ 1， x ＋ 2y ＞m 2－ 2m 恒成立，则 m 的取值范围是 ()2．已知 x ＞ 0， y ＞0， x y 3A ． [－ 6,4]B ． [－ 4,6]C ．( －4,6)D ． (－ 6,4)2 12 1 2 【分析】∵ x ＋ y ≥2 xy ，即3≥2xy， 解得 xy ≥72，∵ 2＋ 1＝ 1，∴ 6＋ 3＝ 1，xy 3x y1即 3x ＋6y ＝ xy ，∴ x ＋2y ＝ 3xy ≥ 24，∴ m 2－ 2m ＜24 恒成立，解不等式 m 2－2m －24＜ 0得－ 4＜ m ＜ 6.应选 C.【答案】 C3．设 x ， y 知足拘束条件x ＋ y ≥a 7，则 a ＝ ()，且 z ＝ x ＋ ay 的最小值为x － y ≤－1A ．－ 5B ． 3C ．－5或 3D ．5 或－ 3【分析】依据拘束条件画出可行域如图中暗影部分所示：可知可行域为张口向上的V 字型．在极点处 z 有最小值，极点为 a 1 , a 1 ，则 a－ 12 2 2＋a a 1＝7，解得 a＝ 3 或 a＝－ 5.当 a＝－ 5 时，如图 2，2图 2虚线向上挪动时 z 减小，故 z→－∞，没有最小值，故只有a＝ 3 知足题意．选 B. 【答案】 B4．已知 g(x)是R上的奇函数，当 x＜ 0x3， x≤0，时，g(x) ＝－ ln(1 － x)，函数 f(x)＝g x ，x＞0，若 f(2－ x2)＞ f(x)，则实数 x 的取值范围是 ( )A．(－∞，1)∪(2，＋∞ ) B． (－∞，－ 2)∪ (1，＋∞)C．(1,2) D． (－ 2,1)【分析】设 x＞0，则－ x＜ 0，所以 g(－ x)＝－ ln(1 ＋ x)，由于 g(x)是R上的奇函数，x3， x≤0，易知 f(x)是R上的单一递所以 g(x)＝－ g(－x)＝ln(1 ＋ x)，所以 f(x)＝ln 1＋ x ， x＞ 0，增函数，所以原不等式等价于2－ x2＞ x，解得－ 2＜ x＜ 1.应选 D.【答案】 D2x－ y≤0，5．已知实数x， y 知足x＋ y－ 5≥0，若不等式a(x2＋ y2) ≥(x＋ y)2恒成立，则实数a 的y－ 4≤0，最小值是 ________．【分析】可行域为一个三角形ABC 及其内部 (图略 )，此中 A(2,4)，B(1,4)，C5 ,10，3 3所以 y∈ [k OA ， k OB ] ＝ [2,4] ，由于 y ＋ x在 [2,4] 上单一递加，所以y ＋ x ∈5 ,17，不等式 a(x 2xxyx y2 422x y 299＋y ) ≥(x ＋ y) 恒成立等价于 a ≥ x2y 2 5? a min ＝ 5.max【答案】9 52x －y － 2≥06．已知实数 x ，y 知足 x ＋y － 1≤0 ，z ＝ mx ＋ y 的最大值为 3，则实数m 的值是 ( )y ＋ 1≥0A ．－ 2B ． 3C ．8D ． 22x － y － 2≥0【分析】由实数 x ， y 知足 x ＋ y － 1≤0 作出可行域如图，y ＋ 1≥02x － y － 2＝0 ，解得A1, 1，联立y ＋ 1＝ 0 22x － y － 2＝0，解得 B(1,0)，同理 C(2，－ 1)联立x ＋ y － 2＝0化目标函数 z ＝ mx ＋ y 为 y ＝－ mx ＋ z ，当直线 z ＝ mx ＋ y 经过 C 点时，获得最大值3；∴ 3＝ 2m － 1，解得 m ＝ 2.应选 D.【答案】 D1＋ 4的最小值为 ()7．已知函数 f(x) ＝cos πx(0<x<2)，若 a ≠b ，且 f(a)＝ f(b)，则 a b 9A. 2 B ． 9【分析】函数 f( x)＝ cosπx(0< x<2) ，轴为 x＝ 1，若 a≠b，且 f(a)＝ f( b)，所以 a＋ b＝ 2131 4＝1 4 1 1 b 4a所以＋a b (a＋ b) ×＝25ba b 2 a 1 9 2 4 1 ≥ (5＋ 4)＝，当 a＝，b＝时取等号，故a 2 2 3 3＋4b的最小值为92，应选 A.【答案】 A2x－ y＋ 6≥08．已知实数 x，y 知足 x＋ y≥0，若目标函数 z＝－ mx＋ y 的最大值为－ 2m＋ 10，x≤2最小值为－ 2m－ 2，则实数 m 的取值不行能是 ( )A ． 3 B． 2C．0 D．－ 12x－ y＋ 6≥0【分析】由拘束条件x＋ y≥0作出可行域如图，x≤2联立方程组求得A(－ 2,2)， B(2，－ 2)， C(2,10) ，化目标函数z＝－ mx＋ y 为 y＝ mx＋ z，若 m≥0，则目标函数的最大值为 2m＋ 2，最小值为－ 2m－2，－2m＋ 10＝2m＋2由，可知 m＝ 2；－2m－ 2＝－ 2m－ 2若 m＝ 0，则目标函数的最大值为 10，最小值为－ 2，切合题意；若 m＝－ 1，则目标函数的最大值为－ 2m＋ 10，最小值为－ 2m－ 2，切合题意．∴实数 m 的取值不行能是 3.应选 A.【答案】 A－ ln x－x， x＞ 0，1 ＜ ln 1－ 2 的解集为9．已知函数f(x)＝则对于 m 的不等式 f－ ln －x ＋ x， x＜ 0. m 2()A. 0,1B ． (0,2)2C.1,0 ∪ 0,1D ． (－ 2,0)∪ (0,2)22【分析】函数 f(x)的定义域 ( －∞， 0)∪ (0，＋ ∞)对于原点对称，∵ x ＞ 0 时，－ x ＜ 0，f(－ x)＝－ ln x － x ＝ f(x)，同理： x<0 时， f(－ x)＝ f(x) ，∴ f(x)为偶函数．∵ f(x)在(0 ，＋ ∞)上为减函数，且 f(2) ＝－ ln 2 － 2＝ ln 1 －2.2∴当 m ＞ 0 时，由 f1＜ ln 1－ 2，得 f 1 ＜ f(2)，m2m∴ 11m ＜0 时，得－1 ＞ 2，解得 0＜ m ＜ .依据偶函数的性质知当＜ m ＜ 0.m 22【答案】Cx ≥2，时，z ＝ x ＋ y10．已知 x ，y 知足 y ≥2， (a ≥b ＞ 0)的最大值为 2，则 a ＋ b 的最小值为 ()x ＋ y ≤8 a bA ．4＋2 3B ．4－2 3C ．9D ． 8x ≥2，【分析】由拘束条件y ≥2，作出可行域如图，x ＋ y ≤8x ＝ 2， 联立，x ＋ y ＝ 8解得 A(2,6)，化目标函数 x y bz ＝ ＋ 为 y ＝－ x ＋ bz ，a b ab由图可知，当直线y＝－a x＋ bz 过点 A 时，2 6直线在 y 轴上的截距最大，z 有最大值为＋＝2，即1＋3＝1. a b所以 a＋ b＝ (a＋ b) 1 3a bb ＋3a b 3a＝ 4＋b ≥4＋ 2 ·＝4＋2 3.a a b1＋3＝ 1，当且仅当 a b 即 a＝ 3＋ 1， b＝ 3＋3时取等号．b＝3a，【答案】 A11．若函数 f(x)＝ x4＋ 4x3＋ ax2－ 4x＋ 1 的图象恒在 x 轴上方，则实数 a 的取值范围是 () A．(2，＋∞ ) B． (1，＋∞)C．( 3－1，＋∞) D． (2－ 1，＋∞)2 2【分析】x4＋ 4x3＋ ax2－ 4x＋ 1>0 恒成立，当x＝ 0 时， a∈R，当 x≠0时， a> －x4＋ 4x3－ 4x＋ 1 2 4 1 2 2 1 x2 ＝－ (x ＋4x－x＋x2)＝－ (t ＋ 4t＋ 2) ＝－ (t＋ 2) ＋ 2，此中t＝ x－x∈R，由于－( t＋ 2)2＋ 2≤2，进而 a>2，所以实数 a 的取值范围是 (2，＋∞)，选 A.【答案】 A二、填空题2x＋ y－ 4≥012．已知点 M 的坐标 (x，y)知足不等式x－ y－ 2≤0，N为直线y＝－2x＋2上任一点，y－ 3≤0则|MN|的最小值是 ()5 2 5A. 5B. 5C. 5D. 5 102x ＋ y － 4≥0【分析】点 M 的坐标 ( x ， y)知足不等式组 x － y － 2≤0 的可行y －3≤0域如图： N 为直线 y ＝－ 2x ＋2 上任一点，则 |MN |的最小值，就是两条|－ 2＋4|25 平行线 y ＝－ 2x ＋ 2 与 2x ＋ y － 4＝0 之间的距离： d ＝＝，故选 B.【答案】Ba ba13．设 a>b>c>0 ，若不等式 log2018＋ log 2018 ≥dlog2018 对全部知足题设的 a ，b ， cbcc均成立，则实数 d 的最大值为 ____________．a b a lg2018 lg2018 lg2018【分析】log b 2018＋ log c 2018 ≥dlog c 2018?a ＋b ≥d a ，由于 a>b>c>0 ，lg b lg clg ca ba ab a 1 1)(x ＋ y)的最小值，所以 lg >0 ，lg>0，lg >0 ，设 x ＝ lg ，y ＝ lg ，则 lg＝ x ＋ y ，所以 d ≤(＋bccbccx y1 1 y x y xd ≤4，即实数 d 的而( ＋ )( x ＋ y)＝ 2＋＋ ≥2＋2·＝ 4，当且仅当 x ＝ y 时取等号，进而x y x yx y最大值为 4.【答案】 4x ＋y ≥2，14．已知点 O 是坐标原点，点A(－ 1，－ 2)，若点 M(x ， y)是平面地区 x ≤1，上y ≤2，→ → →1的一个动点， OA ·(OA －MA )＋ m ≤0恒成立，则实数 m 的取值范围是 ________．【分析】→ →由于 OA ＝ ( －1，－ 2)，OM ＝ (x ， y)，→ → → → →所以 OA ·(OA － MA )＝ OA ·OM ＝－ x － 2y.→ → → 1 1 1恒成立．所以不等式 OA ·(OA － MA )＋ ≤0恒成立等价于－ x － 2y ＋m≤0，即 ≤x ＋ 2ym m设 z ＝ x ＋ 2y ，作出不等式组表示的可行域如下图，当目标函数 z ＝ x ＋ 2y 表示的直线经过点 D(1,1)时获得最小值， 最小值为 1＋ 2×1＝3；当目标函数 z ＝ x ＋ 2y 表示的直线经过点B(1,2)时获得最大值，最大值1＋ 2×2＝ 5.1所以 x ＋2y ∈ [3,5] ，于是要使 m ≤x ＋ 2y 恒成立，只需 11m 的取值范围是 (－ ∞， 0)∪ 1≤3，解得m ≥ 或 m ＜0，即实数 ,m33【答案】 (－∞，0)∪1,3。
专题07 不等式丨十年高考数学真题分项汇编(解析版)(共39页)
十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—不等式目录题型一：不等式的性质及其应用.......................................1题型二：解不等式...................................................4题型三：基本不等式.................................................5题型四：简单的线性规划问题.........................................7题型五：不等式的综合问题 (34)题型一：不等式的性质及其应用一、选择题1．(2019·天津·理·第6题)已知5log 2a =，0.5og 2.l 0b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为()A ．a c b <<B．a b c<<C．b c a<<D．c a b<<【答案】A解析：5511log 2log ,0,22a a ⎛⎫=<=∴∈ ⎪⎝⎭，110.5222log 2log 50.log 5log 42b --===>=，即2b >，11520.211220.5,,12222c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==>=∴∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以a c b <<．2．(2019·全国Ⅰ·理·第3题)已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则()A ．a b c <<B ．a c b<<C ．c a b <<D ．b c a<<【答案】答案：B解析：22log 0.2log 10a =<=，0.20221b =>=，0.300.20.21,(0,1)c c =<=∴∈，故a c b <<．3．(2014高考数学四川理科·第4题)若0,0a b c d >><<，则一定有()A．a b c d >B．a b c d <C．a b d c >D．a b d c<【答案】D解析：由1100c d d c <<⇒->->，又0a b >>，由不等式性质知：0a b d c ->->，所以a bd c<4．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）·第12题)设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则()A ．0a b ab +<<B．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D．0ab a b<<+【答案】B解析：一方面()0.2log 0.30,1a =∈，()2log 0.32,1b =∈--，所以0ab <0.31log 0.2a =，0.31log 2b =，所以()()0.30.311log 0.22log 0.40,1a b+=⨯=∈所以1101a b <+<即01a b ab +<<，而0ab <，所以0a b +<，所以1a ba b ab ab+<⇒+>综上可知0ab a b <+<，故选B ．5．(2014高考数学湖南理科·第8题)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A．2q p +B．()()2111-++q p C．pqD．()()111-++q p 【答案】D解析：设两年的平均增长率为x ,则有()()()2111x p q +=++1x ⇒=-,故选D．6．(2017年高考数学山东理科·第7题)若0a b >>,且1ab =,则下列不等式成立的是()A．()21log 2a ba ab b +<<+B．()21log 2a b a b a b<+<+C．()21log 2a b a a b b +<+<D．()21log 2a ba b a b +<+<【答案】B【解析】221,01,1,log ()log 1,2aba b a b ><<∴<+>=12112log ()a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+,所以选B．二、填空题1．(2017年高考数学北京理科·第13题)能够说明“设,,a b c 是任意实数．若a b c >>,则a b c +>”是假命题的一组整数,,a b c 的值依次为_________________________．【答案】1,2,3---(答案不唯一)【解析】()123,1233->->--+-=->-出现矛盾,所以验证是假命题．三、多选题1．(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第11题)已知a >0，b >0，且a +b =1，则()A ．2212a b +≥B ．122a b->C ．22log log 2a b +≥-D +≤【答案】ABD解析：对于A ，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确；对于B ，211a b a -=->-，所以11222a b-->=，故B 正确；对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为2112a b =+≤++=，所以≤，当且仅当12a b ==时，等号成立，故D 正确；故选：ABD 2．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第12题)已知a >0，b >0，且a +b =1，则()A ．2212a b +≥B ．122a b->C ．22log log 2a b +≥-D +≤【答案】ABD解析：对于A ，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确；对于B ，211a b a -=->-，所以11222a b-->=，故B 正确；对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为2112a b =+≤++=，所以≤，当且仅当12a b ==时，等号成立，故D 正确；故选：ABD一、选择题1．(2015高考数学北京理科·第7题)如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是()()A．{}|10x x -<≤B．{}|11x x -≤≤C．{}|11x x -<≤D．{}|12x x -<≤【答案】C解析：如图所示，把函数2log y x =的图象向左平移一个单位得到2log (1)y x =+的图象1x =时两图象相交，不等式的解为11x -<≤，用集合表示解集，故选C．二、填空题1．(2015高考数学江苏文理·第7题)不等式422<-xx的解集为_______．【答案】(1,2).-解析：由题意得：2212x x x -<⇒-<<，解集为(1,2).-2．(2017年高考数学上海(文理科)·第7题)不等式11x x->的解集为________．【答案】(),0-∞【解析】111100x x x->⇒<⇒<,解集为(,0)-∞．一、填空题1．(2021高考天津·第13题)若0 , 0a b >>，则21a b a b ++的最小值为____________．【答案】解析： 0 , 0a b >>，212a b b a b b b ∴++≥+=+≥=，当且仅当21a a b =且2b b=，即a b ==所以21a b ab ++的最小值为故答案为：．2．(2020天津高考·第14题)已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________．【答案】4【解析】0,0,0a b a b >>∴+> ，1ab =,11882222ab ab a b a b a b a b∴++=++++842a b a b +=+≥=+，当且仅当a b +=4时取等号，结合1ab =,解得22a b =-=，或22a b ==时，等号成立．故答案为：43．(2020江苏高考·第12题)已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是_______．【答案】45【解析】22451x y y += ,0y ∴≠且42215y x y -=42222221144+5555y y x y y y y -∴+=+=≥=，当且仅当221455y y =，即2231,102x y ==时取等号．22x y ∴+的最小值为45．故答案为：45．4．(2019·天津·理·第13题)设0,0,25x y x y >>+=，则的最小值为．【答案】解析：524x y =+≥，=====即31xy=⎧⎨=⎩或232xy=⎧⎪⎨=⎪⎩时等号成立，因为2538<<5．(2019·上海·第7题)若x y R+∈、，且123yx+=，则yx的最大值为________.【答案】98【解析】法一：yxyx212213⋅≥+=，∴892232=⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤xy；法二：由yx231-=，yyyyxy32)23(2+-=⋅-=(230<<y)，求二次最值89max=⎪⎭⎫⎝⎛xy. 6．(2019·江苏·第10题)在平面直角坐标系xOy中，P是曲线()4y x xx=+>0上一动点，则点P到直线x y+=的距离最小值是______.【答案】4【解析】法1：由已知，可设4(,0P x x xx+>，，所以42+4xxd===.当且仅当42xx=，即x=时取等号，故点P到直线的距离的最小值为4.法2：距离最小时，24'11yx-=-=，则x=，所以P,所以最小值为4.7．(2018年高考数学江苏卷·第13题)在ABC△中，角,,A B C所对的边分别为,,a b c，120ABC∠=︒，ABC∠的平分线交AC于点D，且1BD=，则4a c+的最小值为．【答案】9解析：由题意可知，ABC ABD BCDS S S∆∆∆=+，由角平分线性质和三角形面积公式得，111sin1201sin60+1sin60222ac a c=⨯⨯⨯⨯，化简得+ac a c=，111a c+=，因此1144(4)()5c aa c a ca c a c+=++=++≥，当且仅当=2=3c a时取等号，所以4a c+的最小值为9．8．(2018年高考数学天津(理)·第13题)已知,a b∈R，且360a b-+=，则128ab+的最小值为．【答案】14解析：由360a b -+=，得36a b =-，所以3633112222284ab b b ---+=+=⨯=≥，当且仅当363b b -=-，即1,3b a =-=-时等号成立，故128ab +的最小值为14．9．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元／次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x =吨．【答案】20解：某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，则需要购买400x次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，一年的总运费与总存储费用之和为40044x x ⋅+万元，40044x x⋅+≥160，当16004x x=即x =20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小。
线性规划的常见题型及其解法(教师版,题型全,归纳好)
之老阳三干创作创作时间：课题 线性规划的罕见题型及其解法谜底线性规划问题是高考的重点,而线性规划问题具有代数和几何的双重形式,多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透,自然地融合在一起,使数学问题的解答变得更加新颖新颖．归纳起来罕见的命题探究角度有： 1．求线性目标函数的最值． 2．求非线性目标函数的最值． 3．求线性规划中的参数． 4．线性规划的实际应用．本节主要讲解线性规划的罕见基础类题型．【母题一】已知变量x ,y满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y≥3x －y≥－12x －y≤3则目标函数z ＝2x ＋3y 的取值范围为( )A ．[7,23]B ．[8,23]C ．[7,8]D ．[7,25]求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ,通过求直线的截距zb的最值,间接求出z的最值．【解析】画出不等式组⎩⎨⎧x ＋y≥3x －y≥－12x －y≤3暗示的平面区域如图中阴影部份所示,由目标函数z ＝2x ＋3y 得y ＝－23x ＋z 3,平移直线y ＝－23x 知在点B处目标函数取到最小值,解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝32x －y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1所以B (2,1),z min ＝2×2＋3×1＝7,在点A 处目标函数取到最年夜值,解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝－12x －y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝5所以A (4,5),z max＝2×4＋3×5＝23．【谜底】A【母题二】变量x ,y 满足⎩⎨⎧x －4y ＋3≤03x ＋5y －25≤0x≥1(1)设z ＝y2x －1,求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2,求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13,求z 的取值范围．(x ,y )在不等式组暗示的平面区域内,y2x －1＝12·y －0⎝⎛⎭⎪⎫x －12暗示点(x ,y )和⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫120连线的斜率；x 2＋y 2暗示点(x ,y )和原点距离的平方；x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2暗示点(x ,y )和点(－3,2)的距离的平方．【解析】(1)由约束条件⎩⎨⎧x －4y ＋3≤03x ＋5y －25≤0x≥1作出(x ,y )的可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ＋5y －25＝0解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1225．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1x －4y ＋3＝0解得C (1,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝03x ＋5y －25＝0解得B (5,2)．∵z ＝y 2x －1＝y －0x －12×12∴z 的值即是可行域中的点与⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫120连线的斜率,观察图形可知z min ＝2－05－12×12＝29．(2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知,可行域上的点到原点的距离中,d min＝|OC|＝2,d max＝|OB|＝29．∴2≤z≤29．(3)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的几何意义是：可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知,可行域上的点到(－3,2)的距离中,d min＝1－(－3)＝4,d max＝－3－52＋2－22＝8∴16≤z≤64．1．求目标函数的最值的一般步伐为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域,理解目标函数的意义．2．罕见的目标函数有：(1)截距型：形如z＝ax＋by．求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－abx＋zb,通过求直线的截距zb的最值,间接求出z的最值．(2)距离型：形一：如z＝,z＝,此类目标函数常转化为点(x,y)与定点的距离；形二：z＝(x－a)2＋(y－b)2,z＝x2＋y2＋Dx＋Ey＋F,此类目标函数常转化为点(x,y)与定点的距离的平方．(3)斜率型：形如z＝yx,z＝ay－bcx－d,z＝ycx－d,z＝ay－bx,此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点所在直线的斜率．【提醒】注意转化的等价性及几何意义． 角度一：求线性目标函数的最值1．(2014·新课标全国Ⅱ卷)设x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －7≤0x －3y ＋1≤03x －y －5≥0则z ＝2x －y 的最年夜值为( )A ．10B ．8C ．3D ．2【解析】作出可行域如图中阴影部份所示,由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ,作出直线y ＝2x ,平移使之经过可行域,观察可知,当直线经过点A (5,2)时,对应的z 值最年夜．故z max ＝2×5－2＝8．【谜底】B2．(2015·高考天津卷)设变量x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2≥0x －y ＋3≥02x ＋y －3≤0则目标函数z ＝x ＋6y 的最年夜值为( )A ．3B ．4C ．18D ．40【解析】作出约束条件对应的平面区域如图所示 ,当目标函数经过点(0,3)时,z 取得最年夜值18．【谜底】C3．(2013·高考陕西卷)若点(x ,y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域,则2x －y 的最小值为( )A ．－6B ．－2C ．0D ．2【解析】如图,曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域如图中阴影部份,令z ＝2x －y ,则y ＝2x －z ,作直线y ＝2x ,在封闭区域内平行移动直线y ＝2x ,当经过点(－2,2)时,z 取得最小值,此时z ＝2×(－2)－2＝－6．【谜底】A角度二：求非线性目标的最值4．(2013·高考山东卷)在平面直角坐标系xOy 中,M 为不等式组⎩⎨⎧2x －y －2≥0x ＋2y －1≥03x ＋y －8≤0所暗示的区域上一动点,则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－12【解析】已知的不等式组暗示的平面区域如图中阴影所示, 显然当点M 与点A 重合时直线OM 的斜率最小,由直线方程x ＋2y －1＝0和3x ＋y －8＝0,解得A (3,－1),故OM 斜率的最小值为－13．【解析】C5．已知实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤2y≤2x ≤2y 则z ＝2x ＋y －1x －1的取值范围．【解】由不等式组画出可行域如图中阴影部份所示, 目标函数z ＝2x ＋y －1x －1＝2＋y ＋1x －1的取值范围可转化为点(x ,y )与(1,－1)所在直线的斜率加上2的取值范围,由图形知,A 点坐标为(2,1),则点(1,－1)与(2,1)所在直线的斜率为22＋2,点(0,0)与(1,－1)所在直线的斜率为－1,所以z 的取值范围为(－∞,1]∪[22＋4,＋∞)．【谜底】(－∞,1]∪[22＋4,＋∞)6．(2015·郑州质检)设实数x ,y 满足不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≤2y －x ≤2y ≥1则x 2＋y 2的取值范围是( )A ．[1,2]B ．[1,4]C ．[2,2]D ．[2,4] 【解析】如图所示,不等式组暗示的平面区域是△ABC 的内部(含鸿沟),x 2＋y 2暗示的是此区域内的点(x ,y )到原点距离的平方．从图中可知最短距离为原点到直线BC 的距离,其值为1；最远的距离为AO ,其值为2,故x 2＋y 2的取值范围是[1,4]．【谜底】B7．(2013·高考北京卷)设D为不等式组⎩⎨⎧x ≥02x －y ≤0x ＋y －3≤0所暗示的平面区域,区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．【解析】作出可行域,如图中阴影部份所示,则根据图形可知,点B (1,0)到直线2x －y ＝0的距离最小,d ＝|2×1－0|22＋1＝255,故最小距离为255．【谜底】2558．设不等式组⎩⎨⎧x ≥1x －2y ＋3≥0y ≥x所暗示的平面区域是Ω1,平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ,|AB |的最小值即是( )A ．285B ．4C ．125D ．2【解析】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥1x －2y ＋3≥0y≥x ,所暗示的平面区域如图所示,解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝x,得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1．点A (1,1)到直线3x －4y －9＝0的距离d ＝|3－4－9|5＝2,则|AB |的最小值为4．【谜底】B角度三：求线性规划中的参数9．若不等式组⎩⎨⎧x ≥0x ＋3y ≥43x ＋y ≤4所暗示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部份,则k 的值是( )A ．73B ．37C ．43D ．34【解析】不等式组暗示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫043．因此只有直线过AB 中点时,直线y＝kx ＋43能平分平面区域．因为A (1,1),B (0,4),所以AB 中点D ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1252．当y ＝kx ＋43过点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1252时,52＝k 2＋43,所以k ＝73．【解析】A10．(2014·高考北京卷)若x ,y满足⎩⎨⎧x ＋y －2≥0kx －y ＋2≥0y ≥0且z ＝y －x 的最小值为－4,则k 的值为( )A ．2B ．－2C ．12D ．－12【解析】D作出线性约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≥0kx －y ＋2≥0y ≥0的可行域．当k ＞0时,如图①所示,此时可行域为y 轴上方、直线x ＋y －2＝0的右上方、直线kx －y ＋2＝0的右下方的区域,显然此时z ＝y －x 无最小值．当k ＜－1时,z ＝y －x 取得最小值2；当k ＝－1时,z ＝y －x 取得最小值－2,均不符合题意．当－1＜k ＜0时,如图②所示,此时可行域为点A (2,0),B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2k 0,C (0,2)所围成的三角形区域,当直线z ＝y －x 经过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2k 0时,有最小值,即－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ＝－4⇒k ＝－12．【谜底】D11．(2014·高考安徽卷)x ,y满足约束条件⎩⎨⎧ x ＋y －2≤0x －2y －2≤02x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最年夜值的最优解不惟一,则实数a 的值为( )A ．12或－1B ．2或12C ．2或1D ．2或－1【解析】法一：由题中条件画出可行域如图中阴影部份所示,可知A (0,2),B (2,0),C (－2,－2),则z A ＝2,z B ＝－2a ,z C ＝2a －2,要使目标函数取得最年夜值的最优解不惟一,只要z A ＝z B ＞z C 或z A ＝z C ＞z B 或z B ＝z C ＞z A ,解得a ＝－1或a ＝2．法二：目标函数z ＝y －ax 可化为y ＝ax ＋z ,令l 0：y ＝ax ,平移l 0,则当l 0∥AB 或l 0∥AC 时符合题意,故a ＝－1或a ＝2．【谜底】D12．在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0y ≥0x ＋y ≤s y ＋2x ≤4.下,当3≤s ≤5时,目标函数z ＝3x ＋2y 的最年夜值的取值范围是( ) A ．[6,15]B ．[7,15]C ．[6,8]D ．[7,8]【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝s y ＋2x ＝4得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4－s y ＝2s －4,则交点为B (4－s,2s －4),y ＋2x ＝4与x 轴的交点为A (2,0),与y 轴的交点为C ′(0,4),x ＋y ＝s 与y 轴的交点为C (0,s )．作出当s ＝3和s ＝5时约束条件暗示的平面区域,即可行域,如图(1)(2)中阴影部份所示．(1) (2)当3≤s ＜4时,可行域是四边形OABC 及其内部,此时,7≤z max ＜8；当4≤s ≤5时,可行域是△OAC ′及其内部,此时,z max ＝8．综上所述,可得目标函数z ＝3x ＋2y 的最年夜值的取值范围是[7,8]．【谜底】D13．(2015·通化一模)设x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0y ≥0x 3a ＋y 4a≤1若z ＝x ＋2y ＋3x ＋1的最小值为32,则a 的值为________． 【解析】∵x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋2y ＋1x ＋1,而y ＋1x ＋1暗示过点(x ,y )与(－1,－1)连线的斜率,易知a ＞0, ∴可作出可行域,由题意知y ＋1x ＋1的最小值是14,即⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1x ＋1min ＝0－－13a －－1＝13a ＋1＝14⇒a ＝1． 【谜底】1角度四：线性规划的实际应用14．A ,B 两种规格的产物需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才华成为制品．已知A 产物需要在甲机器上加工3小时,在乙机器上加工1小时；B 产物需要在甲机器上加工1小时,在乙机器上加工3小时．在一个工作日内,甲机器至多只能使用11小时,乙机器至多只能使用9小时．A 产物每件利润300元,B 产物每件利润400元,则这两台机器在一个工作日内缔造的最年夜利润是________元．【解析】 设生产A 产物x 件,B 产物y 件,则x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ≤11x ＋3y ≤9x ∈N y ∈N 生产利润为z ＝300x ＋400y ．画出可行域,如图中阴影部份(包括鸿沟)内的整点,显然z ＝300x ＋400y 在点A处取得最年夜值,由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ＝11x ＋3y ＝9解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3y ＝2则z max ＝300×3＋400×2＝1 700．故最年夜利润是 1 700元．【谜底】1 70015．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个,生产一个卫兵需5分钟,生产一个骑兵需7分钟,生产一个伞兵需4分钟,已知总生产时间不超越10小时．若生产一个卫兵可获利润5元,生产一个骑兵可获利润6元,生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 暗示每天的利润w (元)；(2)怎样分配生产任务才华使每天的利润最年夜,最年夜利润是几多？【解析】(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ,所以利润w ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300．(2)约束条件为⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧5x ＋7y ＋4100－x －y ≤600100－x －y ≥0x ≥0y ≥0x y ∈N .整理得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ x ＋3y ≤200x ＋y ≤100x ≥0y ≥0x y ∈N. 目标函数为w ＝2x ＋3y ＋300． 作出可行域．如图所示： 初始直线l 0：2x ＋3y ＝0,平移初始直线经过点A 时,w 有最年夜值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝200x ＋y ＝100得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝50y ＝50.最优解为A (50,50),所以w max ＝550元．所以每天生产卫兵50个,骑兵50个,伞兵0个时利润最年夜,最年夜利润为550元．一、选择题1．已知点(－3,－1)和点(4,－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧,则a 的取值范围为( )A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞,－7)∪(24,＋∞) D．(－∞,－24)∪(7,＋∞)【解析】根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )＜0．即(a ＋7)(a －24)＜0,解得－7＜a ＜24．【谜底】B2．(2015·临沂检测)若x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥0x ＋2y ≥32x ＋y ≤3则z ＝x －y 的最小值是( )A ．－3B ．0C ．32D ．3 【解析】作出不等式组⎩⎨⎧ x ≥0x ＋2y ≥32x ＋y ≤3暗示的可行域(如图所示的△ABC 的鸿沟及内部)． 平移直线z ＝x －y ,易知当直线z ＝x －y 经过点C (0,3)时,目标函数z ＝x －y 取得最小值,即z min ＝－3．【谜底】A3．(2015·泉州质检)已知O 为坐标原点,A (1,2),点P 的坐标(x ,y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋|y|≤1x≥0则z ＝OA →·OP →的最年夜值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2【解析】如图作可行域,z ＝OA →·OP →＝x ＋2y ,显然在B (0,1)处z max ＝2．【谜底】D4．已知实数x ,y 满足：⎩⎨⎧x －2y ＋1≥0x<2x ＋y －1≥0则z ＝2x －2y －1的取值范围是( ) A ．⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤535B ．[0,5] C ．⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫535D ．⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－535 【解析】画出不等式组所暗示的区域,如图阴影部份所示,作直线l ：2x －2y －1＝0,平移l 可知2×13－2×23－1≤z <2×2－2×(－1)－1,即z 的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－535．【谜底】D5．如果点(1,b )在两条平行直线6x －8y ＋1＝0和3x －4y ＋5＝0之间,则b 应取的整数值为( )A ．2B ．1C ．3D ．0【解析】由题意知(6－8b ＋1)(3－4b ＋5)＜0,即⎝⎛⎭⎪⎫b －78(b －2)＜0,∴78＜b ＜2,∴b 应取的整数为1． 【谜底】B6．(2014·郑州模拟)已知正三角形ABC 的极点A (1,1),B (1,3),极点C 在第一象限,若点(x ,y )在△ABC 内部,则z ＝－x ＋y 的取值范围是( )A ．(1－3,2)B ．(0,2)C ．(3－1,2)D ．(0,1＋3)【解析】如图,根据题意得C (1＋3,2)．作直线－x ＋y ＝0,并向左上或右下平移,过点B (1,3)和C (1＋3,2)时,z ＝－x ＋y 取范围的鸿沟值,即－(1＋3)＋2<z <－1＋3,∴z ＝－x ＋y 的取值范围是(1－3,2)．【谜底】A7．(2014·成都二诊)在平面直角坐标系xOy 中,P 为不等式组⎩⎨⎧ y≤1x ＋y －2≥0x －y －1≤0所暗示的平面区域上一动点,则直线OP 斜率的最年夜值为( )A ．2B ．13C ．12D ．1 【解析】作出可行域如图所示,当点P位于⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2y ＝1的交点(1,1)时,(k OP )max ＝1．【谜底】D8．在平面直角坐标系xOy 中,已知平面区域A ＝{(x ,y )|x ＋y ≤1,且x ≥0,y ≥0},则平面区域B ＝{(x ＋y ,x －y )|(x ,y )∈A }的面积为( )A ．2B ．1C ．12D ．14【解析】不等式⎩⎨⎧ x ＋y≤1x≥0y≥0所暗示的可行域如图所示,设a ＝x ＋y ,b ＝x －y ,则此两目标函数的范围分别为a ＝x ＋y ∈[0,1],b ＝x －y ∈[－1,1],又a ＋b ＝2x ∈[0,2],a －b ＝2y ∈[0,2],∴点坐标(x ＋y ,x －y ),即点(a ,b )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤a≤1－1≤b≤10≤a＋b≤20≤a－b≤2作出该不等式组所暗示的可行域如图所示,由图示可得该可行域为一等腰直角三角形,其面积S ＝12×2×1＝1．【谜底】B9．设x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y －2≤0x －y≥0x≥0y≥0若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0,b ＞0)的最年夜值为4,则ab 的取值范围是( )A ．(0,4)B ．(0,4]C ．[4,＋∞) D．(4,＋∞) 【解析】作出不等式组暗示的区域如图阴影部份所示,由图可知,z ＝ax ＋by (a >0,b >0)过点A (1,1)时取最年夜值,∴a ＋b ＝4,ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝4,∵a ＞0,b ＞0,∴ab ∈(0,4]． 【谜底】B10．设动点P (x ,y )在区域Ω：⎩⎨⎧ x ≥0y ≥xx ＋y ≤4上,过点P 任作直线l ,设直线l 与区域Ω的公共部份为线段AB ,则以AB 为直径的圆的面积的最年夜值为( )A ．π B．2πC ．3π D．4π 【解析】作出不等式组所暗示的可行域如图中阴影部份所示, 则根据图形可知,以AB 为直径的圆的面积的最年夜值S ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4π． 【谜底】D11．(2015·西南三校联考)变量x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧ y ≥－1x －y ≥23x ＋y ≤14若使z ＝ax ＋y 取得最年夜值的最优解有无穷多个,则实数a 的取值集合是( )A ．{－3,0}B ．{3,－1}C ．{0,1}D ．{－3,0,1}【解析】作出不等式组所暗示的平面区域,如图所示．易知直线z ＝ax ＋y 与x －y ＝2或3x ＋y ＝14平行时取得最年夜值的最优解有无穷多个,即－a ＝1或－a ＝－3,∴a ＝－1或a ＝3．【谜底】B12．(2014·新课标全国Ⅰ卷)设x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥a x －y ≤－1且z ＝x ＋ay 的最小值为7,则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－3【解析】法一：联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝a x －y ＝－1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －12y ＝a ＋12代入x ＋ay ＝7中,解得a ＝3或－5,当a ＝－5时,z ＝x ＋ay 的最年夜值是7；当a ＝3时,z ＝x ＋ay 的最小值是7．法二：先画出可行域,然后根据图形结合选项求解．当a ＝－5时,作出不等式组暗示的可行域,如图(1)(阴影部份)．图(1) 图(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1x ＋y ＝－5得交点A (－3,－2),则目标函数z ＝x －5y过A 点时取得最年夜值．z max ＝－3－5×(－2)＝7,不满足题意,排除A,C 选项．当a ＝3时,作出不等式组暗示的可行域,如图(2)(阴影部份)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1x ＋y ＝3得交点B (1,2),则目标函数z ＝x ＋3y 过B点时取得最小值．z min ＝1＋3×2＝7,满足题意．【谜底】B13．若a ≥0,b ≥0,且当⎩⎨⎧x ≥0y ≥0x ＋y ≤1时,恒有ax ＋by ≤1,则由点P (a ,b )所确定的平面区域的面积是( )A ．12B ．π4C ．1D ．π2【解析】因为ax ＋by ≤1恒成立,则当x ＝0时,by ≤1恒成立,可得y ≤1b(b ≠0)恒成立,所以0≤b ≤1；同理0≤a ≤1．所以由点P (a ,b )所确定的平面区域是一个边长为1的正方形,面积为1．【谜底】C14．(2013·高考北京卷)设关于x ,y 的不等式组⎩⎨⎧2x －y ＋1>0x ＋m<0y －m>0暗示的平面区域内存在点P (x 0,y 0),满足x 0－2y 0＝2．求得m 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞43B ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞13C ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞－23D ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞－53【解析】当m ≥0时,若平面区域存在,则平面区域内的点在第二象限,平面区域内不成能存在点P (x 0,y 0)满足x 0－2y 0＝2,因此m ＜0．如图所示的阴影部份为不等式组暗示的平面区域．要使可行域内包括y ＝12x －1上的点,只需可行域鸿沟点(－m ,m )在直线y ＝12x －1的下方即可,即m ＜－12m －1,解得m ＜－23．【谜底】C15．设不等式组⎩⎨⎧x ＋y －11≥03x －y ＋3≥05x －3y ＋9≤0暗示的平面区域为D ．若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点,则a 的取值范围是 ( )A ．(1,3]B ．[2,3]C ．(1,2]D ．[3,＋∞)【解析】平面区域D 如图所示．要使指数函数y ＝a x的图象上存在区域D 上的点,所以1＜a ≤3．【解析】A16．(2014·高考福建卷)已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1,平面区域Ω：⎩⎨⎧x ＋y －7≤0x －y ＋3≥0y ≥0.若圆心C ∈Ω,且圆C 与x 轴相切,则a 2＋b 2的最年夜值为( )A ．5B ．29C ．37D ．49【解析】由已知得平面区域Ω为△MNP 内部及鸿沟．∵圆C 与x 轴相切,∴b ＝1．显然当圆心C 位于直线y ＝1与x ＋y －7＝0的交点(6,1)处时,a max ＝6．∴a 2＋b 2的最年夜值为62＋12＝37．【解析】C17．在平面直角坐标系中,若不等式组⎩⎨⎧y ≥0y ≤x y ≤kx －1－1暗示一个三角形区域,则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞,－1)B ．(1,＋∞)C ．(－1,1)D ．(－∞,－1)∪(1,＋∞)【解析】已知直线y ＝k (x －1)－1过定点(1,－1),画出不等式组暗示的可行域示意图,如图所示．当直线y ＝k (x －1)－1位于y ＝－x 和x ＝1两条虚线之间时,暗示的是一个三角形区域．所以直线y ＝k (x －1)－1的斜率的范围为(－∞,－1),即实数k 的取值范围是(－∞,－1)．当直线y ＝k (x －1)－1与y ＝x 平行时不能形成三角形,不服行时,由题意可得k ＞1时,也可形成三角形,综上可知k ＜－1或k ＞1．【谜底】D18．(2016·武邑中学期中)已知实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0|x|－y －1≤0则z ＝2x ＋y 的最年夜值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10【解析】区域如图所示,目标函数z ＝2x ＋y 在点A (3,2)处取得最年夜值,最年夜值为8．【谜底】C19．(2016·衡水中学期末)当变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋3y ≤4x ≥m 时,z ＝x －3y 的最年夜值为8,则实数m 的值是( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1【解析】画出可行域如图所示,目标函数z ＝x －3y 变形为y ＝x 3－z3,当直线过点C 时,z 取到最年夜值, 又C (m ,m ),所以8＝m －3m ,解得m ＝－4． 【谜底】A20．(2016·湖州质检)已知O 为坐标原点,A ,B 两点的坐标均满足不等式组⎩⎨⎧x －3y ＋1≤0x ＋y －3≤0x －1≥0则tan ∠AOB 的最年夜值即是( )A ．94B ．47C ．34D ．12【解析】如图阴影部份为不等式组暗示的平面区域,观察图形可知当A 为(1,2),B 为(2,1)时,tan ∠AOB 取得最年夜值,此时由于tan α＝k BO ＝12,tan β＝k AO ＝2,故tan ∠AOB ＝tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan βtan α＝2－121＋2×12＝34． 【解析】C 二、填空题21．(2014·高考安徽卷)不等式组 ⎩⎨⎧x ＋y －2≥0x ＋2y －4≤0x ＋3y －2≥0暗示的平面区域的面积为________．【解析】作出不等式组暗示的平面区域如图中阴影部份所示,可知S △ABC ＝12×2×(2＋2)＝4．【谜底】422．(2014·高考浙江卷)若实数x ,y 满足⎩⎨⎧x ＋2y －4≤0x －y －1≤0x ≥1则x ＋y 的取值范围是________．【解析】作出可行域,如图,作直线x ＋y ＝0,向右上平移,过点B 时,x ＋y 取得最小值,过点A 时取得最年夜值．由B (1,0),A (2,1)得(x ＋y )min ＝1,(x ＋y )max ＝3．所以1≤x ＋y ≤3．【谜底】[1,3]23．(2015·重庆一诊)设变量x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥1x ＋y －4≤0x －3y ＋4≤0则目标函数z ＝3x －y 的最年夜值为____．【解析】根据约束条件作出可行域,如图中阴影部份所示, ∵z ＝3x －y ,∴y ＝3x －z ,当该直线经过点A (2,2)时,z 取得最年夜值,即z max ＝3×2－2＝4．【谜底】424．已知实数x ,y满足⎩⎨⎧x ＋y －1≤0x －y ＋1≥0y≥－1则w ＝x 2＋y 2－4x－4y ＋8的最小值为________．【解析】目标函数w ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8＝(x －2)2＋(y －2)2,其几何意义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方．由实数x ,y 所满足的不等式组作出可行域如图中阴影部份所示,由图可知,点(2,2)到直线x ＋y －1＝0的距离为其到可行域内点的距离的最小值,又|2＋2－1|2＝322,所以w min ＝92．【谜底】9225．在平面直角坐标系xOy 中,M 为不等式组⎩⎨⎧2x ＋3y －6≤0x ＋y －2≥0y ≥0所暗示的区域上一动点,则|OM |的最小值是________．【解析】如图所示阴影部份为可行域,数形结合可知,原点O 到直线x ＋y －2＝0的垂线段长是|OM |的最小值,∴|OM |min ＝|－2|12＋12＝2．【谜底】226．(2016·汉中二模)某企业生产甲、乙两种产物,已知生产每吨甲产物要用水3吨、煤2吨；生产每吨乙产物要用水1吨、煤3吨．销售每吨甲产物可获得利润5万元,销售每吨乙产物可获得利润3万元,若该企业在一个生产周期内消耗水不超越13吨,煤不超越18吨,则该企业可获得的最年夜利润是______万元．【解析】设生产甲产物x 吨,生产乙产物y 吨,由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x≥0y≥03x ＋y≤132x ＋3y≤18利润z ＝5x ＋3y ,作出可行域如图中阴影部份所示,求出可行域鸿沟上各端点的坐标,经验证知当x ＝3,y ＝4,即生产甲产物3吨,乙产物4吨时可获得最年夜利润27万元．【谜底】2727．某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超越50亩,投入资金不超越54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、本钱和售价如下表：)最年夜,则黄瓜的种植面积应为________亩．【解析】设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x 亩,y 亩,总利润为z 万元,则目标函数为z ＝(0.55×4x －1.2x )＋(0.3×6y －0.9y )＝x ＋0.9y ．线性约束条件为⎩⎨⎧x ＋y ≤≤54x ≥0y ≥0即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤504x ＋3y ≤180x ≥0y ≥0.画出可行域,如图所示．作出直线l 0：x ＋0．9y ＝0,向上平移至过点A 时,z 取得最年夜值,由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝504x ＋3y ＝180解得A (30,20)．【谜底】3028．(2015·日照调研)若A为不等式组⎩⎨⎧x ≤0y ≥0y －x ≤2暗示的平面区域,则当a 从－2连续变动到1时,动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部份区域的面积为________．【解析】平面区域A 如图所示,所求面积为S ＝12×2×2－12×22×22＝2－14＝74．【谜底】7429．(2014·高考浙江卷)当实数x ,y 满足⎩⎨⎧x ＋2y －4≤0x －y －1≤0x ≥1时,1≤ax ＋y ≤4恒成立,则实数a 的取值范围是________．【解析】画可行域如图所示,设目标函数z ＝ax ＋y ,即y ＝－ax ＋z ,要使1≤z ≤4恒成立,则a >0,数形结合知,满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤2a ＋1≤41≤a ≤4即可,解得1≤a ≤32．所以a 的取值范围是1≤a ≤32．【谜底】⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13230．(2015·石家庄二检)已知动点P (x ,y )在正六边形的阴影部份(含鸿沟)内运动,如图,正六边形的边长为2,若使目标函数z ＝kx ＋y (k >0)取得最年夜值的最优解有无穷多个,则k 的值为________．【解析】由目标函数z ＝kx ＋y (k >0)取得最年夜值的最优解有无穷多个,结合图形分析可知,直线kx ＋y ＝0的倾斜角为120°,于是有－k ＝tan 120°＝－3,所以k ＝3．【谜底】331．设m ＞1,在约束条件⎩⎨⎧y ≥xy ≤mxx ＋y ≤1下,目标函数z ＝x ＋my 的最年夜值小于2,则m 的取值范围．【解析】变换目标函数为y ＝－1m x ＋z m ,由于m >1,所以－1<－1m <0,不等式组暗示的平面区域如图中的阴影部份所示,根据目标函数的几何意义,只有直线y ＝－1m x ＋zm在y 轴上的截距最年夜时,目标函数取得最年夜值．显然在点A 处取得最年夜值,由y ＝mx ,x ＋y ＝1,得A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫11＋m m 1＋m ,所以目标函数的最年夜值z max ＝11＋m ＋m21＋m <2,所以m 2－2m －1<0,解得1－2<m <1＋2,故m 的取值范围是(1,1＋2)．【谜底】(1,1＋2)32．已知实数x ,y 满足⎩⎨⎧y ≥1y ≤2x －1x ＋y ≤m若目标函数z ＝x －y 的最小值的取值范围是[－2,－1],则目标函数的最年夜值的取值范围是________． 【解析】不等式组暗示的可行域如图中阴影部份(包括鸿沟)所示,目标函数可变形为y ＝x －z ,当z 最小时,直线y ＝x －z 在y 轴上的截距最年夜．当z 的最小值为－1,即直线为y ＝x ＋1时,联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋1y ＝2x －1可得此时点A 的坐标为(2,3),此时m ＝2＋3＝5；当z 的最小值为－2,即直线为y ＝x ＋2时,联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋2y ＝2x －1可得此时点A 的坐标是(3,5),此时m ＝3＋5＝8．故m 的取值范围是[5,8]．目标函数z ＝x －y 的最年夜值在点B (m －1,1)处取得,即z max＝m －1－1＝m －2,故目标函数的最年夜值的取值范围是[3,6]．【谜底】[3,6]33．(2013·高考广东卷)给定区域D ：⎩⎨⎧ x ＋4y ≥4x ＋y ≤4x ≥0.令点集T ＝{(x 0,y 0)∈D |x 0,y 0∈Z ,(x 0,y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最年夜值或最小值的点},则T 中的点共确定________条分歧的直线．【解析】线性区域为图中阴影部份,取得最小值时点为(0,1),最年夜值时点为(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0),点(0,1)与(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)中的任何一个点都可以构成一条直线,共有5条 ,又(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)都在直线x ＋y ＝4上,故T 中的点共确定6条分歧的直线．【谜底】634．(2011·湖北改编)已知向量a ＝(x ＋z,3),b ＝(2,y －z ),且a ⊥b ．若x ,y 满足不等式|x |＋|y |≤1,则z 的取值范围为__________．【解析】∵a ＝(x ＋z,3),b ＝(2,y －z ),且a ⊥b ,∴a ·b ＝2(x ＋z )＋3(y －z )＝0,即2x ＋3y －z ＝0．又|x |＋|y |≤1暗示的区域为图中阴影部份,∴当2x ＋3y －z ＝0过点B (0,－1)时,z min ＝－3,当2x ＋3y －z ＝0过点A (0,1)时,z min ＝3．∴z ∈[－3,3]．【谜底】[－3,3]35．(2016·衡水中学模拟)已知变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋4y －13≤02y －x ＋1≥0x ＋y －4≥0且有无穷多个点(x ,y )使目标函数z ＝x ＋my取得最小值,则m ＝________．【解析】作出线性约束条件暗示的平面区域,如图中阴影部份所示．若m ＝0,则z ＝x ,目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解只有一个,不符合题意．若m ≠0,则目标函数z ＝x ＋my 可看作斜率为－1m的动直线y ＝－1m x ＋z m, 若m ＜0,则－1m＞0,由数形结合知,使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解不成能有无穷多个；若m ＞0,则－1m＜0,数形结合可知,当动直线与直线AB 重合时,有无穷多个点(x ,y )在线段AB 上,使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值,即－1m＝－1,则m ＝1． 综上可知,m ＝1．【谜底】1。
近五年(2017-2021)高考数学真题分类汇编试卷含答案(不等式)
2
2
故 sin cos sin cos sin cos 3 ， 2
故 sin cos ,sin cos ,sin cos 不可能均大于 1 .
2
取 ， ， ，
6
3
4
则 sin cos 1 1 ,sin cos 6 1 ,sin cos 6 1 ，
42
42
，
上下平移直线 y 3x z ，数形结合可得当直线过点 A 时, z 取最小值，
此时 zmin 31 3 6 .
故选：C.
3．B
x 1 0
【解析】画出满足约束条件
x
y
0
的可行域，如下图所示：
2x 3y 1 0
目标函数 z x 1 y 化为 y 2x 2z ， 2
x 1
x 1
_________．
20．（2020·江苏）已知 5x2 y2 y4 1(x, y R) ，则 x2 y2 的最小值是_______．
x y 0, 21．（2020·全国（文））若 x，y 满足约束条件 2x y 0，，则 z=3x+2y 的最大值为
x 1,
_________．
2x y 2 0, 22．（2020·全国（理））若 x，y 满足约束条件 x y 1 0, 则 z=x+7y 的最大值为
__________．
34．（2017·山东（文））若直线 x y 1(a＞0，b＞0) 过点（1,2）,则 2a+b 的最小值为 ab
______.
四、双空题
x 2,
35．（2019·北京（文））若
x，y
满足
y
1,
则 y x 的最小值为__________，
历年高考线性规划汇编大全
简单的线性规划-基础知识(1)二元一次不等式表示的平面区域设直线Ax By C 0,若A 0,则直线Ax By C 0左侧的区域为不等式Ax By C 0表示的区域，右侧为不等式Ax By C 0表示的区域；若A 0,则相反；也可从系数 B 的角度去分析，此法可快速确定平面区域虚线练习快速确定下列不等式表示的平面区域：2x 3y 6 0， 2x y 4， x 2, y 4(2)二元一次不等式组表示的平面区域即不等式组内所有不等式所表示平面区域的交集，技巧是逐个取交集二题型总结第一类求线性目标函数的最值此类型为最基本的题型，目标函数为 z ax by 型的，解法a i(1) 图解法；化为y x z ，若b 0，z 与该直线在y 轴上的截距成正比，b 0则b b成反比，从图像上观察直线的截距大小情况即可；(2) 边界点法：目标函数的最值必在可行域的顶点处取得，因此只需求出可行域的顶点， 将其坐标依次带入目标函数中计算，比较大小即可x 4y 3例：画出不等式3x 2y 2令 3x 2y 20，令 x 0, y 1,y 0,2 x3画出直线3x2y 2 0，因为3 0，故直线右侧为不等式 3x 2y 2 0表示的平面注意：若不等式为"，则直线画成实线，意为包括直线上的点，否则画0表示的平面区域区域例、设x,y满足约束条件3x 5y 25，求z 5x 2y的最值x 122解：可行域是如图所示中ABC的区域，得A(5,2),B(1,1),C(1, )5作出直线L o：5x+10y=0,再将直线L o平移当L经过点B时，y轴截距最小，即z达到最小值，得z min7当L经过点A时，y轴截距最大，即z达到最大值，得z max29所以最大值是29，最小值是7针对练习x y > 0,1、若x, y满足约束条件x y 3> 0,则z 2x y的最大值为____________________ .0 < x < 3,x y 8,2、若变量x,y满足约束条件2y x 4,且z=5y-x的最大值为a,最小值为b,则x 0,y 0,a-b的值是____________ . (24)3、已知正三角形ABC的顶点A(1,1),B(1,3), 顶点C在第一象限,若点(x,y)在厶ABC内部，则z=-x+y的取值范围是()A(A)(1- 32) (B)(0,2)(C)( .3-1,2) (D)(0,1 +3y 4.若实数x , y满足不等式组2xmy 0,0,且x0,y的最大值为9,则实数m C(A) 2(B) 1(C) (D) 2x5.若x, y满足约束条件x2x 1，目标函数z2ax 2y仅在点(1, 0)处取得最小值,则a的取值范围是om B(A) ( 1, 2 ) (B) (4 , 2 )(C) (4,0] (D) (2,4)6.函数f (x) ln x,2xx1,,D是由x轴和曲线yf (x)及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则z x 2y在D上的最大值为7.已知 Y ABCD 的三个顶点为 A (-1, 2), B (3, 4), C (4, -2),点(x, ,y )在 Y ABCD 的内部，则z=2x-5y 的取值范围是 B (A )( -14, 16)( B ) (-14 , 20) ( C ) (-12, 18)( D ) (-12, 20)第二类求可行域的面积x a,实数a 的值为 _________x 0一4 3、若不等式组x 3 v 4所表示的平面区域被直线y kx分为面积相等的两部3关键是准确画出可行域，根据其形状来计算面积, 基本方法是利用三角形面积，或切割为三角形x y 20,例不等式组 x y 20,表示的平面区域的面积是x 2(A)4 2(B)4(C)22(D)2解：可行域是 A(0.2),B(2,4),C(2,0)构成的三角形，易得面积为4针对练习x y1 0 1、不等式组 y 1 0表示的平面区域的面积为。